Bài toán biên ban đầu đối với phương trình loại hypecbolic

Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán liên quan đến phương trình vi phân đạo hàm riêng.. Ra đời từ những năm 60, phương trình đạo hàm riêng đã nhanh chóng khẳng

MỞ ĐẦU

Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn Sự phát triển của

Toán học được đánh dấu bởi những ứng dụng của Toán học vào việc giải

quyết các bài toán thực tiễn Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất

nhiều bài toán liên quan đến phương trình vi phân đạo hàm riêng

Ra đời từ những năm 60, phương trình đạo hàm riêng đã nhanh chóng

khẳng định được vị trí và tầm quan trọng của mình trong khoa học nói chung

và Toán học nói riêng Đặc biệt phương trình đạo hàm riêng loại Hypecbolic

có ứng dụng rất lớn trong khoa học và trong thực tiễn

Chúng ta biết rằng, việc nghiên cứu tính chất định tính và việc tìm

nghiệm của phương trình đạo hàm riêng loại Hypecbolic rất khó khăn và phức

tạp Với khả năng ứng dụng rộng rãi trong khoa học và trong thực tiễn, vì vậy

các nhà Toán học đã tập trung nghiên cứu và tìm được nhiều phương pháp để

giải các bài toán về phươg trình đạo hàm riêng loại Hypecbolic

Được sự hướng dẫn tận tình của T.S Trần Văn Bằng cùng với lòng yêu

thích môn này em xin mạnh dạn nghiên cứu đề tài: Bài toán biên ban đầu đối

với phương trình Hypecbolic

Khoá luận gồm 3 phần

Phần I : Mở đầu

Phần II : Nội dung

*Chương 1 : Những kiến thức chẩn bị

*Chương 2 : Phương trình loại Hypecbolic Bài toán Cauchy

*Chương 3 : Phương trình loại Hypecbolic Bài toán hỗn hợp

*Chương 4: Một số bài toán áp dụng Phần III : Kết luận

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân

thành tới các thầy giáo và cô giáo trong khoa Toán – Trường Đại Học Sư

phạm Hà Nội 2, đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo trong suốt thời gian tôi theo học

tại khoa và trong thời gian làm khóa luận

Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.S Trần Văn Bằng –

Giảng viên khoa Toán - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, người trực tiếp

hướng dẫn tôi, luôn tận tâm chỉ bảo và định hướng cho tôi trong suốt quátrình

làm khóa luận để tôi có được kết quả như ngày hôm nay

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản thân

còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót rất

mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và bạn

đọc

Hà Nội, tháng 4 năm 2010

Sinh viên

Bùi Thị Thuỷ

Chương 1 Những kiến thức chuẩn bị Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính

1.1 Các khái niệm tổng quát

1.1.1 Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng

Phương trình liên hệ giữa các ẩn hàm u1,…,uN, các biến số độc lập x1,…,

xn và các đạo hàm riêng của các ẩn hàm được gọi là phương trình đạo hàm

ở đây F là một hàm số của nhiều biến số

Cấp của phương trình đạo hàm riêng là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt

trong phương trình

Ví dụ :

22

x y

u

x y

  là phương trình đạo hàm riêng cấp 2

1.1.2 Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng cấp 1

Phương trình đạo hàm riêng cấp 1 có dạng

Nghiệm của phương trình (1.1) là hàm uu x x 1, , ,2 x nxác định và liên

tục với các đạo hàm riêng

   trong một miền biến thiên nào đấy

của các biến số x x1, 2, x và biến phương trình (1.1) thành đồng nhất thức Ở n

đây ta giả thiết các giá trị của x x1, 2, x mà tại đó hàm u xác định như các giá n

trị tương ứng của hàm u và các đạo hàm của nó nằm trong miền xác định của

được gọi là phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 1 (không thuần nhất )

