Ứng dụng của phương pháp galerkin vào giải bài toán biên của phương trình vi phân thường cấp 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN ****************** NGUYỄN THỊ HƯỜNG ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP GALERKIN VÀO GIẢI BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP 2 KHÓA LUẬN TỐT

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

******************

NGUYỄN THỊ HƯỜNG

ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP GALERKIN

VÀO GIẢI BÀI TOÁN BIÊN CỦA

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆPChuyên ngành: Toán Giải tích

Hà Nội-2013

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

******************

NGUYỄN THỊ HƯỜNG

ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP GALERKIN

VÀO GIẢI BÀI TOÁN BIÊN CỦA

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆPChuyên ngành: Toán Giải tích

Hà Nội-2013

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới PGS.TS Khuất Văn Ninh, người đã tận tình hướngdẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy côgiáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo emtận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trìnhhọc tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp này

Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Thị Hường

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan công trình nghiên cứu này là của riêng em dưới sự chỉdẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh - Giảng viên khoa Toán, TrườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2 Các kết quả trong khóa luận là trung thực,không trùng với kết quả nghiên cứu của các tác giả khác

Nếu sai, em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2013

Người cam đoan

Nguyễn Thị Hường

Mục lục

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Không gian vec tơ 5

1.1.1 Khái niệm không gian vectơ 5

1.1.2 Một số ví dụ 6

1.1.3 Hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính 6

1.1.4 Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 7

1.1.5 Không gian vectơ con 8

1.2 Không gian định chuẩn 8

1.2.1 Khái niệm không gian định chuẩn 8

1.2.2 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn 9

1.2.3 Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn 10

1.3 Không gian Hilbert 11

1.3.1 Tích vô hướng 11

1.3.2 Tính trực giao 13

1.3.3 Cơ sở trực chuẩn - Đẳng thức Parseval 15

1.4 Phương pháp chiếu và định lý hình chiếu lên không gian con đóng trong không gian Hilbert 15

1.4.1 Phương pháp chiếu 15

1.4.2 Định lý hội tụ cơ bản 16

1.4.3 Định lý hình chiếu lên không gian con đóng trong không gian Hilbert 18

1.4.4 Ứng dụng của định lý hình chiếu lên không gian con đóng trong không gian

Hilbert 19

1.5 Phương trình vi phân thường và bài toán biên của phương trình vi phân thường 24

1.5.1 Một số khái niệm về phương trình vi phân 24

1.5.2 Bài toán biên của phương trình vi phân thường 25

1.6 Kết luận chương 1 28

Chương 2 Phương pháp Galerkin và ứng dụng vào giải gần đúng bài toán biên của phương trình vi phân thường 29

2.1 Cơ sở lý thuyết chung 29

2.2 Phương pháp Galerkin và ứng dụng vào giải bài toán biên 30

2.2.1 Nội dung phương pháp 30

2.2.2 Một số ví dụ: 32

2.3 So sánh phương pháp Galerkin với một số phương pháp giải bài toán biên hai điểm tuyến tính 37

2.3.1 Phương pháp Collocation 37

2.3.2 So sánh phương pháp Galerkin và phương pháp Collocation 39

2.3.3 Phương pháp sai phân 42

2.3.4 So sánh phương pháp Galerkin và phương pháp sai phân 43

2.4 Kết luận chương 2 47

Chương 3 Ứng dụng ngôn ngữ lập trình Pascal và Maple vào giải bài toán biên của phương trình vi phân thường 48

3.1 Ứng dụng ngôn ngữ lập trình Pascal vào giải bài toán biên 48

3.2 Ứng dụng Maple vào giải bài toán biên 52

3.3 Kết luận chương 3 54

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình vi phân là một trong những mảng kiến thức quan trọngcủa toán học Việc giải phương trình vi phân không chỉ giúp giải quyếtđược một lượng lớn các bài toán trong các lĩnh vực toán học, vật lý, hóahọc, mà còn đem lại nhiều ứng dụng thực tiễn trong cuộc sống

Tuy nhiên, giải phương trình vi phân để tìm được nghiệm chính xácvẫn còn gặp nhiều khó khăn Do vậy, các nhà khoa học đã nghiên cứu vàtìm ra các phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân

Để mở rộng và nâng cao sự hiểu biết về các phương pháp giải phươngtrình vi phân, ở khóa luận này, em xin mạnh dạn trình bày phương phápGalerkin và ứng dụng quan trọng của phương pháp này để giải gần đúngbài toán biên của phương trình vi phân thường cấp 2

2 Mục đích nghiên cứu

Tổng hợp kiến thức về phương pháp Galerkin và ứng dụng trong việcgiải phương trình vi phân thường

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu phương pháp Galerkin để giải bài toán biên của phươngtrình vi phân thường

Hệ thống một số kiến thức liên quan đến phương pháp này

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Ứng dụng của phương pháp Galerkin để giảibài toán biên của phương trình vi phân thường cấp 2

• Phạm vi nghiên cứu: Bài toán biên của phương trình vi phân thườngcấp 2

5 Phương pháp nghiên cứu

• Tìm tòi, sưu tầm, hệ thống các tài liệu liên quan

• Nghiên cứu tài liệu

• Phân tích, so sánh, tổng hợp các nội dung.

• Tham khảo ý kiến chuyên gia

6 Những đóng góp mới của đề tài

Đề tài trình bày hệ thống cơ sở lý thuyết, đưa ra phương pháp và một

số ví dụ cụ thể cho ứng dụng của phương pháp Galerkin vào giải bài toánbiên hai điểm tuyến tính của phương trình vi phân thường cấp 2, so sánhphương pháp Galerkin với một số phương pháp khác để thấy được sự hiệuquả của phương pháp này Ngoài ra, đề tài còn giới thiệu ứng dụng Pascal

và Maple vào bài toán trên để việc tính toán nhanh chóng và đơn giảnhơn

Bố cục của khóa luận bao gồm 3 chương :

• Chương 1 của khóa luận trình bày tóm tắt một số kết quả đã biếttrong đại số tuyến tính và giải tích hàm, các định lý và kết quả cơbản liên quan đến khóa luận

• Chương 2 của khóa luận tập trung trình bày ý tưởng, các khái niệm

và tính chất và nội dung cơ bản của phương pháp Galerkin Bên cạnh

đó là một số ví dụ cụ thể ứng dụng phương pháp Galerkin vào giảibài toán biên của phương trình vi phân thường

• Chương 3 trình bày ứng dụng của tin học vào giải bài toán biên haiđiểm tuyến tính

Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế nênkhi làm khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhậnđược những đóng góp quý báu của quý thầy cô và bạn đọc

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Thị Hường

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian vec tơ

1.1.1 Khái niệm không gian vectơ

Định nghĩa 1.1 Cho V là một tập khác rỗng mà các phần tử ký hiệu là

x,y,z, và K là một trường Giả sử V được trang bị hai phép toán sau:a) Phép cộng:

+ : V × V → V(x, y) 7→ x + y

b) Phép nhân:

· : K × V → V(λ, x) 7→ λ · x

thỏa mãn những điều kiện (hoặc tiên đề) sau đây:

Khi K =R thì V được gọi là không gian vectơ thực.

Khi K = C thì V được gọi là không gian vectơ phức

1.1.2 Một số ví dụ

Ví dụ 1.1 Tập hợp K[X] các đa thức của biến số X với hệ số thuộctrường K với phép cộng đa thức và phép nhân đa thức với vô hướng thuộctrường K là một K- không gian vectơ

Ví dụ 1.2 Tập hợp X khác rỗng, V là một K-không gian vectơ Tập Ω

gồm tất cả các ánh xạ ϕ : X −→V với các phép toán:

(ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x)(λϕ)(x) = λ · ϕ(x)

với ϕ, ψ ∈ Ω, λ ∈ K là một K- không gian vectơ

Ví dụ 1.3 Cho trường K và n ≥ 1 Xét tích Descartes:

Rn = {(x1, x2, , xn)|xi ∈ R, i = 1, 2, , n}

với hai phép toán:

(x1, x2, , xn) + (y1, y2, , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, , xn+ yn),λ(x1, x2, , xn) = (λx1, λx2, , xn), λ ∈ R

Rn cùng với hai phép toán trên là một K- không gian vectơ

1.1.3 Hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ phụ thuộc tuyến

tính

Định nghĩa 1.2 Cho K- không gian vectơ V

• Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ x1, , xn ∈ R là một biểu thức

• Một hệ vectơ của V được gọi là một hệ sinh của V nếu mọi vectơ của

V đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó

• Một hệ vectơ của V được gọi là một cơ sở của V nếu mọi vectơ của

V đều biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ này

Nếu V = θ, ta quy ước dimV = 0

• Nếu V không có cơ sở nào gồm hữu hạn vectơ thì nó được gọi là khônggian vectơ vô hạn chiều

1.1.5 Không gian vectơ con

Định nghĩa 1.6 Giả sử V là một K- không gian vectơ và W là một tậpcon của V sao cho:

Ví dụ 1.5 Không gian C1[a, b]- các hàm số thực khả vi, liên tục trênđoạn [a,b] là một không gian con của R- không gian C[a,b]- các hàm sốliên tục trên đoạn [a,b]

1.2 Không gian định chuẩn

1.2.1 Khái niệm không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.7 Cho X là một không gian tuyến tính (không gian vectơ)trên trường K (K = R hoặc K = C) Một ánh xạ kí hiệu là ||.||:

||.|| : X → R

x 7→ ||x||

được gọi là một chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau:

1 (∀x ∈ X) ||.|| ≥ 0, ||x|| = 0 ⇔ x = θ (ký hiệu θ là phần tử khôngcủa X);

2 (∀x ∈ X) (∀α ∈ K) ||αx|| = |α| ||x|| (tính thuần nhất của chuẩn);

3 (∀x, y ∈ X) ||x + y|| ≤ ||x|| + |y|| (bất đẳng thức tam giác)

Số ||x|| gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x Các tiên đề 1), 2), 3) gọi

là hệ tiên đề chuẩn

Định nghĩa 1.8 Cho X là không gian vectơ trên trường K, ||.|| là mộtchuẩn trên X Khi đó cặp (X, ||.||) được gọi là không gian định chuẩn.(X, ||.||) là không gian định chuẩn thực hoặc phức nếu K là trường thựchoặc phức.

Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn là X

1.2.2 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.9 Dãy điểm (xn) trong không gian định chuẩn X gọi làhội tụ đến điểm x ∈ X nếu:

Ví dụ 2.3 Cho không gian vectơ C[a,b] - không gian các hàm số xác định

và liên tục trên [a, b] Với hàm số bất kỳ x(t) ∈ C[a,b], đặt

||x|| = max

a≤t≤b|x(t)|

công thức trên cho một chuẩn trên C[a,b] Không gian định chuẩn tươngứng là C[a,b].

Dễ thấy C[a,b] là không gian Banach

Ví dụ 2.4 Không gian vectơL[a,b] gồm các hàm x(t)xác định và khả tíchLebesgue trên [a,b] là không gian định chuẩn với chuẩn:

Công thức trên xác định một chuẩn trênEn.En là một không gian Banach

1.2.3 Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.11 Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn trên trường

K (K là trường thực hoặc phức) Ánh xạ A : X → Y được gọi là mộttoán tử tuyến tính nếu A thỏa mãn:

1 A(x1 + x2) = A(x1) + A(x2), (∀x1, x2 ∈ X);

2 A(αx) = αA(x), (∀x ∈ X, ∀α ∈ K)

Để cho gọn, ta viết Ax thay cho A(x)) để chỉ phần tử ứng với x trong toán

tử A Dễ thấy các điều kiện 1) và 2) tương đương với:

A(αx + βy) = αA(x) + βA(y), ∀α, β ∈ K, ∀x, y ∈ X

⇒ A(α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn) = α1Ax1 + α2Ax2 + · · · + αnAxn,

∀x1, x2, , xn ∈ X, ∀α1, α2, , αn ∈ K

Định nghĩa 1.12 Cho X, Y là hai không gian định chuẩn Một toán tửtuyến tính A : X → Y được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu:

∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ X : ||x − x0|| < δ, ta có : ||Ax − Ax0|| < ε

Tương đương: ∀xn → x0, (n → ∞) luôn kéo theo Axn → Ax0, (n → ∞).Định nghĩa 1.13 Toán tử A : X → Y được gọi là bị chặn (giới nội)nếu tồn tại hằng số M > 0 sao cho:

(∀x ∈ X) ||Ax|| 6 M ||x||

Số M nhỏ nhất thỏa mãn hệ thúc trên gọi là chuẩn của toán tử A, kýhiệu là : ||A||

||A|| = inf {M > 0 : ||Ax|| 6 M · ||x||, ∀x ∈ X}

Định lý 1.1 Toán tử tuyến tính A : X → Y là liên tục khi và chỉ khi

4) (∀x ∈ X) (x, x) > 0, nếu x 6= θ (θ là ký hiệu phần tử không)

Định nghĩa 1.16 Ta gọi tập H 6= 0 gồm những phần tử x, y, z, nào

đó là không gian Hilbert nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:

1) H là không gian tuyến tính trên trường K;

2) H được trang bị một tích vô hướng (.,.);

3) H là không gian Banach với chuẩn ||x|| = p(x, x), x ∈ H

Nếu K=R hoặc K=C thì không gian Hilbert tương ứng là không gianHilbert thực hoặc phức

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H

là không gian Hilbert con của không gian H

Ví dụ 3.1 Cho X là không gian Rn với tích vô hướng:

Chuẩn sinh bởi tích vô hướng:

||x|| =

q

(x, x) =

vuut

n

X

i=1

x2i

Rn cùng với tích vô hướng trên là một không gian Hilbert

Định nghĩa 1.17 Toán tử tuyến tính A gọi là toán tử dương trong khônggian Hilbert H nếu:

Định nghĩa 1.19 Cho không gian Hilbert H Hai phần tử x, y ∈ H gọi

là trực giao, ký hiệu x ⊥ y, nếu (x, y) = 0

Định nghĩa 1.20 Cho không gian Hilbert H và tập con A ⊂ H, A 6= ∅.Phần tử x ∈ H được gọi là trực giao với tập A, nếu x ⊥ y(∀y ∈ A) và kíhiệu là x ⊥ A

Tức là x trực giao với mọi tổ hợp tuyến tính của yj ∈ H, (j = 1, 2, , n).4) Cho A là tập con trù mật khắp nơi trong không gian H Khi đó, nếu

x ∈ H và x ⊥ A thì x = θ

Định lý 1.3 (Định lý Pythagore) Nếu x, y ∈ H và x ⊥ y, thì:

||x + y||2 = ||x||2 + ||y||2.Định nghĩa 1.21 Cho không gian Hilbert H Tập gồm hữu hạn hay đếmđược các phần tử (en)n≥1 ⊂ H gọi là một hệ trực chuẩn, nếu:

Quá trình trực giao hóa Hilbert - Schmidt

Nhận xét: Mọi hệ trực chuẩn đều độc lập tuyến tính Ngược lại, cho một

hệ các vectơ độc lập tuyến tính (xn)n≥1 ⊂ H gồm hữu hạn hay đếm đượccác phần tử, bao giờ cũng có thể biến hệ này thành một hệ trực chuẩn nhờquá trình trực giao hóa Hilbert - Schmidt

Thật vậy

Đặt : e1 = x1

||x||1 ⇒ ||e1|| = 1

Đặt : y2 = x2 − (x2, e1)e1 thì (y1, e1) = (x2, e1) − (x2, e1)(e1, e1) = 0.Hiển nhiên, y2 6= θ vì nếu y2 = θ thì x1, x2 phụ thuộc tuyến tính.Đặt : e2 = y2

||y 2 || ta được (e2, e1) = 0và ||e2|| = 1 hay hệ {e1, e2} là hệtrực chuẩn

Bằng quy nạp, ta xây dựng hệ (en)n≥1 ⊂ H với

Bất đẳng thức trên gọi là bất đẳng thức Bessel.

1.3.3 Cơ sở trực chuẩn - Đẳng thức Parseval

Định nghĩa 1.22 Hệ trực chuẩn (en)n≥1 trong không gian Hilbert H gọi

là cơ sở trực chuẩn của không gian H nếu trong không gian H không tồntại vectơ khác không nào trực giao với hệ đó

Định lý 1.5 (Định lý về đẳng thức Parseval) Cho (en)n≥1 là cơ sở trựcchuẩn của không gian H

Năm mệnh đề sau đây tương đương:

1 Hệ (en)n≥1 là cơ sở trực chuẩn của không gian H;

5 Bao tuyến tính của hệ (en)n≥1 trù mật khắp nơi trong không gian H

1.4 Phương pháp chiếu và định lý hình chiếu lên

không gian con đóng trong không gian Hilbert

Giả sử hai dãy không gian con {En} và {Fn} sao cho:

Định lý 1.6 Giả sử miền xác định D(L) của toán tử L trù mật trong

E, miền giá trị R(L) trù mật trong F và giả sử L là ánh xạ từ D(L) lên

R(L), giả sử không gian con LEn và Fn là đóng trong F, Pn là toán tử bịchặn đều đối với n, tức là:

||Pn|| ≤ c, (n = 1, 2, · · · ) (1.5)Khi đó với mọi f thuộc F bắt đầu với chỉ số n = n0, tồn tại duy nhấtnghiệm un của (1.4) Để không khớp R = Lun − f tiến dần tới 0 theochuẩn khi n → ∞ , cần và đủ thỏa mãn các điều kiện sau:

1 Dãy không gian con LEn trù mật giới hạn trong F;

2 Với n ≥ n0, toán tử Pn là song ánh từ LEn lên Fn;

3 τ ≡ limn→∞τn > 0, trog đó τn = inf

z n ∈LE n

||z n ||=1

||Pnzn||

Tốc độ hội tụ thỏa mãn các điều kiện 1), 2), 3) xác định bởi các bấtđẳng thức:

Ký hiệu Pn0 là thu hẹp của toán tử chiếu Pn lên không gian con LEn.Theo điều kiện 2), khi n ≥ n0 thì toán tử Pn0 là song ánh từ không gianBanach LEn lên không gian Banach F nên tồn tại toán tử ngược bị chặn

Pn0−1 từ Fn lên LEn Do đó tồn tại duy nhất xn thỏa mãn điều kiện (1.7):

xn = Pn0Pnf

Khi đó un = L−1xn là phần tử duy nhất thỏa mãn điều kiện (1.4)

Từ điều kiện 3) suy ra ||Pn0−1|| = 1

Hiển nhiên mệnh đề 1), 2) là đúng

Để chứng minh mệnh đề 3), ta cần chỉ ra rằng chuẩn Pn0−1 = 1

τn, n ≥ n0

bị chặn (Pn0 được nhắc tới khi chứng minh điều kiện đủ)

Với n ≥ n0 thì xn = Pn0−1Pnf Với mọi f ∈ F, ta có:

Định lý 1.7 Giả sử H0 là không gian con của không gian Hilbert H Khi

đó phần tử bất kỳ x ∈ H đều biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng:

x = y + z, y ∈ H0, z ⊥ H0.Khi đó y được gọi là hình chiếu của x lên H0

Chứng minh Nếu x ∈ H0 ⇒ x = x + θ, x ∈ H0 và θ ⊥ H0, theo tínhchất cận dưới đúng, tồn tại dãy (un) ⊂ H0 sao cho:

Giả sử ∃v ∈ H0 sao cho (z, v) = c 6= 0 suy ra v 6= θ nên (v, v) 6= θ.

= ||z||2 − c

(v, v)c −

c(v, v)c +

cc(v, v)2(v, v)

Do đó không tồn tại v 6= θ thuộc H0 để (z, v) 6= 0 ⇒ z ⊥ H0

Vậy ∀x ∈ H luôn có biểu diễn: x = y + z, y ∈ H0, z ⊥ H0

Giả sử x = y0 + z0, y0 ∈ H0, z0 ⊥ H0

⇒ y + z = y0 + z0 ⇔ y − y0 = z = z0 với y − y0 ∈ H0, z0 − z ∈ H0

⇒ y − y0 ⊥ H0 ⇔ y − y0 = θ ⇔ y = y0 ⇒ z = z0

Vậy biểu diễn của x là duy nhất

1.4.4 Ứng dụng của định lý hình chiếu lên không gian con đóng

trong không gian Hilbert

Một trong những ứng dụng của định lý hình chiếu lên không gian conđóng là phương pháp trung bình phương xấp xỉ tốt nhất trong không gianHilbert

Khi đó h0 được gọi là xấp xỉ tốt nhất của x trong H0

Ký hiệu: h0 = arg min

Chứng minh Điều kiện cần:

Giả sử ∃h0 ∈ H0 sao cho x − h0 ⊥ H0, ∀h ∈ H0, ta có:

||x − h||2 = ||(x − h0) + (h0− h)||2 = ||x − h||2+ ||h0− h||2 ≥ ||x − h0||2.Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi h0 = h

Do (ei)ni=1 độc lập tuyến tính nên G(e1, e2, · · · , en) 6= 0

với G(e1, e2, · · · , en) = det(aij), aij = (ei, ej), ∀i, j = 1, n

Suy ra hệ phương trình đại số tuyến tính:

n

X

i=1

ci(ei, ej) = (x, ej), j = 1, n (1.9)

Vậy xấp xỉ tốt nhất của x trong H0 là duy nhất.

Để ước lượng phương sai, ta xét các trường hợp sau:

1 Trường hợp hệ (ei)ni=1 trực giao:

(e1, e1) (e1, en) (x, e1)(e2, e1) (e2, en) (x, e2) .(x, e1) (x, en) ||x||2 − δ2

n

Thật vậy, với n = 1, G(e1) = (e1, e2) = ||e||2

Giả sử G(e1, e2, , en) > 0 khi đó theo (4.6) ta có:

d(en+1, span((ei)ni=1)) = G(e1, e2, , en+1)

G(e1, e2, , en)

Vì d(e, span((ei)ni=1) > 0 và G(e1, e2, , en) > 0

nên theo giả thiết quy nạp suy ra G(e1, e2, , en+1) > 0

Nhận xét:

1 Định lý được thực hiện trong trường số thực thì

(x, y) = (y, x), ∀x, y ∈ H

2 Mỗi x ∈ H nếu tồn tại duy nhất h0 ∈ H0 là xấp xỉ tốt nhất của x

trong H0, h0 được xác định hoàn toàn qua toán tử

p : H → H0

x 7→ h0 sao chox − h0 ⊥ H0

p là toán tử tuyến tính bị chặn và ||p|| = 1 Khi đó p gọi là toán tử chiếucủa không gian Hilbert H lên không gian con H0

Tính chất của toán tử chiếu:

• p là toán tử chiếu của H lên không gian H0 thì p là toán tử tự liênhợp (p∗ = p), tức là:

1.5 Phương trình vi phân thường và bài toán biên

của phương trình vi phân thường

1.5.1 Một số khái niệm về phương trình vi phân

• Phương trình vi phân là phương trình chứa hàm số chưa xác định(đóng vai trò như ẩn số) và các đạo hàm của hàm số đó

• Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập, ta có phươngtrình vi phân thường

• Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào hai hay nhiều biến độc lập, ta cóphương trình đạo hàm riêng

• Phương trình vi phân thường cấp n là một hệ thức có dạng:

F (x, y(x), y0(x), y”(x), , y(n)(x)) = 0 (1.14)trong đó x là biến độc lập, y là hàm cần tìm

• Cấp của phương trình là cấp của đạo hàm cấp cao nhất có mặt trongphương trình

• Hàm số y = ϕ(x) được gọi là nghiệm của phương trình nếu thay

y = ϕ(x), y0 = ϕ0(x), , y(n) = ϕ(n)(x) vào (1.5) thì ta được đồngnhất thức

• Hàm số y = ϕ(x, c)(c ∈ R) có đạo hàm riêng theo biến x đến cấp n

gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.5), nếu:

1 ∀(x, y) ∈ D D là miền xác định của phương trình, ta có thể giải

ra đối với c, c = ψ(x, y)

2 Hàm y = ϕ(x, c) thỏa mãn (1.5) khi (x, y) chạy khắp D, ∀c ∈ R.

1.5.2 Bài toán biên của phương trình vi phân thường

• Bài toán Cauchy:

Xét phương trình vi phân thường cấp n khi đạo hàm cấp cao nhất

y(n) biểu diễn dưới dạng:

y(n) = fx, y, y0, , y(n−1) (1.15)Bài toán Cauchy đối với phương trình (1.6) là tìm hàm y = y(x)thỏamãn phương trình (1.6) và điều kiện ban đầu:

y(x0) = y0, y0(x0) = y00, , y(n−1)(x0) = y0(n−1) (1.16)trong đó x0, y0, y00, , y0(n−1) là những số cho trước

• Bài toán biên:

Giả sử hàm f (x), fi(x) liên tục trên [a, b] và fn(x) 6= 0, lập phươngtrình vi phân tuyến tính:

Vj(y) = gj, j = 1, m (1.20)

trong đó gj là những số cho trước.

Khi đó (1.11) được gọi là điều kiện biên của phương trình (1.10) Nếu

gj = 0 thì (1.11) là điều kiện biên thuần nhất

Phương trình (1.14) cùng các điều kiện (1.20) lập thành bài toán biên.Bài toán biên được gọi là thuần nhất nếu gj = 0, j = 1, m; f (x) ≡ 0,trong các trường hợp còn lại, ta có bài toán biên không thuần nhất,đôi khi cũng có thể gọi là bán thuần nhất nếu gj = 0, j = 1, m và

• Điều kiện giải được của bài toán biên:

Giả sử biết một nghiệm riêngϕ0 của phương trình (1.14) và hệ nghiệm

cơ bản ϕ1, , ϕn của phương trình thuần nhất tương ứng, khi đó bàitoán biên giải được khi và chỉ khi chọn được các hệ số ci trong biểuthức: ϕ = ϕ0 + c1ϕ1 + + cnϕn sao cho điều kiện (1.11) được thỏamãn

Do vậy, điều kiện cần và đủ để bài toán biên giải được là ma trận:

1.5 .2 Bài tốn biên phương trình vi phân thường< /p>

• Bài tốn Cauchy:

Xét phương trình vi phân thường cấp n đạo hàm cấp cao

y(n)... class="text_page_counter">Trang 28

1.5 Phương trình vi phân thường tốn biên< /h3>

của phương trình vi phân thường< /h3>

1.5.1 Một số khái niệm phương trình. .. trình vi phân

• Phương trình vi phân phương trình chứa hàm số chưa xác định(đóng vai trị ẩn số) đạo hàm hàm số

• Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào biến độc lập, ta có phươngtrình vi phân