Ứng dụng của phương pháp sai phân vào giải một số phương trình đạo hàm riêng

Ý tưởng của phương pháp này là đưa bài toán tìm nghiệm của phương trình đạo hàm riêng về một bài toán đại số, thường là một hay nhiều hệ đại số tuyến tính, giải hệ đại số tuyến tính để t

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS KHUẤT VĂN NINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI – 2012

MỞ ĐẦU

Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn Sự phát triển của

toán học đánh dấu bởi những ứng dụng của toán học và giải quyết các bài

toán thực tiễn Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài

toán có liên quan đến phương trình đạo hàm riêng Phương trình đạo hàm

riêng thường xuất hiện trong các bài toán ứng dụng của lý thuyết thủy động

học, đàn dẻo, cơ học lượng tử, Vì vậy việc nghiên cứu phương trình đạo

hàm riêng đóng một vai trò hết sức quan trọng trong lý thuyết toán học nói

chung và trong vật lý nói riêng

Việc tìm nghiệm đúng của các phương trình đạo hàm riêng thường

không thể và cũng không cần thực hiện trong mọi trường hợp Bởi vậy để tìm

nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng người ta phải sử dụng các

phương pháp gần đúng Có nhiều phương pháp để giải gần đúng phương trình

đạo hàm riêng trong đó phương pháp sai phân là một trong hai phương pháp

phổ biến nhất Ý tưởng của phương pháp này là đưa bài toán tìm nghiệm của

phương trình đạo hàm riêng về một bài toán đại số, thường là một hay nhiều

hệ đại số tuyến tính, giải hệ đại số tuyến tính để tìm nghiệm của bài toán ban

đầu

Xuất phát từ những lý do trên, em đã chọn đề tài: “Ứng dụng của

phương pháp sai phân vào giải một số phương trình đạo hàm riêng” để làm

khóa luận Khóa luận bao gồm 4 phần:

Chương 1: Một số kiến thức cơ bản

Chương 2: Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính

Chương 3: Giải gần đúng các bài toán phương trình đạo hàm riêng

bằng phương pháp sai phân

 V sao cho: 0 

+ 

=+0 

=3) Có  

trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K và khi đó V cùng

2 phép toán xác định trên gọi là một không gian vectơ trên trường K, hay

K – không gian vectơ

Chương 1:

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

Khi K = , V được gọi là không gian vectơ thực

Khi K = , V được gọi là không gian vectơ phức

Các phần tử của V được gọi là các vectơ, các phần tử của K được gọi là các vô hướng

Phép toán “+” gọi là phép cộng vectơ

Phép toán “.” gọi là phép nhân vectơ với vô hướng

Để cho gọn, “.” nhiều khi được bỏ: x. thành x

Không gian V có số chiều là n thường được gọi là không gian vectơ n chiều và kí hiệu là V

1.2 Không gian định chuẩn

1.2.1 Định nghĩa

Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn)

là không gian tuyến tính X trên trường P (P = hoặc P = ) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực , kí hiệu là . và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:

i xX sao cho x  0, x = 0  x =  (kí hiệu phần tử không của

Nhận xét: Nếu X là không gian định chuẩn thì X là không gian metric

với metric d(x,y) = x  y ,  x, y  X

1.2.2 Ví dụ: Trên X = k =  xx =(x ,x , ,x ), x  , i=1, ,k 

1) x1= x= 



k

i i

x

, 1

max

 Tương ứng với các chuẩn trên ta có các không gian định chuẩn:

( k , .1); ( k ,.2);

1.3 Không gian Hilbert

1.3.1 Định nghĩa tích vô hướng:

Cho không gian tuyến tính X trên trường P (P = hoặc P = ) Ta gọi tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes XX vào trường P, kí hiệu (.,.), thỏa mãn các tiên đề sau:

Các phần tử x, y, z, gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (x,y) gọi

là tích vô hướng của hai nhân tử x và y, các tiên đề i, ii, iii, iv gọi là hệ tiên đề

tích vô hướng

1.3.2 Định nghĩa không gian Hilbert

Ta gọi một tập H   gồm những phần tử x, y, z, nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn điều kiện:

1) H là không gian tuyến tính trên trường P;

2) H được trang bị một tích vô hướng (.,.);

3) H là không gian Banach với chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng

1

2

trùng với chuẩn đã biết

trên không gian n Nên không gian vectơ thực n cùng với tích vô hướng

(*) là một không gian Hilbert

,

)(





(1.1.1)

Trong đó:  = (1, ,n) được goi là đa chỉ số, là vectơ với tọa độ

nguyên không âm,  = 1 + 2 + + n

n n

n

x x

f f

1

Sự hội tụ theo chuẩn này là sự hội tụ đều trong  của các hàm và tất cả

đạo hàm của chúng đến cấp k Rõ ràng Ck

() với chuẩn (1.1.1) là một không

2 Số gần đúng và sai số

2.1 Định nghĩa

- Ta nói a là số gần đúng của a* nếu a không sai khác a* nhiều Độ lệch

h = a* - a được gọi là sai số thực sự của a

- Số a  0 được gọi là sai số tuyệt đối của số a nếu a thỏa mãn điều

Làm tròn số a là bỏ đi một số hàng bên phải trong biểu diễn của a để được một số gần đúng a gọn hơn nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết

j

neu neu

Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức: y  f(x1,x2, ,x n)

Gọi x i*, y* (i 1 ,n) và x i, y (i 1 ,n) là các giá trị đúng và gần đúng của các đối số và hàm số Nếu f khả vi liên tục thì

i i i n

x x x f y y

1 2

1 2

1 , , , ) ( *, *, , *) ' ' (

*

Trong đó fi'là đạo hàm

i x

i n

i x x x x f

y

1

2

1, , , )(

i i

x f x y

y y

x y

1

Giả sử i

n i

max

i y

x y

1

1

đó kết quả không chính xác Cho nên trong tính toán nên tránh các công thức

có hiệu của hai số gần nhau Nếu không tránh được thì cần lấy các số với nhiều chữ số chắc để hiệu của chúng có thêm chữ số chắc

2.3.2 Sai số của phép tính nhân chia

Giả sử

n p

p

x x

x x x y

1

2 1

j p

i

x y

1 1

lnln

- Nếu  > 1 (phép lũy thừa) thì y > x, do đó độ chính xác giảm

- Nếu 0 <  < 1 ta có phép khai căn, khi đó y < x, hay độ chính xác tăng

- Nếu  = -1 ta có phép nghịch đảo, y = x nghĩa là độ chính xác không đổi

2.3.4 Sai số của phép tính Logarit y = ln x

y = ln x thì y =  x

2.4 Bài toán ngược của lý thuyết sai số

Giả sử đại lượng y tính theo công thức y  f(x1,x2, ,x n) Hỏi phải lấy x i bằng bao nhiêu để y  const cho trước? Sau đây là hai phương pháp đơn giản để giải bài toán nêu trên

2.4.1 Nguyên lý ảnh hưởng đều

a) Ta coi x c (const) (i 1,n)

x

f i i

n i

i i

x f

c x

i i

y x

y k

x

f x

y x x

Giả sử hàm y  f(x1,x2, ,x n) đồng biến theo các biến x1,x2, ,x p và

nghịch biến theo các biến còn lại xp1, , xn Nếu biết cận thay đổi của đối

số x i  x i  x i (i1,n) thì

), ,,

, ,(:)

, ,,

, ,(: f x1 x p x p 1 x n y y f x1 x p x p 1 x n

Từ đây suy ra 0  y  y  y

2.5 Khái niệm sai phân

Giả sử f:  là một hàm số cho trước và h = const  0

Ta gọi sai phân cấp 1 của f (x) tại điểm x là đại lượng

f(x)= f(x + h) – f(x)

Biểu thức:

)()(

)()()()2()(

2

x f h x f

x f h x f h x f h x f x f f

được gọi là sai phân cấp 2 của f(x) tại x

Một cách tổng quát n f x( )   n1f x( ) ( n1) được gọi là sai phân cấp n của f

)(:)(

0

x f x

f 



Giả sử hàm y = f(x) cho dưới dạng bảng y  i f(x i)tại các mốc x i cách

đều: x i1x i hconst (i0) Khi đó sai phân của dãy y được xác định i

như sau:

i n i

n i n i

n

i i

i i

i i i

y y

y y

y y

y y

y y y

1 1 1 1

1 2

1

)(

;

)(

k k k

ih x C x

f

1

1 1

)()1()(

Từ công thức trên ta suy ra các tính chất của sai phân:

1)  là toán tử tuyến tính, nghĩa là:

1

)

i

h x P

i n

i

i





5) f(x + nh) = 





n i

i i

n f x C

0

)(

i n i n

h i n x f C x

f

0

))(()1()

0

1) ( )(

x x

x f x f

1 0 2

1 2

1 0

),(),(),,(

x x

x x f x x f x x x f

2 1 1

0

), ,(), ,,(), ,,

(

x x

x x f x x x f x x x

f

n

n n

n





là tỷ sai phân cấp n của hàm số

Các tính chất của tỷ sai phân

x

x f x

x f

0 0

)('

)()

, ,(

j

x x x

0

)(

)(



- Tỷ sai phân là toán tử tuyến tính

), ,(), ,(

)('

)()

('

)(

)('

))(

(), ,)(

(

0 0

0

n n

x x g x

x f

x

x g x

x f x

x g f x

x g f

n

x

x f x

x x f x x f

0 0

1 0

)('

)(

), ,,(), ,(



1 Các khái niệm tổng quát

1.1 Phương trình đạo hàm riêng

1.1.1.Khái niệm

Phương trình liên hệ giữa các ẩn hàm u1,u2, ,un , các biến số độc lập

x1,x2, ,xn và các đạo hàm riêng của các ẩn hàm được gọi là phương trình đạo hàm riêng Phương trình đạo hàm riêng có dạng:

0

; )

, ,, ,

;, ,,

;, ,,

(

1

1 1

1

1 2

1 2

i

k n

n n

x x

u x

u x

u u u u x x x

Trong đó F là một hàm số của nhiều biến số

Cấp của phương trình đạo hàm riêng là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình

y x

u

5 2

là phương trình đạo hàm riêng cấp hai

1.1.2 Các phương trình đạo hàm riêng quan trọng:

a) Phương trình Laplace: u = 0

b) Phương trình Poisson: u = f

c) Phương trình truyền sóng: u tt = u

d) Phương trình truyền nhiệt: u t = u

1.2 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính

Phương trình đạo hàm riêng cấp 1 có dạng:

Chương 2:

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

TUYẾN TÍNH

0 , ,

;

; , ,

x

u x

u u x x

Trong đó u = u(x 1 , ,x n ) là hàm phải tìm của n biến số độc lập x 1 , ,x n;

F là hàm đã cho của các đối số trong một miền nào đó trong không gian (2n+1) chiều

Nghiệm của phương trình (2.1.1) là hàm u = u(x 1 , ,x n ) xác định và liên

tục với các đạo hàm riêng

n x

u x

1

trong một miền biến thiên nào đấy của

các biến số x 1 , ,x n và biến phương trình (2.1.1) thành đồng nhất thức Ở đấy

ta giả thiết các giá trị của x 1 , ,x n mà tại đó hàm u xác định như các giá trị tương ứng của hàm u và các đạo hàm của nó nằm trong miền xác định của hàm F

Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 1 (không thuần nhất) có

dạng:

),, ,()

,, ,(

),, ,

1 1

x

u u x x X x

u u x x

n n

0)

,, ,(

),, ,

1 1

n n

x

u u x x X x

u u x x

u y

xy u y

u y x

u xy

1.2.1 Phương trình tuyến tính thuần nhất

Xét phương trình (2.1.3):

0)

,, ,(

),, ,

1 1

n n

x

u u x x X x

u u x x

Giả sử X 1 , X 2 , ,X n xác định và liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp

1 của chúng theo tất cả các biến ở trong một lân cận nào đó của điểm

), ,

,

(x10 x20 x n0 và không đồng thời bằng 0 tại điểm này, chẳng hạn

X (x10,x20, ,x n0)  0 (2.1.4)

Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 1 thuần nhất là

hàm u = u(x 1 , ,x n ) thỏa mãn điều kiện sau:

1) u = u(x 1 , ,x n ) xác định trên D

2) u = u(x 1 , ,x n ) khả vi và liên tục trong lân cận điểm

), ,

,

(x10 x20 x n0 (nghĩa là tồn tại các đạo hàm riêng

i x

u



 vào phương trình (2.1.3) thì nó trở thành đồng nhất

Ta thấy phương trình (2.1.3) bao giờ cũng có nghiệm u = c (2.1.5) với c

là hằng số tùy ý Ta gọi nghiệm (2.1.5) là nghiệm tầm thường của phương trình (2.1.3)

Cùng với phương trình (2.1.3) ta có hệ sau:

), ,(

), ,

1 1

n n

n

dx x

x X

dx



Hệ phương trình (2.1.6) gọi là hệ đối xứng tương ứng với phương trình (2.1.3)

Định nghĩa: Hàm số (X1,X2, ,X n) được gọi là tích phân của hệ (2.1.6) trong miền nào đó của các biến số x1, x2, ,xn nếu:

0

1 1

X x

X x





Định lý:

1) Nếu hàm số  ( x1, x2, , xn)là tích phân khả vi liên tục của hệ

(2.1.6) thì hàm số u =  ( x1, x2, , xn) là nghiệm của phương trình (2.1.3)

2) Nếu hàm số  ( x1, x2, , xn) const là nghiệm của phương trình

(2.1.3) thì hàm số  ( x1, x2, , xn) là tích phân của hệ (2.1.6)

Chứng minh:

1) Là hiển nhiên (dựa vào định nghĩa tích phân của hệ (2.1.6))

2) Lấy vi phân toàn phần của hàm  dựa vào hệ (2.1.6) ta được:

n n n n

n n n n n

n n

dx X x

X x

X

dx X

X x X

X x

dx x

dx x d

1

1 1

1 1 1

Khi đó từ (2.1.5) ta có: d 0 tức  c tích phân đầu của hệ (2.1.6)

Từ định lý trên ta suy ra rằng việc tìm nghiệm của phương trình (2.1.3) tương đương với việc tìm tích phân của hệ (2.1.6) có n – 1 tích phân độc lập

) , , , ,

( 1 2

1 x x xn u

 ;2( x1, x2, , xn, u ); ;n( x1, x2, , xn, u ) (2.1.7)

xác định và khả vi liên tục trong lân cận của điểm (x10,x20, ,x n0) khi đó

hệ (2.1.6) tương đương với hệ chuẩn tắc (n – 1) phương trình vi phân cấp 1 sau đây:

n

n n

n n

n n

X dx

dx X

X dx

dx X

X dx

Khi đó hàm số xác định bởi (2.1.9) cũng là tích phân (2.1.6) do đó cũng

là nghiệm của phương trình (2.1.3)

u y x

u x

Hệ phương trình vi phân đối xứng tương ứng với phương trình trên là:

z

dz y

dy x

yc

x 

1 1

1

11

Xét phương trình

z

dz x

dx

2



2

lnln

zc x

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: 

u  1 ,

1.2.2 Phương trình tuyến tính không thuần nhất

Ta xét phương trình (2.1.2):

),, ,()

,, ,(

),, ,

1 1

x

u u x x X x

u u x x

n n

Ta sẽ chứng minh rằng nghiệm của phương trình (2.1.2) có dạng ẩn:

0 ) , , , , ( x1 x2 x u 

V n (2.1.11)

Trong đó V là hàm khả vi liên tục theo các đối số thỏa mãn:

0),, ,,( 10 02 0 0 





u x x x u

V

n (2.1.12) Thật vậy, ta lấy vi phân hệ thức (2.1.11) theo x k k 1,n trong đó u là

hàm của x 1 , ,x n ta được:

n k u

v x

v x

u

k k

, 1 ,

2 2 1

V X x

V X x

V X

n

Phương trình (2.1.14) được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất với hàm số phải tìm là V

Hệ phương trình đối xứng tương ứng của (2.1.14) là:

f

du X

dx X

dx X

1

(2.1.15)

Hệ (2.1.15) có n tích phân độc lập:

) , , , ,

Ta có (2.1.18) là nghiệm tổng quát của (2.1.11)

Nếu từ phương trình (2.1.18) ta tìm được u =  ( x1, x2, , xn) (2.1.19) ở

đó  là hàm khả vi, liên tục thì (2.1.19) là nghiệm tổng quát ở dạng tường minh của phương trình (2.1.11)

Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:

yz y

z xy x

dy y

2 1

2

2

12

121

y C

x

- Xét phương trình

yz

dz y

dx





2 2

2 2

2

lnln

lnln

z yC

z yC

C z

y

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: ( 2 2, )  0

y

z y x F

1.3 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai

- Nghiệm tổng quát của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 là nghiệm có chứa số hàm tùy ý độc lập bằng 2 chính là số cấp của phương trình

- Nghiệm riêng là một nghiệm có thể nhận được từ một nghiệm tổng quát bằng cách chọn thích hợp hàm tùy ý

- Nghiệm đặc biệt là nghiệm không thể nhận được từ nghiệm tổng quát bằng cách chọn thích hợp hàm tùy ý

- Điều kiện biên: hệ thức liên hệ giữa các giá trị của tham biến đã biết

và các đạo hàm của chúng trên biên của miền gọi là các điều kiện biên

- Bài toán riêng của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 là bài toán tìm kiếm các nghiệm của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 trong miền xác định nào đấy thỏa mãn điều kiện biên

2 Bài toán biên

Bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng là bài toán tìm các nghiệm của nó trong miền nào đấy thỏa mãn các điều kiện trên biên của miền gọi là điều kiện biên

Định lý liên quan tới sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán biên gọi là

với u(0,y) = 4.e -y

3 Nguyên lý cộng nghiệm phương pháp tách biến

Có nhiều phương pháp giải bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Phương pháp tách biến (phương pháp Fourier) là một trong những phương pháp quan trọng nhất

Đầu tiên ta tìm nghiệm tổng quát sau đó cho thỏa mãn điều kiện biên Các định lý sau đây là cơ sở quan trọng cho phương pháp

Định lý: (Nguyên lý cộng nghiệm)

Giả sử 1,2, , 1 là nghiệm của phương trình (2.1.3) thì

1 1 1

1  c n n

c  cũng là nghiệm của phương trình (2.1.3)

Nghiệm tổng quát của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không thuần nhất bằng tổng của nghiệm tổng quát của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất với một nghiệm riêng nào đó của phương trình tuyến tính không thuần nhất

Phương trình tách biến: Giả thiết rằng nghiệm có thể biểu diễn dưới dạng tích của các hàm chưa biết mà mỗi hàm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập Kết quả của phương pháp là có thể viết phương trình ở hai vế, mà mỗi vế phụ thuộc vào một biến, vì vậy mỗi vế phải bằng hằng số Ta lần lượt giải cho từng hàm chưa xác định Hợp các nghiệm này cho ta nghiệm cần tìm

Thay vào phương trình (1) ta được:

X’Y = 2XY’ hay

Y

Y X

C X X

'

2 '

dY

Cdx X

e C x X C

Cy Y

C Cx X

2

2 1 2

1

)(

)(ln

ln

ln2

ln

Nghiệm của phương trình đã cho là:

u(x,y) = XY = C 1 C 2 e c(2x+y) = k e c(2x+y)

Từ điều kiện biên: u(0,y) = k.e cy = 4.e -y suy ra k = 4, c = -1

Vậy nghiệm cần tìm là: u(x,y) = 4.e -(2x+y)

4 Bài toán Côsi

4.1 Bài toán Côsi đối với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất

Hãy tìm nghiệm u = u(x 1 , ,x n ) (2.4.1) của phương trình (2.1.1) sao cho khi cố định một biến số (chẳng hạn x n) thì nó trở thành hàm số khả vi liên tục của các biến số còn lại, nghĩa là:

u =  ( x1, x2, , xn) khi 0

n

n x

x  (2.4.2) Điều kiện (2.4.2) gọi là điều kiện ban đầu của nghiệm (2.4.1)

Để tìm nghiệm của bài toán Côsi với phương trình (2.1.3) ta tiến hành như sau:

Giả sử 1,2, , 1 là n – 1 tích phân độc lập của hệ (2.1.6) và đặt

1 2

1 1

1 0 1 2

1 1

,, ,,

,, ,,

n n n n

n n

x x x x

x x x x

1 1 1

1 2

1 1 1

, ,,

,

,

n n

n

n x

1 2 2

1

212

122

y x

c

c x y

c xdx ydy

y

dx x dy

Đặt y = 0 vào biểu thức trên ta được: x2  do đó x  

Nghiệm của phương trình là: z = (x,y) tức là: z = 2 2

Đối với phương trình (2.1.2) ta cũng có bài toán Côsi tương tự

5 Phương trình đạo hàm riêng cấp m

5.1 Định nghĩa

Phương trình có dạng:

0

; )

, ,,

, ,

;, ,,

;, ,

,

(

1

1 2

1 1 1

1 2

1 2

i

k n

n n

x x

u x

u x

u x

u u u u x x

2 3

2 2 4 2

1 4

u y x

u x z

y

u y z y x

u x

Phương trình trên là phương trình đạo hàm riêng cấp 4

5.2 Một số phương trình thường gặp

a) Phương trình Laplace: 0

1 2

6 Phương trình vật lý toán

6.1 Các phương trình vật lý toán cơ bản

Phương trình đạo hàm riêng gọi là tuyến tính nếu nó là bậc nhất đối với hàm chưa biết và các đạo hàm riêng của nó

Dạng tổng quát của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 đối với hàm 2 biến u(x,y) là:

u

(2.6.4)

Nhiều bài toán vật lý kỹ thuật đưa đến các phương trình đó

Phương trình(2.6.1): thuộc loại Hyperbol nếu b2 – ac > 0

thuộc loại Parabol nếu b2 – ac = 0

thuộc loại Elip nếu b2 – ac < 0

ở đây a, b, c là các hàm số của các biến x và y, có đạo hàm đến cấp 2 liên tục

Phương trình đạo hàm riêng thường xuất hiện trong các bài toán ứng dụng của lý thuyết thủy động học, đàn dẻo, cơ học lượng tử, cơ học chất rắn, điện – từ trường Đa số các bài toán này rất phức tạp, không có phương pháp giải đúng Vấn đề tìm nghiệm đúng của phương trình đạo hàm riêng thường không thể và cũng không cần thực hiện trong mọi trường hợp

Bởi vậy để tìm nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng người ta phải sử dụng các phương pháp gần đúng Trong số các phương pháp giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng, phương pháp sai phân (còn gọi là phương pháp lưới) được sử dụng phổ biến nhất

1 Phương pháp sai phân

1.1 Cơ sở của phương pháp

Cơ sở của phương pháp sai phân được thể hiện như sau:

Trong miền biến thiên của các biến độc lập chúng ta tạo ra một lưới nhờ các đường thẳng song song với hai trục tọa độ Điểm giao nhau của các đường thẳng đó gọi là các nút lưới (điểm lưới) Tại các điểm lưới thay đạo hàm trong phương trình kể cả điều kiện biên bằng các biểu thức sai phân

Nghiệm của hệ phương trình này chính là các giá trị gần đúng của nghiệm bài toán ban đầu tại các điểm lưới

Nghiên cứu phương pháp sai phân liên quan tới việc giải các bài toán sau:

Chương 3:

GIẢI GẦN ĐÚNG CÁC BÀI TOÁN

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BẰNG

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN

- Lập luận khả năng giải được của hệ phương trình nhận được và xác định nghiệm đúng hoặc gần đúng của nó bằng một phương pháp gần đúng nào đó

- Đánh giá sai số của phương pháp mà sai số được tích lũy dần từ ước lượng sai số xấp xỉ của phương trình vi phân với các điều kiện biên

, ( 0, 1, 2, ), ( 0, 1, 2, )

Hai điểm lưới được gọi là liền kề nếu khoảng cách của nó bằng h và l Tập các điểm thuộc miền G ký hiệu là G h

Những điểm mà có 4 điểm liền kề đều nằm trong miền Ggọi là điểm

trong, ký hiệu là G h , những điểm thuộc G h nhưng không thuộc G h , gọi là

những điểm biên, ký hiệu là:h  G \h Gh

Ta tìm gần đúng nghiệm u của các điểm G h Nếu lưới càng mau thì nghiệm gần đúng cho ta hình dung nghiệm của bài toán liên tục càng chính xác hơn

2) Bước 2: Thay toán tử vi phân bằng toán tử sai phân

Ta thay các đạo hàm bằng các tỷ sai phân tương ứng, khi đó ta sẽ chuyển phương trình vi phân thành các phương trình đại số của các hàm xác định tại các điểm lưới Hàm đó được gọi là hàm lưới Cụ thể là, giả sử giá trị hàm cần tìm là u(x,y) ở tại các điểm lưới, ta ký hiệu là: u(x0 ih,y0 kl)

Trong mỗi điểm trong (x0 + ih, y0 + kl) ta thay các đạo hàm riêng bằng các tỷ sai phân:

l

u u

y u

h

u u

x u

k h i k h i ik

k h i k h i ik

2

2

, ,

, ,

2 2

2 , ,

2 2

l

u u

y u

h

u u

x u

k h i k h i ik

k h i k h i ik

Còn các điều kiện trên biên được xấp xỉ bằng một tổ hợp các giá trị của hàm lưới tại các điểm lưới gần biên hoặc ngay trên biên, cụ thể là:

l

u u

y u

h

u u

x u

ik l k i ik

ik k h i ik

3) Bước 3: Giải hệ phương trình đại số thu được

Tập hợp các phương trình sai phân thu được ở bước 2 cho ta một hệ

phương trình sai phân và hệ phương trình sai phân này chính là một hệ phương trình đại số tuyến tính Giải hệ phương trình đại số này cho ta lưới giải gần đúng của phương trình đã cho

4) Bước 4: Khảo sát sự hội tụ và ổn định của lược đồ sai phân

Xét phương trình Lu = f (3.1.4)

Trong đó L là toán tử tuyến tính đưa vào không gian tuyến tính định

chuẩn U , u vào không gian tuyến tính định chuẩn F , F

Ta xét bài toán “rời rạc” tương ứng: Lh(uh) = fh (3.1.5)

Trong đó Lh là toán tử tuyến tính định chuẩn U h, u h  vào không gian tuyến tính định chuẩn U k, u k 

Ta có sơ đồ sau:

F

Trong đó h ,h là các toán tử rời rạc hóa thỏa mãn điều kiện tương

f F

f

h u

U U

u

F F

h

U U

b) Lược đồ (3.1.5) xấp xỉ bậc k bài toán (3.1.4) tại nghiệm U* của (3.1.4) nếu:

k F

h h

h U f c h L

Định nghĩa 2: Lược đồ sai phân (3.1.5) là ổn định nếu:

a) (3.1.5) có nghiệm duy nhất với mọi vế phải fh

b) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào vế phải

Nói cách khác, tồn tại hằng số c2 sao cho chuẩn của 1 2

hội tụ bậc k nếu:

k U

* 2

* 1

c c f

U L

c

u L U L

L u

U

k F

h h

h

U h h h

h h U

h h

h

h h

Vậy kết quả thu được của bài toán tìm nghiệm gần đúng của bài toán phương trình đạo hàm riêng tổng quát là một bảng các giá trị bằng số của hàm

nghiệm tại các điểm rời rạc trên miền G

2 Phương pháp sai phân giải gần đúng phương trình Eliptic

Bài toán:

Xét phương trình Eliptic:

f gu y

u d x

u c y

u b x

u a

2

(3.2.1)

Với a, b, c, d, g, f là các hàm của hai biến độc lập x, y Chúng xác định

trong miền G với biên 

Giả sử a, b, c, d, g, f liên tục trong G  và a > 0, b > 0, g < 0, (x,y)

Phương pháp sai phân giải phương trình Eliptic:

Để giải phương trình Eliptic (3.2.1) với các điều kiện (3.2.2) và (3.2.3),

ta thực hiện các bước sau:

i) Bước 1: Rời rạc hóa miền xác định nghiệm

- Thay miền xác định nghiệm liên tục bằng một hệ thống rời rạc hữu hạn các điểm, gọi là nút lưới Cụ thể như sau:

Xét hai họ đường thẳng song song với các trục tọa độ:

0 0

, ( 0, 1, 2, ), ( 0, 1, 2, )

x x ih i

y y jl j

Trong đó h, l (h > 0, l > 0) là các số đã cho; h, l được gọi là các bước

lưới (theo Ox, Oy) Điểm giao nhau của các đường thẳng này gọi là các điểm

lưới Ta chỉ xét các điểm lưới thuộc G  

Nếu hai điểm lưới cách nhau theo trục Ox hoặc Oy một khoảng bằng bước lưới (theo trục tương ứng) thì hai điểm lưới đó được gọi là hai điểm kề

Trong miền G , những điểm lưới

mà bốn điểm kề với nó đều thuộc

tập các điểm lưới của G 

được gọi là điểm lưới trong,

các điểm lưới còn lại được gọi là

điểm lưới biên

ii) Bước 2: Rời rạc hóa phương trình Eliptic

Bằng cách thay các đạo hàm bằng các tỷ số sai phân tương ứng, ta đưa phương trình eliptic (3.2.1) về phương trình đại số của các hàm xác định tại các nút lưới Hàm đó được gọi là hàm lưới Bước này còn gọi là bước xấp xỉ phương trình vi phân bằng phương trình sai phân

,,

y h x u y h x u x

 

;2

,,

l y x u l y x u y

2,

2 ,

2 2

h

y h x u y x u y h x u x

,2,

2 ,

2 2

l

l y x u y x u l y x u y

j j j i j i j

j j j

j j i j j i j j

f u g l

u u

d h

u u c

l

u u u

b h

u u u

a u

22

1 , 1 , ,

1 , 1

2

1 , , 1 , 2

, 1 , , 1



(3.2.4)

Trong đó a ij ,b ij ,c ij ,d ij ,g ij ,f ij là giá trị các hệ số của phương trình

(3.2.1) tại các điểm lưới trong (i, j) Nếu (i, j) là các điểm lưới biên thì uij tại điểm lưới này là giá trị của  tại điểm của  gần nhất với điểm lưới đó

iii) Bước 3: Rời rạc hóa điều kiện trên biên

- Các điều kiện trên biên được xấp xỉ bằng một tổ hợp các giá trị của hàm lưới tại các nút lưới gần biên hoặc ở ngay trên biên Ta làm như sau:

Xấp xỉ điều kiện biên (theo phương pháp Kollats):

Đặt A = AB và h = AC,

Từ hình vẽ, ta có:

h

hu u u

A

B C A A