Nếu vế phải của phương trình (1.2) đồng nhất bằng không ( f 0) còn

các hàm số Xi (i=1, n ) không phụ thuộc hàm số phải tìm u, thì phương trình

Giả sử rằng X1,X2,…,Xn xác định và liên tục cùng với các đạo hàm riêng

cấp 1 của chúng theo tất cả các biến ở trong 1 lân cận nào đó của điểm

Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 1 thuần nhất là

hàm uu x x 1, , ,2 x nthoả mãn điều kiện sau

u



 vào phương trình (1.3)

nó trở thành đồng nhất

Rõ ràng phương trình (1.3) bao giờ cũng có nghiệm u=c (1.5) với c là

hằng số tuỳ ý Ta gọi nghiệm (1.5) là nghiệm tầm thường của phương trình

cùng với phương trình (1.3) Ta xét hệ phương trình vi phân thương dạng đối

Hệ phương trình (1.6) gọi là hệ đối xứng tương ứng với phương trình (1.3)

Định nghĩa : Hàm số ( , , ,x x1 2 x n) được gọi là tích phân của hệ (1.6)

trong một miền nào đó của các biến số x 1 ,x 2 ,…,x n nếu

1) Nếu hàm số ( , , ,x x1 2 x n) là tích phân khả vi liên tục của hệ (1.6) thì

hàm số u=( , , ,x x1 2 x n) là nghiệm của phương trình (1.3)

2) Nếu hàm u =( , , ,x x1 2 x n)const là nghiệm của phương trình (1.3) thì

hàm số ( , , ,x x1 2 x n) là tích phân của hệ (1.6)

Chứng minh

1) Hiển nhiên (dựa vào định nghĩa tích phân của hệ (1.6))

2) Lấy vi phân toàn phần của hàm  dựa vào hệ (1.6) ta được

X x x x  ) Khi đó từ (1.5) ta có d 0 tức  c là tích phân đầu của hệ (1.6)

Từ định lí trên ta suy ra rằng việc tìm nghiệm của (1.3) tương đương với

việc tìm tích phân của hệ (1.6) Ta giả thiết rằng hệ (1.6) có (n-1) phương trình

vi phân cấp 1 sau đây

Trong đó các vế phải của hệ (1.8) là các hàm số xác định và khả vi liên

tục trong lân cận của điểm  0 0 0

1, 2, , n

x x x Ta lập một hàm khả vi liên tục của

các tích phân (1.7)

u  ( ,1 2, ,n1) (1.9)

Khi đó hàm số xác định bởi (1.9) cũng là tích phân của (1.6) do đó cũng là

nghiệm của phương trình (1.3)

Ta gọi nghiệm (1.9) trong đó  là hàm số bất kì (khả vi liên tục của các

tích phân của nó ) là nghịêm tổng quát của phương trình (1.3)

Ví dụ: Cho phương trình

0x

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là u( / , / )y x z x

1.3 Phương trình tuyến tính không thuần nhất

Trong đó các hàm số Xi (i1,n) và f xác định liên tục cùng các đạo

hàm riêng cấp 1 của chúng Ngoài ra X x x n( ,10 20, ,x u n0, 0)0 (1.11)

Ta sẽ chứng tỏ rằng nghiệm của phương trình (1.10) có dạng ẩn

1) Nghiệm (1.19) là nghiệm tổng quát của phương trình (1.10)

2) Nếu từ phương trình (1.19) ta tìm được u( , , ,x x1 2 x n) (1.20) trong đó

 là hàm số tuỳ ý, khả vi liên tục thì (1.20) là nghiệm tổng quát ở dạng tường

minh của phương trình (1.10)

Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau

Hệ phương trình đối xứng tương ứng là

1.4 Bài toán biên

Bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng là bài toán tìm các

nghiệm của nó trong miền nào đấy thoả mãn các điều kiện trên biên của miền

gọi là điều kiện biên

Định lí liên quan tới sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán biên gọi là

