MỘT NGUYÊN LÝ SO SÁNH CỦA NGHIỆM NHỚT CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI LOẠI ELLIPTIC TRÊN MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN A COMPARARISON PRINCIPLE OF VISCOSITY SOLUTIONS TO SECOND ORDER ELLIP
Trang 1MỘT NGUYÊN LÝ SO SÁNH CỦA NGHIỆM NHỚT CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI LOẠI
ELLIPTIC TRÊN MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN
A COMPARARISON PRINCIPLE OF VISCOSITY SOLUTIONS TO SECOND ORDER ELLIPTIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS ON
UNBOUNDED DOMAINS
NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
NGUYỄN CỬU HUY
HV Cao học khoá 2004-2007
TÓM TẮT
Các tính chất của nghiệm nhớt cho phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục trên miền bị chặn đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả như các nguyên lý so sánh, các định
lý duy nhất nghiệm và các định lý tồn tại nghiệm Bài báo này trình bày một nguyên lý so sánh của nghiệm nhớt cho các phương trình đạo hàm riêng cấp hai loại elliptic trên miền không bị chặn
ABSTRACT
The properties of viscosity solutions of scalar fully nonlinear partial differential equations of second order on bounded domains have been investigated by many authors providing comparison principles, uniqueness theorems and existence theorems This paper describes a comparison principle for a viscosity solution of second order elliptic partial differential equations
on unbounded domains
1 ĐẶT VẤN ĐỀ
Xét phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục có dạng:
F( u, Du, D u) = f(x), 2 (1.1)
trong đó, F: R R S(n) R với S(n) là ký hiệu của tập hợp tất cả các ma trận vuông đối n xứng cấp n Ta xét hàm số F( u, Du, D u) với u là một hàm số giá trị thực xác định trên toàn 2
n
R , Du là ký hiệu gradient của u và D2u ký hiệu cho ma trận Hessian các đạo hàm cấp hai
của u, và f là một hàm cho trước Tuy nhiên, trong khuôn khổ của bài toán sau đây, Du và
2
D u không còn theo nghĩa cổ điển, tức là u không đòi hỏi phải khả vi liên tục đến cấp hai
Ta khảo sát tính chất của nghiệm nhớt cho phương trình F = f, trong đó F phải thỏa
mãn điều kiện đơn điệu (monotonicity condition):
F(r, p, X) F(s, p, Y) với r s và Y X (1.2)
Trong đó r, s R, p R , X, Y n S(n) và trên S(n) đã trang bị thứ tự thông thường của nó
Lưu ý rằng, điều kiện ở trên cho ta hai điều kiện:
F(r, p, X) F(s, p, X) với r s (1.3)
F(r, p, X) F(r, p, Y) với Y X (1.4)
Trang 22 GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN
2.1 ĐỊNH NGHĨA NGHIỆM NHỚT
Để mô tả nghiệm nhớt cho phương trình (1.1) ta sử dụng các ký hiệu sau đây :
{ ) (R n
C u:R n R| u liên tục trên R n}
{ ) (R n
UC u:R n R| u liên tục đều trên R n} Cho u C(R n) Ta ký hiệu J2, và J2, của hàm số u như sau:
,
2
J u( x )={(D (x),D2(x)) n
R S(n) | là C2và u đạt cực đại địa phương tại x }
,
2
J u( x )={(D (x),D2(x))R n S(n) | làC2và u đạt cực tiểu địa phương tại x }
Ta định nghĩa :
,
2
J u(x) ={(p, X) R S(n) | ( n x n,p n,X n ) R n R S(n), ( n p n,X n ) 2 ,
J u( x n ) và ( x , u( n x ), n p , n X ) n ( x, u(x), p, X)}
,
2
J u(x) ={(p, X) R S(n) | ( n x n,p n,X n ) R n R S(n), ( n p n,X n ) J2 , u( x n ) và
( x , u( n x ), n p , n X ) n ( x, u(x), p, X)}
ĐỊNH NGHĨA:
a Một nghiệm nhớt dưới của phương trình (1.1) là một hàm u C(R n)sao cho :
F( u(x), p, X) f(x) với mọi x R n và ( p, X) J2,u(x) ;
b Một nghiệm nhớt trên của phương trình (1.1) là một hàm uC(R n)sao cho :
F(u(x), p, X) f(x) với mọi x R n và ( p, X) J2,u(x) ;
c Một nghiệm nhớt của phương trình (1.1) là một hàm u C(R n) sao cho u vừa là
nghiệm nhớt dưới vừa là nghiệm nhớt trên của phương trình (1.1)
2.2 TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM
Định lý: Cho f UC(R n) Giả sử FUC(RR nS(n))thỏa mãn (1.2) và tồn tại một số thực 0, một hàm liên tục :[0,)[0,) thỏa mãn (0)0 sao cho :
(i) (r )s F(r, p , X) - F(s, p, X) với r s, (p,X)R nS(n),
(ii) F(r, p, X) - F(r, q, Y)(| pq| X Y ) với mọi p, q R n , rR , và X, Y S (n) Khi
đó, nếu u là nghiệm nhới dưới của (1.1) và v là nghiệm nhớt trên của (1.1) sao cho u và v biến thiên hầu tuyến tính, thì u trên v n
R
Trang 3Chứng minh:
Ta chứng minh định lý theo hai bước Trước hết, ta lưu ý rằng vì f UC(R n) nên tồn tại một
hằng số K sao cho :
)
|
| ) ( ) ( (
n n
R R
ta sẽ chứng minh rằng
)
|
|
2 ) ( ) ( (
n n
R
Vì u và v biến thiên hầu tuyến tính, nên tồn tại một hằng số L > 0 sao cho:
|)
|
|
| 1 ( ) ( )
Chọn một họ r các hàm C2trên R được tham số hóa bởi n r1 với các tính chất:
(i) r 0,
|
|
) ( inf lim
x
x
r
(iii) |D r(x)|D2 r(x) C với r1,xR n,
(iv) lim ( )0
r x
trong đó C là một hằng số Từ (2.3) và (ii), ta thấy hàm số :
)) ( ) ( ( )
|
| 1 ( 2 ) ( ) ( ) ,
đạt giá trị lớn nhất tại điểm (x,y). Bây giờ hoặc (2.2) đúng hoặc với r lớn ta có (x,y)0và điều này cho ta :
)
( ) (
|
|
2
y v x u y x
K
Lưu ý rằng
)) ( ),
( (pD r x Z D2 r x J2,u( x )
)) ( ),
(
J v( y ),
trong đó,
Trang 4y x z
D
K
K
Theo định nghĩa nghiệm nhớt, ta có :
) ( )) ( ),
( ),
(
) ( )) ( ),
( ),
(
Từ đây ta dùng (2.4) và lưu ý rằng p và Z là bị chặn và độc lập với r1, ta có
=F(u(x),pD r(x),Z D2 r(x))-F(v(y),pD r(y),Z D2 r(y)) +F(v(y),pD r(y),Z D2 r(y))-F(v(y),pD r(x),ZD2 r(x))
2
|
| )
( )
,
trong đó C là hằng số độc lập với r1 Do đó u(x)v(y) là bị chặn độc lập với r1
Vì (x,y)(x,y)u(x)v(y), nên ta cho r và thu được
2 / 1 2 )
|
| 1 (
2 ) ( )
là bị chặn và như vậy (2.2) đúng
Bây giờ, ta quay trở lại định lý Giả sử tồn tại một x~ sao cho
0 2 )
~ ( )
~
u
Ta đặt
),
|
|
| (|
|
| 2 ) ( ) ( ) ,
trong đó , là các tham số dương
Với đủ nhỏ, ta thấy (~x,~x) và theo (2.2) đạt cực đại tại xˆ,yˆ), và tại đó:
,
4
| ˆ ˆ
| 4
| ˆ ˆ
|
2 ) ( ) ( )
| ˆ
|
| ˆ (|
|
ˆ
ˆ
|
2 2 2
2 2
C
K y
x C
y x
K y v x u y x y
(2.5)
với một hằng số C nào đó Hơn nữa, tồn tại X, Y S(n) sao cho
ˆ
và
Trang 5-3
I
I
0
0
Y
X
0
0
I I
I I
Như trên, ta thu được
=F(u xˆ), xˆ y)2 xˆ,X 2 I)-F(v yˆ), xˆ y)2 yˆ,Y 2 I)
+F(v yˆ), xˆy)2 yˆ,Y 2 I)-F(v yˆ), xˆy)2 xˆ,X 2 I)
) ( )
Vì (~x,~x)u(x)v yˆ), và vì X Y theo (2.6), ta có
f(|xˆ yˆ|)
trong đó f là modulus liên tục của f
Ta lưu ý rằng, từ (2.5) ta thấy |x ˆ yˆ|2 và (|xˆ|2 | yˆ|2)là bị chặn độc lập với 1 và
1
0 Vì vậy xˆ, yˆ0 và x ˆ y) vẫn bị chặn khi 0 Mặt khác |xˆ yˆ|0 khi
đều đối với 0. Do đó, từ giả thiết liên tục đều của f và F ta nhận được khi cho
0
rồi thì :
, 0
và đưa đến điều vô lý Như vậy, định lý được chứng minh
3 KẾT LUẬN
Bài báo đã đưa ra một nguyên lý so sánh của nghiệm nhớt cho phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến loại elliptic trong miền không bị chặn Trong trường hợp này, giả thiết nghiệm biến thiên hầu tuyến tính là cần thiết để đánh giá nghiệm khi miền khảo sát không bị chặn Tất nhiên, chúng ta có thể nghiên cứu bài toán này mà không cần giả thiết ấy, nhưng đó
là vấn đề khá phức tạp
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] M G Crandall, H Ishii, P L Lions, User’s guide to viscosity solutions of second
order partial differential equations, Bull Amer Math Soc 1[27], 1992
[2] M G Crandall, P L Lions, The maximum principle for semicontinuous functions,
Diff Int Equ [3], 1990
[3] R Jensen, The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second
order partial differential equations, Arch Rat Mech Anal [101], 1988