Bài toán đặt cực và ổn định hóa trong lý thuyết điểu khiển

6 Chương 2: Phản hồi trạng thái tuyến tính và bài toán đặt cực cho hệ điều khiển được 11 2.1 Phản hồi trạng thái tuyến tính.. Khóa luận này gồm có ba chương: a Chương 1: Sơ lược về điều

KHOA TOÁN

BÙI THỊ CHANG

BÀI TOÁN ĐẶT CỰC VÀ ỔN ĐỊNH HÓA

TRONG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

KHOA TOÁN

BÙI THỊ CHANG

BÀI TOÁN ĐẶT CỰC VÀ ỔN ĐỊNH HÓA

TRONG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học

TS HÀ BÌNH MINH

Lời cảm ơn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Hà Bình Minh,người đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp cho em những kiến thứcnền tảng để em hoàn thành bài khóa luận này

Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại Khoa ToánTrường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các thầy cô đã trực tiếp giảng dạy,truyền đạt cho em những kiến thức quý báu về chuyên môn cũng nhưkinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua

Em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới anh Phạm Văn Duẩn, người đã rấtnhiệt tình giúp đỡ chỉ bảo và hướng dẫn em trong quá trình gõ Tex, học

sử dụng Matlab và hoàn thành khóa luận

Cuối cùng, em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thântrong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiệncho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện khóa luận này.Trong khuôn khổ có hạn của một bài khoá luận, do điều kiện thờigian, do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa họccho nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định Vì vậy,

em kính mong nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, Tháng 5 năm 2013

Sinh viênBÙI THỊ CHANG

Lời cam đoan

Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập

và nghiên cứu Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô giáotrong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của tiến sĩ Hà BìnhMinh

Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này em đã tham khảomột số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Bài toán đặt cực và ổnđịnh hóa trong lý thuyết điều khiển” không có sự trùng lặp với kếtquả của các đề tài khác

Hà Nội, Tháng 5 năm 2013

Sinh viênBÙI THỊ CHANG

Mục lục

Mở đầu i

Nội dung chính iii

Chương 1: Sơ lược về điều khiển vòng hở và điều khiển phản hồi 1 1.1 Hệ động lực 1

1.2 Điều khiển phản hồi 3

1.2.1 Điều khiển phản hồi trạng thái 4

1.2.2 Điều khiển phản hồi tín hiệu ra 5

1.3 Phân biệt điều khiển phản hồi và điều khiển vòng hở 6

Chương 2: Phản hồi trạng thái tuyến tính và bài toán đặt cực cho hệ điều khiển được 11 2.1 Phản hồi trạng thái tuyến tính 11

2.2 Bài toán đặt cực 12

Chương 3: Ổn định hóa 28 3.1 Bài toán ổn định hóa 28

3.2 Một số ví dụ 29

Kết luận 33

Tài liệu tham khảo 35

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết điều khiển được phát triển từ khoảng 150 năm trước đâykhi sự thực hiện điều khiển cơ học bắt đầu cần được mô tả và phântích một cách chính xác qua mô hình toán học Hiện nay lý thuyếtđiều khiển tiếp tục được phát triển mạnh mẽ và được xem là mộtlĩnh vực có nhiều ứng dụng trong thực tiễn

Lý thuyết điều khiển tuyến tính là phần nền tảng cơ bản và quantrọng của lý thuyết điều khiển nói chung Ngày nay vai trò của toánhọc cũng được áp dụng nhiều trong lĩnh vực đời sống Một vấn đềđặt ra là: làm thế nào để chuyển bài toán thực tế về mô hình toánhọc

2 Khái quát về nội dung và phạm vi nghiên cứu

Bài toán đặt cực là phần nền tảng cơ bản và quan trọng của lýthuyết điều khiển nói chung: các phát triển mới về khái niệm điềukhiển nâng cao đều có sự gợi ý về tư tưởng từ lý thuyết điều khiểntuyến tính

Trong khóa luận này em trình bày về bài toán đặt cực và ổn địnhhóa trong lý thuyết điều khiển

Khóa luận này gồm có ba chương:

(a) Chương 1: Sơ lược về điều khiển vòng hở và điều khiển phản hồi.(b) Chương 2: Phản hồi trạng thái tuyến tính và bài toán đặt cực

• Biết cách thể hiện những hiểu biết của mình.

4 Đối tượng nghiên cứu

Bài toán đặt cực và ổn định hóa trong lý thuyết điều khiển

5 Phạm vi

• Các tài liệu tham khảo do cá nhân tự tìm hiểu và thu thập thêm

• Thời gian thực hiện khóa luận

• Nơi thực tập khóa luận (những khó khăn và thuận lợi tại nơithực tập)

Nội dung chính

1 Tên đề tài

Bài toán đặt cực và ổn định hóa trong lý thuyết điều khiển

2 Kết cấu của nội dung

Gồm 3 chương:

• Chương 1: Sơ lược về điều khiển vòng hở và điều khiển phản hồi

• Chương 2: Phản hồi trạng thái tuyến tính và bài toán đặt cựccho hệ điều khiển được

• Chương 3: Ổn định hóa

3 Phương pháp nghiên cứu

• Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu

• Sử dụng phương pháp nghiên cứu của lý thuyết điều khiển

• Phương pháp quan sát, đọc sách

Sơ lược về điều khiển vòng hở và điều khiển phản hồi

Chương này giới thiệu khái quát về bài toán điều khiển, hai dạng điềukhiển cơ bản là điều khiển vòng hở và điều khiển phản hồi cũng như tínhquan trọng của việc phân biệt chúng trong ứng dụng thực tế

1.1 Hệ động lực

Hệ động lực có thể hiểu tổng quát là một thực thể hệ thống mà trạngthái đặc trưng của nó thay đổi theo thời gian, trong đó trạng thái tạimỗi thời điểm được xác định bởi cấu trúc của hệ thống, bởi trạng tháicủa nó trong quá khứ và tác động bên ngoài lên hệ thống Phương pháp

mô hình toán học là công cụ hữu hiệu để nghiên cứu các tính chất của

hệ động lực và xây dựng các tác động lên hệ một cách tốt nhất theo cácmục tiêu nào đó Ví dụ: mô hình toán học miêu tả dao động của con lắcđồng hồ, dòng chảy của nước trong đường ống, và số lượng cá mỗi mùaxuân trong một hồ

Với một hệ động lực cụ thể, để có được trạng thái hệ thống hay đầu

ra mong muốn, chúng ta phải có các tác động thích hợp vào hệ thống.Đây là nội dung căn bản của bài toán điều khiển hệ thống

Định nghĩa 1.1.1 Bài toán điều khiển hệ thống

Điều khiển hệ thống được hiểu là bài toán can thiệp vào đối tượng điềukhiển để hiệu chỉnh, biến đổi sao cho nó có được chất lượng mong muốn.Các bước cơ bản khi thực hiện một bài toán điều khiển gồm:

1 Xác định khả năng can thiệp từ bên ngoài vào đối tượng Vì đốitượng cần điều khiển giao tiếp với môi trường bên ngoài bằng tínhiệu vào-ra nên chỉ thông qua tín hiệu vào-ra này ta mới có thể canthiệp vào đối tượng Để làm được điều này ta phải hiểu rõ bản chấtcủa đối tượng

2 Xây dựng mô hình toán học mô tả đối tượng

3 Phân tích hệ thống thông qua mô hình toán học

4 Tiến hành can thiệp vào đối tượng

5 Đáng giá chất lượng của can thiệp, có thể phải quay lại bước đầutiên nếu chất lượng can thiệp không đảm bảo

Hình 1.1: Trình tự các bước thực hiện một bài toán điều khiển.