định lí tồn tại và duy nhất nghiệm

Có nhiều phương pháp giải bài toán biên của phương trình đạo hàm

riêng tuyến tính

Phương pháp tách biến (phương pháp Phuarie) là một trong những

phương pháp quan trọng nhất

Đầu tiên ta tìm nghiệm tổng quát sau đó cho thoả mãn điều kiện biên

Các định lí sau đây là cơ sở quan trọng cho phương pháp

1.5.1 Nguyên lí cộng nghiệm

Định lí: Giả sử  1, 2, ,n1 là nghiệm của phương trình (1.4) thì

1 1 2 2 3 3 n1 n 1

C C C  C  cũng là nghiệm của phương trình (1.4)

Nghiệm tổng quát của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không

thuần nhất bằng tổng của nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần

nhất với một nghiệm riêng nào đó của phương trình tuyến tính không thuần

nhất

1.5.2 Phương pháp tách biến

Giả thiết rằng nghiệm có thể biểu diễn dưới dạng tích của các hàm chưa

biết mà mỗi hàm chỉ phụ thuộc vào một biến ,vì vậy mỗi vế phải bằng hằng

số

Ta lần lượt giải cho từng hàm chưa xác định

Hợp các nghiệm này cho ta nghiệm cần tìm

'

( ) ( )( ) ( )

u

X x Y y x

u

X x Y y y

Y C Y

dY Cdy Y

( ) ( )

Cx Cy

Từ điều kiện biên: u(0, )y  cy

ke =8e3y điều này xảy ra khi k=8 và C=-3

Vậy nghiệm cần tìm u(x,y)=8e-3(4x+y)

1.6 Bài toán Cauchy

1.6.1 Bài toán Cauchy với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thuần

nhất

Hãy tìm nghiệm uu x x( , , ,1 2 x n) (1.21) của phương trình (1.1) sao

cho khi cố định một biến số (chẳng hạn xn ) thì nó trở thành hàm số khả vi liên

tục của các biến còn lại, tức là u( , , ,x x1 2 x n1) khi x n x n0 (1.22)

Điều kiện (1.22) gọi là điều kiện đầu của nghiệm (1.21)

Để tìm nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình (1.3) ta tiến

Trong đó  i  i( , , ,x x1 2 x n) (i1,n) sẽ là nghiệm của bài toán

Cauchy của phương trình (1.3)-(1.22)

Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình

Đặt x=0 vào biểu thức trên ta được : 2

y  Do đó y    Nghiệm phải tìm sẽ là z x y, tức là zx2  y2

1.6.2 Bài toán Cauchy đối với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính

không thuần nhất

Đối với phương trình (1.10) ta cũng có bài toán Cauchy tương tự

Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát và nghiệm thoả mãn điều kiện ban đầu của

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là :

2,

Chương 2: Phương trình loại hypecbolic

Bài toán Cauchy

2.1 Bài toán dẫn đến phương trình truyền sóng

Giả thiết dây đàn hồi có chiều dài L buộc chặt ở hai gối có cùng mức

nằm ngang do đó có thể lấy trục x dọc theo dây Dây đàn hồi có thể là dây đàn

dây truyền tin

Cho dây chuyển động, nó dao động trong mặt phẳng thẳng đứng và kí

hiệu u(x,t) là chuyển dịch của dây tại điểm x và thời điểm t

Gọi s là phần tác dụng cung của dây Vì sức căng T giả thiết là hằng

số, lực hướng thẳng đứng tác dụng lên s cho bởi Tsin2Tsin1

Vì sin tg do góc  nhỏ nên lực này có dạng:

2 2

Lấy giới hạn khi  x 0( cũng dần tới 0) ta được

2 2



 (T là sức căng không đổi của dây,  khối

lượng không đổi trên một đơn vị dài của dây )

2.2 Bài toán Cauchy của phương trình truyền sóng và định lí

duy nhất của nó

2.2.1 Bài toán Cauchy của phương trình truyền sóng

Ta xét bài toán Cauchy của phương trình truyền sóng, cụ thể là bài toán

Như vậy mặt mang dữ kiện Cauchy đối với bài toán này là mặt phẳng

t=t0 Nó không phải là mặt đặc trưng của phương trình này Họ các mặt đặc

trưng của phương trình này là họ các mặt nón tròn xoay, có trục song song với

trục 0t và có phương trình

  2 2 2 2

x-c  yc a tc 0 (2.1.4) Trong đó (c1,c2,c3) là toạ độ đỉnh hình nón và có thể là điểm bất kì trong

không gian (x,y,t)

