H NG D N GI I THI TOÁN CHUYÊN
N M H C 2011-2012
Câu 1 (2 i m)
Cho bi u th c 2 2 3 : 4 1 192 2
P
a) Rút g n P
Gi i
+) i u ki n:
≠
+) Ta có
2 2
( 3): 4 1 19
4 ( 4) 4
−
P
x
2 2
( 3):
( 4) 4
+
=
−
−
x x
x x x
2
( 3): 16 19
( 4) 4
=
−
−
x x x
( 3): 3
( 4) 4
=
−
−
x x x
( 3) (. 4)
3 4
=
+
−
x x
2
4
=
−
x x
+) K t lu n: 2
4
=
−
x P
x
b) Tính giá tr c a P t i x = 4 2 3 + − 4 2 3 −
Gi i
x
+) Thay x = 2 vào bi u th c ã rút g n c a P ta có: 4 4 2
2 4 2
P
+) V y t i x= 4 2 3+ − 4 2 3− ta có giá tr c a P b ng 2−
Câu 2 (2 i m)
a) Gi i ph ng trình: ( 2 )2 3
2 x + 3 − 10 x − 15 x = 0
Gi i
Trang 2+) Ta có ph ng trình ( 2 )2 2 2 2
2 3 5 (2 3) 0 (2 3)(2 5 3) 0
= + =
=
+) KL: Ph ng trình ã cho có t p nghi m là =
b) S h c sinh gi i Qu c gia c a tr ng trung h c ph thông chuyên Quang Trung, t nh Bình Ph c trong n m h c 2010-2011 là m t s t nhiên ab v i a, b tho mãn h ph ng trình: 3 6 3 2
2 3 34
Hãy tìm s h c sinh gi i c a tr ng trong n m h c trên
Gi i
Cách 1
+) C ng v theo v hai ph ng trình c a h i u ki n ta có:
+ = + ⇔ + − = ⇔ − − = − mà a, b nguyên và
∈ ≠ nên a, b ch có tr ng h p − =
− = − th a mãn yêu c u c a bài toán
=
=
V y s h c sinh gi i c a tr ng n m h c 2010-2011 là 53 h c sinh
Cách 2
+) Tr c h t ta i gi i h ph ng trình i u ki n:
Ta có h 3 6 3 2 3 6 3 2 34 2( 3 ) 3 6 3 68 4 6
7 12 71
34 2 3
⇔
71 12 7
34 2 3
−
=
⇔
b a
71 12 7
34 2 3
−
=
⇔
b a
71 12 7
71 12 2 71 12
−
=
⇔
b a
b
71 12
7
71 12 2 71 12
−
=
⇔
b a
71 12 7
12 68 96 0
−
=
⇔
b a
( )
71 12 7 3 8 3
−
=
=
b a
5 3
=
⇔
=
a
b ab=53
+) KL: S h c sinh gi i c a tr ng trong n m h c trên là 53
Câu 3 (2 i m)
a) Cho a, b, c là ba s d ng tho mãn i u ki n: a b c + + ≤ 3
1 + 1 + 1 ≥ 2
Nh n xét: L i gi i cho bài toán này s g n gàng và d nh n ra n u ta v n d ng các b t ng th c ph sau:
1) B t ng th c + + ≥
+ + , (*) , v i x, y, z >0
2) B t ng th c + + ≥ + + , v i m i a, b, c
Trong bài làm h c sinh ph i ch ng minh l i các b t ng th c này
+) Ch ng minh b t ng th c (*):
Trang 3V i x, y, z > 0, áp d ng b t ng th c Cauchy ta có: + + ≥ và + + ≥
Nhân v theo v hai b t ng th c trên ta c ( + + ) + + ≥ ⇔ + + ≥
+ +
+) Ch ng minh b t ng th c (**):
Ta có (*) ⇔ + + − − − ≥ ⇔ − + − + − ≥ , ( úng)
Gi i
+) Áp d ng b t ng th c (*) ta có: 1 1 1 9
1 +1 +1 ≥3
+ab +bc +ca +ab bc ca+ + ch ng minh bài toán ta ch
+ab bc ca+ + ab bc ca , (1)
+) Th t v y ta có (**) ⇔ + + + + + ≥ + +
+) T (1) và (2) ta có bài toán c ch ng minh D u “=” x y ra ⇔ = = =
b) Gi i ph ng trình nghi m nguyên: 2 x6− 2 x y y3 + 2 = 128.(*)
Gi i
+) Ta có ph ng trình ⇔ x6+ −x6 2x y y3 + 2 =128 6 ( 3 )2
128
⇔x + x −y =
≤ ⇔ ≤ Vì x là s nguyên nên x ch có th nh n các giá tr {− − }
+) Thay các giá tr c a x vào ph ng trình ta c các c p (x; y) nguyên là: (2;16), (2;0), (-2;-16), (-2;0) +) KL: Nghi m nguyên c a ph ng trình (*) là: (x;y) = (2;16); (2;0); (-2;-16); (-2;0)
Câu 4 (4 i m)
Cho tam giác ABC n i ti p ng tròn (O) tâm O ng phân giác trong c a góc A c t (O) t i i m
M (khác i m A) Ti p tuy n k! t" M c a (O) c t các tia AB, AC l#n l $t t i D và E
a) Ch ng minh r%ng BC song song v i DE
Gi i
G i H là giao i m gi!a OM và BC
Mà OM⊥ DE BC song song v i DE, ( pcm)
b) Ch ng minh r%ng: ∆AMB và ∆MEC
&ng d ng; ∆AMC và ∆MDB &ng d ng
Gi i
+) Ta có = = (cùng b ng n"a
s o cung MC), = (ABMC n i
ti p ng tròn) ∆AMB và MEC∆ #ng d ng theo tr ng h p (góc – góc)
+) Ta có = = (cùng b ng n"a s o cung BM), = (ABMC n i ti p ng tròn) ∆AMC và MDB∆ #ng d ng theo tr ng h p (góc – góc)
D
H
E M
O
C B
A
Trang 4c) Cho AC = CE Ch ng minh r%ng: MA2 = MD ME
Gi i
+) Ta có AMB∆ và MEC∆ #ng d ng = , (1)
+) Ta có AMC∆ và MDB∆ #ng d ng = , (2)
L y (1) chia (2) v theo v và áp d ng AC = CE ta có: = ⇔ = , ( pcm)
d) Ch ng minh:
2
+
> AB AC
Gi i
Áp d ng nh lí Ptô-lê-mê cho t giác n i ti p ABMC ta có: + =
M t khác v i H là trung i m c a BC ta có tam giác BHM vuông nh H nên ta có BM > BH
H t
Ph m V n Quý – Chuyên Quang Trung