Bài toán điều khiển của hệ thời gian tuyến tính rời rạc

6 Chương 2: Tính điều khiển được, quan sát được và biểu diễn tối thiểu của hệ động lực tuyến tính rời rạc 9 2.1 Tính điều khiển được.. 9 2.1.2 Tiêu chuẩn điều khiển được của hệ động lực

Lời cảm ơn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Hà Bình Minh, người

đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo và cung cấp cho em những kiến thức nềntảng để em hoàn thành bài khóa luận này Thầy cũng là người đã giúp

em ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gianđược làm việc cùng Thầy Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới anhPhạm Văn Duẩn, người đã rất nhiệt tình giúp đỡ, chỉ bảo và hướng dẫn

em trong quá trình gõ Tex và hoàn thành khóa luận Anh cũng là ngườicung cấp thêm tư liệu, kiến thức giúp em giải đáp được những điều chưahiểu và băn khoăn Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô côngtác tại Khoa Toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các thầy, côkhác đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho em những kiến thức quý báu

về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thờigian qua Cuối cùng, em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những ngườithân trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điềukiện cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, Tháng 5 năm 2013

Sinh viênNguyễn Thị Hằng

Lời cam đoan

Tên em là: Nguyễn Thị Hằng, sinh viên đại học khóa 2009 – 2013 lớpK35CN Toán, Khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Em xincam đoan đề tài: “Bài toán điều khiển của hệ thời gian tuyến tính rờirạc”, là kết quả nghiên cứu và thu thập của riêng em Các luận cứ, kếtquả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giảkhác Nếu có gì không trung thực trong luận văn em xin hoàn toàn chịutrách nhiệm trước hội đồng khoa học

Hà Nội, Tháng 5 năm 2013

Sinh viênNguyễn Thị Hằng

Mục lục

1.1 Hệ động lực tuyến tính rời rạc 1

1.1.1 Định nghĩa hệ động lực tuyến tính rời rạc 1

1.1.2 Nghiệm của hệ động lực tuyến tính rời rạc 2

1.2 Khái niệm về hàm truyền 3

1.2.1 Phép biến đổi z 3

1.2.2 Xây dựng công thức hàm truyền 5

1.3 Một số phép toán về hàm truyền rời rạc 6

Chương 2: Tính điều khiển được, quan sát được và biểu diễn tối thiểu của hệ động lực tuyến tính rời rạc 9 2.1 Tính điều khiển được 9

2.1.1 Định nghĩa 9

2.1.2 Tiêu chuẩn điều khiển được của hệ động lực tuyến tính rời rạc 10

2.1.3 Ví dụ 15

2.2 Tính quan sát được 17

2.2.1 Định nghĩa 17

2.2.2 Định lý các điều kiện tương đương 17

2.2.3 Ví dụ 18

2.3 Biểu diễn tối thiểu 20

2.3.1 Định nghĩa 20

2.3.2 Định lý Kalman 23

Chương 3: Tính ổn định của hệ động lực tuyến tính rời rạc 273.1 Định nghĩa tính ổn định 273.2 Điều kiện để hệ động lực tuyến tính rời rạc ổn định 283.3 Ví dụ minh họa 293.4 Mối liên hệ giữa tính ổn định và phương trình lyapunov 29Tài liệu tham khảo 36

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Điều khiển là bài toán có ý nghĩa ứng dụng quan trọng trong đờisống, đặc biệt là trong lĩnh vực điện tử, viễn thông và xử lý tín hiệunói riêng Các vấn đề trong các lĩnh vực này thường được mô hìnhhóa bởi một mô hình toán học Có rất nhiều vấn đề cơ bản cầnnghiên cứu trong lĩnh vực điều khiển Một trong số những vấn đề

có tính chất kinh điển là bài toán điều khiển Nó có ứng dụng rộngrãi trong ngành toán ứng dụng, nên từ trước đến nay, nó vẫn luôn

là đề tài mà các nhà khoa học rất quan tâm và nghiên cứu Để cóthể hiểu rõ hơn về bài toán này em đã chọn đề tài “Bài toán điềukhiển của hệ thời gian tuyến tính rời rạc” để làm đề tài nghiên cứucho khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Khái quát về nội dung và phạm vi nghiên cứu

Bài toán điều khiển tuyến tính là phần nền tảng cơ bản và quantrọng của lý thuyết điều khiển nói chung: các phát triển mới về kháiniệm điều khiển nâng cao đều có sự gợi ý về tư tưởng từ lý thuyếtđiều khiển tuyến tính

Khóa luận này em trình bày về bài toán điều khiển của hệ thời giantuyến tính rời rạc

Nội dung bao gồm phần sau:

• Chương 1: Hệ động lực tuyến tính rời rạc

Chương này trình bày khái niệm về hệ động lực tuyến tính rờirạc, xây dựng ma trận hàm truyền và các phép toán đối với ma

• Chương 2: Tính điều khiển được, quan sát được và biểu diễn tốithiểu của hệ động lực tuyến tính rời rạc.