Giả sử trên mặt phẳng t=t0 của không gian (x,y,t) cho mặt tròn

G:  2 2 2

x c  yc R

Tồn tại hai hình nón tròn xoay đối xứng nhau qua mặt phẳng t=t0 có đáy

là mặt tròn G và mỗi mặt bên S là phần của một mặt đặc trưng trong họ

(2.1.4) Ta gọi K là một trong hai hình nón kể trên, chẳng hạn hìn nón có đỉnh

hướng theo chiều dương t

2.2.2 Định lí duy nhất

Địn lí (2.1.1) Giả sử u(x,y,t) là nghiệm của bài toán Cauchy (2.1.1), (2.1.2),

(2.1.3) sao cho nó và tất cả các đạo hàm riêng của nó kể cho tới cấp 2 liên tục

trong hình nón kín K G S Khi đó nghiệm u(x,y,t) được xác định một cách

duy nhất trong hình nón kín K G S kể trên bởi các dữ kiện Cauchy

(2.1.2), (2.1.3) cho trên mặt đáy G của hình nón

Trước khi chứng minh định lí, ta chú ý những điều sau đây :

a Bằng cách co dãn toạ độ ta đặt t’=at (2.1.1)

ta có thể giả sử hệ số a trong phương trình (2.1.1) là bằng 1

b Bằng cách tịnh tiến toạ độ t , ta có thể giả sử t0=0

c Để chứng minh định lí, ta chứng minh hiệu của 2 nghiệm bất kì của bài toán

Thực vậy, nếu chứng minh được điều này thì u x y t( , , )0 trong hình

nón K G S Lấy một điểm P bất kì trong hình nón K G S.Dựng một

mặt đặc trưng của họ (2.1.4) có đỉnh là P, cắt mặt phẳng t=0 theo biên của một

mặt tròn G’

Mặt tròn G’ nằm hoàn toàn trong G Do đó nếu ta có (2.1.6), (2.1.7) trong

G thì cũng có (2.1.6), (2.1.7) trong G’

Gọi K’ là hình nón đỉnh P, đáy là G’ Lặp lại điều đã chứng minh cho

hình nón K’, vì ta có (2.1.6), (2.1.7) trong G’ nên ta có u(x,y,t) =0 tại đỉnh

của nó, tức là u(P)=0

Như vậy u x y t( , , )0 trong K G S

e Nghiệm u(x,y,t) được xác định duy nhất trong hình nón K và cả trong hình

nón K* đối xứng với K qua mặt phẳng của đáy

Bây giờ ta chứng minh định lí

Gọi A là đỉnh của hình nón K Giả sử nghiệm u(x,y,t) thoả mãn (2.1.5),

(2.1.6), (2.1.7) Như vậy trong K

2

1

Vì mặt S có phương trình (2.1.10), nên trên mặt S các đại lượng

os(n, ), os(n, ), os(n, )

Vậy trong (2.1.9), chỉ còn tích phân lấy trên S Chú ý rằng cos n, t   0

trên mặt S nên ta có thể nhân (2.1.9) với cos n, t  

, sau đó dùng hệ thức (2.1.12) thì ta viết được (2.1.9) dưới dạng

Gọi m là phương của một đường sinh  bất kì nào đó của mặt bên S Ta

có trên đường sinh 

Vì mn Như vậy u(x,y,t)=const dọc trên đường sinh  Vì tại đáy

u(x,y,t)=0 nên u(x,y,t)=0 dọc đường sinh  Đặc biệt tại đỉnh A :u(A)=0

Định lí hoàn toàn được chứng minh

2.3 Công thức cho nghiệm của bài toán Cauchy với phương

trình truyền sóng

Giả sử trong không gian (x,y,z) cho hai hàm x y z, ,  và x y z, , 

trong đó  là hàm sao cho nó và tất cả các đạo hàm của nó kể cho tới cấp 3

liên tục với mọi x,y,z và  cũng vậy nhưng đạo hàm kể tới cấp 2 Giả sử

f(x,y,z,t) là hàm liên tục đối với t và có đạo hàm cho tới cấp 2 liên tục đối với

