Tính ổn định với xác suất 1 của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên...14 CHƯƠNG 2: TOÁN TỬ KHUYẾCH TÁN VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN...21 2.1.
Trang 1LỜI MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây tính ổn định của hệ phương trình vi phân ngẫunhiên đã được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cưú
Đáng chú ý là các công trình nghiên cứu của Xuerong Mao và những cộng
sự của ông về tính ổn định mũ bình phương trung bình hay ổn định mũ hầu chắcchắc Đối với trạng thái cân bằng của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên cóchuyển đổi Máccốp hay không có chuyển đổi Điều đó bắt nguồn từ tầm quantrọng của tính ổn định của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên, bởi vì phươngtrình vi phân ngẫu nhiên là mô hình toán học phản ánh hoạt động của mỗi hệthống
Luận văn đề cập đến việc trình bày khái niệm toán tử khuyếch tán và vaitrò của toán tử đó trong việc nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình viphân ngẫu nhiên
Trong luận văn phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ với chuyển đổi Markov
có dạng:
dx(t) = f(x(t), x(t- ), t, r(t))dt + g(x(t), x(t- ), t, r(t))dwt)(1.1)
trong đó r(t) là Xích Markov lấy các giá trị trong tập S = {1,2,…,N} Phươngtrình này có thể được coi như là kết quả của N phương trình sau:
dx(t) = f(x(t), x(t- ), t, i )dt + g(x(t), x(t- ), t, i )dω(t), 1 i N(1.2)
Trong quá trình thực hiện luận văn, tác giả đã nhận được sự giúp đỡ nhiệttình của các thầy giáo, cô giáo, đồng nghiệp, bạn bè, người thân Với những tình
Trang 2cảm chân thành và trân trọng nhất, tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS.TS PhanĐức Thành, người trực tiếp hướng dẫn tác giả thực hiên luận văn này.
Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Văn Quảng,PGS.TS Trần Xuân Sinh, TS Nguyễn Trung Hòa, cùng các thầy cô giáo ở bộmôn Xác suất thống kê và ứng dụng, Khoa Toán, Khoa sau đại học – Trường ĐạiHọc Vinh
Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp
đã tận tình giúp đỡ, động viên để tác giả hoàn thành luận văn này
Vinh, ngày tháng 01 năm 2011
Tác giả Nguyễn Thị Duyên
Trang 4MỤC LỤC
Trang
LỜI MỞ ĐẦU 1
CHƯƠNG 1: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN 3
1.1 Các khái niệm của lý thuyết ổn định 3
1.2 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính 4
1.3 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất 5
1.4 Ổn định của hệ tuyến tính dừng 7
1.5 Ổn định của hệ tuyến tính không dừng 8
1.6 Ổn định của hệ phi tuyến 12
1.7 Tính ổn định với xác suất 1 của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên 14
CHƯƠNG 2: TOÁN TỬ KHUYẾCH TÁN VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 21
2.1 Toán tử khuyếch tán 21
2.2.Ứng dụng của toán tử khuyếch tán để nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ với chuyển đổi Markov 25
KẾT LUẬN 33
TÀI LIỆU THAM KHẢO 34
Trang 51.1.1 Định nghĩa Nghiệm x(t) của hệ gọi là ổn định theo Lyapunov nếu
) , ( ,
1.1.3 Định nghĩa Nghiệm x(t) của hệ gọi là ổn định tiệm cận theo Lyapunov
nếu nó ổn định và 0sao cho với y0 x0 thì limt y(t) x(t)
1.1.4 Định nghĩa Dùng phép biến đổi z = x - y ta đưa hệ (1.1) về hệ mới
z g ( x t, ) (1.2)
Trang 6trong đó g(t,x) = f( t, y + z) – f( t, y) Rõ ràng g(t,0) = 0 và hệ này cho hệ tầmthường z 0 Hệ này được gọi là hệ quy đổi.
1.1.5 Định nghĩa Nghiệm tầm thường( trạng thái cân bằng) x 0 gọi là ổn
định nếu 0 ,t0 0 , ( ,t0) sao cho bất kỳ nghiệm y(t) của hệ thỏa mãn
1.1.6 Định nghĩa Nghiệm tầm thường x 0 của hệ gọi là tiệm cận theo
Lyapunov nếu nó ổn định và 0sao cho bất kỳ nghiệm y(t) thỏa mãn
Khi đó nghiệm không của hệ không những ổn định tiệm cận mà mọi nghiệm của
nó tiến tới 0 nhanh với tốc độ của hàm số mũ
1.2 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính
x( ) ( )
(1.4) trong đó ma trận A(t) và véc tơ f(t) liên tục trong khoảng (0, )
1.2.1 Định nghĩa Hệ vi phân tuyến tính (1.3) gọi là ổn định nếu tất cả các
nghiệm của nó ổn định
1.2.2 Nhận xét Các nghiệm của hệ vi phân tuyến tính hoặc đồng thời cùng ổn
định hoặc đồng thời không ổn định
1.2.3 Định nghĩa Hệ vi phân tuyến tính (1.3) được gọi là ổn định tiệm cận nếu
tất cả các nghiệm của nó ổn định tiệm cận
Trang 71.2.4 Định lý Hệ vi phân tuyến tính (1.3) ổn định với số hạng tự do bất kỳ f(t)
khi và chỉ khi nghiệm tầm thường của hệ thuần nhất tương ứng (1.4) ổn định.
1.2.5 Định lý Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (1.3) ổn định tiệm
cận là nghiệm tầm thường của hệ thuần nhất tương ứng (1.4) ổn định tiệm cận.
1.2.6 Hệ quả Hệ vi phân tuyến tính (1.3) với số hạng tự do f(t) bất kỳ ổn định
(ổn định tiệm cận) khi và chỉ khi hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng ổn định (ổn định tiệm cận).
1.3 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất
1.3.1 Định lý Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.4) ổn
định theo Lyapunov là mỗi nghiệm x(t) của hệ bị chặn trên t0, .
Chứng minh Điều kiện cần : Giả sử hệ (5) ổn định nhưng có nghiệm z(t) không
bi chặn trên t0, ,z(t0) 0.Ta sẽ chỉ ra nghiệm tầm thường của hệ không ổnđịnh Thật vậy lấy 0 bất kỳ và xét nghiệm y(t) = .2
) (
) (
0
t z
t z
Rõ ràng y(t0 ) 2 0 và do z(t) không bị chặn nên y(t) không bi chặn trên
t0, Do đó với cố định, t 1 t0 sao cho y(t1)
Từ đó suy ra nghiệm tầm thường y 0không ổn định Điều này mâu thuẫn vớigiả thuyết hệ ổn định Như vậy mỗi nghiệm y = y(t) của hệ bị chặn trên t0, .Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm bất kỳ của hệ bị chặn trên t0, Khi đó ma trận
cơ bản chuẩn hóa (t) x ik(t) bao gồm các hàm giới nội nên giới nội
y(0) = , chọn = M
Trang 8Như vậy nghiệm tầm thường y 0 ổn định Do đó hệ (1.4) ổn định.
1.3.2 Hệ quả Nếu hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất ổn định thì các
nghiệm của nó hoặc đồng thời giới nội hoặc đồng thời không giới nội.
1.3.3 Chú ý Đối với hệ vi phân phi tuyến, từ tính giới nội của các nghiệm nói
chung không suy ra tính ổn định của nó
1.3.4 Định lý Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.4) ổn
định tiệm cận là tất cả các nghiệm của nó thỏa mãn lim ( )0
x t
Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử hệ (1.4) ổn định tiệm cận Khi đó nghiệm
tầm thường z0 0.ổn định tiệm cận Từ đó suy ra mọi nghiệm z(t) mà có
y(t) )
t0, Do đó hệ ổn định Suy ra nghiệm tầm thường z 0 ổn định
Kết hợp với giả thiết lim ( )0
y t
t ta suy ra được nghiệm tầm thường z 0 ổnđịnh tiệm cận Do đó hệ đã cho ổn định tiệm cận
1.3.5 Chú ý Đối với hệ vi phân phi tuyến điều kiện tất cả các nghiệm dần tới
không khit nói chung không phải là điều kiện đủ để các nghiệm ổn địnhtiệm cận
Trang 91.4.1 Định lý Hệ vi phân (1.5) ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc
trưng j của ma trận A đều có phần thực không dương và các nghiệm đặc trưng có phần thực bằng không đều có ước cơ bản đơn.
1.4.2 Định lý Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.5) ổn định tiệm cận khi và
chỉ khi tất cả các nghiệm j của phương trình đặc trưng của ma trận A đều có phần thực âm.
1.4.3 Định lý Hệ (1.5) là ổn định mũ khi và chỉ khi phần thực của tất cả các
giá trị riêng của ma trận A là âm.
1.4.4 Chú ý Đối với hệ vi phân tuyến tính thuần nhất dừng các mệnh đề sau là
1 1
2 x
x
x x
Ta thấy
2 0
0 1
A
Các giá trị riêng của ma trận A là ( A)= -1,-2 đều có Re( A)<0
Do đó hệ đã cho ổn định mũ
Trang 101.4.6 Định lý Giả sử đa thức đặc trưng mà hệ phương trình vi phân (1.5) đã
0 1
a a a
a a
a a
a D
0 0
1
2 2
2
1 2
3 1
1.5.1 Định lý Xét hệ (1.6), trong đó A(t) = A + C(t) Giả sử A là ma trận hằng
ổn định, C(t) là khả tích trên R và C(t) a,a 0 Khi đó hệ ổn định mũ với a>0 đủ nhỏ.
Chứng minh Với A(t) = A + C(t) hệ phương trình (1.6) có dạng
( ) ( ) ( ) ( ), 0
t t x t C t Ax t
x
Do đó nghiệm của hệ với x(t0) = x0 cho bởi:
)
( ) (
) )
( ) ( (
) )
( ) ( (
e )
(
t
t
) ( )
( 0
t
t
) t - A(s - 0
) ( t
t
Adt - 0
Ads
0 0
0
0 0 0
0
0 0
s x s C e
x
ds e
s x s C x
e ds e s x s C x
t
x
s t A t
A
t A
t t t
t t
t
Trang 11Vì ma trận A ổn định nên hệ x(t) Ax(t),t 0là ổn định mũ, do đó theo địnhnghĩa 0 , 0 sao cho e At e t, t 0
Ta có
ds s x a e
e x ds
s x s C e
e x
t
x
t t
s t t
t t
t
s t A t
t A
( )
( 0
) ( 0
0
)()
t t
ds s a
Ce t
) (
)
Với
a s
a x C
e t
1.5.2 Định lý Xét hệ (1.6), trong đó A(t) là ma trận liên tục theo t Giả sử tồn
tại các số M>0, 0 ,K 0 sao cho
Trang 12ii) t R A t M
) (
(t x t A t A t x t t t A
Nghiệm x(t) với x(t0 ) x0 cho bởi
t t t A t
t t A
ds e
s x t A s A e
x t x
0
0 0 0
0 )
s t t
t x MK x s e ds Ke
t x
0
0 )
t s t
) ( )
s t t
t x t K x MK x s e ds
) )(
2 ( 0 )
( 2 0 )
Trang 13Là ổn định tiệm cận nếu lim ( ) 0
t t t A t
t
A A s A t x s e ds x
t x
0
0 0 0
0 )
s t t
t
ds e
s B s x x
e t
x
0
0 ) (
) ( ) ( )
s B x
0
)()
a x C
e t
t
ds s B ds
s B
t x e x x x e e
x
) (
0
) (
0 )
) ( 0
2 )
2 )
Mặt khác hệ x(t) Ax(t)ổn định nên hệ đã cho ổn định tiệm cận
1.6 Ổn định của hệ phi tuyến
Xét hệ phương trình vi phân
Trang 14x(t) f(t,x(t)),t 0 (1.8)trong đó f(t,x): R R n R là hàm phi tuyến cho trước,
s t A t
t
A g x s e ds e
x t x
s t t
t x Ke g x s ds Ke
t x
k nên với mọi 0cho trước, 1sao chovới x(t) 1 ta có: g(x(t)) x(t) , t 0
s t t
t
ds s x Ke
x Ke
t x
t s t
0 )(
t t
ds K
tt tx K ex
e
Trang 15Hay
0
) )(
Do đó với K thì x(t) 0khi t , như vậy hệ là ổn định mũ
1.6.2 Định lý Xét hệ phương trình vi phân phi tuyến
( ) ( ) ( ) ( , ( )), 0
t t x t g t x t A t
R t
1.7 Tính ổn định với xác suất 1 của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên
1.7.1 Định nghĩa Quá trình W = (W t , t > 0) xác định trên không gian xác suất
(Ώ ,F, P ) được gọi là quá trình Wiener nếu
Trang 161.7.2 Định lý (Quy tắc vi phân Itô) Cho X = ( X t ,t ≥ 0 ) là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân
dX t = A(t, X t ) dt + B (t, X t ) dW t Trong đó (W t ) là quá trình Wiener một chiều Giả sử y = g( t,x) là hàm một lần khả vi liên tục theo biến t ≥ 0, hai lần khả vi liên tục theo xR Khi đó quá trình ngẫu nhiên Y t = g(t,X t ) có vi phân Itô được tính theo công thức sau đây được gọi
là quy tắc vi phân Itô
= ( x T A T dt + x T B T dW) Hx + x T H( Axdt + BxdW) + x T B T H Bxdt
= x T (A T H + HA + B T H B) xdt + x T ( B T H + H B) xdW.
Từ đó suy ra: EdV = x T (A T H + HA + B T H B) xdt ( Vì EdW = 0).
1.7.5 Định nghĩa Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên
dx(t) = Ax(t)dt = Bx(t)dW (1.11)
Trang 17Trong đó A, B là các ma trận hằng cỡ n n, W t là quá trình Wiener tiêu chuẩn.
Ta giả thiết ma trận A ổn định.
Nghiệm x(t) 0 của hệ được gọi là ổn định với xác suất 1 theo Liapunov nếu
M > 0, > 0 sao cho xác suất có điều kiện của biến cố t t x t M
) ( sup
1.7.6 Mệnh đề (Ghiman) Nếu đối với hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô
(1.11) tồn tại hàm Liapunov xác định dương V(x(t)) sao cho V(0) = 0 và kỳ vọng của đạo hàm toàn phần theo biến thời gian của V lấy theo nghiệm của hệ là âm thì nghiệm không của hệ ổn định tiệm cận với xác suất 1.
1.7.7 Định lý Giả sử ma trận A ổn định khi đó nghiệm không của hệ (1.11) ổn
định tiệm cận với xác suất 1 nếu ma trận A T H 0 + H 0 A + B T H 0 B (hoặc ma trận
B T H 0 B – G) xác định âm, trong đó H 0 thỏa mãn phương trình Sylvester:
A T H 0 + H 0 A = – G. (1.12)
Với G là ma trận xác định dương, đối xứng tùy ý ( có thể lấy G I ).
Chứng minh Ta xây dựng hàm Lyapunov V(x ε ) là dạng toàn phương:
V(x ε ) = (x ε ) T H 0 x ε
trong đó H 0 là nghiệm của phương trình (1.12)
Từ đó ta thấy V(x ε ) là hàm xác định dương (vì H 0 xác dịnh dương) Mặt khác,theo công thức của vi phân ngẫu nhiên Itô ta có:
dV(x) = d((x) T H 0 x)= d(x) T H 0 x + (x ε ) T H 0 dx + (x ε ) T B T H 0 Bx dt
= ((x ε ) T A T dt +(x ε ) T B T dW) H 0 x + (x ε ) T H 0 (Axdt + BxdW) + (x ε ) T B T H 0 Bx dt
= (x ε ) T ( A T H 0 + H 0 A + B T H 0 B) x dt +(x ε ) T (B T H 0 + H 0 B) xdW
E{dV dt(x) |x ε = x } = (x ε ) T ( A T H 0 + H 0 A + B T H 0 B) x ε (vì EdW = 0)
Trang 18 E{dV dt(x) |x ε = x } = x T ( A T H 0 + H 0 A + B T H 0 B) x.
Kỳ vọng này âm nếu ma trận A T H 0 + H 0 A + B T H 0 B xác định âm hay
B T H 0 B – G xác định âm.
1.7.8 Định lý Giả sử ma trận A Hurwitz Khi đó điều kiện đủ để nghiệm không
của hệ (1.11) ổn định tiệm cận với xác suất 1 là tồn tại ma trận xác định dương
H thỏa mãn phương trình Sylvester
Trong đó G là ma trận đối xứng, xác định dương, chọn tùy ý ( đặc biệt có thể lấy
G I là ma trận đơn vị).
Chứng minh Giả sử tồn tại nghiệm xác định dương H của phương trình
Sylvester (1.16) Khi đó ta lấy hàm Liapunov là dạng toàn phương:
1.7.9 Định lý Giả sử ma trận A ổn định và ma trận B không suy biến Khi đó
điều kiện cần và đủ để nghiệm không của hệ (1.11) ổn định tiệm cận với xác suất 1 là ma trận H 00 – E xác định âm, trong đó H 00 thỏa mãn phương trình Sylvester
Trang 19Chứng minh Theo giả thiết B là ma trận không suy biến nên BT B là ma trận
xác định dương Vì H 00 thỏa mãn phương trình Sylvester (1.14) nên H00 cũng là
1.7.10 Định lý Giả sử ma trận A ổn định và ma trận B không suy biến Khi đó
điều kiện cần và đủ để nghiệm không của hệ (1.14) ổn định tiệm cận với xác suất
1 là vết H 00 <1, trong đó H 00 thỏa mãn phương trình Sylvester
A T H 00 + H 00 A = – B T B.
Chứng minh Để chứng minh định lý ta cần bổ đề sau:
Bổ đề Giả sử H 00 là ma trận xác định dương Khi đó điều kiện cần và đủ để ma trận H 00 – E xác định âm là tất cả các giá trị riêng của ma trận H 00 nhỏ hơn 1 Chứng minh bổ đề Giả sử 1 , 2 , 3 … n là tất cả các giá trị riêng của ma trận
H 00 và x j là các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng j ( j = 1,2,3…n) Khi
Trang 20Tiếp theo ta chứng minh Vết (H00 ) < 1 là điều kiện đủ để tất cả các giá trị riêng
j của ma trận H00 nhỏ hơn 1 Thật vậy:
n
n
h h
h
h h
h
h h
h E
H f
2
2 2
2 1
1 12
1 1 00
= (–)n + C1 (–)n-1 + …+ Ck (–)n-k + … + Cn
Trong đó Ck là tổng các định thức con của ma trận H 00 – E mà chứa k phần tử
trên đường chéo chính, đó là những định thức con cấp k của ma trận H00
Do j ( j = 1,n ) là các giá trị riêng của ma trận H00 , nên chúng là các nghiệm
của phương trình H 00 – E = 0 hay () = 0 Do đó theo định lý Viet ta có:
1 hay
n j
j
1
Hơn nữa tất cả các giá trị riêng j của ma trận H 00 đều dương
Thật vậy, từ giả thiết suy ra H 00 là ma trận xác định dương Giả sử x j là các
vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng j Khi đó ta có:
(H 00 - j E) x j = 0, j = 1 ,n
Trang 21H 00 x j = j x j , j = 1 ,n
x T H 00 x = x T diag ( 1 , 2 , 3 … n ) x
Do H 00 xác định dương nên suy ra j 0, j = 1 ,n (**)
Từ (*) và (**) suy ra j < 1, j =1,n Từ đó theo bổ đề trên thì H 00 – E xác
định âm
Vậy hệ (1.14) ổn định tiệm cận với xác suất 1
Trang 22CHƯƠNG 2
TOÁN TỬ KHUYẾCH TÁN
VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN
Khi nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên toán
tử khuyếch tán có vai trò đặc biệt quan trọng Bởi vì những thông tin về toán tửLyapunov và của toán tử khuyếch tán cho ta khả năng phán đoán có hiệu quả vềtính ổn định hoặc không ổn định của nghiệm của hệ vi phân
2.1 Toán tử khuyếch tán
2.1.1 Công thức vi phân Itô Cho ( ,F , P) là không gian xác suất đủ đượctrang bị bộ lọc (Ft)t 0và B(t) = (B1(t), B2(t), …., Bn(t))T, t 0là quá trình Winner
n – chiều xác định trên không gian đó
2.1.1.1 Định nghĩa Quá trình Itô n-chiều là quá trình liên tục R n giá trị
x(t) = (x 1 (t),…,x 1 (t)) T , (t 0) có dạng x(t) = x(0) +
t t
s dB s g ds s f
0 0
)()()
Trong đó
f = (f1,…,fn )T L1(R+,,Rn) và g = ( ) 2 ( , n m)
m n
f( )
Ta nói rằng x(t) có vi phân ngẫu nhiên dx(t) trên t 0 nếu vi phân dx(t) có dạng:
dx(t) = f(t)dt + g(t)dB(t) Gọi C2,1( Rn R+ ; R) là họ tất cả các hàm thực V(x,t) xác định trên
Rn R+ sao cho nó khả vi liên tục 2 lần theo x và 1 lần theo t