Định nghĩa 1.1.2 Một hệ động lực tuyến tính liên tục với tham số bấtbiến được mô tả qua hai phương trình :

dx

dt = Ax(t) + Bu(t), (1.1)y(t) = Cx(t) + Du(t), (1.2)trong đó:

x(t) là vectơ n chiều được gọi là trạng thái của hệ,

u(t) là vectơ m chiều được gọi là đầu vào của hệ,

y(t) là vectơ r chiều được gọi là đầu ra của hệ

A, B, C và D là các ma trận thực, có số chiều lần lượt là n × n, n ×

m, r × n, r × m

Phương trình (1.1) gọi là phương trình trạng thái,

Phương trình (1.2) gọi là phương trình đầu ra

Phần tiếp theo chúng ta xét hai dạng điều khiển cơ bản:

1.2 Điều khiển phản hồi

Trong điều khiển phản hồi, giá trị của các đầu vào điều khiển đượcchọn không phải là một hàm hiện theo thời gian nhưng dựa trên cơ sởcủa một số lượng quan sát Cụ thể, chúng ta xem xét các hệ động lực(1.1), (1.2) và giả định rằng trạng thái x được quan sát Sau đó, giá trịcủa điều khiển sẽ dựa vào hệ thống quỹ đạo quan sát được Như vậy,quytắc điều khiển có thể được coi như một ánh xạ liên quan đến quan sátquỹ đạo trạng thái x : R → Rn điều khiển tín hiệu vào u : R → RmBiểu thị ánh xạ này bởi F Tuy nhiên, F(x)(t) sẽ chỉ phụ thuộc vào cácgiá trị cho bởi x(t0) với t0 ≤ t

Việc sử dụng phản hồi rất cần thiết cho mục tiêu nâng cao độ chínhxác của hệ thống điều khiển Chúng ta có thể thấy các hệ thống trong

tự nhiên như các hệ thống sinh học và sinh lý đều là các hệ thống phản

hồi, ví dụ như hệ thống điều khiển nhịp tim của con người.

Điều khiển phản hồi chia thành hai dạng

• Điều khiển phản hồi trạng thái

• Điều khiển phản hồi tín hiệu ra

1.2.1 Điều khiển phản hồi trạng thái

Ở đối tượng điều khiển, vectơ trạng thái của hệ thống x(t) là thànhphần chứa đựng đầy đủ nhất thông tin chất lượng động học của hệ thống

Nó phản ánh nhanh nhất sự ảnh hưởng của các tác động bên ngoài vào

hệ thống Để có được hệ động học chất lượng tốt cần tác động đầu vàou(t) phản ứng kịp với thay đổi trạng thái của đối tượng

Hình 1.2: Điều khiển phản hồi trạng thái.

Ví dụ 1.2.1 Xét đối tượng điều khiển là xe đạp còn bộ điều khiển làngười lái xe Trạng thái hệ thống là tốc độ và vị trí của xe Nhiệm vụcủa bộ điều khiển là giữ cho tốc độ xe ổn định và vị trí xe luôn nằmtrong làn đường cho phép Như vậy bộ điều khiển đã:

• Dựa vào khoảng cách xe với vạch phân cách (một trạng thái của hệthống) đưa ra quyết định điều chỉnh tay lái

• Dựa vào tốc độ hiện tại và môi trường bên ngoài (đường sá, xe cộ,thời tiết) điều chỉnh bàn đạp.

1.2.2 Điều khiển phản hồi tín hiệu ra

Do không phải mọi trạng thái của đối tượng là đo được trực tiếp nêntrong nhiều trường hợp chúng ta phải thay bộ điều khiển phản hồi trạngthái bằng bộ điều khiển phản hồi tín hiệu ra Điều khiển vòng hở còn

Hình 1.3: Điều khiển phản hồi tín hiệu ra.

gọi là điều khiển không phản hồi, là một loại điều khiển mà u(t) đượcchọn như hàm hiện của thời gian t Nói cách khác một hàm phụ thuộcthời gian u : R →R được chọn sao cho đạt được mục đích cụ thể, chẳnghạn chuyển trạng thái hệ thống từ x0 đến trạng thái x1

Một đặc tính của bộ điều khiển vòng hở là nó không sử dụng hồi tiếp

để xác định liệu đầu ra của nó có đạt được mục đích mong muốn củađầu vào hay không Điều này có nghĩa là hệ thống này không giám sátđầu ra của quá trình mà nó điều khiển.Ví dụ, một hệ thống thủy lợi,được lập trình để được bật tại khoảng thời gian đặt trước có lẽ là một ví

dụ của hệ thống vòng hở nếu nó không đo lường độ ẩm của đất để phảnhồi trở lại Ngay cả nếu mưa xuống, hệ thống thủy lợi vẫn làm việc theolịch, làm lãng phí nước

Điều khiển vòng hở được sử dụng cho các hệ thống được xác định rõràng, nơi mà mối quan hệ giữa đầu vào và trạng thái kết quả có thể được

mô tả bởi một công thức toán học Ví dụ, việc xác định điện áp để cungcấp cho một động cơ điện mà chỉ mang một tải cố định, để đạt đượctốc độ mong muốn có lẽ là một ứng dụng tốt của điều khiển vòng hở.Nếu tải không đoán trước được, mặt khác, tốc độ động cơ có thể biếnđổi như một hàm số của tải cũng giống như điện áp, một bộ điều khiểnvòng hở do đó không đủ khả năng để đảm bảo điều khiển vận tốc lặp đilặp lại nữa

Một ví dụ của điều này là một hệ thống băng chuyền, yêu cầu dichuyển với vận tốc không đổi Với một điện áp không đổi, băng chuyền

sẽ di chuyển với vận tốc khác nhau phụ thuộc vào tải trọng đặt vào động

cơ (ở đây là trọng lượng của các vật đặt trên băng chuyền) Để băngchuyền chạy với tốc độ không đổi, điện áp đưa vào động cơ phải đượcđiều chỉnh theo tải Trong trường hợp này, một hệ thống điều khiển vòngkín cần được sử dụng

1.3 Phân biệt điều khiển phản hồi và điều khiển vòng hởViệc phân biệt điều khiển phản hồi và điều khiển vòng hở là một yêucầu quan trọng để xây dựng hệ điều khiển phù hợp trong các bài toánthực tế

Ta sẽ xét các ví dụ giúp cân nhắc sự khác biệt giữa điều khiển vòng

hở và điều khiển phản hồi

Ví dụ 1.3.1 Giả sử bạn sắp sửa đi lên một cầu thang Bạn có thể quyếtđịnh mở hoặc khép mắt Giả sử mắt là cơ quan duy nhất tiếp nhậnthông tin từ bên ngoài, trong trường hợp mắt khép trước khi đi lên bạncẩn thận nhìn các bậc cầu thang và lan can đếm số lượng các bước, quytrình trong đầu của bạn một kế hoạch chuyển động và thực hiện nó Đó

là điều khiển vòng hở Trong điều khiển phản hồi, bạn phải giữ cho mắt

của bạn mở Bằng việc quan sát vào mỗi khoảnh khắc ở đầu chân cácbạn với những bước, nơi mà bàn tay bạn đối với lan can, v v , bạnliên tục lập kế hoạch và điều chỉnh chuyển động của bạn Nó phải rõràng từ ví dụ điều khiển thông tin phản hồi sẽ nói chung thực sự dẫnđến hiệu suất cao Sự kiện bất ngờ có thể được xem xét bằng cách điềukhiển thông tin phản hồi, nhưng không phải cách điều khiển vòng hở.Điều khiển phản hồi sẽ dẫn đến làm ẩn đi nguyên nhân và kết quả.Trong hệ (1.1), (1.2) quỹ đạo đầu vào u là nguyên nhân và hệ thốngquỹ đạo x là kết quả Tuy nhiên quy tắc điều khiển F : x → u sử dụng

hệ thống quỹ đạo để quyết định quỹ đạo điều khiển Thông tin phảnhồi dẫn đến các phương trình ẩn đặc trưng cho toán học của điều khiểnphản hồi

Trạng thái điều khiển thông tin phản hồi có thể minh họa bằng đồ thịdòng tín hiệu Điều này thể hiện trong hình sau

Hình 1.4

Ví dụ 1.3.2 Một ví dụ cho thấy sự khác biệt giữa điều khiển vòng hở

và điều khiển thông tin phản hồi là một đứa trẻ trên xích đu (xem hình1.5.)