Chương này nêu khái niệm tính điều khiểm được, tính quam sátđược của một hệ động lực tuyến tính rời rạc, phát biểu và chứngminh định lý về các tiêu chuẩn tương đương với các tính chấtnày Từ đó, đưa ra khái niệm biểu diễn tối thiểu của một hệđộng lực tuyến tính rời rạc và nêu phương pháp đưa một biểudiễn bất kỳ về biểu diễn tối thiểu (Định lý Kalman) và định lý

về điều kiện cần và đủ để một biểu diễn là biểu diễn tối thiểu

• Chương 3: Tính ổn định của hệ động lực tuyến tính rời rạc.Đưa ra khái niệm ổn định của một hệ động lực tuyến tính rời rạc,các tính chất của phương trình Lyapunov rời rạc, từ đó chứngminh định lý về sự liên hệ giữa hai khái niệm này

• Biết cách thể hiện những hiểu biết của mình

4 Đối tượng nghiên cứu

Bài toán điều khiển của hệ động lực tuyến tính rời rạc và các kiếnthức liên quan

5 Phạm vi

• Các tài liệu tham khảo do cá nhân tự tìm hiểu và thu thập thêm

• Thời gian thực hiện khóa luận

• Nơi nghiên cứu (những khó khăn và thuận lợi tại nơi nghiên cứu)

Nội dung chính

1 Tên đề tài

Bài toán điều khiển của hệ thời gian tuyến tính rời rạc

2 Kết cấu của nội dung

- Biểu diễn tối thiểu

• Chương 3: Tính ổn định của hệ động lực tuyến tính rời rạc

- Định nghĩa tính ổn định

- Điều kiện hệ ổn định

3 Phương pháp nghiên cứu

• Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu

• Sử dụng phương pháp nghiên cứu của lý thuyết điều khiển

• Phương pháp quan sát, đọc sách

Chương 1

Hệ động lực tuyến tính rời rạc

1.1 Hệ động lực tuyến tính rời rạc

1.1.1 Định nghĩa hệ động lực tuyến tính rời rạc.

Định nghĩa 1.1.1 Một hệ động lực tuyến tính, rời rạc, bất biến đượcxác định bởi phương trình trạng thái sau:

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), x(0) = x0 (1.1)

y(k) = Cx(k) + Du(k) (1.2)Trong đó:

x(k)là vectơ thực nchiều được gọi là vectơ trạng thái của hệ Vớik ∈ N.u(k) là vectơ thực m chiều được gọi là vectơ đầu vào

y(k) là vectơ thực r chiều được gọi là vectơ đầu ra

x(0) là trạng thái ban đầu của hệ, các thành phần của x(t) là các thambiến điều khiển

Các ma trận A, B, C, D là ma trận thực có kích thước tương ứng là:

n× n, n× m, r × n, r × m

1.1.2 Nghiệm của hệ động lực tuyến tính rời rạc

Định lý 1.1.2 Nghiệm của hệ động lực (1.1), (1.2) xác định như sau:

52−iu(i) + 3u(3).

1.2 Khái niệm về hàm truyền

Vùng hội tụ của biến đổi z là tập hợp những giá trị của z làm cho

X(z) có giá trị hữu hạn Ký hiệu bởi toán tử:

ZT[x(n)] = X(z)

x(n) −→ X(z)

Vùng hội tụ của biến đổi z kí hiệu là (ROC)

Nếu az−1

< 1 → |z| > |a| thì:

X(z) = 1

1 − az−1 ROC : |z| > |a|

1.2.2 Xây dựng công thức hàm truyền

Ta xây dựng hàm truyền cho hệ rời rạc GọiX(k), Y (k), U (k)lần lượt

là biến đổi z của x(k), y(k), u(k)

