Xấp xỉ hàm

Xấp xỉ tốt nhất trong không gian tuyến tính định chuẩn.... Xấp xỉ đều tốt nhất trong không gian tuyến tính định chuẩn Ca b;  .... Giải tích số là một môn khoa học nghiên cứu cách giải

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán đã tạo điều kiện, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình cho chúng em trong suốt bốn năm qua Đặc

biệt, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới thầy Nguyễn Văn

Hùng - người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và góp ý cho em trong quá trình

thực hiện khóa luận này

Em cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã động viên, giúp đỡ em trong suốt bốn năm học qua

Kính mong nhận được sự góp ý chân thành từ phía thầy cô và bạn đọc

Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên

Nguyễn Thị Thảo

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy Nguyễn Văn Hùng cùng với sự cố gắng của bản thân em trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận Ngoài ra, em có tham khảo thêm một số tài liệu khác của một số tác giả (đã nêu trong mục Tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả nghiên cứu của các tác giả khác Nếu sai, em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Sinh viên Nguyễn Thị Thảo

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

Chương 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1 Không gian tuyến tính 5

1.2 Không gian định chuẩn 6

1.3 Không gian Hilbert 8

Chương 2: PHÉP NỘI SUY 2.1 Đa thức nội suy Lagrange 10

2.3 Sai phân 26

2.4 Tỷ sai phân 34

Chương 3: XẤP XỈ ĐỀU 3.1 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian tuyến tính định chuẩn 49

3.2 Xấp xỉ đều tốt nhất trong không gian tuyến tính định chuẩn Ca b;  49

3.3 Một số trường hợp đặc biệt 51

3.4 Ví dụ 53

Chương 4: XẤP XỈ TRUNG BÌNH PHƯƠNG 4.1 Bất đẳng thức Bessel và bất đẳng thức Parseval 57

4.2 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert 58

4.3 Xấp xỉ tốt nhất trong L a b 602 ,  4.4 Ví dụ 67 KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

MỞ ĐẦU

Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc từ thực tiễn Cùng với thời gian, toán học ngày càng phát triển và chia thành hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết và Toán ứng dụng Nói đến toán ứng dụng, ta không thể không nói đến Giải tích số

Giải tích số là một môn khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng các phương trình, các bài toán xấp xỉ hàm số, các bài toán tối ưu Sự ra đời và phát triển của Giải tích số đã góp phần quan trọng tạo ra các thuật giải các bài toán thực tế như: các bài toán ngược trong lĩnh vực thăm dò, chuẩn đoán, nhận dạng…

Ngày nay, với sự phát triển của tin học thì các kiến thức của Giải tích số càng trở nên cần thiết Chúng ta đang được chứng kiến xu thế song song hóa đang diễn ra trong tất cả các lĩnh vực của Giải tích số Để tiết kiệm bộ nhớ máy tính, người ta đề xuất những phương pháp hữu hiệu xử lý hệ lớn, thưa như kỹ thuật nén ma trận, kỹ thuật tiền xử lý ma trận…

Vì những ứng dụng rộng rãi của Giải tích số cùng với niềm yêu thích bộ môn Giải tích số, em đã chọn đề tài cho khóa luận tốt nghiệp của em là: “Xấp

xỉ hàm”

Khóa luận gồm bốn chương:

Chương 1: Một số khái niệm cơ bản

Chương 2: Phép nội suy

Chương 3: Xấp xỉ đều

Chương 4: Xấp xỉ trung bình phương

c) (s t x ) sx tx (t xy)tx ty

1.2 Không gian định chuẩn

1.2.1 Một vài định nghĩa

Định nghĩa 1.3

định trên X lấy giá trị trên tập số thực: x R, x X thỏa mãn các điều kiện:

được gọi là một chuẩn trên X

Không gian tuyến tính X cùng với được gọi là một không gian tuyến

cùng xác định trên không gian tuyến tính X gọi là

tương đương nếu tồn tại hai hằng số c c  sao cho: 1, 2 0

c x  x c x  x X

Định nghĩa 1.5

Cho X Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn Ánh xạ , A X: Y

gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số M  sao cho: 0

là hai chuẩn cho trước

Gọi S xX : x11 Vì S đóng và X có số chiều hữu hạn nên 2 đạt

max và min trên S , kí hiệu là M và m tương ứng

Không gian L p 0,1 với hai phép toán trên là một không gian tuyến tính

Với xL p 0,1 , xét

1 1

0

( )

p p

x   x t dt

1.3 Không gian Hilbert

1.3.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 1.6

là tích vô hướng của ,x y, kí hiệu là x y nếu nó thỏa mãn các tính chất sau: ,a) x x, 0, x H

Cặp H, ,  gọi là không gian có tích vô hướng hay không gian tiền Hilbert

Không gian Hilbert là không gian tiền Hilbert đủ

Mọi không gian có tích vô hướng là không gian định chuẩn với chuẩn:

Xét X L a b2 ,  là không gian các hàm bình phương khả tích trên đoạn

a b bao gồm các hàm thực ( ),  x t xác định, bình phương khả tích trên a b , 

Hilbert

trừ, nhân, đạo hàm, tích phân dễ dàng thực hiện trên đa thức

2.1 Đa thức nội suy Lagrange

2.1.1 Đa thức nội suy Lagrange với mốc bất kỳ

Giả sử hàm số f x được cho dưới dạng bảng:  

Vậy P x  là đa thức nội suy cần tìm và được gọi là đa thức nội suy Lagrange

 Tính duy nhất của đa thức nội suy Lagrange

Giả sử đa thức P x cũng thỏa mãn các điều kiện trên Khi đó gọi  

phân biệt (Do  x j P x j P x j  y j  y j 0  j 0,n) Suy ra  x

phải là đa thức không Do đó P x P x 

2.1.2 Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều

Giả sử các mốc nội suy cách đều, tức x i1x i h  i 0,n1

n i i

Chú ý: Các hệ số  1 n i C n i không phụ thuộc vào f x , mốc nội suy và  

bước h nên có thể tính sẵn và lập bảng để sử dụng trong quá trình tính toán

 Nhận xét

tuyến tính); n  ta có đa thức nội suy Lagrange bậc hai Tổng quát: Nếu 2

Áp dụng công thức Lagrange cho hàm số   2

Dễ thấy 0 chính là hệ số của x trong cách viết chính tắc của đa thức 3 f x  

Từ đó đồng nhất các hệ số đồng bậc ta có điều phải chứng minh

k C n

Giả sử P x là đa thức nội suy bậc n của hàm số   f x  

Ta cố định giá trị xa b;  tùy ý và tìm cách ước lượng sai số





được chọn từ điều kiện F x   0 với x là điểm cần đánh giá sai số

Từ F x  f x P x C. x nên với F x   0 ta suy ra

   

 

f x P x C

Theo định lý Rolle thì F x  có ít nhất 0 n 1 nghiệm phân biệt trên khoảng a b và ;  F(n1) x  có ít nhất một nghiệm 0 a b;  nghĩa là

max

2.5

n n

nội suy Lagrange của nó tại mỗi điểm

– Sai số phương pháp R x rất lớn ngoài đoạn   x x , do đó khi dùng 0; n

công thức nội suy để thực hiện phép ngoại suy sẽ mắc phải sai số lớn

– Phép nội suy có độ chính xác thấp đối với các công đoạn ngoài rìa

2.2.2 Sai số tính toán

Giả sử thay vì biết các giá trị đúng y i  f x i i0,n ta chỉ biết các giá trị gần đúng y i i o n,  Khi đó, thay vì đa thức nội suy

n i

Ta có T x n  là đa thức bậc n với hệ số đầu là 2n1

Đa thức T x được gọi là đa thức Chebysev n 

 Tính chất của đa thức Chebysev:

 T n1 x 2xT x n T n1 x

 Đa thức T x có đúng n nghiệm phân biệt là n 

cos2

i

i x

b) Chọn mốc nội suy tối ưu

Gọi E là tập hợp tất cả các đa thức hệ số thực bậc n n 1 với hệ số cao nhất là 1 trên đoạn 1;1 Xét phiếm hàm : ER xác định bởi

 Chọn mốc nội suy tối ưu

Trong trường hợp a 1;b ta lấy mốc nội suy 1 x là nghiệm của đa i

Trong trường hợp ab bất kỳ ta dùng phép thế biến t 2x b a

2.3.2 Tính chất của sai phân

  là toán tử tuyến tính, nghĩa là  , R;f g, thì

 Nếu cconst thì  c 0

 n x n n h! ;n m x n 0 mn

 Nếu P x là đa thức bậc n thì  

0 !

i n

n i

i

x y i2

2.3.4 Ứng dụng của sai phân

Giả sử hàm số f x ta không biết biểu thức giải tích của nó mà chỉ biết  

2

y a

2.3.4.2 Nội suy ở cuối bảng

Ta gọi 2.22 và 2.23 là công thức nội suy Newton lùi

2.3.4.3 Nội suy ở giữa bảng

Giả sử các mốc nội suy được sắp xếp như sau:x i x0ih i 0, 1, , n Khi đó ta có các công thức nội suy như sau:

a) Công thức nội suy Gauss I

b) Công thức nội suy Gauss II

i i

c) Công thức nội suy Stirling

d) Công thức nội suy Bessel

Với 2n 2 mốc cách đều xn,xn1, ,x n1,x x n, n1 ta có công thức:

Để tính giá trị của hàm số tại các điểm ở gần đầu bảng của mốc nội suy

ta sử dụng công thức nội suy Newton tiến, ở gần cuối bảng ta sử dụng công

thức nội suy Newton lùi và ở giữa bảng thì ta sử dụng một trong các công

thức nội suy Gauss I, Gauss II, Stirling, Bessel

bảng của mốc nội suy, do đó áp dụng công thức nội suy Newton tiến với

thức nội suy Gauss I với x 0 0,10;x i x0ih i  2; ;3 ; t 0, 2 ta có:

Từ đây ta có hai hệ quả sau:

 Tỷ sai phân là toán tử tuyến tính

 Tỷ sai phân là hàm đối xứng:

b) Tỷ sai phân cấp m  của đa thức bậc m đồng nhất bằng 0 1

2.4.3 Đa thức nội suy Newton với mốc bất kỳ

Giả sử hàm số y f x  xác định trên đoạn a b; ; x ia b;   i 0,n

và x i x j i j Gọi L x là đa thức nội suy Lagrange của hàm n  y f x ;

ký hiệu L x x n ; 0;L x x x n ; 0; 1; là các tỷ sai phân của L x tại x Khi đó: n 

- Đa thức nội suy Newton cũng chính là đa thức nội suy Lagrange nhưng ở dạng khác

Các mốc nội suy không cách đều, ta sử dụng công thức nội suy Newton với mốc bất kỳ Ta lập bảng tỷ sai phân:

cho trước Nếu f x đơn điệu thì ta có thể xây dựng đa thức nội suy   P y  

dựa vào số liệu y x k, kn k0, với y k  f x k Đặt y  ta tìm được y x P y  

Ví dụ 2.18

Dựa vào bảng giá trị của hàm số hãy xác định giá trị của x tương ứng

với giá trị y f x 0

Dựa vào bảng giá trị của hàm số, hãy xác định giá trị của x tương ứng

với giá trị y f x  cho trước?

a)

Chú ý: Ta có thể sử dụng công thức nội suy Lagrange

a) Ta lập đa thức nội suy P y :  

2.5 Đa thức nội suy Hermitte và nội suy bằng hàm ghép trơn

2.5.1 Đa thức nội suy Hermitte

a) Bài toán

Tìm đa thức H2n1 x thỏa mãn các điều kiện sau:

thỏa mãn 3 điều kiện trên được gọi là đa thức nội suy Hermitte

 Nhận xét: Đa thức nội suy Hermitte có điểm riêng khác với đa thức nội

suy Lagrange và đa thức nội suy Newton là ngoài các yêu cầu về sự trùng nhau giữa đa thức nội suy và hàm số đã cho tại các mốc nội suy thì còn có yêu cầu về sự trùng nhau giữa các giá trị đạo hàm của chúng

2.5.2 Nội suy bằng hàm ghép trơn (spline đa thức)

Như đã biết phương pháp nội suy bằng đa thức có một nhược điểm là nếu nhiều mốc nội suy thì bậc của đa thức nội suy lớn, không thuận tiện trong tính toán Trong trường hợp này, ta có thể thực hiện phép nội suy nhờ những hàm ghép trơn (spline) là những đa thức từng khúc được ghép nối trơn tru

Giả sử hàm số f x xác định trên đoạn   a b Xét một phân hoạch của ; 

đoạn a b : ;  ax0 x1x n1x n b Gọi S m x là hàm nội suy ghép

trơn bậc m m 1 trên đoạn a b của hàm ;  f x với   f x C a b ;  Khi

đó S m x phải thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) là đa thức bậc m trên mỗi đoạn con x k1;x k k 1,n

m

C  a b m(iii) S m x k  f x k k 0,n

 Xây dựng hàm ghép trơn bậc 3: S x 3 

Giả sử trên đoạn a b hàm số ;  f x nhận giá trị tại các mốc nội suy   x i

i 1,n, trong đó x1a x; n b Ta xác định hàm ghép trơn bậc 3: S x trên 3 

i đoạn x x i; i1 Biểu thị mỗi hàm ghép trơn trên i đoạn đó là P x i 

i 1,n1 P x được tìm theo công thức: i 

Ta tính được các hệ số ,a b c d i i, i, i như sau:

XẤP XỈ ĐỀU 3.1 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian tuyến tính định chuẩn

3.1.1 Bài toán

hạn chiều của X và xX là một phần tử cố định Tìm phần tử x0X0 sao cho:

Định lý 3.2 (Tính duy nhất nghiệm của bài toán xấp xỉ tốt nhất)

Trong không gian tuyến tính định chuẩn lồi thực sự thì xấp xỉ tốt nhất tồn tại và duy nhất

Chú ý: Không gian định chuẩn X gọi là lồi thực sự nếu:

f C là tồn tại n 2 điểm luân phiên Chebysev ax0x1 x n1 b

sao cho f x i P x i   1i f P , i 0,n1 trong đó    1

3.3.2.Xấp xỉ bằng đa thức bậc nhất

Cho f x là hàm lồi trên đoạn   a b Nếu ;  f x là hàm tuyến tính thì  

đa thức xấp xỉ đều tốt nhất bậc nhất là Q x  f x 

Bây giờ giả sử f x không phải hàm tuyến tính Khi đó   Q x a0a x1 là

đa thức xấp xỉ đều tốt nhất của f x trên đoạn   a b ; 

Ta có f x a0 a x1  cũng là hàm lồi nên đạt cực trị tại một điểm duy nhất ca b;  Theo định lý Chebysev, tồn tại 3 điểm Chebysev, tại đó

       

0

f a f c a c f b f a a

Phương trình tiếp tuyến với đường cong y f t1  tại C có dạng:

hai trùng nhau Đa thức xấp xỉ tốt nhất bậc nhất của f là

 1; x Ta phải tìm đa thức bậc nhất Q x  ax sao cho: b

a b

f x   x  x Q x  a thì bài toán trở thành: Tìm đa thức xấp

xỉ đều tốt nhất bậc không của f x trên đoạn   1;2

Đặt

   

