Nghiệm xấp xỉ của bài toán đối ngầu tựa cân bằng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN LÊ THỊ THÚY NGA NGHIỆM XẤP XỈ CỦA BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU TỰA CÂN BẰNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Hà Nội - 2019... KHOA TOÁNL

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

LÊ THỊ THÚY NGA

NGHIỆM XẤP XỈ CỦA BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU TỰA CÂN BẰNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Hà Nội - 2019

KHOA TOÁN

LÊ THỊ THÚY NGA

NGHIỆM XẤP XỈ CỦA BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU TỰA CÂN BẰNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn: PGS TS Khuất Văn Ninh

ThS Nguyễn Quốc Tuấn

Hà Nội - 2019

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Khuất Văn Ninh và thầy Th.S NguyễnQuốc Tuấn, đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo em trong quá trìnhnghiên cứu để em có thể hoàn thành khóa luận này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các Thầy, Côtrong khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã truyền đạt nhữngtri thức, tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt việc học tập và thựchiện khóa luận

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trìnhhọc tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Do thời gian và kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế nên bài khóaluận không thể tránh khỏi những sai sót Em rất mong nhận được nhữnglời góp ý quý báu của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên

Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2019

Sinh viên

Lê Thị Thúy Nga

Em xin cam đoan khóa luận này là công trình nghiên cứu của riêng emdưới sự hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh và ThS Nguyễn QuốcTuấn Trong khi nghiên cứu và hoàn thành bản khóa luận này, em đã thamkhảo một số tài liệu đã ghi trong phần Tài liệu tham khảo.

Em xin khẳng định kết quả của đề tài "Ngiệm xấp xỉ của bài toánđối ngẫu tựa cân bằng" là kết quả của việc nghiên cứu và nỗ lực củabản thân em không trùng lặp với kết quả của các khóa luận khác Nếu sai

em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2019

Sinh viên

Lê Thị Thúy Nga

Rn Không gian vector Euclid n-chiều

X∗ Không gian đối ngẫu topo của không gian topo tuyến tính XL(X, Y ) Không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y

A ∩ B Giao của hai tập hợp A và B

A \ B Hiệu của hai tập A và B

A × B Tích Descartes của hai tập hợp A và B

conv(A) Bao lồi của tập A

cl A Bao đóng topo của tập A

int A Phần trong topo của tập A

cone A Bao nón của A (nón được sinh ra từ tập A)

Lời mở đầu 1

Chương 1.Một số kiến thức cơ bản 6

1.1.Không gian vector topo lồi địa phương Hausdorff 6

1.1.1 Không gian topo 6

1.1.2 Không gian vector topo, không gian lồi địa phương Hausdorff 8

1.2.Khái niệm ánh xạ đa trị 9

1.2.1 Nón-dưới vi phân -yếu, Nón-dưới vi phân Bensen -chính thường 10

1.2.2 Ánh xạ đa trị ic-nón-giống lồi 11

Chương 2.Bài toán tựa cân bằng vector và đối ngẫu của nó 15

2.1.Giới thiệu bài toán cân bằng vector 15

2.1.1 Bài toán cân bằng vector tổng quát 18

2.1.2 Đối ngẫu của bài toán cân bằng vector 18

2.2.Bài toán tựa cân bằng vector và -đối ngẫu của nó 19

2.2.1 Bài toán tựa cân bằng vector 19

2.2.2 Bài toán -đối ngẫu của bài toán tựa cân bằng vector 20

Chương 3.Tính chất đối ngẫu xấp xỉ trong các bài toán tựa cân bằng vector 22

3.1.Điều kiện đủ cho nghiệm xấp xỉ 22

3.2.Điều kiện cần cho nghiệm xấp xỉ 24

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thúy Nga

3.3.Mối quan hệ giữa nghiệm xấp xỉ của bài toán -đối ngẫu vớibài toán tựa cân bằng vector 35Tài liệu tham khảo 40

LỜI MỞ ĐẦU

Bài toán tựa cân bằng đã được giới thiệu như là một phương pháp tiếpcận thống nhất cho các vấn đề khác nhau xuất hiện trong các lĩnh vực lýthuyết tối ưu, bất đẳng thức bất biến, các bài toán bù, điểm yên ngựa, cácđịnh lý điểm cố định Bài toán cân bằng được mở rộng và phát triểnmạnh Cho tới hiện nay nghiên cứu các bài toán cân bằng chủ yếu đượctập trung vào sự tồn tại nghiệm và độ nhạy nghiệm Về đối ngẫu của bàitoán cân bằng cũng đã có một số kết quả ban đầu Ở đó, sơ đồ cho bàitoán đối ngẫu đã được xây dựng như là mở rộng của lý thuyết đối ngẫu

cổ điển cho các bài toán bất đẳng thức biến phân và mối quan hệ giữa bàitoán gốc và bài toán đói ngẫu đã được thiết lập nhờ khái niệm đơn điệusuy rộng Bài toán đối ngẫu cho bài toán cân bằng và sự mở rộng đã đượcxây dựng với sự tham gia của phép biến đổi liên hợp Tuy nhiên chúng tamới biết đến đối ngẫu trong bài toán cân bằng vô hướng và nghiệm đượchiểu là nghiệm chính xác mà chưa hiểu rõ bài toán cân bằng vectơ với ánh

xạ đa trị và mối quan hệ giữa nghiệm xấp xỉ của bài toán đối ngẫu vớinghiệm xấp xỉ của bài toán ban đầu

Khóa luận tập trung làm rõ một số vấn đề sau: Giới thiệu bài toán cânbằng vector tổng quát và đối ngẫu của bài toán cân bằng vector, cũngnhư bài toán tựa cân bằng vecto và -đối ngẫu của bài toán tựa cân bằngvector, các điều kiện cho nghệm xấp xỉ của bài toán và quan trọng nhất

là mối quan hệ giữa xấp xỉ của bài toán đối ngẫu với nghiệm xấp xỉ củabài toán ban đầu

Bố cục của khóa luận bao gồm ba chương:

Chương 1 của khóa luận trình bày lại một số kiến thức về không gian

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thúy Nga

topo lồi đia phương Hausdorff, khái niệm ánh xạ đa trị, nón và một sốtính chất về nón

Chương 2 giới thiệu về bài toán cân bằng vector tổng quát và đối ngẫucủa cân bằng vector và đặc biệt xét đến bài toán tựa cân bằng vector sauđây:

Bài toán (P): Tìm x0 ∈ X sao cho x0 ∈ A(x0) và

∀x ∈ A(x0), F (x, x0) ⊂ Y \ − int D

Ở đây X và Y là các không gian vector topo lồi địa phương, D ⊂ Y làmột nón lồi có phần trong khác rỗng, A : X → 2X giả sử được cho bởi

A(x) := {x0 ∈ A0 : G(x0, x) ∩ −E 6= ∅}

Ở đó, ∅ kí hiệu là tập rỗng, A0 ⊂ X là một tập con khác rỗng của X và

F : X × X → 2Y là các ánh xạ đa trị Bài toán (P) là một trường hợpriêng của các mô hình tổng quát trong lý thuyết các điểm cân bằng.Với mỗi điểm  ∈ D, ta nói x0 ∈ X là một -nghiệm của bài toán (P)

Ở đây ∂Df (x, y) là D-dưới vi phân -yếu của f : X → 2Y tại điểm (x, y)

thuộc đồ thị của f và

L+(v + E, D − ) = {T ∈ L(Z, Y ) : T (v + E) ⊂ D − }

Với mỗi q0 = (ξ0, u0) ∈ A0× Y và mỗi q = (ξ, u) ∈ A0× Y, khi đó ta đặt

F (q0, q) := F ((ξ0, u0), (ξ, u)) := u0 − u

Bài toán -đối ngẫu của (P) được hiểu là bài toán D sau đây

Bài toán (D): Tìm q0 = (x0, u0) ∈ C(q0) sao cho

∀q = (ξ, u) ∈ C(q0), F (q0, q) ∈ Y \ − int D

Nếu biểu thức trên được thay bằng

∀q = (ξ, u) ∈ C(q0), F (q0, q) +  ∈ Y \ − int D

thì q0 = (x0, u0) được gọi là -nghiệm của bài toán (D)

