Bài toán cực trị về hình học trong mặt phẳng

KHOA TOÁN HỌC PHẠM THỊ HIỀN BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỀ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP CHUYÊN NGÀNH : HÌNH HỌC Người hướng dẫn khoa học T.S PHAN HỒNG TRƯỜNG Hà nội, Thán

TRƯỜNG ĐẠI HOC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN HỌC

PHẠM THỊ HIỀN

BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỀ HÌNH HỌC

TRONG MẶT PHẲNG KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

CHUYÊN NGÀNH : HÌNH HỌC

Người hướng dẫn khoa học

T.S PHAN HỒNG TRƯỜNG

Hà nội, Tháng 5 năm 2010

Lời cảm ơn

Do chưa có nhiều kinh nghiệm trong việc tiến hành nghiên cứu khoa học , em không khỏi bỡ ngỡ và còn nhiều lúng túng Nhưng được sự giúp

đỡ nhiệt tình của thầy giáo PHAN HỒNG TRƯỜNG và các thầy cô giáo trong tổ hình học , em đã hoàn thành tốt khoá luận của mình , đảm bảo thời gian , kiến thức cũng như sự chính xác của toán học

Do điều kiện về thời gian và tính chất của đề tài chắc chắn khoá luận tốt nghiệp của em không tránh khỏi những thiếu sót.Em rất mong nhận được sự chỉ bảo của các thầy cô giáo và ý kiến của các bạn đồng môn để bài khoá luận được hoàn thiện hơn

Qua đây em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong

tổ hình học , các thầy giáo trong khoa toán và đặc biệt là thầy giáo

PHAN HỒNG TRƯỜNG đã hướng dẫn em hoàn thành khoá luận này

Em xin chân thành cảm ơn!

Ngày 15 tháng 5 năm 2010

Sinh viên : PHẠM THỊ HIỀN

Lời cam đoan

Khoá luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và nghiên cứu,cùng với sự tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong khoa toán, đặc biệt là sự hướng dẫntận tình của thầy giáo Phan Hồng Trường

Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Bài toán cực trị về hình học trong mặt phẳng” không có sự trùng hợp với kết quả của đề tài khác

Mục lục

Trang

Lời nói đầu ……… 4

Chương 1 : Phương pháp giải một bài toán cực trị về hình học A) Bài toán cực trị về hình học ……… 5

B) Phương pháp chung để giải một bài toán cực trị về hình học 5

Bài tập đề nghị chương 1……… 14

Chương 2 : Cách vận dụng các bất đẳng thức trong hình học A) Bất đẳng thức tam giác……… 15

B) Đường vuông góc và đường xiên……… 16

C) Độ dài đường gấp khúc ……… 17

D) Các bất đẳng thức trong đường tròn……… 19

Bài tập đề nghị chương 2 ……… 21

Chương 3 : Cách vận dụng các bất đẳng thức trong đại sốvào bài toán cực trị về hình học trong mặt phẳng A) Các bất đẳng thức đại số thường dùng……… 22

B) Các ví dụ áp dụng ……… ………… 23

Bài tập đề nghị chương 3……… 25

Chương 4 : Toạ độ và vectơ trong mặt phẳng với bài toán cực trị về hình học A)Toạ độ trong mặt phẳng với bài toán cực trị về hình học trong mặt phẳng ……….… 26

B)Vecto trong mặt phẳng với bài toán cực trị về hình học trong mặt phẳng ……… 28

Kết luận……… 31

LỜI NÓI ĐẦU

1) Lý do chọn đề tài

Trong nhà trường phổ thông , hình học là một môn học khó đối với học

sinh.Bởi hình học là một môn học yêu cầu người học phải có tư duy logic ,

chặt chẽ và có khả năng trừu tượng hoá cao hơn các môn học khác

Học sinh đã được tiếp cận với hình học ngay từ những năm học tiểu học và

được học một cách hệ thông từ ở lớp 6 Học sinh được học cách giải rất nhiều

dạng bài toán nhưng bài toán tìm giá trị cực trị của một đại lượng hình học

nào đó trong mặt phẳng luôn là bài toán gây nhiều khó khăn cho học sinh

Với sự gợi ý hướng dẫn của thầy giáo PHAN HỒNG TRƯỜNG ,cùng với

mục đích tìm hiểu và đưa ra phương pháp chung để giải một bài toán cực trị

về hình học trong mặt phẳng cũng như tìm hiểu cách vận dụng một số bất

đẳng thức trong hình học ,bất đẳng thức trong đại số để giải bài toán cực trị

hình học trong mặt phẳng , em đã lựa chọn đề tài “ Bài toán cực trị về hình

học trong mặt phẳng ”

2) Nhiệm vụ nghiên cứu :

+ Trình bày cơ sở lí thuyết

+ Đề xuất phương pháp

+Xây dựng hệ thống ví dụ bài tập luyện tập

3)Phương pháp nghiên cứu

+ Thống kê

+ Khái quát hoá , trừu tượng hoá

+ Nghiên cứu sách giáo khoa , tài liệu tham khảo , báo toán học và tuổi trẻ

CHƯƠNG 1 :PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỀ HÌNH HỌC

TRONG MẶT PHẲNG

A, Bài toán cực trị về hình học

Xét một đại lượng hình học y (độ dài của một đoạn thẳng,tổng của nhiều đoạn thẳng,chu vi ,diện tích của một hình, độ lớn của một góc,v.v…)

1, Bài toán tìm cực tiểu về hình học

Nếu có một giá trị không đổi y 1 sao cho luôn có y y 1 , đồng thời tồn tại một vị trí hình học của y (hoặc hình chứa y) tại đó y đạt được giá trị y 1 ,thì ta nói rằng y 1 là giá trị nhỏ nhất (cực tiểu ) của y

2, Bài toán tìm cực đại về hình học

Tương tự,nếu có một giá trị không đổi y 2 sao cho luôn có y y 2 , đồng thời tồn tại một vị trí hình học của y (hoặc hình chứa y) tại đó y đạt được giá trị y 2 ,thì ta nói rằng y 2 là giá trị lớn nhất (cực đại ) của y

Bài toán tìm cực tiểu hay cực đại của y được gọi chung là bài toán cực trị về hình học

Người ta thường kí hiệu min y = y 1 (hay y min = y 1 ) ;

Max y = y 2 (hay y max =y 2 ) ;

B,Phương pháp chung để giải một bài toán cực trị về hình học trong mặt phẳng Căn cứ vào đầu bài,người ta thường giải bài toán cực trị về hình học theo ba cách

sau:

1,Cách 1:

Vẽ một hình có chứa đại lượng hình học mà ta phải tìm cực trị , thay các điều kiện của đại lượng đó bằng các điều kiện tương đuơng.Có khi phải chọn một đại lượng nào đó trong hình làm ẩn số,dựa vào mối quan hệ giữa ẩn số đó với các đại lượng khác trong hình, những đại lượng này có thể do đầu bài cho sẵn,nhưng cũng

có thể do ta làm xuất hiện trong quá trình đi tìm lời giải của bài toán.Biểu thị ẩn số theo các đại lượng đã biết, các đại lượng không đổi rồi biến đổi tương đương biểu thức vừa tìm được để cuối cùng xác định được giá trị của đại lượng cần tìm, từ đó suy ra vị trí của hình để đạt được cực trị

Người ta thường dùng cách này khi đầu bài dược cho dưới dạng : “ Tìm một hình thoả mãn các điều kiện cực trị cho trứơc ‟‟

Ví dụ 1: Trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích , tìm tam giác có chu vi

nhỏ nhất

Giải :

Xét các tam giác có chung đáy là BC = a và có cùng điện tích là S

Gọi AH là đuờng cao tương ứng với cạnh đáy BC ta có:

S = 1

2 AH.BC  AH = 2S

a ( không đổi ) Suy ra A di động trên một đường thẳng xy

Song song với BC và cách BC một khoảng bằng 2S

(2) có dấu “=” khi và chỉ khi B‟, A, C thẳng hàng

Khi đó A  A 0 Vì A 0 B = A 0 B‟ = A 0 C nên A 0 BC cân tại A 0

Vậy trong các tam giác có chung một đáy và có cùng diện tích tam giác cân có chu

vi nhỏ nhất

Ví dụ 2 : Cho ABC có các góc B và C nhọn; BC =a, đường cao AH = h Xét các

hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác có M  AB; N  AC; P và Q  BC

 y = a(h-x)

h Gọi S là diện tích hình chữ nhật MNPQ thì :

Ta có thể giải bài toán trên bằng cách áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cauchy

Từ (*) ta nhận thấy : a, h đều là hằng số dương nên S lớn nhất khi và chỉ khi x(h -x) lớn nhất Do x >0; x < h nên h - x > 0, hai số dương x và (h - x) có tổng không đổi

x + (h - x) = h nên tích x(h - x) sẽ lớn nhất khi chúng bằng nhau :

x = h - x hay x = h

2

2,Cách 2

Đưa ra một hình (theo yêu cầu đầu bài) rồi chứng minh mọi hình khác có chứa yếu

tố ( mà ta phải tìm cực trị ) lớn hơn hoặc bé hơn yếu tố tương ứng trong hình đã đưa

3,Cách 3 :

Thay việc tìm cực đại của một đại lượng này bằng việc tìm cực tiểu của một đại

lượng khác , hoặc ngược lại

Ví dụ 4:

Chứng minh rằng trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích , thì tam giác

cân có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhầt

GIẢI

Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC , r là bán kính đường tròn nội tiếp

tâm I , S là điện tích tam giác ABC Ta có :

S = S AIB + S BIC + S CIA

2 (a + b + c )

Vì S không đổi , ta suy ra r sẽ lớn nhất khi và chỉ khi ( a + b + c ) nhỏ nhất , tức là chu vi của tam giác nhỏ nhất Theo kết quả ở ví dụ 1 ,đó là tam giác cân

Ví dụ 5:

Cho hình vuông ABCD cạnh a Xét các hình thang có bốn đỉnh ở trên bốn cạnh của

hình vuông và hai đáy song song với một đường chéo của hình vuông Tìm hình

thang có diện tích lớn nhất và tính diện tích lớn nhất ấy

GIẢI

Gọi EFGH là hình thang có các đỉnh nằm trên các cạnh của hình vuông và hai đáy

FG, EH song song với đường chéo BD của hình vuông

Đặt AE = x  EB =a - x

CF = y  FB =a - y

Dễ thấy DHG = BEF

Gọi S là hiệu diện tích hình vuông và

diện tích hình thang EFGH thì :

S = S AEH + S CFG + 2S BEF

2 +

y 2

2 + ( a - x )( a - y ) = 1

Khi đó các đường chéo EG và HF song song với các cạnh của hình vuông và diện

tích lớn nhất của hình thang phải tìm là a

2

2

(*) CHÖ Ý QUAN TRỌNG

(i) Có trường hợp để tìm cực trị của một đại lượng A , ta chia A thành tổng của

nhiều đại lượng khác :

A = B + C

rồi đi tìm cực trị của B và C, từ đó suy ra cực trị của A ,ta cần chứng minh : “ khi B

đạt cực trị thì C cũng đồng thời đạt cực trị và ngược lại ”

Ví dụ 6:

Cho tam giác ABC vuông tại A , ở bên ngoài tam giác vẽ hai nửa đường tròn có

đường kính AB , AC Một dường thẳng d quay quanh A cắt hai nửa đường tròn theo

thứ tự ở M,N ( khác A ) Xác định vị trí của M,N sao cho chu vi của tứ giác BCNM

lớn nhất

GIẢI Đặt BM = x ; AM = y ; AN = z ; NC = t ;

Thì chu vi tứ giác BMNC = BC + x + y + z + t

Với hai đại lượng bất kì , ta luôn có :

( a - b ) 2 0  a 2 + b 2  2ab

 2 ( a 2 + b 2 )  ( a + b ) 2 (*) Tam giác AMB vuông tại M ; Áp dụng định lí

Pitago ta có :

BM 2 + MA 2 = AB 2 hay

x 2 + y 2 = AB 2

Áp dụng bất đẳng thức (*) : ( x + y ) 2

 2 AB 2

 x + y  AB 2

dấu „„ =‟‟ xảy ra khi và chỉ khi x = y

Tương tự : z + t  AC 2 dấu „„ =‟‟ xảy ra khi và chỉ khi z = t

Khi x = y thì M là điểm chính giữa của cung AB , khi đó tam giác AMB

vuông cân nên 

MAB = 45 o  

CAN = 45 o ( vì M,A,N thẳng hàng )

 N là điểm chính giữa cung AC

Vậy chu vi của tứ giác BCNM lớn nhất khi M,N đồng thời là điểm chính giữa của các cung AB ,AC

( ii) Nếu bài toán đã cho có thể xảy ra nhiều khả năng tương ứng với các trường

hợp khác nhau của hình thì phải tìm cực trị trong từng trường hợp, cuối cùng so sánh các giá trị đó để tìm ra cực trị của bài toán

Khi đó AE là dường cac kẻ từ đỉnh A

của ABC , tức là d  BC Nếu gọi AH

là độ dài đường cao kẻ từ A thì AE = AH ,

do đó BB‟ + CC‟ = BC (1)

Trường hợp 2: d không cắt BC

Gọi M là trung điểm của BC Kẻ MM‟  d Tứ giácBB‟C‟C là hình thang nhận MM‟ làm đường trung bình nên : BB‟ + CC‟ = 2 MM‟

Mà MM‟  AM ( đường vuông góc và đường xiên kẻ từ M tới d )

Do đó : BB‟ + CC‟ lớn nhất khi M‟  A Lúc đó BB‟ + CC‟ = 2 AM và d  AM tại A (2)

Như vậy , ứng với hai trường hợp , ta được hai kết quả (1) và (2) , do đó ta phải so sánh BC với 2AM ,

điều này rõ ràng phụ thuộc vào hình dạng của tam ABC cho trước

vì có hai đường chéo giao nhau tại trung

điểm của mỗi đường, suy ra AB = CN ;

AC chung , 

ACN > 

CAB nên cạnh đối diện với góc



CAB nhỏ hơn cạnh đối diện với góc 

ACN : BC < AN hay BC < 2AM b) 

A = 90 o : Tứ giác ABNC là hình bình hành có một góc vuông nên nó là hình chữ nhật

 Hai đường chéo BC và AN bằng nhau hay BC = 2 AM

c) 

A > 90 o : Chứng minh tương tự trường hợp 1) ta được BC > 2 AM

Từ kết quả trên ta suy ra :

+ Nếu ABC cho trước có 

A < 90 o thì đường thẳng d đi qua A phải dựng là đường thẳng vuông goác với đường trung tuyến AM của ABC

GIẢI

Ta cần xét các trường hợp sau :

a) Trường hợp AB ∥ xy :

Dựng đường tròn (O) qua A ,B và tiếp xúc

với xy tại M ( trước hết dựng trung trực của

AB cắt xy tại M ;Dựng thêm trung trực của

AM cắt

trung trực của MB tại tâm O cần tìm )

Ta sẽ chứng minh góc 

AMB là lớn nhất Thật vậy , nếu lấy một điểm M‟ bất kì

( M‟  M ) trên xy , nối M‟ với A và B ,

AM‟B  

AMB dấu „„=‟‟ xảy ra hi và chỉ khi M  M‟

b) Trường hợp AB  xy

khi đó ta dựng được hai đường tròn

(O) và ( O‟ ) đi qua A , B tiếp xúc với

Trước hết ta hãy giải bài toán :

Cho đường thẳng xy , hai điểm A và B không

nằm trên xy và thuộc cùng một nửa mặt phẳng

có bờ là đường thẳng xy ; AB không song song

và cũng không vuông góc với xy

Dựng đường tròn qua A , B và tiếp xúc với xy

Giả sử ta đã dựng đựơc đường tròn (O) qua A ,

B và tiếp xúc với xy tại M , vì A,B không song song với xy nên AB cắt xy tại một

Vẽ đường tròn (O‟) qua A và B ( tâm

O‟ nằm trên trung trực của AB ).Kẻ tiếp

tuyến IT với (O‟) theo chứng minh trên

Vẽ một đưòng tròn phụ (O‟) bất kì , từ I vẽ tiếp tuyến IT với (O‟) , trên xy

đặt về hai phía của điểm I các đoạn IM 1 = IM 2 = IT Đường vuông góc kẻ từ

M 1 , M 2 cắt đường trung trực của AB tại O 1 ; O 2 ;đó là tâm của hai đường tròn (O 1 ; O 1 M 1 ) và (O 2 ;O 2 M 2 ) đi qua A ,B và tiếp xúc với xy tại M 1 , M 2

Trở lại bài toán đầu ,tương tự trường hợp a)

+ Nếu M‟ nằm trên tia IM 1 mà M‟ ≠ M 1 thì 

AM‟B < 

AM 1 B + Nếu M‟ nằm trên tia IM 2 mà M‟ ≠ M 2 thì 

AO 2 O 1 < 

AO 1 O 2  

AM 2 B < 

AM 1 B Vậy điểm phải tìm tiếp điểm của đường thẳng xy với đường tròn có bán kính nhỏ

hơn trong hai đường tròn qua A,B và tiếp xúc với xy

Cho đường thẳng xy và hai điểm A , B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là xy

a) Tìm điểm M thuộc xy sao cho MA +MB nhỏ nhất

b) Tìm điểm N thuộc xy sao cho | NA - NB| nhỏ nhất

GIẢI

a)

Gọi A‟ là điểm đối xứng của điểm A

qua xy thì A‟ hoàn toàn xác định,

do MA =MA‟ nên ta có :

MA + MB = MA‟ + MB

Nối A‟ với B và áp dụng bất đẳng thức

Tam giác cho ba điểm A‟ , M , B ta có:

Nếu lấy một điểm N bất kì trên xy thì | NA - NB|  AB Giá trị lớn nhất của

| NA - NB| bằng AB khi và chỉ khi B là điểm nằm giữa hai điểm A và N

Suy ra :

+ Nếu AB ∥ xy thì : Không tìm được điểm N thoả mãn yêu cầu bài toán

+ Nếu AB  xy :Gọi N o = AB  xy Thì N là điểm cần tìm

Theo giả thiết , A là điểm nằm giữa

hai điểm M và O nên

2, Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm đến một một đường thẳng , đường xiên nào

có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn và ngựơc lại

Ví dụ 1 :

Cho tam giác ABC có ba goc nhọn.Tìm điểm M ở trong tam giác sao cho

MA.BC + MB.CA + MC.AB đạt giá trị nhỏ nhất

2 ( S AMB + S AMC )  BC.AM

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi E và F

4 ( S ABM + S ACM + S CBM )  MA.BC + MB.CA + MC.AB

Do dó : min ( MA.BC + MB.CA + MC.AB ) = 4 S ABC khi và chỉ khi

AM  BC ; BM  AC ; CM  AB , khi đó M là trực tâm của ABC

Ví dụ 2 :

Cho đường thẳng d và đường tròn (O;R) có khoảng cách từ tâm O đến d là

OH > R Lấy hai điểm bất kì A  d và B  (O;R) Hãy chỉ ra vị trí của A , B sao cho độ dài Ab ngắn nhất và chứng minh điều ấy