   

-1;2 -1;2

x x

Chương 4

XẤP XỈ TRUNG BÌNH PHƯƠNG

Xấp xỉ hàm số bằng phương pháp nội suy và phương pháp xấp xỉ đều có một số nhược điểm, chẳng hạn:

Phương pháp nội suy:

- Nếu nhiều mốc nội suy thì bậc của đa thức nội suy sẽ rất lớn

- Giá trị y i  f x i ,i0,n thường nhận được bằng thực nghiệm nên mắc sai số Do vậy đòi hỏi P x i  y i ,i0,n chưa thật hợp lý, ngoài ra dùng

phép nội suy sẽ mắc sai số lớn

Phương pháp xấp xỉ đều:

- Lớp hàm C a b ;  khá hẹp, thực tế cần xấp xỉ những hàm thuộc L a b2 ; 

- Đòi hỏi xấp xỉ đều tại mọi điểm xa b;  đôi khi quá chặt

Phương pháp xấp xỉ trung bình phương khắc phục được những nhược điểm trên

c



2 2 1

n i i

Mệnh đề 4.1

Chuỗi Fourier hội tụ, hơn nữa

1

i i i

Giả sử  e i i n1 là cơ sở của H Khi đó 0 0

1

n

i i i

n n

Giả sử G e e 1, , ,2 e n khi đó theo 0 4.5 ta có: 

4.3.1 Xấp xỉ bằng đa thức đại số

Cho hệ hàm  i 0

x  độc lập tuyến tính trên a b Gọi ,  P là tập hợp tất cả n

i n

a

s p x x dx :    

b

i i

i i

1 Hai hệ đa thức trực giao chỉ khác nhau những thừa số hằng số

2 Số nghiệm thực của đa thức trực giao Q x trên n  a b đúng bằng n ; 

3 Nghiệm của Q n1 x và Q x xen kẽ lẫn nhau n 

4 Mỗi đa thức trực giao Q x thỏa mãn công thức truy hồi sau: n 

a Q x  a x Q x a  Q  x  Sau đây, để đơn giản ta xét không gian L 2 1;1, với trường hợp L a b 2 ; 

tổng quát ta có thể dùng phép biến đổi để đưa đoạn a b về đoạn ;  1;1

4.3.2.1.Đa thức Legendre

p x  a  1;b  1Công thức Rodrigue:

;2

Các đa thức Legendre thu được bằng quá trình trực giao hóa Schmidt trên đoạn 1;1, hệ cơ sở đại số 1, ,x x2, ,x n,

Để giải bài toán 4.1 ta tìm đa thức xấp xỉ tốt nhất: 

1x T x n xT n x n T x n 0

1 2

2 1

2

n n

1cos

2 1

21

Phương trình vi phân H n2xH n2nH n 0.

1

1 2

 

0

12

4.3.3 Xấp xỉ trung bình phương hàm cho bằng bảng

Giả sử hàm số y f x  xác định trên đoạn a b và ta đã biết ; 

Trong L X , gọi    là phần tử thỏa mãn  x i 0  i 0,n

Ta đưa vào L X hai phép toán sau:  

f  x i :f x i , i 0, ,n  f L X ,   R

Khi đó L X là không gian tuyến tính  

Bây giờ ta đưa một tích vô hướng vào L X bằng cách đặt  

 với mn gồm m 1 hàm số cho trên đoạn

a b;  sao cho hệ này là hệ Chebysev, đồng thời hạn chế của chúng trên X ta

có m 1 phần tử  0, 1, ,m

Xét L1 là không gian con của L X sinh bởi    0, 1, ,m

Với f L X  bất kỳ, bài toán đặt ra là tìm P mL1 sao cho: