Bài toán điều khiển của hệ tuyến tính thời gian liên tục

6 Chương 2: Tính điều khiển được và quan sát được của hệ tuyến tính thời gian liên tục 8 2.1 Tính điều khiển được của hệ tuyến tính thời gian liên tục.. 8 2.1.1 Các tiêu chuẩn cho tính đ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới anh Phạm Văn Duẩn, người đã rất nhiệt tìnhgiúp đỡ chỉ bảo và hướng dẫn em trong quá trình gõ Tex và hoàn thành khóaluận Anh cũng là người cung cấp thêm tư liệu và kiến thức giúp em giải đápđược những điều chưa hiểu và băn khoăn.

Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới các Thầy, các Cô công tác tại Khoa ToánTrường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Thầy Cô đã trực tiếp giảng dạy,truyền đạt cho em những kiến thức quý báu về chuyên môn cũng như kinhnghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua

Cuối cùng, em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong giađình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho em trongsuốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này

Hà Nội, Tháng 5 năm 2013

Sinh viênĐặng Thị Thu

Lời cam đoan

Tên em là: Đặng Thị Thu, sinh viên đại học khóa 2009 – 2013 lớp K35 CNToán – Khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Em xin cam đoan

đề tài: “Bài toán điều khiển của hệ tuyến tính thời gian liên tục”, là kết quảnghiên cứu và thu thập của riêng em Các luận cứ, kết quả thu được trong

đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả khác Nếu có gì không trungthực trong luận văn em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoahọc

Hà Nội, Tháng 5 năm 2013

Sinh viênĐặng Thị Thu

Mục lục

Mở đầu i

Nội dung chính iii

Chương 1: Hệ tuyến tính thời gian liên tục 1 1.1 Hệ tuyến tính thời gian liên tục 1

1.2 Nghiệm của hệ tuyến tính thời gian liên tục 3

1.3 Hàm Truyền 4

1.3.1 Phép biến đổi Laplace và tính chất 4

1.3.2 Các phép toán với ma trận Hàm truyền 6

Chương 2: Tính điều khiển được và quan sát được của hệ tuyến tính thời gian liên tục 8 2.1 Tính điều khiển được của hệ tuyến tính thời gian liên tục 8

2.1.1 Các tiêu chuẩn cho tính điều khiển của hệ tuyến tính thời gian liên tục 8

2.1.2 Ví dụ minh họa 13

2.2 Tính quan sát được của hệ tuyến tính thời gian liên tục 16

2.2.1 Các tiêu chuẩn cho tính quan sát được của hệ tuyến tính thời gian liên tục 17

2.2.2 Ví dụ minh họa 20

Chương 3: Tính ổn định của hệ tuyến tính thời gian liên tục 22 3.1 Tính ổn định của hệ tuyến tính thời gian liên tục 22

3.1.1 Tính ổn định Lyapunov của hệ tuyến tính thời gian liên tục 22

3.2 Mối liên hệ giữa tính ổn định và phương trình Lyapunov 243.2.1 Các định lý về mối liên hệ giữa tính ổn định và phương

trình Lyapunov 243.3 Ví dụ minh họa 27Tài liệu tham khảo 31

2 Khái quát về nội dung và phạm vi nghiên cứu

Bài toán điều khiển tuyến tính là phần nền tảng cơ bản và quan trọngcủa lý thuyết điều khiển nói chung: các phát triển mới về khái niệm điềukhiển nâng cao đều có sự gợi ý về tư tưởng từ lý thuyết điều khiển tuyếntính

Luận văn này em trình bày về bài toán điều khiển của hệ tuyến tính thờigian liên tục

Nội dung bao gồm các phần sau:

• Chương 1: Hệ tuyến tính thời gian liên tục

• Chương 2: Tính điều khiển được và quan sát được của hệ tuyến tínhthời gian liên tục

• Biết cách thể hiện những hiểu biết của mình

4 Đối tượng nghiên cứu

Bài toán điều khiển của hệ tuyến tính thời gian liên tục và các kiến thứcliên quan

5 Phạm vi

• Các tài liệu tham khảo do cá nhân tự tìm hiểu và thu thập thêm

• Thời gian thực hiện khóa luận

• Nơi thực hiện khóa luận (những khó khăn và thuận lợi tại nơi nghiêncứu khoa học)

Nội dung chính

1 Tên đề tài

Bài toán điều khiển của hệ tuyến tính thời gian liên tục

2 Kết cấu của nội dung

Gồm 3 chương:

• Chương 1: Hệ tuyến tính thời gian liên tục

- Hệ tuyến tính thời gian liên tục

- Nghiệm của hệ tuyến tính thời gian liên tục

- Hàm truyền

• Chương 2: Tính điều khiển được và quan sát được của hệ tuyến tínhthời gian liên tục

- Tính điều khiển được của hệ tuyến tính thời gian liên tục

- Tính quan sát được của hệ tuyến tính thời gian liên tục

• Chương 3: Tính ổn định của hệ tuyến tính thời gian liên tục

- Tính ổn định của hệ tuyến tính thời gian liên tục

- Mối liên hệ giữa tính ổn định và phương trình Lyapunov

3 Phương pháp nghiên cứu

• Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu

• Sử dụng phương pháp nghiên cứu của lý thuyết điều khiển

• Phương pháp quan sát, đọc sách

Chương 1

Hệ tuyến tính thời gian liên tục

Chương này giới thiệu về hệ động lực tuyến tính nói chung và hệ tuyếntính thời gian liên tục nói riêng Đây là những mô hình toán học tổng quátcủa rất nhiều vấn đề thực tế trong lý thuyết điều khiển

1.1 Hệ tuyến tính thời gian liên tục

Hệ động lực, có thể hiểu một cách tổng quát là một hệ thống mà các đặctrưng của nó thay đổi theo thời gian, trạng thái tại mỗi thời điểm phụ thuộcvào trạng thái của chính nó trong quá khứ và tác động bên ngoài lên hệthống Những ví dụ thực tế của hệ động lực rất phong phú như máy bơmnước, máy điều hòa nhiệt độ, mạch điện,

Định nghĩa 1.1.1 Một hệ tuyến tính thời gian liên tục với tham số bất biếnbiểu diễn qua hệ phương trình sau:

.

x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t0) = x0 (1.1)y(t) = Cx(t) + Du(t) (1.2)Trong đó:

x(t) là vector n chiều được gọi là trạng thái của hệ,

u(t) là vector m chiều (m ≤ n) được gọi là đầu vào của hệ,

y(t) là vector r chiều được gọi là đầu ra của hệ,

x(t0) là điều kiện ban đầu, mỗi thành phần của x(t) được gọi là một biếntrạng thái

A, B, C và D là các ma trận không phụ thuộc t với kích thước lần lượt là

n × n, n × m, r × n, r × m

Phương trình (1.1) được gọi là phương trình trạng thái,

Phương trình (1.2) được gọi là phương trình đầu ra

Biểu diễn theo (1.1), (1.2) được gọi là một mô hình không gian trạng tháivới tham số bất biến của hệ động lực

Hình 1.1: Mô hình của hệ động lực.

Ví dụ 1.1.2 Ta xét một ví dụ được đưa ra trong [2]

Xét mạch RLC được mô tả như hình 1.2 với nguồn vào u(t) và đầu ra lày(t).Các phương trình cường độ dòng và điện thế của mạch:

Hình 1.2: Mạch RLC.

CHƯƠNG 1 HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC

u = ir+ il + ic, ic = CdeC

dt , eC = L

diL

dt = RiR.Định nghĩa các biến trạng thái x1 := iL, x2 := eC thì mạch điện được mô

tả bởi hệ tuyến tính:

.

x = Ax + Bu,

y = Cx + D,trong đó: x = [x1, x2]T,

"

01/C

#, C =

"

01

#, D = 0

1.2 Nghiệm của hệ tuyến tính thời gian liên tục

Định lý 1.2.1 Nghiệm của các phương trình động lực thời gian liên tục(1.1), (1.2) được cho bởi:

x(t) = eA(t−t0 )x0 +

Z t

t 0

eA(t−t0 )Bu(s)ds, (1.3)y(t) = CeA(t−t0 )x0 +

như sau:

x(t) = eAtx0 +

Z t 0

eA(t−s)Bu(s)ds, (1.5)y(t) = CeA(t)x0 +

Z t 0

CeA(t−s)Bu(s)ds + Du(t) (1.6)Định nghĩa 1.2.4 Ma trận eAt được định nghĩa như trên có dạng :

Chứng minh Lưu ý rằng d

dt(eAt

) = AeAt.Trước tiên ta khẳng định rằng biểu thức (1.5) thỏa mãn (1.1) với t = 0

Từ (1.5) ta có:

.

x(t) = AeAtx0 + Bu(t) +

Z t 0

eA(t−s)Bu(s)ds

= A[eAtx0 +

Z t 0

eA(t−s)Bu(s)ds] + Bu(t)

= Ax(t) + Bu(t)

Cũng lưu ý rằng tại t = 0 thì x(0) = x0 Do đó nghiệm x(t) thỏa mãncác điều kện ban đầu Thay biểu thức x(t) từ (1.5) vào (1.6) ta được: y(t) =Cx(t) + Du(t)

1.3 Hàm Truyền

1.3.1 Phép biến đổi Laplace và tính chất

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử f là một hàm của biến số thực t sao cho tíchphân R0∞f (t)e−stdt hội tụ với ít nhất một số phức s, thì khi đó ảnh của hàm

CHƯƠNG 1 HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC

f qua phép biến đổi Laplace là hàm F được định nghĩa bởi tích phân sau

F (s) = L{f (t), }(s) =

Z ∞ 0

f (t)e−stdt.Một số tính chất của phép biến đổi Laplace

Mệnh đề 1.3.2 Giả sử F, G tương ứng là các hàm ảnh qua phép biến đổiLaplace của hai hàm f, g Khi đó,

1 Tính tuyến tính của biến đổi Laplace

L{af + bg}(s) = aF (s) + bG(s), s ∈ C

2 Biến đổi Laplace của đạo hàm

L{df

dt}(s) = sF (s) − f (0), s ∈C.Định nghĩa 1.3.3 Xét:

Cho X(s), Y (s), U (s) tương ứng biểu thị cho các phép biến đổi Laplacecủa x(t), y(t), u(t)

Thực hiện phép biến đổi Laplace cho hệ (1.7) với x(0) = x0 ta được:

Y (s) = CR(s)x0 + G(s)U (s) (1.9)

Trong đó : 





R(s) = (sI − A)−1G(s) = CT (sI − A)−1B + D (1.10)Nếu x(0)=0 thì: Y (s) = G(s)U (s)

Định nghĩa 1.3.4 Ma trận R(s) như trên được gọi là giải thức, còn G(s)được gọi là Hàm truyền

Ví dụ 1.3.5 Xét hệ tuyến tính thời gian liên tục

"

−12

#u(t)y(t) =

"

21

#x(t)

"

−12

#, C = h

1 2i, D = 0Khi đó Hàm truyền G(s) của hệ được xác định bởi công thức:

G(s) = C(sI − A)−1B + D = 6

s2 − 5s + 6

1.3.2 Các phép toán với ma trận Hàm truyền

Để ngắn gọn với hệ động lực có các ma trận tham số A, B, C, D và hàmtruyền G(s) ta ký hiệu

CHƯƠNG 1 HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC

nối song song S1và S2

G1(s) + G2(s) = A1 B1

C1 D1

!+ A2 B2

bG(s) ≡ G−1(s) = A − BD

−1C −BD−1

D−1C D−1

!

Chương 2

Tính điều khiển được và quan sát

được của hệ tuyến tính thời gian liên tục

2.1 Tính điều khiển được của hệ tuyến tính thời gian liên tụcĐịnh nghĩa 2.1.1 Hệ tuyến tính thời gian liên tục :

.

x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t0) = x0 (2.1)y(t) = Cx(t) + Du(t) (2.2)được gọi là điều khiển được (controllable) nếu với bất kỳ trạng thái khởi tạox(0) = x0 và trạng thái kết thúc x1, t1 > 0 đều tồn tại đầu vào u(t) sao chox(t1) = x1

Hệ điều khiển được khi ma trận điều khiển

CO = [B AB A2B An−1B ]

có hạng bằng n

2.1.1 Các tiêu chuẩn cho tính điều khiển của hệ tuyến tính thời gian liên tụcĐịnh lý 2.1.2 (Tiêu chuẩn Hautus)

CHƯƠNG 2 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI

GIAN LIÊN TỤC

Điều kiện cần và đủ để hệ tuyến tính (2.1), (2.2) điều khiển được là:

rank(λI − A, B) = nvới mọi λ là giá trị riêng của A

Chứng minh Trước hết ta thấyeAtlà ma trận không suy biến nên khi phươngtrình:

x(t) = eA(t−t0 )x0 +

Z t 0

eA(t−t0 )Bu(s)dsvới x0 cho trước có nghiệm u(t) thì phương trình:

y(t) = CeA(t−t0 )x0+

Z t 0

GIAN LIÊN TỤC

Ta nhắc lại định lý Cayley-Hamilton sau:

Định lý 2.1.3 Nếu đa thức đặc trưng của A là:

pA(λ) = (λ)n + a1(λ)n−1+ + an,

thì pA(A) = An

+ a1An −1 + + anI = 0 Trong đó I là ma trận đơn vị cấptương ứng với A

Định lý 2.1.4 (Tiêu chuẩn Kalman)

Điều kiện cần và đủ để hệ (2.1), (2.2) là điều khiển được:

rank(B, AB, , An−1B) = nChứng minh Vì:

−x0 =

Z t 0

CHƯƠNG 2 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI

GIAN LIÊN TỤC

khi :

Im(B, AB, , An−1B) = Rnhay

rank(B, AB, , An−1B) = n

Định lý 2.1.5 Lấy A ∈ Rn×n và B ∈ Rn×m (m ≤ n) Các mệnh đề sau làtương đương:

(i) Hệ (2.1), (2.2) là điều khiển được

(ii) Ma trận kích thước n × nm: CM = (B, AB, A2B, , An −1B) có hạngbằng n

(iii) Ma trận

WC =

Z t10

eAtBBTeATtdt

là ma trận không suy biến với mọi t1 > 0

(iv) Nếu(λ, x) là cặp giá trị của AT thì khi đó xT

A = λxT, xT

6= 0.(v) rank(A − λI) = n với mọi giá trị riêng λ của A

WCv = 0 Nghĩa là:

Z t10

vTeAtBBTeATtvdt = 0

GIAN LIÊN TỤC

Hàm lấy tích phân phải luôn không âm nên nó có dạng: CT

(t)C(t), vớiC(t) = BT

"

B1

0

#

trong đó A22 có kích thước n − k và k = rank(CM)

Lấy v2 là giá trị vector của (A)T tương ứng với một giá trị riêng của λ.Khi đó:

"

0

v2

#của (A)T vuông góc với các vector cột của B.Điều này có nghĩa là cặp(A, B) không là điều khiển được Do đó điều giả sử

là sai vì một sự biến đổi tương tự không thể làm thay đổi được sự điều khiển

CHƯƠNG 2 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI

GIAN LIÊN TỤC

rank(λI − A, B) < n khi và chỉ khi tồn tại một vector v 6= 0 nghĩa là

vT(λI − A, B) = 0 Phương trình tương đương:

ATv = λvvà

vT = 0tức làv là một giá trị vector của AT tương ứng với giá trị riêngλ và nó vuônggóc với các vector cột của B Theo (iv) hệ (A, B) không là điều khiển được.Vậy ta có điều phải chứng minh

(v) ⇒ (ii)

Nếu (v) sai thì từ (iv) ta đã có:

xT(A, AB, , An−1B) = 0Tức là rank(CM) < n Điều này chứng tỏ (ii) sai Vậy (v) đúng thì (ii)cũng đúng Ta có điều phải chứng minh

"

1

−1

#

• Hạng của ma trận điều khiển rank(CO) = 2,

nên hệ là điều khiển được

Hãy kiểm tra tính điều khiển được của hệ?

CHƯƠNG 2 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI

• Tính các giá trị riêng của ma trận A: EigA= [eig(A)]

Vậy hệ đã cho là hệ không điều khiển được.

2.2 Tính quan sát được của hệ tuyến tính thời gian liên tụcĐịnh nghĩa 2.2.1 Xét hệ tuyến tính thời gian liên tục sau:

.

x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t0) = x0 (2.7)y(t) = Cx(t) + Du(t) (2.8)

Hệ (2.7), (2.8) được gọi là quan sát được (observable) nếu với bất kỳ t1 > 0,trạng thái khởi tạo x(0) = x0 có thể được xác định từ đầu vào u(t) và đầu

ra y(t) trong đoạn [0, t1]

Hệ quan sát được khi ma trận quan sát:

CA2

CHƯƠNG 2 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI

• Hạng của ma trận quan sát rank (OB) = 2,

nên hệ là quan sát được Hệ quan sát được khi ma trận quan sát

2.2.1 Các tiêu chuẩn cho tính quan sát được của hệ tuyến tính thời gian liên

tục

Định lý 2.2.3 (Tiêu chuẩn Hautus)

Điều kiện cần và đủ để hệ (2.7), (2.8) là quan sát được là:

rank

"

λI − AC

Để hệ (2.7), (2.8) là quan sát được thì điều kiện cần và đủ là hệ (2.9),(2.10) điều khiển được Theo định lý (2.1.2) về tiêu chuẩn Hautus thì hệ(2.9), (2.10) điều khiển được khi và chỉ khi:

rank(λI − AT, CT) = n, ∀λsuy ra

rank(λI − AT, CT)T = rank

"

λI − AC

#

= n

GIAN LIÊN TỤC

Định lý 2.2.4 (Tiêu chuẩn Kalman)

Điều kiện cần và đủ để hệ (2.7), (2.8) là quan sát được là:

CA2

Chứng minh Để hệ (2.7), (2.8) là quan sát được thì điều kiện cần và đủ là

hệ (2.9), (2.10) điều khiển được Theo định lý (2.1.4)về tiêu chuẩn Kalmanđiều đó tương đương với:

rank(CT, ATCT, , (An−1)TCT) = nSuy ra:

CA2

CA2

CHƯƠNG 2 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI

có hạng bằng n với mọi giá trị riêng λ của A

5 Không có giá trị vector nào của A vuông góc với các hàng của ma trận

C, điều đó có nghĩa là nếu (λ, y) là cặp giá trị của A thì Cy 6= 0

Chứng minh Tương tự như tính điều khiển được

Định lý 2.2.6 Cặp (A, C) là quan sát được khi và chỉ khi ma trận WO là

ma trận không suy biến với mọi t > 0

eATtCTy(t)dt

Khi đó x(0) là xác định duy nhất và được cho bởi:

x(0) = WO−1

Z t10

eATtCTy(t)dt

[⇐=]

Nếu WO là ma trận dừng thì tồn tại một vector z 6= 0 sao cho: WOz = 0

GIAN LIÊN TỤC

Điều này chỉ ra rằng CeAt

z = 0 Như vậyy(t) = CeAt(x(0) + z) = CeAtx(0)

Do đó x(0) không là xác định duy nhất, chứng tỏ (A, C) không là quan sátđược

Vậy ta có điều phải chứng minh

CHƯƠNG 2 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI

Chương 3

Tính ổn định của hệ tuyến tính thời gian liên tục

3.1 Tính ổn định của hệ tuyến tính thời gian liên tục

Định nghĩa 3.1.1 Một trạng thái cân bằng của hệ động lực

Rõ ràng hệ (3.1) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi trạng thái cân bằng

xe = 0 là ổn định tiệm cận Do đó hệ (3.1) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khix(t) → 0 khi t → ∞

3.1.1 Tính ổn định Lyapunov của hệ tuyến tính thời gian liên tục

Định lý 3.1.3 Hệ (3.1) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi các giá trị riêng

CHƯƠNG 3 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC

Chứng minh Từ định lý (1.2.1) ta đã biết nghiệm tổng quát của (3.1) làx(t) = eAt

3.2 Mối liên hệ giữa tính ổn định và phương trình LyapunovĐịnh nghĩa 3.2.1 (Định nghĩa phương trình Lyapunov)

Phương trình ma trận :

AX + ATX = −CTC

và đối ngẫu của nó:

AX + XAT = −CCTđược gọi là phương trình Lyapunov

Trong đó: C là ma trận đối xứng xác định dương, X là nghiệm đối xứngxác định dương được cho bởi như sau:

X =

Z ∞ 0

eATtCTCeAtdt

Nếu X không là xác định dương thì tồn tại một vector x 6= 0 sao cho:

Xx = 0.Trong trường hợp đó:

Z ∞

CHƯƠNG 3 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC

có nghĩa là CeAt

x = 0.Kiểm tra CeAt

x = 0 và các đạo hàm kế tiếp của nó tại t = 0, ta có

CAi

x = 0, i = 0, 1, , n − 1

Điều này cho thấy được là OMx = 0, trong đó OM là ma trận quan sát.Khi đó (C, A) là quan sát được, OM có đủ hạng và chứng tỏ rằng x = 0 nênđiều này là mâu thuẫn

Hơn nữa, CeAt

x 6= 0 với ∀t nên X là xác định dương

Bây giờ ta chứng minh điều ngược lại Ta cần chỉ ra rằng A ổn định và Xxác định dương thì (A, C) là quan sát được Ta sẽ chứng minh bằng phảnchứng

Giả sử (A, C) là không quan sát được Khi đó, theo tiêu chuẩn (5) củađịnh lý (2.2.4) các vector x của A thỏa mãn: Cx = 0

Lấy giá trị riêng λ tương ứng với giá trị vector x Khi đó từ phương trình(3.3) ta có:

x∗XAx + x∗ATXx = −x∗CTCxhay

(λ + λ)x∗Xx = − k Cx k2

Do đó: (λ + λ)x∗Xx = 0 Mà A là ma trận ổn định, λ + λ < 0 nên

x∗Xx = 0

Nhưng X là xác định dương, x phải là vector 6= 0 nên điều giả sử là sai

Do đó (A, C) là quan sát được

Định lý 3.2.3 Cho phương trình Lyapunov: