3 điểm Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ABC và SA a 3=.. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC.. Học sinh chỉ đ
Trang 1SỞ GD- ĐT BẮC GIANG
(ĐỀ CHÍNH THỨC)
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2010-2011
MÔN TOÁN LỚP 11
Thời gian làm bài : 90 phút (không kể thời gian phát đề)
A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (8 điểm).
Câu I (3 điểm)
1 Tính các giới hạn sau:
2
a) lim (n 1)(1 3n)
− + + − ; x 2
b) lim
x 2
→−
+ − + .
2 Xét tính liên tục của hàm số sau tại x 2= :
2 2x 3x 2 2x 4
f (x)
5 2
khi x 2 khi x=2
−
=
Câu II (1 điểm) Tính đạo hàm của hàm số f (x) (x 2) x= − 2+ +1 c 2xos tại x 0.=
Câu III (3 điểm)
Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA a 3=
1 Gọi M là trung điểm của cạnh BC Chứng minh BC (SAM)⊥ .
2 Tính tang của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
3 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
Câu IV(1 điểm)
Cho ba số thực a, b,c thỏa mãn hệ thức 2a 3b 6c 0+ + = Chứng minh rằng phương trình ax + bx + c = 0 luôn có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 2 (0;1)
B PHẦN RIÊNG - PHẦN TỰ CHỌN (2 điểm).
Học sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần I hoặc phần II)
I Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn:
Câu Va (1 điểm)
Cho cấp số nhân (a )n thỏa mãn 7 4
− = −
− = −
Tìm số hạng đầu a1 và công bội q.
Câu VIa (1 điểm) Cho hàm số y x= 3−3x2+1 có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm I(1; 1)−
II Dành cho học sinh học theo chương trình nâng cao:
Câu Vb (1 điểm) Cho cấp số cộng (a )n thỏa mãn a3+ =a5 14 và tổng của 13 số hạng đầu của cấp số cộng bằng 129 Tìm số hạng đầu a1 và công sai d
Câu VIb (1 điểm) Cho hàm số y 2x2 x 1
x 1
+ +
=
− có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung
- Hết
-Họ tên thí sinh: Số báo danh:
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ II
NĂM HỌC 2010-2011 MÔN TOÁN, LỚP 11.
Chú ý : Dưới đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài.
Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết ,lập luận chặt chẽ Nếu học sinh giải cách khác đúng thì chấm và cho điểm từng phần tương ứng
I
(3đ) 1)
a)
1
1 1 (n 1)(1 3n) (1 )( 3)
n n
− +
− + =
0,5
1
3
b)
0,25
2
(x 2)(x 2 x ) (x 2)(x 2 x )
x 2
lim
4
→−
−
− −
0,5
2)
TXĐ: f (2) 5
2
, =
¡
0,25
Ta có
2
Suy ra lim f (x) f (2)x→2 = Do đó hàm số liên tục tại điểm x=2.
0,5 II
x(x 2)
−
0,5
III
(3đ)
H
M A
C S
Trang 31) Do SA ⊥(ABC), BC⊂(ABC) nên SA⊥BC (1) 0,25
Do tam giác ABC đều, M là trung điểm của đoạn BC nên BC⊥AM (2) 0,25 Lại có SA và AM cắt nhau tại A và cùng nằm trong mặt phẳng (SAM) (3) 0,25
2) Do (SBC) (∩ ABC)=BC
+ Do SM, AM lần lượt vuông góc với giao tuyến BC nên góc giữa hai mặt phẳng
(SBC) và (ABC) bằng góc giữa hai đường thẳng AM và SM và bằng góc ·SMA (vì
· 90 )0
SMA<
0,25
2
Trong tam giác vuông SAM, vuông tại A Ta có tan(· ) 3 2
3 2
SA a SMA
3) Gọi H là hình chiếu của A trên SM Do đó AH ⊥SM , BC⊥AH 0,25 Lại có hai đường thẳng SM, BC cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng (SBC) Dẫn
Trong tam giác vuông SAM, đường cao AH ta có
AH =SA + AM = a + a = a Do đó 3
5
AH =a
0,25
IV
(1đ) Đặt f(x)=ax2+bx c+ ⇒ f x( ) liên tục trên R
+ f(0)=c, f 2 4a 2b c 1 (4 6 12 )a b c c c
= + + = + + − = −
÷
+ Nếu c 0= thì f 2 0
3
=
÷
⇒ PT đã cho có nghiệm x=2 (0;1)
0,25
+ Nếu c≠0 thì f(0).f 2 c2 0
= − <
÷
⇒ PT đã cho có nghiệm x=
2 0; (0;1) 3
α ∈ ÷⊂
Va
(1đ)
Giả thiết bài toán tương đương với
3
1
a q q
− = −
1
1 3
1
1
1 ( ) 1
2
3 2
3
q
vn q
q
a q
a q q
a
=
= −
= −
= −
− = −
0,5
VIa
(1đ) Ta có
2 '( ) 3 6
y x = x − x
+ Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm I(1;-1) có hệ số góc là y'(1)=-3 0,5 + Phương trình tiếp tuyến của đths tại I(1;-1) là y= −3(x− − = − +1) 1 3x 2 0,5
Vb Ta có a5+ =a3 14⇔ +a1 3d =7 (1)
Trang 4(1đ) 1
2 12
2
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ
1 1
1
53
39
a
d
=
+ =
⇔
0,5
0,5
VIb
(1đ)
+ Ta có
2 2
( 1)
x
− −
+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(0;-1) là: y= − −2x 1
0,5