Bài toán nhận dạng trong lý thuyết điều khiển

13 Chương 2: Xác định biểu diễn tối thiểu từ các tham số Markov 19 2.1 Một số đặc tính cơ bản ma trận Hankel của tham số Markov19 2.2 Thuật toán SVD cho biểu diễn tối thiểu.. Để có thể h

KHOA TOÁN

HOÀNG THỊ THƠ

BÀI TOÁN NHẬN DẠNG

TRONG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học

TS HÀ BÌNH MINH

Lời cảm ơn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ HÀ BÌNH MINH, người

đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp cho em những kiến thức nềntảng để em hoàn thành bài khóa luận này Thầy cũng là người đã giúp

em ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gianđược làm việc cùng Thầy Em xin bày tỏ tới anh PHẠM VĂN DUẨN,người đã rất nhiệt tình giúp đỡ chỉ bảo và hướng dẫn em trong quá trình

gõ Tex và hoàn thành khóa luận Anh cũng là người cung cấp thêm tưliệu và kiến thức giúp em giải đáp được những điều chưa hiểu và bănkhoăn Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại KhoaToán Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Thầy cô đã trực tiếpgiảng dạy, truyền đạt cho em những kiến thức quý báu về chuyên môncũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua Cuốicùng, em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong giađình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho emtrong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này

Lời cam đoan

Tên tôi là: Hoàng Thị Thơ, sinh viên Đại học khóa 2009 – 2013 lớpK35CN Toán Khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Tôi xincam đoan đề tài: “ Bài toán nhận dạng trong lý thuyết điều khiển”, làkết quả nghiên cứu và thu thập của riêng tôi Các luận cứ, kết quả thuđược trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả khác Nếu có

gì không trung thực trong luận văn tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệmtrước hội đồng khoa học

Mục lục

Mở đầu i

Nội dung chính iii

Chương 1: Hệ động lực tuyến tính 1 1.1 Hệ động lực tuyến tính 1

1.2 Hàm Truyền 5

1.2.1 Phép biến đổi Laplace 5

1.2.2 Một số phép toán với ma trận hàm truyền 7

1.3 Các tham số Markov của hàm truyền 8

1.3.1 Biểu diễn trong không gian trạng thái của hàm truyền 8 1.3.2 Biểu diễn của điều khiển được và quan sát được 10

1.4 Dạng biểu diễn tối thiểu của hệ 12

1.4.1 Tính chất 13

Chương 2: Xác định biểu diễn tối thiểu từ các tham số Markov 19 2.1 Một số đặc tính cơ bản ma trận Hankel của tham số Markov19 2.2 Thuật toán SVD cho biểu diễn tối thiểu 24

2.2.1 Thuật toán SVD 24

2.2.2 Ví dụ 25

2.3 Thuật toán SVD sửa đổi cho biểu diễn tối thiểu 29

2.3.1 Ví dụ 30

Tài liệu tham khảo 36

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Điều khiển là bài toán có ý nghĩa ứng dụng quan trọng trong đờisống, đặc biệt là trong lĩnh vực điện tử, viễn thông và xử lý tín hiệunói riêng Ta thường xây dựng mô hình toán học từ các quá trình vật

lý Có rất nhiều vấn đề cơ bản cần nghiên cứu trong lĩnh vực điềukhiển Một trong số những vấn đề có tính chất kinh điển là bài toánđiều khiển Nó có ứng dụng rộng rãi trong ngành toán ứng dụng,nên từ trước đến nay, nó vẫn luôn là đề tài mà các nhà khoa học rấtquan tâm và nghiên cứu Để có thể hiểu rõ hơn về bài toán này em

đã chọn đề tài “Bài toán nhận dạng trong lý thuyết điều khiển” đểlàm đề tài nghiên cứu cho khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Khái quát về nội dung và phạm vi nghiên cứu

Bài toán điều khiển tuyến tính là phần nền tảng cơ bản và quantrọng của lý thuyết điều khiển nói chung các phát triển mới về kháiniệm điều khiển nâng cao đều có sự gợi ý về tư tưởng từ lý thuyếtđiều khiển tuyến tính

Khóa luận này tôi chọn đề tài bài toán nhận dạng trong lý thuyếtđiều khiển

Nội dung bao gồm 2 phần sau:

• Chương 1: Hệ động lực tuyến tính

• Chương 2: Xác định biểu diễn tối thiểu từ các tham số Markov

• Đây là một dịp để có thể tập dượt nghiên cứu (với sự định hướngcủa giáo viên hướng dẫn) về một nội dung khoa học

• Nắm bắt được những nội dung cơ bản của lý thuyết (Các kháiniệm, các tính chất, các bài toán đã được đặt ra, một số ứngdụng, )

• Biết cách thể hiện những hiểu biết của mình

4 Đối tượng nghiên cứu

Bài toán nhận dạng của hệ tuyến tính thời gian liên tục và các kiếnthức liên quan

5 Phạm vi

• Các tài liệu tham khảo do cá nhân tự tìm hiểu và thu thập thêm

• Thời gian thực hiện khóa luận

Nội dung chính

1 Tên đề tài

Bài toán nhận dạng trong lý thuyết điều khiển

2 Kết cấu của nội dung

Gồm 2 chương:

• Chương 1: Hệ động lực tuyến tính

- Hệ động lực tuyến tính

- Hàm truyền

- Các tham số Markov của hàm truyền

- Dạng biểu diễn tối thiểu của hệ

• Chương 2: Xác định biểu diễn tối thiểu từ các tham số Markov

- Một số đặc tính cơ bản ma trận Hankel của tham số Markov

- Thuật toán SVD cho biểu diễn tối thiểu

- Thuật toán SVD sửa đổi cho biểu diễn tối thiểu

3 Phương pháp nghiên cứu

• Thu thập, tra cứu, phân tích,tổng hợp tài liệu

• Sử dụng phương pháp nghiên cứu của lý thuyết điều khiển

• Phương pháp quan sát, đọc sách

x(t) là vectơ n chiều được gọi là trạng thái của hệ,

u(t) là vectơ m (m ≤ n) chiều được gọi là đầu vào của hệ,

y(t) là vectơ r chiều được gọi là đầu ra của hệ,

x(t0) là điều kiện ban đầu

Ma trận A, B, C và D là các ma trận thực, có số chiều lần lượt là

n × n, n × m, r × n, r × m

Nếu n=r=1, ta nói hệ thống có duy nhất đầu vào và đầu ra hay còngọi là hệ thống SISO

Nếu có nhiều đầu vào và đầu ra ta gọi là hệ thống MIMO.

Hình 1.1: Hình minh họa một hệ động lực tuyến tính.

Ví dụ 1.1.2 Ta xét một ví dụ trong [2] Ta xét mạch điện RLC nối tiếp

có sơ đồ sau:

Hình 1.2: Mạch điện RLC nối tiếp.

Các biến trạng thái được lấy là điện thế tại tụ và dòng qua các điện cảm :





, ta biểu diễntrong mô hình không gian trạng thái của hệ trên bởi hệ:

Định nghĩa 1.1.4 Ma trận eA(t−t1 ) được gọi là ma trận chuyển trạngthái

Tại thời điểm bất kỳ có thể xác định từ trạng thái tại một thời điểmkhác qua ma trận chuyển trạng thái nên không làm mất tính tổng quát,

y(t) = CeA(t)x0 +

Z t 0

CeA(t−s)Bu(s)ds + Du(t) (1.6)Định nghĩa 1.1.5 Ma trận eAt được định nghĩa như trên có dạng :

eA(t−s)Bu(s)ds] + Bu(t) = Ax(t) + Bu(t)

Cũng lưu ý rằng tại t = 0 thì x(0) = x0 Do đó nghiệm x(t) thỏa mãncác điều kiện ban đầu

Thay biểu thức x(t) từ (1.5) vào (1.6) ta được:

y(t) = Cx(t) + Du(t).