Trong chương 3, chúng tôi đưa ra điều kiện đủ để x0 là 2-nghiệm củabài toán (P) và q0 là 2-nghiệm của bài toán (D), cụ thể:

"Cho D là một nón lồi có phần trong khác rỗng,  ∈ D và x0 thỏa mãnđiều kiện 0 ∈ Fx0(x0) Nếu x0 là một điểm bất động của ánh xạ đa trị A

và q0 = (x0, u0), là một điểm bất động của ánh xạ đa trị C thì

(a) 0Y ∈ F (x0, x0),

(b) x0 là 2 −nghiệm của bài toán (P),

(c) q0 là 2 −nghiệm của bài toán (D)."

Để xây dựng điều kiện cần chúng ta phải sử dụng điều kiện ràng buộcchính quy (CQ) Ta nói rằng điều kiện (CQ) được thỏa mãn nếu

Z = cl cone[Gx0(A0) + E],

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thúy Nga

và sử dụng kí hiệu D+ là nón đối ngẫu không âm của nón D:

D+ := {y∗ ∈ Y∗ : hy∗, di ≥ 0, ∀d ∈ D}

Khi đó:

"Cho D ⊂ Y là một nón lồi của Y với phần trong khác rỗng và cho

 ∈ {0} ∪ int D Giả sử x0 là một điểm thỏa mãn điều kiện

x0 ∈ dom Gx0 ⊂ dom Fx0 ⊂ A0, 0Y ∈ Fx0(x0)

và (Fx0 + ) × Gx0 là ánh xạ ic-D × E-giống lồi và thỏa mãn điều kiện

(CQ) Nếu x0 là một -nghiệm của bài toán (P), thì

(i) Tồn tại (y0∗, z0∗) ∈ D+ × Z∗, y∗ 6= 0, sao cho với mọi z0 ∈ G(x0, x0) ∩

−E các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2019

Sinh viên

Lê Thị Thúy Nga

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản

Chương này, nhắc lại những kiến thức cơ bản cần dùng trong nhữngchương tiếp theo của khóa luận như: không gian topo tuyến tính lồi địaphương Hausdorff; ánh xạ đa trị; các khái niệm về nón trong giải tích lồi

1.1 Không gian vector topo lồi địa phương

Haus-dorff

Trong mục này, tôi trình bày một số khái niệm như: không gian topo,không gian topo lồi địa phương Hausdorff Phần lớn các kiến thức trongmục này được tham khảo từ [1]

1.1.1 Không gian topo

Định nghĩa 1.1 Cho X là một tập hợp

1) Một họ τ những tập con của X được gọi là một tập topo trên X nếu:

i) Hai tập ∅, X đều thuộc họ τ;

ii) τ kín đối với phép giao hữu hạn, tức là giao của một số hữu hạntập thuộc họ τ thì cũng thuộc họ τ;

iii) τ kín đối với phép hợp bất kỳ, tức là hợp của một số hữu hạn hay

vô hạn tập thuộc họ τ thì cũng thuộc họ τ

2) Tập X cùng với topo τ trên X được gọi là không gian topo (X, τ ),hay không gian topo X

3) Các tập thuộc họ τ được gọi là tập mở

4) Khi có hai tập topo τ, τ0 trên X, nếu τ ⊆ τ0, ta nói topo τ yếu hơn(thô hơn) topo τ0 hay topo τ0 mạnh hơn (mịn hơn) topo τ Trườnghợp không có quan hệ đó,ta nói hai topo không so sánh được

Trong không gian metric (X, d) họ τ các tập mở trong X cũng là mộttopo trên X, ta gọi nó là một topo metricd, điều đó có nghĩa là mọi khônggian metric (bao gồm cả không gian định chuẩn và không gian Hilbert),đều là không gian topo

Trong một không gian topo đã định nghĩa các tập mở, ta có thể địnhnghĩa được khái niệm lân cận, giới hạn, phần trong, bao đóng, một cáchkhái quát hơn các khái niệm đã định nghĩa trong không gian metric.Định nghĩa 1.2 Cho không gian topo (X, τ ), A ⊆ X

1) Tập con V của không gian X được gọi là lân cận của A nếu V baohàm một tập mở chứa A;

2) Lân cận của phần tử x ∈ X là lân cận của tập con {x} Họ tất cảcác lân cận của một điểm gọi là hệ lân cận của điểm đó

Định nghĩa 1.3 Cho X, Y là hai không gian topo

1) Một ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục tại điểm x ∈ X nếu vớimỗi lân cận U của f (x) trong Y, đều tồn tại lân cận V của x trong

X thỏa mãn f (V ) ⊆ U

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thúy Nga

2) Ánh xạ f được gọi là liên tục trên không gian topo X nếu f liên tụctại mọi điểm thuộc X

Tương tự khái niệm ánh xạ đồng phôi, ánh xạ mở, đóng, được mở rộngmột cách tự nhiên trong không gian topo Một topo có thể được xác định

từ một họ con của nó, được gọi là cơ sở của topo đó

Định nghĩa 1.4 Cho không gian topo (X, τ )

1) Cho x ∈ X, họ Vx nào đó gồm các lân cận của điểm x được gọi làmột cơ sở địa phương của topo τ tại điểm x (hay cơ sở lân cận tại x),nếu với bất kì lân cận V của điểm x luôn tồn tại tập U ∈ Vx sao cho

x ∈ U ⊆ V

2) Họ con V các phần tử của τ được gọi là một cơ sở của topo τ trên X

nếu mọi phần tử của τ đều là hợp của một số phần tử thuộc V.Định nghĩa 1.5 Không gian topo (X, τ ) được gọi là không gian Hausdorffnếu đối với hai điểm khác nhau tùy ý x, y ∈ X luôn tồn tại các lân cận V

của x, U của y sao cho V ∩ U = ∅

1.1.2 Không gian vector topo, không gian lồi địa phương

Hausdorff

Định nghĩa 1.6 Cho X là một không gian vector trên trường K

1) Một topo τ trên X được gọi là tương thích với cấu trúc đại số của X

đều là các ánh xạ liên tục.

2) Một không gian topo tuyến tính hay không gian vector topo trên trường

K là một cặp (X, τ ), trong đó X là một không gian vector trên trường

K, còn τ là một topo tương thích với cấu trúc đại số của X

Trong số các không gian vector topo, lớp không gian đặc biệt quantrọng là không gian vector topo lồi địa phương

Định nghĩa 1.7 Cho tập A là con của không gian vector topo X Ta nóitập A là tập lồi nếu

αA + (1 − αA) ⊂ A, ∀α ∈ (0, 1)

Định nghĩa 1.8 Một không gian vector topo X được gọi là không gianvector topo lồi địa phương (với topo của nó là topo lồi địa phương), nếutrong X có một cơ sở lân cận (của gốc) gồm toàn tập lồi Hơn nữa, nếukhông gian vector topo lồi địa phương X đồng thời là không gian Hausdorffthì X được gọi là không gian vector topo lồi địa phương Hausdorff

1.2 Khái niệm ánh xạ đa trị

Trong mục này, tôi giới thiệu khái quát một số khái niệm về ánh xạ đatrị có liên quan trong khóa luận và tập chung giới thiệu một số khái niệm

về nón Phần này được hoàn thành chủ yếu dựa trên tài liệu [2]

Định nghĩa 1.9 Cho X, Y là hai tập bất kỳ Ánh xạ f từ X vào 2Y (2Y

là họ các tập con của Y) ứng với mỗi một phần tử của X với một tập concủa tập Y Khi đó, ánh xạ f được gọi là ánh xạ đa trị từ X vào Y Kíhiệu

f : X → 2Y hay X ⇒ Y

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thúy Nga

Định nghĩa 1.10 Miền hữu hạn của ánh xạ đa trị f là tập hợp tất cảcác x ∈ X sao cho f (x) 6= ∅ Kí hiệu dom f

dom f := {x ∈ X : f (x) 6= ∅}

Định nghĩa 1.11 Miền ảnh của ánh xạ đa trị f là tập hợp tất cả các tậphợp f (x) ⊂ Y với mọi x ∈ X Kí hiệu im f

im f := [{f (x) : x ∈ X}

Định nghĩa 1.12 Đồ thị của ánh xạ đa trị f là tập hợp tất cả các (x, y) ∈

X × Y sao cho y ∈ f (x) Kí hiệu gr f

gr f := {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ f (x)}

1.2.1 Nón-dưới vi phân yếu, Nón-dưới vi phân Bensen

-chính thường

Kí hiệu L(X, Y ) là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X

vào Y Cho Qlà một tập con của Y Kí hiệucl Q là bao đóng của tậpQvà

int Q là phần trong của tập Q Tập D ⊂ Q được gọi là nón nếu λD ⊂ D

với mọi λ ∈ R+ Một nón lồi D được gọi là nhọn nếu D ∩ −D = {0Y} Ta

kí hiệu cone Q = {λq : λ > 0, q ∈ Q} là nón sinh ra bởi tập Q Cho  làmột điểm nào đó thuộc nón lồi D Các định nghĩa sau đây là sự mở rộngcủa khái niệm -dưới vi phân của ánh xạ đơn trị trong giải tích lồi

Định nghĩa 1.13 Cho D ⊂ Y là một nón lồi trong Y với phần trongkhác rỗng Một ánh xạ T ∈ L(X, Y ) được goi là D-dưới gradient -yếu của

f tại (x, y) ∈ gr f nếu

y − T (x) ∈ WMin[im(f − T ), D]

Nhắc lại

WMin[Q, D] = {q ∈ Q : (Q − q + ) ∩ − int D = ∅}, Q ⊂ Y

Định nghĩa 1.14 Tập tất cả các D-dưới gradient -yếu của f tại (x, y) ∈

gr f được gọi là D-dưới vi phân -yếu của f tại (x, y) ∈ gr f và kí hiệu là

∂Df (x, y)

Nếu không có sự nhầm lẫn thì ta viết ∂f (x, y) thay cho∂Df (x, y) Nếu

 = 0Y thì định nghĩa trên trùng với định nghĩa thông thường

Định nghĩa 1.15 Cho D ⊂ Y là một nón lồi trong Y với phần trongkhác rỗng Một ánh xạT ∈ L(X, Y ) được gọi là BensonD-gradient -chínhthường của f tại (x, y) ∈ gr f nếu

Nếu  = 0Y thì định nghĩa trên trùng với định nghĩa thông thường

1.2.2 Ánh xạ đa trị ic-nón-giống lồi

Phần này đưa ra một số khái niệm về ánh xạ đa trị ic-nón-giống lồi.Đầu tiên là các khái niệm về tập lồi suy rộng Cho Y là không gian lồi địaphương và A ⊂ Y là một tập con khác rỗng

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thúy Nga

Định nghĩa 1.17 Tập A được gọi là gần lồi nếu αA + (1 − αA) ⊂ A,với α ∈ (0, 1) nào đó

Định nghĩa 1.18 Tập A được gọi là đóng lồi nếu cl A là tập lồi

Định nghĩa 1.19 Tập A được gọi là int-lồi (hay i-lồi) nếu int A là tậplồi và nếu A ⊂ cl(int A)

Ta thấy tập A là i-lồi thì int A 6= ∅ Định lý sau đây cho ta khái niệmlồi suy rộng

Định lý 1.1 Cho int Q 6= ∅ khi đó (a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇔ (d) ⇔ (e) trongđó:

(a) Q là tập lồi, nghĩa là αQ + (1 − α)Q ⊂ Q với mọi α ∈ (0, 1);(b) Q là tập gần lồi, nghĩa là αQ + (1 − α)Q ⊂ Q với α nào đó trongkhoảng (0, 1);

(c) Q là tập đóng-lồi (nghĩa là cl Q là tập lồi) và int cl Q = int Q;(d) α int Q + (1 − αQ) ⊂ int Q, ∀α ∈ (0, 1);

(e) Q là tập i-lồi

Bổ đề 1.1 Cho A và B là hai tập con khác rỗng của Y và int A 6= ∅.Nếu int A + B là lồi và nếu A + B ⊂ cl(int A + B) thì

int A + B = int(A + B) = int cl(A + B),

cone int(A + B) = int cone(A + B)

Định nghĩa 1.20 Tập A được gọi là int cone-lồi (hay ic-lồi) nếu cone A

là tập i-lồi

Cho D0 ⊂ Y là một tập khác rỗng

Định nghĩa 1.21 Tập A được gọi là ic-D0-lồi nếu A + D0 là tập ic-lồi

Định nghĩa 1.22 Cho D0 ⊂ Y là một tập con khác rỗng của Y Ánh xạ

đa trị f : X → 2Y được gọi là ic −D0−giống lồi nếu im f là ic-D0-lồi

Áp dụng Định lý 1.2 với A = im f ta sẽ tìm được các điều kiện đủ để

f là ic-D0-lồi

Chú ý rằng trong định nghĩa trên ta thấy cả hai tập D0 vàdom f khôngnhất thiết là tập lồi, D0 có thể không là nón Đặc biết f là ic-D0-giống lồinếu D0 là một nón lồi có phần trong khác rỗng và nếu im f là tập lồi.Những khái niệm trên cùng với Định lý 1.3 tách tập lồi được sử dụngnhư một công cụ chính để thiết lập các điều kiện tối ưu cho bài toán tối

ưu vector với ánh xạ đa trị

Định lý 1.3 Giả sử A, B là hai tập hợp lồi khác rỗng trong không gianvector topo lồi địa phương X, A ∩ B = ∅, int A 6= ∅ Khi đó, tồn tại

x∗ ∈ X∗, x∗ 6= 0X∗, tách A và B tức là: hx∗, ai ≤ hx∗, bi , ∀a ∈ A, b ∈ B

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thúy Nga

Định lý 1.4 Cho D và K là hai nón của Y sao cho K ∩ D = {0Y} Nếu

D có một cơ sở compact và K là tập đóng, thì tồn tại một nón lồi nhọn

ˆ

D ⊂ Y sao cho D \ {0Y} ⊂ int ˆD và K ∩ ˆD = {0Y}

Bài toán tựa cân bằng vector và đối ngẫu của nó

2.1 Giới thiệu bài toán cân bằng vector

Cho K là một tập con khác rỗng của không gian vector topo X và Y làmột không gian vector topo sắp thứ tự theo nón C (int C 6= ∅), nghĩa là,với hai vectorx, y ∈ Y ta viếtx ≥ y nếux − y ∈ C Cho F : K × K → 2Y

là một ánh xạ đa trị giá trị khác rỗng Khi đó, chúng ta có hai dạng bàitoán cân bằng vector yếu tổng quát, kí hiệu GWVEPs, là bài toán: tìm

F (¯x, y) ⊆ Y \ (− int C), ∀y ∈ K

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thúy Nga

Tập nghiệm của bài toán (2.1.1) và (2.1.2) được kí hiệu lần lượt là Sol(GWVEPs)

và Sol(GWEPs)* Rõ ràng Sol(GWVEPs)* là tập con của Sol(GWVEPs).Bài toán cân bằng vector tổng quát, kí hiệu là GVEP, là bài toán: tìm

¯

x ∈ K sao cho

F (¯x, y) * −C \ {0}, ∀y ∈ K (2.1.3)Tập nghiệm của bài toán (2.1.3) được kí hiệu là Sol(GVEP)

Ngoài ra, chúng ta cũng có hai dạng bài toán cân bằng vector mạnhtổng quát, kí hiệu GSVEPs, là bài toán: tìm x ∈ K¯ sao cho

và tìm x ∈ K¯ sao cho

F (¯x, y) ∩ C = ∅, ∀y ∈ K (2.1.5)Tập nghiệm của bài toán (2.1.4) và (2.1.5) được kí hiệu lần lượt là Sol(GSVEPs)

và Sol(GSEPs)* Rõ ràng Sol(GSVEP) là tập con của Sol(GSVEPs)* Ví

dụ của VEPs là các bài toán tối ưu hóa vector, các bài toán bất đẳng thứcbiến phân vector, bài toán điểm yên ngựa,

Ví dụ 2.1 (Bài toán tối ưu hóa vector) Cho f : K → Y là một hàm giátrị vector Tập

f (x, y) = ϕ(x) − ϕ(y), ∀x, y ∈ K

Khi đó, các bài toán cân bằng vector được đề cập ở trên quy về các bàitoán tối ưu hóa vector và nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu mạnh của bàitoán tối ưu hóa vector

Ví dụ 2.2 (Bài toán bất đẳng thức biến phân vector) Cho T : K →L(X, Y ) là một toán tử phi tuyến Tập

f (x, y) = hT (x), y − xi , ∀x, y ∈ K

Khi đó, các bài toán cân bằng vector tương đương với các bài toán bấtđẳng thức biến phân tương ứng.

Ví dụ 2.3 (Bài toán điểm yên ngựa vector) Cho K1 và K2 là các tậpcon khác rỗng của X và G : K1× K2 → Y là một hàm giá trị vector Bàitoán điểm yên ngựa chính quy yếu là đi tìm x = ( ¯¯ x1, ¯x2) ∈ K1 × K2 saocho

G( ¯x1, y2) ≯ G(y1, ¯x2), ∀(y1, y2) ∈ K1 × K2 (2.1.6)Nếu ta thay ≯ bằng  (tương ứng bằng ≤), Khi đó, bài toán trên đượcgọi là bài toán điểm yên ngựa chính quy (tương ứng, bài toán điểm yênngựa chính quy mạnh)

Bài toán điểm yên ngựa vector yếu là: tìm x = ( ¯¯ x1, ¯x2) ∈ K1 × K2 saocho

G( ¯x1, y2) ≯ G( ¯x1, ¯x2) ≯ G(y1, ¯x2), ∀(y1, y2) ∈ K1 × K2 (2.1.7)Nếu ta thay ≯ bằng  (tương ứng, bằng ≤), Khi đó, bài toán điểm yênngựa vector yếu được goi là bài toán điểm yên ngựa vector (tương ứng, bàitoán điểm yên ngựa vector mạnh)

Rõ ràng, mỗi nghiệm của bài toán điểm yên ngựa chính quy (tương ứng,bài toán điểm yên ngựa chính quy yếu) là một nghiệm của bài toán điểmyên ngựa (tương ứng, bài toán điểm yên ngựa yếu), nhưng điều ngược lạikhông đúng vì ≯ không có tính chất bắc cầu Tập hợp K = K1 × K2 và

f : K × K → Y xác định bởi

f ((x1, x2), (y1, y2)) = G(y1, x2) − G(x1, y2),

với mọi (x1, x2), (y1, y2) × K1× K2 Khi đó, các bài toán cân bằng vectortương đương với các bài toán điểm yên ngựa chính quy tương ứng