Nghiệm này được giả thiết là khả vi liên tục 2 lần đối với các biến trong

miền t 0 Theo định lí duy nhất nó được hoàn toàn xác định trong miền t>0

Để giải bài toán (2.2.1), (2.2.2), (2.2.3) ta lần lượt giải 3 bài toán sau

Bài toán 1 Tìm nghiệm v(x,y,z,t) sao cho

1) Giải bài toán 1

Gọi Sat là mặt cầu tâm (x,y,z) bán kính at,   , ,  là biến điểm tích

phân chạy trên mặt cầu đó Ta chứng minh nghiệm của bài toán 1 cho bởi

Thì mặt cầu Sat trong không gian   , ,  chuyển thành mặt cầu đơn vị

S1 với tâm là gốc toạ độ trong không gian   , ,  Hơn nữa gọi dS1 là vi

phân trên mặt S1 thì ta có : dS=a2t2dS1

Vì x y z, ,  liên tục, nên áp dụng định lí trung bình cho (2.2.14) ta có

   là một điểm nào đó trên mặt Sat Do tính liên tục

Vậy (2.2.5) được thoả mãn

Để thử lại điều kiện (2.2.6), ta xét đạo hàm của v (dạng (2.2.5) )

Vì các đạo hàm riêng của  cũng liên tục, nên cũng áp dụng định lí

trung bình như trên, ta khẳng định được rằng khi t 0 hạng thức thứ 2 trong

vế phải của (2.2.16) dần tới 0 Do đó

Vậy (2.2.6) được thoả mãn

Bây giờ chỉ còn phải chứng minh v(x,y,z,t) thoả mãn phương trình

rằng   , ,  là cosin chỉ phương của pháp tuyến ngoài của mặt Sat, tại

Dùng (2.2.18) thấy ngay được

Bài toán 1 được giải xong

2) Giải bài toán 2: Ta chứng minh rằng nghiệm của bài toán 2 sẽ là

Vậy (2.2.8), (2.2.9) được thoả mãn và bài toán 2 được giải xong

Rõ ràng nếu x y z, ,  có đạo hàm riêng liên tục đối với các biến của nó

liên tục cho tới cấp k+1 và do đó v

t



 

 có các đạo hàm riêng đối với các

biến của nó liên tục cho tới cấp k

3) Giải bài toán 3 Trước hết ta chứng minh mệnh đề sau

Nếu V, , , ,x y z t với mọi giá trị của tham biến  là nghiệm của bài toán

t

u x y z t V  x y z t  d (2.2.26)

sẽ là nghiệm của bài toán 3

Thực vậy, từ (2.2.26) đạo hàm theo t, chú ý (2.2.24) ta có

*    

0, , , , , , , ,0

t t

u V  x y z t d V t x y z

 

0, , , ,

t t

V  x y z t d  f x y z t

Như vậy muốn giải bài toán 3, chỉ cần tìm hàm V, , , ,x y z t nhưng

hàm này theo lời giải của bài toán 1 là :

, , ,1

, , ,

t S

Với Vat là hình cầu tâm (x,y,z) bán kính at

Như vậy bài toán 3 đã hoàn thành

2.4 Phương trình hạ thấp Xây dựng trực tiếp công thức

Đalembe và công thức Kiêcsôp

Có thể coi ở trường hợp này nghiệm u và các hàm  , là các hàm

trong không gian (x,y,z) nhưng giá trị của chúng không phụ thuộc vào z (dọc

đường thẳng song song với trục oz, các hàm u, , có giá trị không đổi ).Với

chú ý đó, ta có thể áp dụng công thức Kiêcsôp

Ta gọi Kat là mặt tròn tâm (x,y,z) bán kính at, giới hạn bởi giao tuyến

của mặt cầu Sat với mặt phẳng xuyên tâm của Sat và song song với mặt phẳng