Hình 1.5: Một đứa trẻ chơi xích đu

Bằng cách đứng lên xích đu khi di chuyển lên và ngồi khi nó di chuyểnxuống, đứa trẻ liên tục chuyển trọng tâm của các lực hấp dẫn của xích

đu lên và xuống Với cách này nó điều khiển để làm tăng lên biên độ daođộng

Ta có được các phương trình chuyển động cho xích đu Cho ϕ biểu thịgóc trên của trục con lắc với trục thẳng đứng Đứa trẻ như là một khốilượng điểm có khối lượng M và kí hiệu L là khoảng cách của đứa trẻ vớitrục quay Bây giờ, bỏ qua khối lượng của xích đu (so với trẻ) kết quảcho động năng của ϕ,ϕ˙, với thay đổi tỉ lệ của ϕ, L, và ˙L, thay đổi của

học mang lại phương trình vi phân sau cho chuyển động của ϕ

ddt

∂

∂ϕ˙(T − U ) + ∂

∂ϕ(T − U ) = 0 (1.5)Kết quả thu được là

d

dtM L

2d∂

dt + MgLsinϕ = 0 (1.6)Phương trình này gọi là phương trình biểu diễn cho biến L và ϕ

Làm thế nào chúng ta giải thích rằng một đứa trẻ có thể đưa lênchuyển động của xích đu? Giả sử chọn L là một hàm tuần hoàn của t.Thật vậy, nó có thể được hiển thị bằng cách chọn L : R → R một hàmtuần hoàn thích hợp do đó (1.5) sẽ không ổn định dẫn đến sự gia tăngtrong biên độ của xích đu Sự không ổn định này gọi là tham số cộnghưởng Bởi vì nó đòi hỏi biên độ của L "tham số" được lựa chọn trongcộng hưởng với tần số tự nhiên của hệ

Tham số cộng hưởng thực sự là cách thích hợp giải thích cách đưamột đứa trẻ lên chuyển động của xích đu? Câu trả lời là không Tham

số cộng hưởng có nghĩa là chiều dàiL của xích đu được chọn là một hàmcủa thời gian Nó gợi ý rằng đứa trẻ có thể quan sát đồng hồ để quyếtđịnh ngồi xổm hoặc đứng lên tại thời điểm t, hoặc đứa trẻ di chuyển lên

và xuống được xác định trong một hàm tuần hoàn Tất nhiên, sự lựachọn của L sẽ được thực hiện như một hàm của φ và dφ

dt Thông thường,

L sẽ được chọn là lớn nếu φ và dφ

dt ngược dấu và nhỏ nếu cùng dấu

Giải thích cộng hưởng tham số của xích đu cho thấy điều khiển vònglặp mở được sử dụng: quyết định ngồi xổm hay đứng lên là một hàm củathời gian Giải thích, quyết định này phụ thuộc vào các giá trị quan sátcủa φ và dφ

dt cho điều khiển phản hồi Trong tất cả các ứng dụng cơ bảncủa điều khiển thông tin phản hồi vào trong cách này hoặc cách khác.Phản hồi, chứ không phải quỹ đạo lập kế hoạch, là ý tưởng cơ bản nhấttrong lý thuyết điều khiển Tuy nhiên, quỹ đạo lập kế hoạch có ứng dụng

đặc biệt

Phản hồi trạng thái tuyến tính và bài toán đặt cực cho hệ điều khiển được

2.1 Phản hồi trạng thái tuyến tính

Một quy tắc điều khiển tuyến tính không nhớ cho hệ động lực (1.1),(1.2) được xác định bởi

Ma trận N ∈ Rm×n được gọi là ma trận thông tin phản hồi

Quy tắc điều khiển (2.1) như sau Cho x1, x2,· · · , xn là tọa độ củavectơ trạng thái x; cho u1, u2,· · · , um là tọa độ vector điều khiển u và

N11, N12,· · · , Nmn là các ma trận thành phần của ma trận thông tinphản hồi Giải thiết tại thời điểm tcác thành phần của vector trạng tháiquan sát được là x1(t), x2(t), · · · , xn(t) (2.1) cho chúng ta biết rằng tạithời điểm t điều khiển tín hiệu vào với u1(t), u2(t), · · · , um(t) với

ukt= Σnk=0Nklxl(t) (2.2)

sẽ được áp dụng Khi giá trị của x thay đổi thì giá trị điều khiển sẽ thayđổi một cách thích hợp theo (2.2)

Bây giờ kết hợp (2.1) với (1.1) ta được

dx

dt = (A + BN )x; u = N x (2.3)Phương trình (2.3) cho chúng ta biết quỹ đạo trạng thái của (1.1) sẽtiến triển như thế nào khi quy tắc điều khiển (2.1) áp dụng Các phươngtrình này là phương trình vòng khép kín Có thể thấy rằng (2.3) và (1.2)

là một hệ động học tự động

Vấn đề điều khiển hệ động lực (1.1), (1.2) bởi quy tắc (2.1) dẫn đếnmột bài toán trong lý thuyết ma trận Đó là việc lựa chọn cặp ma trận(A, B) trong (1.1), ma trận N trong (2.1) để cặp ma trận (A + BN, N )trong (2.3) có các tính chất mong muốn Ví dụ, câu hỏi có thể là lựa chọn

N mà tất cả các nghiệmxcủa (2.3) thỏa mãnx(t) → 0khit→ ∞(và do

đóu(t) → 0 khi t → ∞ ) đây là bài toán ổn định phản hồi, hoặc câu hỏi

có thể lựa chọnN mà giá trị trung bình của R∞

0 (k U (t) k2 + k x(t) k2)dtnhỏ nhất có thể Đó lại là một bài toán của điều khiển tối ưu

2.2 Bài toán đặt cực

Định nghĩa 2.2.1 Xét hệ động lực động lực tuyến tính

dx

dt = Ax(t) + Bu(t), (2.4)y(t) = Cx(t) + Du(t) (2.5)Các trị riêng của ma trận A được gọi là các điểm cực của hệ động lực.Chất lượng của hệ điều khiển phụ thuộc vào vị trí các điểm cực Để hệ

có được chất lượng mong muốn người ta can thiệp một bộ điều khiển vào

hệ thống sao cho với sự can thiệp đó thì hệ đạt được chất lượng mongmuốn với các cực là các giá trị cho trước Một cách hoàn toàn tương tự,Các trị riêng của ma trận A+ BN được gọi là các điểm cực của hệ động

lực mô tả bởi

dx

dt = (A + BN )x(t), u(t) = N x(t) (2.6)y(t) = Cx(t) + Du(t) (2.7)

Để phân biệt chúng ta coi các trị riêng của A là các điểm cực mở còncác trị riêng của A+ BN là các điểm cực đóng Bài toán đặt cực đượcpháp biểu như sau: Những vị trí nào của điểm cực đóng có thể đạt đượcbởi việc chọn ma trận phản hồi N?

Do các điểm cực của hệ (2.6), (2.7) là nghiệm của đa thức đặc trưngcủa ma trận A+ BN, bài toán đặt cực được pháp biểu lại như sau: Chotrước các ma trận A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m χM là ký hiệu cho đa thức đặctrưng của ma trận M Xác định tập hợp các đa thức χA+BN có thể đạtđược bằng cách chọn ma trận N ∈ Rm×n

Trong phạm vi của khóa luận, chúng ta chỉ xét bài toán đặt cực cho hệđiều khiển được

Định nghĩa 2.2.2 Hệ điều khiển được Hệ động lực động lực tuyếntính

dx

dt = Ax(t) + Bu(t), (2.8)

y(t) = Cx(t) + Du(t), (2.9)được gọi là điều khiển được nếu tồn tại ít nhất một tín hiệu điều khiểnđưa nó từ một điểm trạng thái ban đầu x0 (tùy ý) về được gốc tọa độ 0trong khoảng thời gian hữu hạn

Ta thừa nhận không chứng minh định lý sau

Định lý 2.2.3 Tiêu chuẩn Kalman

Hệ (1.1), (1.2) là điều khiển khi và chỉ khi ma trận [B, AB, , An−1B]

có hạng bằng n

Một kết quả quan trọng