Áp dụng các tính chất của biến đổiz vàox(k+1) = Ax(k)+Bu(k)ta có:

Z(x(k + 1)) = Z(Ax(k) + Bu(k)) (1.8)

= AZ(x(k)) + Bz(u(k)) (1.9)

= AX(k) + BU (k) (1.10)Mặt khác

Thay X(k) = (zI − A)−1BU(k) vào (1.13) ta có:

1.3 Một số phép toán về hàm truyền rời rạc

Gọi G1(z) và G2(z) là hàm truyền của 2 hệ động lực S1 và S2 Khi đó

ta có:

(1) Tổng của 2 hàm truyền G1(z) + G2(z) biểu diễn hàm truyền của cáckết nối song song S1và S2.

(2) Tích của 2 hàm truyền là hàm truyền khi tác động nối tiếp vào S1

và S2( tức là, một hệ thống với đầu ra của hệ thống thứ 2 như làđầu vào của hệ động lực)

Chương 2

Tính điều khiển được, quan sát

được và biểu diễn tối thiểu của hệ động lực tuyến tính rời rạc

Trong chương này ta tìm hiểu về tính điều khiển được và quan sátđược Đây là hai tính chất rất quan trọng khi đánh giá một hệ động lựcnói chung và hệ động lực rời rạc nói riêng Phần cuối chương, ta tìm hiểu

về biểu diễn tối thiểu của một hệ động lực rời rạc

2.1 Tính điều khiển được

2.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 2.1.1 Hệ động lực tuyến tính rời rạc cho bởi:

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), x(0) = x0 (2.1)

y(k) = Cx(k) + Du(k) (2.2)được gọi là điều khiển được hoặc (A, B) gọi là điều khiển được nếu chobất kỳ hai trạng thái x0, x1 luôn tồn tại một chuỗi hữu hạn của đầu vào

{u0, u1, , uN−1} chuyển từ x0 tới x1, sao cho xN = x1

(i) Hệ (2.1) và (2.2) là điều khiển được.

(ii) (Tiêu chuẩn Kalman)

Ma trận điều kiển n×nm : CM = (B, AB, A2B, , An−1B) có hạngbằng n

không suy biến với mọi N > 1

(iv) Nếu (λ, x)là một cặp trị riêng, véc tơ riêng của AT, tức xTA = λxT,thì xTB 6= 0

(v) (Tiêu chuẩn Hautus)

rank(A − λI, B) = n với mọi giá trị riêng λ của A

⇒ x(k) = (Ak−1Bu(0) + Ak−2Bu(2) + + A0Bu(k − 1)) (2.4)

⇒ x(k) = Bu(k − 1) + ABu(k − 2) + + Ak−1Bu(0) (2.5)Như vậy,

véc tơ x(k) là một tổ hợp tuyến tính của các cột B, AB, , An−1B

Khi rank (CM) 6= n các véc tơ cột không thể tạo thành một cơ sở củakhông gian trạng thái và chọn x(k) = x1 bất kỳ thuộc không gian trạngthái thì không tồn tại (2.5) Vậy điều giả sử là sai ta có điều phải chứngminh

(ii) → (iii) Giả sử rank (CM) = n, nhưng ma trận

là suy biến với mọi N >1

Khi đó tồn tại v là một véc tơ khác 0 sao cho

Khi đó v trực giao với tất cả các cột của ma trận CM Mà ta giả sử

rank (CM) = n nên v = 0 Điều này là vô lý nên điều giả sử là sai

trong đó A¯22 có kích thước n− k và k = rank (CM).

Lấy v2 là giá trị vec tơ của ( ¯A)T tương ứng với một giá trị riêng của

¯

B Điều này có nghĩa là cặp ( ¯A, ¯B) không là điều khiển được Do đó

HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

điều giả sử là sai vì (A, B) điều khiển được nên ( ¯A, ¯B)

(ii) ⇒ (v)

rank(λI − A, B) < n khi và chỉ khi tồn tại một véc tơ v 6= 0 nghĩa là

vT(λI − A, B) = 0 Phương trình tương đương:

(v) ⇒ (ii)

Nếu (v) sai thì từ (iv) ta đã có:

xT(A, AB, , An−1B) = 0

Tức là rank (CM) < n Điều này chứng tỏ (ii) sai Vậy (v) đúng thì

(ii) cũng đúng Ta có điều phải chứng minh

từ chuỗi đầu vào u0, u1, , uN−1 và chuỗi đầu ra y0, y1, , yN.

Chứng minh tương tự hệ điều khiển được, ta có các định lý tươngđương của hệ quan sát được như sau:

2.2.2 Định lý các điều kiện tương đương

Định lý 2.2.2 Xét hệ động lực tuyến tính rời rạc (2.1), (2.2), khi đócác điều kiện sau là tương đương:

(i) Hệ (2.1) và (2.2) là quan sát được

là không suy biến với mọi N > 1.

(iv) Ma trận

"

λI − AC

#

có hạng bằng n với mọi giá trị riêng λ của A

(v) Không có véc tơ riêng nào của A là trực giao với C, có nghĩa là, nếu

(λ, y) là một cặp trị riêng, véc tơ riêng của A, thì Cy 6= 0

Vậy hệ đã cho là hệ không quan sát được.

2.3 Biểu diễn tối thiểu

2.3.1 Định nghĩa

Định nghĩa 2.3.1 Một biểu diễn không gian trạng thái (A, B, C, D)

của hàm truyền G(z) được cho là biểu diễn tối thiểu của G(z) nếu matrận A có kích thước nhỏ nhất có thể, tức là, nếu (A0, B0, C0, D0) là mộtbiểu diễn không gian trạng thái khác của G(z), thì số bậc của A0 lớnhơn hoặc bằng bậc của A Bậc của A gọi là bậc McMillan

Ta nhắc lại định lý Cayley-Hamilton sau:

Định lý 2.3.2 Nếu đa thức đặc trưng của A là: pA(λ) = (λ)n +

a1(λ)n−1 + + an,

thì pA(A) = An+ a1An−1+ + anI = 0 Trong đó I là ma trận đơn vịcấp tương ứng với ma trận A

Ta thấy rằng không phải mọi hệ động lực đều điều khiển được, định

lý sau cho phép ta phân tích một hệ động lực thành hai phần: điều khiểnđược và không điều khiển được

Định lý 2.3.3 (Phân tích hệ không điều khiển được) Nếu ma trận điềukhiển được CM có có hạng bằng k < n thì tồn tại một ma trận T khôngsuy biến sao cho:

Hơn nữa ( ¯A11, ¯B1) là điều khiển được.

Tương tự, ta có một hệ không quan sát được có thể phân tích thànhmột hệ quan sát được và một hệ không quan sát được.

Định lý 2.3.4 (Phân tích hệ không quan sát được) Nếu ma trận quansát được OM có rank (OM) = k0 < n, sau đó có tồn tại một ma trậnkhông suy biến T sao cho:

Định lý 2.3.5 (Định lí Kalman) Cho G(z) được biểu diễn dưới dạng:

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k),y(k) = Cx(k) + Du(k)

luôn tồn tại một phép biến đổi tọa độ không suy biến x¯= T x sao cho:

x¯co(k) là không điều khiển được nhưng quan sát được.

Hơn nữa ma trận hàm truyền từ u tới y được cho bởi:

G(z) = ¯Cco(zI − ¯Aco)−1B¯co + D

Tức là ( ¯Aco, ¯Bco, ¯Cco, D) là biểu diễn tối thiểu của G(z)

Định lý 2.3.6 Một biểu diễn không gian trạng thái (A, B, C, D) của

G(z) là tối thiểu nếu và chỉ nếu (A, B) điều khiển được và (A, C) quansát được

Chứng minh Điều kiện cần: Chứng minh bằng phương pháp phản chứng.Giả sử, nếu (A, B) không điều khiển được hoặc (A, C) không quan sátđược thì từ Định lý Kalman ta thấy tồn tại một biểu diễn không giantrạng thái của G(z) có bậc nhỏ hơn mà vừa điều khiển được và quansát được Điều này mâu thuẫn với giả thiết (A, B, C, D) là biểu diễn tốithiểu của G(z)

Điều kiện đủ:

Giả sử (A, B, C, D) là một biểu diễn bậc n của G(z) mà (A, B) điềukhiển được và (A, C) quan sát được Ta sẽ chứng minh (A, B, C, D) làbiểu diễn tối thiểu, tức là nếu (A0, B0, C0, D0) là biểu diễn khác của

G(z) thì rank(A) = n ≤ rank(A0) Bằng cách áp dụng định lý Kalman,không mất tổng quát có thể giả thiết (A0, B0, C0, D0) điều khiển được

và quan sát được

Giả thiết phản chứng n > n0 Đây là hai biểu diễn của hàm G(z) nên

HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

ta có:

CAi−1B = C0(A0)i−1B0, (2.10)Điều này tương đương với

OMCM = OM0 CM0 (2.11)Với OM và CM tương ứng biểu thị các ma trận quan sát được và điềukhiển được của biểu diễn(A, B, C, D),O0M và CM0 , tương ứng là ma trậnquan sát được và điều khiển được của biểu diễn (A0, B0, C0, D0)

Tuy nhiên, rank (OMCM) = n và rank (OM0 CM0 ) = n0 < n Đây làmột mâu thuẫn, vì rank (OMCM) = rank (O0MCM0 ) Vậy ta có điều phảichứng minh

1 92

2 92



1 212



thì (Ac, Bc) điều khiển được

3.1 Định nghĩa tính ổn định

Định nghĩa 3.1.1 Trạng thái cân bằng:

Trạng thái cân bằng của hệ

3.2 Điều kiện để hệ động lực tuyến tính rời rạc ổn định

Định lý 3.2.1 Hệ (3.1) là tiệm ổn định khi và chỉ khi tất cả các giá trịriêng của A nằm trong vòng tròn đơn vị

Chứng minh Ta đã biết nghiệm tổng quát của (3.1) là x(k) = Akx0

Vì ta thấy X là một ma trận đơn vị, (J1, J2, , Jk) là khối Jordan nên

A có dạng chuẩn tắc Jordan Do đó ma trận A là ma trận đường chéo.Vậy

3.4 Mối liên hệ giữa tính ổn định và phương trình lyapunov

Định lý 3.4.1 Hệ động lực tuyến tính rời rạc (3.1) là tiệm ổn định nếu

và chỉ nếu với bất kỳ ma trận xác định dương M nào luôn tồn tại một

ma trận X xác định dương thỏa mãn phương trình Lyapunov

Chứng minh Cho ma trận X được xác định bởi

Vậy X là nghiệm của phương trình (3.3)

Chứng minh X là duy nhất Giả sử rằng X1 là nghiệm đối xứng xácđịnh dương của (3.3), tức là

Vậy ta có điều phải chứng minh

Định lý 3.4.2 Cho A là ma trận ổn định Khi đó phương trình punov:

Ta có A là ma trận ổn định, từ (3.3) X là nghiệm duy nhất của (3.7)được cho bởi như sau:

x = 0 nên điều này là mâu thuẫn

Hơn nữa, CAkx 6= 0 với ∀k nên X là xác định dương

Bây giờ ta chứng minh điều ngược lại Ta cần chỉ ra rằng A ổn định

và X xác định dương thì (A, C) là quan sát được Ta sẽ chứng minhbằng phản chứng

Giả sử (A, C) là không quan sát được Khi đó, theo tiêu chuẩn (v)

của định lý (2.2.2) các vector x của A thỏa mãn: Cx= 0

Lấy giá trị riêng λ tương ứng với giá trị véc tơ x Khi đó từ phươngtrình (3.6) ta có:

x∗Xx− x∗ATXAx = x∗CTCx

hay

(1 − λ.λ)x∗Xx =k Cx k2

Do đó: (1 − λ.λ)x∗Xx = 0 Mà A là ma trận ổn định, 1 − λ.λ < 0

Vậy ta có điều phải chứng minh.

[⇐=] Ta chứng minh rằng nếu X là nghiệm đối xứng xác định dươngcủa phương trình (3.7) thì A là ma trận ổn định Lấy (λ, x) là cặp giátrị của A Ta nhân 2 vế của phương trình (3.7) với x∗ và x ta được:

Ta thấy hệ động lực điều khiển được, định

lý sau cho phép ta phân tích hệ động lực thành hai phần: điều khiển? ?ược không điều khiển

Định lý 2.3.3 (Phân tích hệ khơng điều khiển được)... quan trọng đánh giá hệ động lựcnói chung hệ động lực rời rạc nói riêng Phần cuối chương, ta tìm hiểu

về biểu diễn tối thiểu hệ động lực rời rạc

2.1 Tính điều khiển

2.1.1... tương tự hệ điều khiển được, ta có định lý tươngđương hệ quan sát sau:

2.2.2 Định lý điều kiện tương đương

Định lý 2.2.2 Xét hệ động lực tuyến tính rời rạc (2.1),