1.2 Hàm Truyền

1.2.1 Phép biến đổi Laplace

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử f là một hàm của biến số thực t sao cho tíchphân R∞

0 f (t)e−stdt hội tụ với ít nhất một số phức s, thì khi đó ảnh củahàm f qua phép biến đổi Laplace là hàm F được định nghĩa bởi tíchphân sau

F (s) = L{f(t), }(s) =

Z ∞

0

f (t)e−stdt.Xét hệ động lực tuyến tính mô tả bởi hệ:

.

x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0) = x0 (1.7)y(t) = Cx(t) + Du(t) (1.8)

Cho bx(s), by(s) và bu(s) tương ứng biểu thị cho các phép biến đổi Laplacecủa x(t), y(t), u(t)

Thực hiện phép biến đổi Laplace cho hệ (1.7), (1.8) với x(0) = x0 tađược:

sx(s) − xb 0 = Ax(s) + Bb bu(s) (1.9)

by(s) = Cx(s) + Db u(s)b (1.10)

Từ (1.9), (1.10) ta có:

bx(s) = R(s)x(0) + R(s)Bu(s),b (1.11)b

y(s) = CR(s)x(0) + G(s)u(s).b (1.12)Trong đó :

R(s) = (sI − A)−1, G(s) = C(sI − A)−1B + D

Nếu x(0)=0 thì ta có:

by(s) = G(s)u(s).b

Định nghĩa 1.2.2 Hàm truyền là tỉ số của biến đổi Laplace đầu vào

và đầu ra khi các điều kiện ban đầu bằng0 GọiG(s)là hàm truyền ta có:

G(s) = y(s)b

bu(s),trong đó:

by(s) là biến đổi Laplace đầu vào

bu(s) là biến đổi Laplace đầu ra

Để tiện cho việc tính toán, ma trận hàm truyền G(s) có thể được biểudiễn dưới dạng

G(s) = A B

C D

!

Ví dụ 1.2.3 Hệ (1.1), (1.2) với các ma trận tham số

A = 1 0

0 −3

!, B = 0

1.2.2 Một số phép toán với ma trận hàm truyền

Cho G1(s) và G2(s) là các hàm truyền của hai hệ S1 và S2 Khi đó

eG(s) = −AT −CT

bG(s) ≡ G−1(s) = A − BD−1C −BD−1

D−1C D−1

!

1.3 Các tham số Markov của hàm truyền

1.3.1 Biểu diễn trong không gian trạng thái của hàm truyền

Định nghĩa 1.3.1 Cho G(s) là ma trận hàm truyền có cỡ r × m Một

bộ các ma trận (A, B, C, D) thỏa:

G(s) = C(sI − A)−1B + D (1.13)được gọi là một biểu diễn trong không gian trạng thái của G(s)

Định nghĩa 1.3.2 Hệ động lực cho bởi:

.

x(t) = Ax(t) + Bu(t), (1.14)y(t) = Cx(t) + Du(t), (1.15)được gọi là điều khiển được (controllable) nếu với bất kỳ trạng thái khởitạo x(0) = x0 và trạng thái kết thúc x1, t1 > 0 đều tồn tại đầu vào usao cho thỏa mãn x(t1) = x1

Điều này được chứng minh tương đương với ma trận điều khiển

được gọi là quan sát được (observable) nếu với bất kỳ t1 > 0, trạng tháikhởi tạo x(0) = x0 có thể được xác định từ đầu vào u(t) và đầu ra y(t)trong đoạn [0, t1]

Điều này được chứng minh tương đương với ma trận quan sát OB =

1.3.2 Biểu diễn của điều khiển được và quan sát được

Cho ma trận truyền được viết lại như sau:

Cặp ma trận (A, B) là điều khiển được ứng với ma trận hàm truyềnG(s) được gọi là biểu diễn điều khiển được và có kích thước m × h.Khai triển Taylor G(s) :

