Bài toán điều khiển cho hệ thời gian tuyến tính rời rạc (theory of fractional caculus and applications ) (to differential fractional equations)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘIKHOA TOÁN ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CHO HỆ THỜI GIAN TUYẾN TÍNH RỜI RẠC THEORY OF FRACTIONAL CACULUS AND APPLICATIONS TO DIFFERENTIAL FRAC

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

KHOA TOÁN

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP

ĐỀ TÀI BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CHO HỆ THỜI GIAN

TUYẾN TÍNH RỜI RẠC (THEORY OF FRACTIONAL CACULUS AND APPLICATIONS )

(TO DIFFERENTIAL FRACTIONAL EQUATIONS)

Họ tên sinh viên thực hiện : NGUYỄN THỊ HẰNG

Giảng viên hướng dẫn : TS HÀ BÌNH MINH

HÀ NỘI - 2013

Trang 2

Mục lục

Lời nói đầu iii

Chương 1: Nghiên cứu cấu trúc nghiệm và hàm truyền của hệ thời gian tuy rời rạc 1 1.1 nghiệm của hệ thời gian tuyến tính rời rạc 1

1.1.1 Định nghĩa: hệ rời rạc có dạng 1

1.1.2 Tính chất 4

1.2 Hàm Et(u, a), Ct(u, a), St(u, a) 7

1.2.1 Định nghĩa 7

1.3 Biến đổi Laplace 12

Chương 2: Lý thuyết về giải tích phân thứ (Theory of fractional caculus) 16 2.1 Tích phân Riemann-Liouville 16

2.1.2 Ví dụ 17

2.1.4 Biến đổi Laplace 23

2.2 Đạo hàm Riemann-Liouville 24

2.2.2 Ví dụ 25

2.2.4 Biến đổi Laplace 29

Chương 3: Phương trình vi phân phân thứ (Fractional differential equations) 30 3.1 Phương trình vi phân thuần nhất 30

3.1.1 Phương trình P (Dν)y(t) = 0 30

3.1.2 Phương trình P (D)y(t) = 0 34

Trang 3

3.1.3 Hệ phương trình DνY (t) = AY (t) 36

3.2 Phương trình vi phân không thuần nhất 43

3.2.1 Hàm Green 43

3.2.2 Phương trình P (Dν)y(t) = x(t) 45

3.2.3 Hệ phương trình DνY (t) = AY (t) + X(t) 47

3.2.4 So sánh phương trình vi phân phân thứ với phương trình vi phân thường 52

Kết luận 54

Tài liệu tham khảo 55

ii

Trang 4

Lời nói đầu

Lý thuyết điều khiển được phát triển từ khoảng 150 năm trướcđây khi sự thực hiện điều khiển cơ học bắt đầu cần được mô tả vàphân tích một cách chính xác qua mô hình toán học Hiện nay lýthuyết điều khiển tiếp tục được phát triển mạnh mẽ và được xem làmột lĩnh vực có nhiều ứng dụng trong thực tiễn

Lý thuyết điều khiển tuyến tính là phần nền tảng cơ bản và quantrọng của lý thuyết điều khiển nói chung: các phát triển mới về kháiniệm điều khiển nâng cao đều có sự gợi ý về tư tưởng từ lý thuyếtđiều khiển tuyến tính

Trong đồ án này em trình bày về bài toán điều khiển của hệ thờigian tuyến tính rời rạc

Nội dung đồ án bao gồm các phần sau:

1 Chương 1:

Sau một số bước biến đổi ta được

T (h) =

Z h 0

Trang 5

Lời nói đầu Lời nói đầu

T =√

π0D−1/2h f,

được gọi là phương trình Abel

Đồ án này giới thiệu về tích phân và vi phân phân thứ theo nghĩa

do Riemann-Liouville đề ra và ứng dụng để giải các phương trình viphân phân thứ autonomous Đồ án này gồm có ba phần

1 Một số hàm đặc biệt

2 Lý thuyết về giải tích phân số (Theory of fractional caculus)

3 Phương trình vi phân phân thứ

(Fractional differential equations)

Báo cáo này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS

HÀ BÌNH MINH Em xin chân thành cám ơn thầy

Hà Nội, Ngày 5 tháng 3 năm 2013

Sinh viênNGUYỄN THỊ HẰNG

iv

Trang 6

Chương 1

Nghiên cứu cấu trúc nghiệm và hàm truyền của hệ thời gian tuy rời rạc

1.1 nghiệm của hệ thời gian tuyến tính rời rạc

Ví dụ 1.1.4 Tính Γ(5)

Trang 7

CHƯƠNG 1 NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC NGHIỆM VÀ HÀM TRUYỀN CỦA HỆ THỜI GIAN

TUY RỜI RẠC

Hình 1.1: Đồ thị hàm số Gamma

Γ(5) =

Z ∞ 0

t4e−tdt

= 4

Z ∞ 0

t3e−tdt

= 4.3

Z ∞ 0

t2e−tdt

= 4.3.2

Z ∞ 0

te−tdt

= 4.3.2.1

Z ∞ 0

e−tdt

= 4! = 24

Vậy Γ(5) = 5!

Định nghĩa 1.1.5 Hàm Bêta đối với biến x > 0, y > 0, ký hiệu là

B(x, y), là tích phân sau đây

Trang 8

Trang 9

tx−1(1 + t)x+ydt, x, y > 0

tx−1e−tdt Sử dụngphương pháp tích phân từng phần ta được

Γ(x + 1) =

Z ∞ 0

txe−tdt

= −e−ttx+

Z ∞ 0

xtx−1e−tdt

= x

Z ∞ 0

tx−1e−tdt

= xΓ(x)

Vậy Γ(x + 1) = xΓ(x)

Trang 10

ux−1e−udu

Z ∞ 0

vy−1e−vdv

=

Z ∞ 0

e−u−vux−1vy−1dudv

Đổi biến bằng cách đặt u = zt, v = z(1 − t) ta sẽ được

Γ(x)Γ(y) =

Z ∞ z=0

Z 1 t=0

e−z(zt)x−1(z(1 − t))y−1zdzdt

=

Z ∞ z=0

e−zzx+y−1dz

Z 1 t=0

Trang 11

TUY RỜI RẠC

Vậy B(x, y) = 2

Z π2

ξx−1(1 + ξ)x+ydξ

Vậy B(x, y) =

Z ∞ 0

ξx−1(1 + ξ)x+ydξ

• Tính chất (8): Theo như tính chất (4) ở trên,

= Γ(x)Γ(x + 1) (Γ(y).Γ(1 − y))

= 1

x.

πsin(πy) (Sử dụng tính chất (1), (3) ở trên)

· Γ

12

Trang 12

1.2 Hàm E t (u, a), C t (u, a), S t (u, a)

TUY RỜI RẠC

Chú ý 1.1.10 Vì hàm Gamma có thể được coi là hàm mở rộng củahàm giai thừa nên ta có thể mở rộng định nghĩa tổ hợp đại số nhưsau

−xξ

1.2 Hàm Et(u, a), Ct(u, a), St(u, a)

Có thể coi đây là ba hàm số mở rộng tương ứng của các hàm

eat, cos(at) và sin(at) trong giải tích phân thứ

at

1 +

(at)22! + · · ·

ξu−1ea(t−ξ)dξ

Ví dụ 1.2.4 Nếu a = 0, u > 0 thì

Trang 13

TUY RỜI RẠC

Et(u, 0) = 1

Γ(u)

Z t 0

ξu−1e0(t−ξ)dξ

Γ(u)

Z t 0

∞

X

k lẻ

(−1)(k−1)/2(αt)kΓ(u + k + 1)





Ta ký hiệu phần thực và phần ảo của Et(u, iα) tương ứng là Ct(u, α)

và St(u, α) Ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 1.2.6 Hàm Ct(u, a) với u, a ∈ R được định nghĩa nhưsau

∞

X

k=0

(−1)k(at)2kΓ(u + 2k + 1).

Trang 14

ξu−1cos a(t − ξ)dξ

Định nghĩa 1.2.9 Hàm St(u, a) với u, a ∈ R được định nghĩa nhưsau

∞

X

k=0

(−1)k(at)2k+1Γ(u + 2k + 2).

3

3! +

(at)55! + · · ·

Trang 15

= Et(u − p, a)

Vậy

DpEt(u, a) = Et(u − p, a), p = 0, 1, 2,

(4) Ta có

Trang 16

∞

X

k=0

(at)kΓ(u + k + 2)

∞

X

k=0

(at)kΓ(u + k + p + 1)

∞

X

k=p

(at)kΓ(u + k + 1)

Trang 17

1.3 Biến đổi Laplace

(6) Et(u, ia) = Ct(u, a) + iSt(u, a)

Chứng minh Chứng minh tương tự như đối với hàm Et(u, a)

f (t)e−stdt, s ∈ R,

với điều kiện tích phân ở vế phải tồn tại

1.3.2 Tính chất

Một số tính chất của biến đổi Laplace

Mệnh đề 1.3.2 Giả sử F, G là các biến đổi Laplace tương ứng củahai hàm f, g Khi đó,

1 Tính tuyến tính của biến đổi Laplace

L{af + bg}(s) = aF (s) + bG(s), s ∈ R

Trang 18

TUY RỜI RẠC

2 Biến đổi Laplace của đạo hàm

Giả sử hàm số f có đạo hàm đến cấp n, ký hiệu là f(n)(t) Khiđó,

4 Biến đổi Laplace của tích chập

Tích chập của hai hàm f, g, ký hiệu là f ∗ g, là tích phân

ξu−1ea(t−ξ)dξ

=

1Γ(u)t

Vậy biến đổi Laplace của hàm Et(u, a), u > 0 là

L{Et(u, a), u > 0} = su 1

(s − a).

Trang 19

TUY RỜI RẠC

Ví dụ 1.3.4 Tương tự như hàm Et(u, a), u > 0 thì các hàm

Ct(u, a), u > 0và St(u, a), u > 0chính là tích chập của hàm 1

Sau đây là biến đổi Laplace của một số hàm số cơ bản

Định lý 1.3.5 Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản

Trang 20

Trang 21

D−νt f (t) := 1

Γ(ν)

Z t

0 (t − ξ)ν−1f (ξ)dξ, t > 0, (2.1)trong đó ν > 0

Chú ý 2.1.2 Trường hợp ν = n là số nguyên dương thì tích phânRiemann-Liouville phân thứ cấp n chính là tích phân bội n của hàm

f theo nghĩa thông thường Thật vậy,

Trang 22

2.1 Tích phân Riemann-Liouville

CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT VỀ GIẢI TÍCH PHÂN THỨ

(THEORY OF FRACTIONAL CACULUS)

Trang 23

1 Đổi thứ tự trong tích phân phân thứ

Định lý 2.1.7 (Công thức Dirichlet) Cho F là hàm số liêntục đều trong không gian Euclid và cho λ, ν, µ > 0 Khi đó

Trang 24

2 Tính giao hoán trong tích phân phân thứ

Ta sử dụng Công thức Dirichlet để chứng minh định lý sau của

Trang 25

Thay vào công thức (∗) ta được

Ví dụ 2.1.9 Tính tích phân D−νEt(u, a), u > 0

Theo định nghĩa ở phần trên

Trang 26

5 2

2 · 92 · 72 · 52 · 32 · 12Γ(12)t

5 2

10395Γ(12)t

5 2

2 · 92 · 72 · 52 · 32 · 12Γ(12)t

5 2

10395Γ(12)t

5 2

3 Đạo hàm qua tích phân phân thứ

Ký hiệuDp−1f là đạo hàm cấpp−1 của hàm sốf (t) Định lý saunói về đạo hàm của một tích phân phân thứ và tích phân phânthứ của đạo hàm của một hàm số

Định lý 2.1.11 Cho p là số nguyên dương và Dp−1f liên tụctrên J, ν > 0 khi đó,

Trang 27

kf (0)

Chứng minh (Xem trong [2, trang 62-63])

Hệ quả 2.1.12 Nếu hàm số f có đạo hàm liên tục trên J Cho

p là một số nguyên dương và ν > p Khi đó với mọi t ∈ J,

4 Công thức Leibnitz trong tích phân phân thứ

Công thức Leibnitz trong giải tích cổ điển là

!

[Dktp][D−ν−kf (t)]

Trang 28

Chứng minh Nếuf là hàm số thuộc lớpC, g = tp, p ∈ Nvàν > 0

D−ν[teat] = tEt(ν, a) − νEt(ν + 1, a), ν > 0

2.1.4 Biến đổi Laplace

Nếu f là hàm số thuộc lớp C, tích phân phân thứ bậc ν của hàm

Trang 29

2.2 Đạo hàm Riemann-Liouville

L{D−νf }(s) = 1

Γ(ν)L{tµ−1}L{f}

= s−νF (s), ν > 0,

trong đó F (s), s ∈R là biến đổi Laplace của hàm f

Định lý 2.1.16 Biến đổi Laplace của tích phân phân thứ một sốhàm số

Dνf (t) := Dm[D−(m−ν)f (t)], ν > 0, t > 0

Chú ý 2.2.2 Nếu ν = n ∈ N thì đây chính là đạo hàm cấp n theonghĩa thông thường vì khi đó m = n, Dnf = Dm[D0f ] = Dmf

Trang 30

Trang 31

Ví dụ 2.2.9 Tính tích phân DνEt(u, a), u > 0

Theo như phần trước

Trang 32

Giả sử 0 < ν < 1 Khi đó, m = 1 và

Dν[teat] = Dm[tEt(m − ν, a) − (m − ν)Et(m − ν + 1, a)]

= D[tEt(1 − ν, a) − (1 − ν)Et(−ν, a)]

1 Công thức Leibnitz trong đạo hàm phân thứ

Tương tự như tích phân phân thứ ta cũng có công thức Leibnitzđối với đạo hàm phân thứ

Định lý 2.2.11 (Công thức Leibnitz) Nếu f ∈ C và p là một

! mX

j=0

mj

!

[Dj+ktp][Dν−j−kf (t)], ν > 0,

trong đó m là số nguyên bé nhất mà lớn hơn hoặc bằng ν

Hệ quả 2.2.12 Nếu f ∈ C và p là một số nguyên dương bất kỳthì

Trang 33

Vậy

Dν[teat] = tEt(−ν, a) + νEt(−ν + 1, a)

2 Tính giao hoán trong đạo hàm phân thứ

Định lý 2.2.15 Cho hàm f (t) ∈ C, tức là hàm f (t) có dạng

f (t) = tλη(t)

hoặc

f (t) = tλln t η(t),

trong đó λ > −1, η(t) là hàm nguyên có bán kính hội tụ R > 0

Cho X là một số dương nhỏ hơn R Khi đó,

Trang 34

2.2.4 Biến đổi Laplace

Nếu f (t) ∈ C thì biến đổi Laplace của hàm Dνf (t) là

Trang 35

được gọi là phương trình vi phân thứ bậc (3, 2).

Phương trình trên có thể được tổng quát hóa như sau

Xét phương trình vi phân

[Dnν + a1D(n−1)ν + · · · + anD0]y(t) = 0, (3.1)hoặc có thể viết gọn thành

P (Dν)y(t) = 0,

trong đóP (x) = xn+a1xn−1+· · ·+anx0 được gọi là đa thức đặc trưngcủa phương trình (3.1) và P (Dν) = Dnν + a1D(n−1)ν + · · · + anD0.Phương trình vi phân (3.1) được gọi là phương trình vi phân bậc

sm−k−1Dk−m+νy(0),

Trang 36

3.1 Phương trình vi phân thuần nhất

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ (FRACTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS)

trong đó, m là số nguyên bé nhất lớn hơn hoặc bằng ν Ví dụ

L{Dy(t)} = sY (s) − y(0)L{D1/2y(t)} = s1/2Y (s) − D−1/2y(0)

Định lý 3.1.2 Cho P (x) = xn + a1xn−1 + · · · + anx0 là đa thứcđặc trưng của phương trình (3.1) Khi đó, y(t) = L−1{P−1(sν)} lànghiệm của phương trình (3.1)

Chứng minh (Xem trong [2, Trang 140-141])

Ví dụ 3.1.3 Giải phương trình

[D2ν − 3Dν + 2]y(t) = 0, (3.2)với ν = 1

2.

Đa thức đặc trưng của phương trình (3.2) là

P (x) = x2 − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2) (3.3)Theo Định lý 3.1.2 thì nghiệm của phương trình là

Trang 37

2.

P (x) = x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 (3.5)Theo Định lý 3.1.2 thì nghiệm của phương trình là

Trang 38

Định lý 3.1.5 Cho α1, α2, · · · , αn với αi 6= αj, ∀i 6= j là các khôngđiểm của P (x) và đặt A−1m = DP (αm), m = 1, 2, 3, · · · , n Khi đó,

là nghiệm của phương trình (3.1)

[D2ν − 3Dν + 2]y(t) = 0, (3.6)với ν = 1

2.

trong đó n = 2, q = 2, Am = DP (αm) và αm là không điểm thứ m

của đa thức đặc trưng P (x), tức là,

Trang 39

Chú ý 3.1.8 Toán tử Dnν khác với toán tử Dnν

Vậy D2νe(t) 6= D2νe(t)

Phương trình (3.8) cũng có phương trình đặc trưng là

P (x) = xn+ a1xn−1+ · · · + anx0

Định lý 3.1.10 Giả sử α1, α2, · · · , αr với αi 6= αj, ∀i 6= j là cáckhông điểm của P (x) với các bội tương ứng là m1, m2, · · · , mr Khiđó,

Trang 40

[D2ν − 2Dν + 1]y(t) = 0, (3.9)với ν = 1

2.

P (x) = x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 (3.10)Theo Định lý 3.1.10 thì nghiệm của phương trình là

2.

Trang 41

Ta có thuật toán giải như sau

3 Bước 1: Ta viết A = QΛQ−1 với Q là ma trận dạng Jordan ,

Trang 42

là nghiệm của hệ ban đầu

Giả sử ma trận A có các giá trị riêng λ1, λ2, · · · , λr với r ≤ n vớicác bội tương ứng là m1, m2, · · · , mr (m1 + m2 + · · · + mr = n).Các giá trị riêng này đồng thời cũng là các giá trị riêng của ma trậnJordan Q

Với mỗi giá trị riêng λj, (1 ≤ j ≤ r) thì có một ma trận Jordan

Trang 43

Định dạng
Số trang	60
Dung lượng	375,48 KB

Bài toán điều khiển cho hệ thời gian tuyến tính rời rạc (theory of fractional caculus and applications ) (to differential fractional equations)

Bài toán điều khiển cho hệ thời gian tuyến tính rời rạc (theory of fractional caculus and applications ) (to differential fractional equations)