Một số tính chất của vành chính qui mạnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THU HÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH CHÍNH QUI MẠNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2013... BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ THU HÀ

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH CHÍNH QUI MẠNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ THU HÀ

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH CHÍNH QUI MẠNH

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS NGÔ SỸ TÙNG

Nghệ An - 2013

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa 1

Mục lục 2

Các kí hiệu dùng trong luận văn 3

MỞ ĐẦU 4

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6

1.1 Các phần tử và tập hợp đặc biệt trong vành 6

1.2 Vành chính qui 7

Chương 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH CHÍNH QUI MẠNH .15 2.1 Mở rộng Rµ M 15

2.2 Vành morphic 18

2.3 Một số tính chất của vành chính qui mạnh 19

KẾT LUẬN 31

TÀI LIỆU THAM KHẢO 32

CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

MỞ ĐẦU

Vành R được nói đến trong luận văn này là vành có đơn vị kí hiệu 1 và

không nhất thiết là vành giao hoán Khái niệm vành chính qui (VonNeumann) được giới thiệu bởi Von Neumann (1903 – 1957) là một nhà toán

học người Mỹ gốc Hungari vào năm 1936 Vành R được gọi là chính qui nếu

và chỉ nếu với mọi a R∈ tồn tại x R∈ sao cho a axa= Vành chính qui là lớpvành giữ vai trò quan trọng trong đại số trừu tượng, đại số Banach và hìnhhọc hiện đại Một kết quả quan trọng là vành các phép biến đổi tuyến tính của

một không gian vectơ trên vành chia được là vành chính qui Vành R được

gọi là chính qui mạnh (Von Neumann) nếu và chỉ nếu với mọi a R∈ tồn tại

x R∈ sao cho a a x= 2 Một vành R là vành chính qui mạnh khi và chỉ khi nó là một vành chính qui và mọi lũy đẳng trong R đều thuộc tâm của R Mục đích

của luận văn này là tìm hiểu và trình bày một số tính chất của vành chính qui

và vành chính qui mạnh Trong suốt luận văn này, khái niệm chính qui, chínhqui mạnh được hiểu theo nghĩa Von Neumann Luận văn của chúng tôi dựatrên tài liệu [3] “ Morphic rings as trivial extensions” của hai tác giả JianlongChen và Yiqiuang Zhou (2005) đăng trên tạp chí toán học GlasgowMathematical Journal Trust số 47 trang 139 đến 148 Do đó luận văn củachúng tôi có tên đề tài là : “ Một số tính chất của vành chính qui mạnh”

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh và trườngĐại học Sài Gòn dưới sự gợi ý và hướng dẫn nhiệt tình của PGS.TS Ngô SỹTùng Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Thầy giáohướng dẫn, người đã trực tiếp động viên, dìu dắt tận tình, chỉ bảo nghiêm túctrong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, PhòngĐào tạo sau Đại học, các thầy cô trong Khoa Toán trường Đại học Vinh, các

bạn học viên Cao học khóa 19 tại trường Đại học Sài Gòn đã tạo điều kiệngiúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và viết luận văn.

Nghệ An, tháng 8 năm 2013 Tác giả

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong suốt luận văn luôn giả thiết vành là vành giao hoán có đơn vị ký hiệu

1 và các môđun là môđun trái unita

(i) Nếu e lũy đẳng thì e n = ∀ ∈e, n ¥ *.

(ii) e lũy đẳng khi và chỉ khi 1 e− lũy đẳng.

1.1.4 Định lý Nếu tồn tại hệ lũy đẳng trực giao {e e1 , , , 2 e n} của vành R mà

1.1.8 Định nghĩa Phần tử x của vành R được gọi là khả nghịch trái nếu

tồn tại phần tử y thuộc R sao cho yx= 1 Phần tử x của vành R được gọi là

khả nghịch phải nếu tồn tại phần tử y' thuộc R sao cho xy' 1 = Phần tử x củavành R được gọi là khả nghịch nếu x vừa khả nghịch trái, vừa khả nghịchphải

1.1.9 Ví dụ Trong vành ¢ 4, phần tử 3 là khả nghịch vì 3.3 1=

1.1.10.Định lý Cho vành R và u R∈ Nếu tồn tại u' và u'' thuộc R sao cho

' 1

u u = và u u'' = 1 thì u' =u''.

1.1.11.Định nghĩa Tâm của vành R là tập hợp tất cả các phần tử a của R

sao cho ar ra= với mọi r thuộc R Tâm của R được kí hiệu là Z R( )

1.1.12 Ví dụ Với R là vành giao hoán thì R=Z R( )

1.1.13 Mệnh đề Cho R là vành Z R( ) là vành con của R

1.1.14 Định nghĩa Cho R là vành và x R∈ Linh hóa tử trái của x là

{ }

It x = ∈r R rx: = 0 , được viết gọn là It( )x Tương tự ta có định nghĩa linh

hóa tử phải của phần tử x, được viết gọn là Ip( )x

1.1.17 Định lý Với mọi vành R ta có Rad R( R) =Rad R(R ).

1.1.18 Định nghĩa Đối với vành R, Rad R( R)được gọi là căn Jacobson (hay đơn giản là căn) của R và được viết là Rad R( )

1.1.19 Định lý Giả sử R là một vành, với mỗi r Rad R∈ ( ), 1 −r khả nghịch.

1.2. VÀNH CHÍNH QUI

1.2.1 Định nghĩa Vành R được gọi là vành chính qui nếu và chỉ nếu với

mọi a R∈ tồn tại x R∈ sao cho a axa= .

1.2.2 Ví dụ (1) Mọi thể, mọi trường đều là vành chính qui.

(2) Miền nguyên là chính qui nếu nó là một trường

(3) Cho K là một trường Gọi M K n( ) là vành ma trận vuông cấp n trên

K Với mọi A M K∈ n( ), kí hiệu r rank A= ( ) Khi đó tồn tại hai ma trận khảnghịch U , V sao cho

A U0 0I r 0V

= (Với I r là ma trận đơn vị cấp r)

(4) Mọi tích trực tiếp của các vành chính qui là chính qui

(5) Nếu V là không gian vectơ trên vành chia được D thì EndD V là chínhqui

Thật vậy, đặt R= EndD V Lấy f ∈R Vì Im f là một không gian vectơ concủa V nên ta có thể chọn một cơ sở ( )e i i J∈ của nó và bổ sung vào đó ( )e i i J∈ '

để được cơ sở của V

Với i J∈ chọn b i sao cho f b( )i =e i và đặt f e'( )i =b i và với i J∈ ' đặt

Chứng minh Giả sử R là vành chính qui và a R∈ , a không là ước của 0 Khi

đó, tồn tại x R∈ sao cho a axa= Ta suy ra a(1 −xa) = 0 Vì a không là ướccủa 0 nên 1 −xa= 0 hay xa= 1 Lập luận tương tự ta cũng có (1 −ax a) = 0 nên1

ax= Vậy a khả nghịch.W

1.2.4 Định lý (Von Neumann, 1936) Tâm của vành chính qui là chính qui.

Chứng minh Giả sử R là vành chính qui và Z R( ) = ∈{a R ar ra r R= , ∀ ∈ } là

tâm của R ∀ ∈a Z R( ) ⇒ ∈a R Vì R là vành chính qui nên ∃ ∈x R a axa: =kéo theo a a x= 2 (vì a Z R∈ ( )) Vì thế a x Z R2 ∈ ( ) Do đó, ∀ ∈z R ta có

2 2

a xz za x= nên lại suy ra xa z xaaz axaz a xz za x zaax azax a zx2 = = = 2 = 2 = = = 2

hay a z2 giao hoán được với x, do đó

1.2.5 Mệnh đề Trong vành chính qui giao hoán, một iđêan là nguyên tố khi

và chỉ khi nó tối đại.

Chứng minh ( )⇒ Giả sử P, I là iđêan của vành giao hoán R, P nguyên tố

và P⊂I P I, ≠ Vì P I≠ nên ∃ ∈a I P\ ⇒ ∈a R P\ Vì R chính qui nên

∃ ∈ = ⇒ − = ⇒ − = ∈ Vì P là iđêan nguyên tố nên

1 − ∈ ⇒ − ∈ ⇒ ∈ ⇒ =ra P 1 ra I 1 I I R. Vậy P tối đại.

( )⇐ Giả sử I là iđêan của vành giao hoán R Ta có I nguyên tố khi và chỉkhi /R I là miền nguyên và I tối đại khi và chỉ khi / R I là trường Mặt khác

một trường là miền nguyên Từ đó suy ra I tối đại kéo theo I nguyên tố.W

1.2.6 Bổ đề Nếu R là vành chính qui giao hoán và M là iđêan tối đại của

R thì vành địa phương hóa R M của R tại M là một trường.

Chứng minh Ta có R M ={r m r R m M/ ∈ , ∉ } và M M = {m m/ ' |

}

, '

m M m∈ ∉M Vì M là iđêan tối đại của R nên M là iđêan nguyên tố Do

đó, M M là iđêan tối đại duy nhất của R M , suy ra R M là vành địa phương.

Để chứng minh R M là trường ta chỉ cần chứng minh M M = 0 do đó cần

chứng minh với mọi m M∈ tồn tại s M∉ sao cho sm= 0 Vì R là vành chính

qui giao hoán nên ∃ ∈x R m mxm xm: = = 2 Vì thế (1 −xm m) = ∈ 0 M Đặt

1

s= −xm thì s M∉ vì nếu ngược lại thì 1 M∈ ⇒M =R (vô lý).W

1.2.7 Định lý (Armenradiz, 1974) Cho R là một vành với tâm Z R( ) Nếu

( )

Z R là chính qui thì R MR R/ ≅ M với M là idean tối đại của Z R( ).

Chứng minh Đặt S Z R M= ( )\ Ta có R M ={x s x R s S/ ∈ , ∈ } là địa phương

hóa của R tại M Gọi f R: →R M là đồng cấu tự nhiên cho bởi

s x cxs− = ⇒cx =x s Do đó, tồn tại cx R∈ sao cho f cx( ) =cx/1 =x s/ .

2 Ker f( ) =MR Thật vậy, giả sử f x( ) = ⇒ 0 x/1 0 = ⇒ ∃ ∈s S sx: = 0 Vì

( )

Z R chính qui nên ∃ ∈c Z R s( ) (: 1 −cs) = ∈ ⇒ − ∈ 0 M 1 cs M (vì M nguyên tố

và s M∉ ) ⇒ = −x (1 cs x MR) ∈ Vậy Ker f( ) ⊆MR Để chứng minh chiều

ngược lại, ta chứng minh f ax( ) = 0, ∀ ∈a M, ∀ ∈x R Ta có f ax( ) =ax/1

Áp dụng định lý đồng cấu vành ta có điều phải chứng minh.W

1.2.8 Mệnh đề Cho { }e i i=1, n là họ các lũy đẳng trực giao trong vành R thỏa

y e Re∈ sao cho x xyx= .

Chứng minh ( )⇒ Giả sử R là vành chính qui và x e Re∈ i j Khi đó, tồn tại

a R∈ sao cho x e ae= i j Mặt khác, vì R là vành chính qui nên tồn tại z R∈ sao

cho x xzx= Từ đó ta có x e ae ze ae= i j i j =e a e i ( ) ( )j 2z e ae i 2 j =e ae e ze e ae i j( j i) i j( j i)

(ii) Mọi iđêan chính trái (phải) được sinh bởi một phần tử lũy đẳng.

(iii) Mọi iđêan trái (phải) hữu hạn sinh được sinh bởi một lũy đẳng.

(iv) Mọi R - môđun trái (phải) là phẳng (môđun R M được gọi là môđun phẳng nếu mỗi đơn cấu R - môđun phải f A: R →B R đều cảm sinh một đơn

cấu f ⊗ 1 :M A M⊗ → ⊗B M Điều kiện tương đương với định nghĩa môđun

phẳng là: R M là môđun phẳng khi và chỉ khi với mỗi iđêan phải hữu hạn sinh A của R , phép nhúng chính tắc i A: →R R cảm sinh đơn cấu i⊗ 1M , xem

( )ii ⇒ ( )iii Trước hết xét iđêan trái sinh bởi hai phần tử A Rr Rr= 1 + 2 Theo

(ii) tồn tại lũy đẳng e1 sao cho Rr1 =Re1 Vì r2 =r e2 1 +r2(1 −e1) nên

phép nhúng chính tắc : i A→R R cảm sinh đơn cấu i⊗1M Theo (iii), tồn tạiphần tử lũy đẳng e R∈ sao cho A eR= Theo Hệ quả 1.1.5 ta có

(1 )

R

R =eR⊕ −e R Gọi p R: R →eR là phép chiếu chính tắc, ta có pi= 1A Vì

vậy ( p⊗ 1M) (i⊗ 1M) (= pi⊗ 1M)=(1A⊗ 1M) = 1A M⊗ Suy ra i⊗ 1M là đơn cấu.

( )iv ⇒ ( )i Để chứng minh điều này ta sử dụng kết quả sau, đã được chứng

minh trong [1]: “Giả sử R M là môđun phẳng, N là môđun con của R M Khi

đó, M N/ là môđun phẳng khi và chỉ khi IN IM= I N với mọi I là iđêan phải hữu hạn sinh của R ”.

Với mỗi r R∈ thì R Rr/ là R - môđun phẳng Do đó áp dụng kết quả trênvới R M = R R N Rr I rR, = , = thì ta có rRr=( ) ( ) ( )rR Rr = rR R Rr rR RrI = I Vì

r rR Rr rRr∈ I = nên tồn tại x R∈ sao cho r rxr= Vậy R chính qui.W

1.2.10 Hệ quả Mọi vành chính qui có căn Jacobson bằng 0 Do đó vành

chính qui là nửa nguyên tố (vành nửa nguyên tố là vành có căn nguyên tố bằng 0 Trong tài liệu [1] đã chứng minh căn nguyên tố là tập con của căn Jacobson).

Chứng minh Giả sử r Rad R∈ ( ) Vì R là vành chính qui nên tồn tại phần tửlũy đẳng e sao cho rR eR= Do đó e Rad R∈ ( ) Vì vậy 1 e− khả nghịch Mà

e − =e nên e= 0 Vậy r= 0.W

1.2.11 Hệ quả Nếu số lượng lũy đẳng của một vành chính qui R là hữu hạn thì R là nửa đơn (vành R nửa đơn khi và chỉ khi nó Artin và nửa nguyên tố, xem trong [1]).

Chứng minh Vì số lượng các lũy đẳng là hữu hạn mà mọi iđêan chính trái

đều sinh bởi một lũy đẳng nên R có hữu hạn các iđêan chính trái Vì mỗiiđêan trái là tổng của những iđêan chính trái nên số lượng các iđêan trái của

R là hữu hạn Do đó R là vành Artin Mà theo Hệ quả 1.2.10, R cũng là nửanguyên tố nên R là nửa đơn.W

1.2.12 Định lý Cho R là một vành chính qui giao hoán Khi đó:

(i) Mọi iđêan xyclic I của R là lũy đẳng (tức là II = I)

(ii) Mọi iđêan bất khả qui là ideal nguyên tố.

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH CHÍNH QUI MẠNH

2.1 MỞ RỘNG Rµ M

2.1.1 Xây dựng mở rộng Rµ M Cho R là một vành và M là một song

môđun trên R Mở rộng tầm thường của R và M là

Chứng minh * Trước hết ta chứng minh Rµ M một vành.

1 Rµ M là nhóm giao hoán với phép cộng

Dễ thấy vì phép cộng trong R và phép cộng trong M có tính chất kết hợp,

giao hoán Phần tử 0 trong Rµ M là (0 ,0R M) , phần tử đối của ( )a x, là

(− −a x, ).

2 Rµ M là nửa nhóm với phép nhân

Vì với mọi ( ) ( ) ( )a x, , ,b y , ,c z ∈ µR M ta có ( ) ( ) ( )a x b y, ,  c z, =

(ab ay xb c z, + ) ( ), = (abc , abz ayc xbc+ + ) và ( ) ( ) ( )a x,  b y c z, ,  =

( ) (a x bc bz yc, , + ) = (abc abz ayc xbc, + + ) nên phép nhân có tính chất kết hợp.

3 Phép nhân phân phối hai phía đối với phép cộng

Vì với mọi ( ) ( ) ( )a x, , ,b y , ,c z ∈ µR M ta có ( ) ( ) ( )a x, + b y,  c z, =

(a b x y c z+ , + ) ( ), = (ac bc az bz xc yc+ , + + + ) và ( ) ( ) ( ) ( )a x c z, , + b y c z, , =

(ac az xc, + ) (+ bc bz yc, + ) = (ac bc az bz xc yc+ , + + + ) nên phép nhân phân phối

bên phải với phép cộng Hoàn toàn tương tự ta có phép nhân phân phối bêntrái với phép cộng

Dễ thấy ϕ là toàn ánh nên Im( )ϕ = µR R.

Vì Ker( )ϕ ={ f ∈R x  : ϕ( )f = 0} nên nếu f ∈ Ker( )ϕ thì f có dạng

• Với σ : R→R r; a σ( )r là đồng cấu vành thì R x , σ  bao gồm các

phần tử là các đa thức biến x , hệ số trong R cùng với phép cộng được định

nghĩa giống với phép cộng trong R x  và phép nhân được định nghĩa bởi

• Với σ :R→R r; a σ( )r là đồng cấu vành thì R( )σ bao gồm các phần

tử là các phần tử của R cùng với phép cộng hai phần tử là phép cộng trong

R , phép nhân vô hướng bên trái và bên phải xác định bởi ∀ ∈r R m R, ∈ σ( ) ta

có rm rm= và mr m r= σ( ), thì R( )σ là (R R, ) – song môđun

2.1.3 Mệnh đề Nếu R là một vành và σ : R→R là một tự đồng cấu vành của R thì R x ,σ/( )x2 ≅ µR R( )σ .

Dễ thấy ϕ là toàn ánh nên Im( )ϕ = µR R( )σ .

Do Ker( )ϕ ={ f ∈R x  : ϕ( )f = 0} suy ra nếu f ∈ Ker( )ϕ thì f có dạng

R Ra≅ a với It( )a là linh hóa tử trái của a trong R

Vành R được gọi là morphic trái nếu mọi phần tử của R là morphic trái

Hoàn toàn tương tự ta định nghĩa vành morphic phải.

Vành R được gọi là morphic nếu nó vừa là morphic trái vừa là morphic

phải

2.2.2 Mệnh đề Cho R là một vành Khi đó:

(i) Phần tử a trong R là morphic trái nếu và chỉ nếu tồn tại b trong R

sao cho Ra= It( )b và Rb= It( )a .

(ii) Phần tử a trong R là morphic phải nếu và chỉ nếu tồn tại b trong R

Vậy a là morphic trái

(ii) Chứng minh tương tự (i).W

2.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH CHÍNH QUI MẠNH

2.3.1 Định nghĩa Vành R được gọi là chính qui mạnh nếu và chỉ nếu với

mọi a R∈ tồn tại x R∈ sao cho a a x= 2

2.3.2 Định lý Cho R là một vành Các mệnh đề sau tương đương:

(i) R là vành chính qui mạnh.

(ii) R là vành chính qui và không có phần tử lũy linh nào khác không.

(iii) R là vành chính qui và mọi lũy đẳng trong R đều thuộc tâm của R Chứng minh ( ) ( )i ⇒ ii Vì R là vành chính qui mạnh nên với mọi a R∈ , tồntại x R∈ sao cho a a x= 2 Do đó a = a x2 = aax = aa xx2 = a x3 2 =

1 ,

n n

a x −

= n≥ 2 Giả sử tồn tại phần tử lũy linh 0 a R≠ ∈ Suy ra, tồn tại n≥ 2

sao cho a n = 0 Vậy a a x= n n−1 = 0 Ta có điều mâu thuẫn Vậy, trong R không

có phần tử lũy linh nào khác 0

( ) ( )iii ⇒ i Giả sử a R∈ Vì R là chính qui nên tồn tại x R∈ sao cho a axa= .

Vì ax là lũy đẳng nên ax thuộc tâm Do đó a a x= 2 Vậy R là chính qui

Chứng minh (i) Vì ax lũy đẳng nên ax thuộc tâm của R Do đó ta có (i).

a a x= ⇒ xa xa x ax= =

(iii) Vì R chính qui nên aR eR= Mà e thuộc tâm của R nên eR Re= W

2.3.4 Ví dụ (1) Mọi vành chính qui giao hoán là vành chính qui mạnh.

(2) Mọi vành chia được D là vành chính qui mạnh.

Thật vậy, vì D là vành chia được nên D là chính qui Mặt khác, D chỉ có

hai phần tử lũy đẳng là 0 và 1 Vì giả sử 0 e D≠ ∈ thỏa e2 =e Tồn tại e− 1 saocho e e e e−1 = −1 = 1 Do đó, 1 =e e. −1 =e e2 −1 =e e e . −1 =e.1 =e Rõ ràng 0 và 1

thuộc tâm của D Vậy D là vành chính qui mạnh.

(3) Tích trực tiếp của các vành chia được là chính qui mạnh

(4) Cho V là không gian véctơ trên vành chia được D thỏa DimV = 1 Khi

đó EndD V là chính qui mạnh vì End D V ≅D

2.3.5 Định lý Nếu R là vành chính qui mạnh thì với mọi a R∈ , tồn tại phần

tử khả nghịch u R∈ , sao cho a aua= .

Chứng minh Giả sử a R∈ Vì R là vành chính qui mạnh nên tồn tại x R∈ saocho a a x= 2 Khi đó ta cũng có a axa= Đặt e xa= Ta có e là phần tử lũyđẳng Đặt f = − 1 e, u ex f= + , v ea f= + Ta có v u =(ea f ex f+ ) ( + ) =

2

eaex eaf+ + fex f+ Vì e thuộc tâm, f lũy đẳng và af = 0, nên v u =

1

eax f+ =xaax f+ =xa f+ = + =e f Tương tự ta có uv= 1

Vậy: aua a ex f a aexa afa axaxa axa a= ( + ) = + = = = W

2.3.6 Hệ quả Nếu R là vành chính qui mạnh thì với mọi a R∈ , a v e= với v

là phần tử khả nghịch và e là phần tử lũy đẳng.

Chứng minh Từ Định lý 2.3.5 ta có v e =(ea f e eae xaaxa xa+ ) = = = 2 =a.W

2.3.7 Định lý Nếu R là vành chính qui mạnh thì:

(i) Mọi iđêan chính trái (phải) đều sinh bởi một lũy đẳng.

(ii) Mọi iđêan một phía là iđêan hai phía.