Định nghĩa 1.3.4 Ma trận {Hi} xác định ở trên được gọi là tham sốMarkov của hàm truyền G(s)

Chú ý 1.3.5 Tham số Markov có thể được viết:

1/4s2 − 1/4

s3 − 1 .Biểu diễn điều khiển được và biểu diễn quan sát được của G(s) lần lượtlà

1.4 Dạng biểu diễn tối thiểu của hệ

Định nghĩa 1.4.1 Một biểu diễn trong mô hình không gian trạng thái(A, B, C, D) của G(s) gọi là một biểu diễn tối thiểu nếu ma trận A cókích thước nhỏ nhất có thể, tức là, nếu (A0, B0, C0, D0) là một biểu diễnkhác của G(s) thì khi đó số chiều của A0 lớn hơn hoặc bằng số chiều của

A

Cấp của A được gọi là bậc McMillan.

Ví dụ 1.4.2 Quay trở lại ví dụ 1.2.3 Ứng với hàm truyềnG(s) = 7s + 23

Một số tính chất của biểu diễn tối thiểu

Định lý 1.4.3 (Định lý khai triển Kalman)

Xét hệ động lực:

.

x(t) = Ax(t) + Bu(t) (1.26)y(t) = Cx(t) + Du(t) (1.27)Tồn tại một phép biến đổi không suy biến x = T x¯ sao cho:

Định lý 1.4.4 Biểu diễn trong mô hình không gian trạng thái (A, B,

C, D) ứng với ma trận hàm truyền G(s) là một biểu diễn tối thiểu nếu

có duy nhất cặp (A, B) điều khiển được và (A,C) là quan sát được

Chứng minh Ta chứng minh điều kiện cần bằng phản chứng

Nếu cặp (A, B) không điều khiển được hoặc cặp (A, C) không quan sátđược, từ định lý khai triển Kalman 1.4.3 tồn tại một biểu diễn với sốchiều nhỏ hơn đảm bảo tính điều khiển được và quan sát được Điều nàymâu thuẫn giả thiết

Ngược lại cho(A, B, C, D) và(A0, B0, C0, D0) là hai sự biểu diễn tối thiểucủa G(s) Giả sử có n0 < n với n, n0 tương ứng là cấp của ma trận A, A0.Hai biểu diễn của cùng một hàm truyền rõ ràng có chung các tham sốMarkov tức là

CAi−1B = C0(A0)i−1B0.Điều này dẫn tới

OMCM = OM0 CM0 , (1.29)

ở đây OM và CM tương ứng là ma trận quan sát và ma trận điều khiểncủa biểu diễn (A, B, C, D) còn O0 và C0 tương ứng là ma trận quan

sát và ma trận điều khiển của biểu diễn (A0, B0, C0, D0).

Lại có rank(OMCM) = n và rank(O0MCM0 ) = n0, n0 < n Điều này mâuthuẫn do theo (1.29) rank(OMCM) = rank(O0MCM0 )

Định lý 1.4.5 Nếu (A, B, C, D) và (A0, B0, C0, D0) là hai biểu diễn tốithiểu của hàm truyền G(s) thì tồn tại ma trận T sao cho:

B0 = T−1B, C0 = CT, D0 = D (1.31)

T được viết rõ hơn

T = (OTMOM)−1OTMO0M (1.32)hoặc

T = CM(CM0 )T[CM0 (CM0 )T]−1 (1.33)

Ở đây CM và OM tương ứng là ma trận điều khiển được và ma trận quansát được của biểu diễn (A, B, C, D) CM0 và O0M tương ứng là ma trậnđiều khiển được và ma trận quan sát được của biểu diễn (A0, B0, C0, D0)

Chứng minh Cho T là ma trận liên hệ giữa ma trận OM và OM0 , tức Tthỏa mãn:

như nhau Ta có:

OMCM = O0MCM0 (1.36)

CM = (OMT OM)−1OMT OM0 CM0 = T CM0 (1.37)Tức là T là nghiệm của phương trình:

OMT OMACM = OMT OM0 A0CM0 (1.40)

Ta suy ra

ACM = T A0CM0 , (1.41)(T được xác định bởi (1.32))

Từ (1.33) suy ra

ACM(CM0 )T(CM0 (CM0 )T)−1 = AT (1.42)

Từ (1.41)và (1.42) ta được:

AT = T A0

= 3s − 4

s2 − 3s + 2

Do cặp (A, B) điều khiển được và (A, C) quan sát được, biểu diễn

(A, B, C, D) là một biểu diễn tối thiểu

là một biểu diễn tối thiểu.

Mối quan hệ: Hai biểu diễn này này liên quan tới ma trận T:

Xác định biểu diễn tối thiểu từ các tham số Markov

Trong phần này ta sẽ xác định một biểu diễn tối thiểu từ tập hợptham số Markov

(i) rank(Mk) ≤ rank(Mk+1) với ∀k.

(ii) Nếu (A, B, C, D)là biểu diễn bất kì có cỡ làn, thìrank(Mk)=rank(Mn)với ∀k ≥ n.

(iii) Cho (A, B, C, D) và (A0, B0, C0, D0) là hai biểu diễn của G(s) có cỡ

(ii) Để chứng minh được (ii) ta dựa vào ma trận Hankel Mk ta có:

rank (Mk) = rank (Mn) = rank (OMCM)(iii) Gọi (A0, B0, C0, D0) sự thể hiện khác của G(s) có bậc n0 và r =max (n, n0) Do đó, khi sự thể hiện của hai tham số Markov ta có:

Mr0 = Mr

Từ (ii) ta suy ra,

rank (Mn) = rank (Mr) = rank (Mr0) = rank (Mn0)

(iv) Chứng minh bằng phản chứng Giả sử tồn tại sự một thể hiện tốithiểu (A, B, C, D) với bậc d0 < d Mk = d1 < d0

Từ hai kết quả trước ta có max(rank(Mk)) = d1 < d0

(v) Được suy ra từ (iii) và (iv).

Kết quả trên, cung cấp cho chúng ta một số phương pháp tìm bậc

McMillan của ma trận hàm truyền Một cách đơn giản khi ta tìm một

biểu diễn của G(s) là tìm rank(OMCM), sử dụng SVD Nếu biểu diễn

của CG và OG tương ứng là điều khiển được và quan sát được tuân

theo cấu trúc của hàm Lyapunov (xem ở chương 7) thì ta biết bậc của

McMillan với việc tìm rank(CGOG)

2.2 Thuật toán SVD cho biểu diễn tối thiểu

Phương pháp này được tìm ra bởi (Ho và Kalman (1966), Zeiger và

McEwen (1974), Kung (1978)), được gọi là phương pháp SVD để tính

ma trận Hankel Để đơn giản cho việc tính toán, ta giả sử D = 0

2.2.1 Thuật toán SVD

Đầu vào: Các tham số Markov {H1, H2, · · · , H2N +1}

Đầu ra: Ma trận A, B, C của biểu diễn tối thiểu

Bước 1: Tìm SVD của ma trận Hankel

1, s

1 2

2, · · · , s

1 2

p, 0, · · · , 0).Bước 3: Xác định:

U1= Một khối N với cột p của U0

U2= Một khối cuối N với cột p của U0

U(1)= Một khối đầu với cột p của U0

V(1)= Một khối cuối với cột p của V0

Ta lấy một ví dụ đơn giản cho một đầu vào và một đầu ra ChoN = 3

và giả thiết tham số Markov:

{H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7} = {73, 574, 4318, 32816, 249260, 1892808, 14374504}.

Ta sử dụng Matlab để tính toán

%Thuật toán SVD cho biểu diễn tối thiểu

%Thuật toán 9.3.1

%Đầu vào Tham số Markov : {H1, H2 H2N+1}

% (N should be at least equal to the McMillan degree)

%Đầu ra Ma trận A, B, và C của biểu diễn tối thiểu

2.3 Thuật toán SVD sửa đổi cho biểu diễn tối thiểu

Đầu vào: Các tham số Markov {H1, H2, · · · , H2R}; R ≥ n

Đầu ra: Ma trận A, B, C của biểu diễn tối thiểu

Bước 1: Xác định ma trận Hankel MR và MR1

Bước 2: Tìm SVD của MR:

n UnTMR1VnΣ−

1 2 n

B = Σ

1 2

nVnTEm0

C = E0TrUnΣ

1 2

%Thuật toán sửa đổi SVD cho biểu diễn tối thiểu

%Đầu vào Tham số Markov { H1, H2 H2R }, R > n

%Đầu ra A, B, C của biểu diễn tối thiểu

Kết quả của Matlab ta có Có R = n = 2 Cho m = 1, r = 1.

3 = 

−8.6502 1.8993 −1.3349Kiểm tra lại:

• Chương 2: Đưa ra hai thuật toán xác định biểu diễn tối thiểu từ cáctham số Markov Đó là thuật toán SVD và SVD sửa đổi, trình bàymột ví dụ khi sử dụng về hai thuật toán này.

• Được học hỏi và sử dụng phần mềm LaTeX để trình bày luậnvăn, đặc biệt em được học hỏi và sử dụng phần mềm Matlab tínhtoán: Tính được hạng của ma trận, tổng và tích hai ma trận, tínhhai thuật toán SVD và SVD sửa đổi một cách đơn giản và nhanhnhất

• Thông qua quá trình thực hiện luận văn em đã hiểu sâu hơn vềmột bài toán điều khiển, về hệ tuyến tính thời gian liên tục, hàmtruyền, tính quan sát được, tính điều khiển được, dạng biểu diễntối thiểu của hệ, thế nào là tham số Markov của hàm truyền.Biết vận dụng chúng để lấy ví dụ và làm các bài tập Ngoài ra

nó còn giúp em củng cố lại các kiến thức về ma trận: hạng của

ma trận, giá trị riêng, giá trị vector, mà em đã được học

• Đặc biệt, sau khi nghiên cứu về đề tài này em còn biết được ứngdụng của bài toán điều khiển trong thực tế rất quan trọng Từbài toán thực tế ta có thể chuyển về mô hình vật lý, mô hìnhtoán học để việc tính toán được dễ dàng và cho ra các kết quảtối ưu nhất Nó mang lại lợi ích kinh tế cao trong thực tiễn

2 Những mặt hạn chế chưa làm được:

Do lượng kiến thức của sinh viên còn hạn chế và mới bắt đầu làmquen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏinhững thiếu sót Nhiều vấn đề liên quan tới lý thuyết điều khiển của

hệ tuyến tính thời gian liên tục còn chưa tìm hiểu được Các bàitoán nhận dạng khác nhau.Chưa đưa ra được nhiều ví dụ cụ thể.Ngoài sự nỗ lực học hỏi và tìm tòi của bản thân, đề tài của em đã đượchoàn thành dưới sự giúp đỡ, hướng dẫn chỉ bảo tận tình của thầy giáo

HÀ BÌNH MINH và ý kiến đóng góp của các thầy cô trong khoa Toán

và các bạn sinh viên Khóa luận tốt nghiệp cơ bản đã đạt được mục đích

đề ra Nó đã mang lại sự cần thiết và những lợi ích của việc đào tạo

Cử nhân ngành Toán nói riêng, góp phần trong sự phát triển của Toánhọc Tuy nhiên do thời gian có hạn và mới bắt đầu làm quen với phươngpháp nghiên cứu khoa học nên đề tài này cũng không tránh khỏi thiếusót Em rất mong được sự chỉ bảo, đóng góp ý kiến của thầy cô và cácbạn để đề tài này được hoàn thiện hơn