Phương pháp tọa độ và các ứng dụng

Phương pháp tọa độ không chỉ giúp chúng ta giải quyết các bài toán quỹ tích khó hoặc các bài toán chứng minh mà ta không giải được bằng suy luận, cứu cánh ta mỗi khi bí, hiệu quả trong k

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Năng Tâm đã tận tình giúp

đỡ em trong suốt thời gian em thực hiện đề tài

Xin chân thành các thầy, các cô trong tổ Hình học - Khoa toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội II đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ em hoàn thành đề tài này

Xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình thực hiện đề tài

Em xin chân thành cảm ơn

Sinh viên

Đinh Thị Ly

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận là công trình nghiên cứu của riêng tôi Trong khi nghiên cứu, tôi đã thừa kế những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự chân trọng và biết ơn

Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kì công trình nào khác

Xuân Hòa, ngày 05 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Đinh Thị Ly

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học có vai trò quan trọng trong đời sống thực tiễn, cũng như trong nghiên cứu khoa học Toán học là cơ sở nền tảng để nghiên cứu các môn khoa học khác Trong quá trình học tập, em được nghiên cứu về chuyên nghành hình học Đây là môn học có tính chặt chẽ, tính lôgic, tính trừu tượng hóa cao độ nên nó là môn học tương đối khó Với mỗi bài tập hình học lại có thể có nhiều phương pháp giải khác nhau: phương pháp tọa

độ, phương pháp vectơ, phương pháp tổng hợp

Việc sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, kiến thức mới về toán học hiện đại Giúp cho các em thấy được mối quan hệ 1-1 giữa đại số và hình học nhằm phát triển tư duy toàn diện cho học sinh Phương pháp tọa độ không chỉ giúp chúng ta giải quyết các bài toán quỹ tích khó hoặc các bài toán chứng minh mà ta không giải được bằng suy luận, cứu cánh ta mỗi khi bí, hiệu quả trong khi còn ít thời gian vì dù tính toán có hơi phức tạp nhưng ta không cần nghĩ nhiều

Bắt nguồn từ lòng say mê của bản thân và được sự giúp đỡ chỉ bảo của thầy Nguyễn Năng Tâm em chọn đề tài PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀ ỨNG DỤNG để làm khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về phương pháp tọa độ và ứng dụng của phương pháp tọa

độ trong việc giải các bài toán sơ cấp và chứng minh một số định lí trong hình học xạ ảnh

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu phương pháp tọa độ

- Nghiên cứu một số ứng dụng của phương pháp tọa độ

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng: phương pháp tọa độ và ứng dụng

- Phạm vi nghiên cứu: hình học afin, hình học Ơclit, hình học xạ ảnh

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận, tài liệu tham khảo

- Phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu

6 Cấu trúc

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận tốt nghiệp gồm hai chương:

- Chương 1: Phương pháp tọa độ

- Chương 2: Một số ứng dụng giải toán bằng phương pháp tọa độ

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 3

1 Lý do chọn đề tài 3

2 Mục đích nghiên cứu 4

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 4

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 4

5 Phương pháp nghiên cứu 4

6 Cấu trúc 4

CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 7

1.1 MỘT VÀI NÉT VỀ HỆ TỌA ĐỘ 7

1.2 KHÔNG GIAN AFIN 8

1.2.2 Mặt phẳng A và không gian 2 3 A 9

1.3.1 Định nghĩa 10

1.3.2 Một số tính chất trong 12

1.3.3 Một số công thức cơ bản trong hệ tọa độ Đêcac vuông góc 13

1.4 KHÔNG GIAN XẠ ẢNH 18

1.4.1 Định nghĩa 18

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO GIẢI TOÁN 20

2.1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 20

2.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI BẰNG HỆ TỌA ĐỘ AFIN 21

2.2.1 Một số toán trong hình học phẳng 21

2.2.2 Các bài toán trong không gian 25

2.3 MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI BẰNG HỆ TỌA ĐỘ

TRỰC CHUẨN 31

2.3.1 Trong mặt phẳng 31

2.3.2 Trong không gian 39

2.4 ỨNG DỤNG CỦA MỤC TIÊU XẠ ẢNH 46

KẾT LUẬN 53

MỘT SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO 54

CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

1.1 MỘT VÀI NÉT VỀ HỆ TỌA ĐỘ

Hệ tọa độ là tập hợp các điều kiện để xác định vị trí của một điểm

trên đường thẳng, trên mặt phẳng hay trong không gian

Khái niệm về hệ tọa độ đầu tiên được đưa vào địa chất và thiên văn

để xác định vị trí trên mặt đất và trên bầu trời Vào thế kỷ XIV, nhà toán

học người Pháp N.Oresme (1323-1382) sử dụng hệ tọa độ trên mặt phẳng

để dựng đồ thị Ông dùng khái niệm kinh độ và vĩ độ ứng với khái niệm

tung độ và hoành độ của ta hiện nay

Vào thế kỷ XVII nhờ các công trình của nhà toán học người Pháp Descarter, người ta thấy rõ ý nghĩa của phương pháp tọa độ: cho phép

chuyển các bài toán hình học về ngôn ngữ giải tích và ngược lại cho phép

mô tả các kết quả khác nhau toán học giải tích bằng hình học Ông đã mở ra

một thời kỳ mới cho toán học

Tọa độ của một điểm là một bộ số được sắp thứ tự, đặc trưng cho vị

trí của một điểm trên đường thẳng, trên mặt phẳng hay trong không gian

Tọa độ của một điểm luôn gắn liền với một hệ tọa độ xác định, bao

gồm gốc tọa độ và các trục tọa độ Tùy theo tính chất của việc khảo sát đối

tượng này hay đối tượng khác mà người ta chọn các hệ tọa độ khác nhau

1.2 KHÔNG GIAN AFIN

là một hệ tọa độ afin của A n

Điểm O được gọi là gốc của hệ tọa độ

Cơ sở e e 1, , ,2 en

gọi là cơ sở của hệ tọa độ

Định nghĩa Trong không gian afin n chiều A với hệ tọa độ n

Định nghĩa Trong không gian afin n chiều A với hệ tọa độ n

1.2.2 Mặt phẳng 2

1.3 KHÔNG GIAN ƠCLIT

được gọi là một không gian vectơ Ơclit

Định nghĩa Không gian Ơclit là không gian afin liên kết với không gian vectơ Ơclit hữu hạn chiều

Không gian Ơclit sẽ được gọi là n chiều nếu không gian vectơ Ơclit liên kết với nó có chiều bằng n Kí hiệu: E n

Định nghĩa Trong không gian Ơclit n chiều E n n 1 Gọi

hệ tọa độ trực chuẩn hay hệ tọa độ Đêcác vuông góc

Định nghĩa Trong không gian Ơclit n chiều E n n 1 với hệ tọa độ

Bộ số x x1, 2, ,x n gọi là tọa độ của vectơ v

đối với hệ tọa độ đã cho

Ký hiệu: vx x1, 2, ,x n

hay v x x 1, 2, ,x n

Định nghĩa Trong không gian Ơclit n chiều E với hệ tọa độ n

O e e; , , , 1 2 en

cho điểm M bất kỳ Tọa độ của vetơ OM

được gọi là tọa

độ của điểm M đối với hệ tọa độ đó

Như vậy, nếu OM x x 1, 2, ,x n

thì bộ số x x1, 2, ,x n được gọi là tọa độ của điểm M

Ký hiệu M x x1, 2, ,x n hay M x x 1, 2, ,x n

#) Tích có hướng của u x y z 1, ,1 1

và v x y z 2, 2, 2

là w trong đó :

+) Khi uk v.

1.3.3 Một số công thức cơ bản trong hệ tọa độ Đêcac vuông góc

1.3.3.1 Công thức tính khoảng cách

Khoảng cách giữa hai điểm

Trong không gian E cho hai điểm n M x x 1, 2, ,x nvà

Khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng

Trong E n n 1 cho một mục tiêu trực chuẩn, một điểm

Khoảng cách giữa hai phẳng

Cho hai cái phẳng  và  của E Giả sử không gian vectơ n 

có cơ sở u u 1, 2, ,un

thì với điểm bất kì A, điểm bất kì B , ta có:

, , ,

n n

Gr u u u AB d

Cách 3: Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương u1

của đường thẳng a và một điểm

M a b c1 1, ,1 1

Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương u2

của đường thẳng b và một điểm

M2a b c2, ,2 2

Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b

theo công thức sau:    

Trong E cho điểm n M x x 1, 2, ,x n chia đoạn thẳng M M1 2 theo tỷ số k

.1

n

y k z x

k

y k z x

k

y k z x

2

n n n

y z x

y z x

y z x

Góc giữa hai vectơ

Trong E cho hai vectơ u n 

Trong E , cho hai đường thẳng a và b với vectơ chỉ phương lần n

Góc giữa hai siêu phẳng

Trong E , cho hai siêu phẳng n  và  có hai vectơ pháp tuyến lần

Góc giữa đường thẳng và siêu phẳng

Trong E , cho đường thẳng d và siêu phẳng n  Vectơ chỉ phương

Đặc biệt, trong không gian cho bốn điểm A x y z 1, ,1 1, B x y z 2, 2, 2,

1.3.3.5 Công thức tính diện tích tam giác, thể tích tứ diện

Trong mặt phẳng, diện tích tam giác có các đỉnh A x y( 1, 1), B x y( 2, 2),

Trong không gian, thể tích tứ diện có các đỉnh A x y z( 1, ,1 1),

16

 S i gọi là đỉnh của mục tiêu

 E gọi là điểm đơn vị

 m _ phẳng (m < n) đi qua m + 1 đỉnh gọi là _

m phẳng tọa độ

 S i, S j (i ¹ j) gọi là các trục tọa độ

Định nghĩa Trong không gian xạ ảnh P n liên kết với V n+1, cho mục tiêu

xạ ảnh {S S0, 1, ,S E n; }có đại diện là cơ sở { }eri của V n+1 Với mỗi điểm

X bất kỳ của P n ta lấy vectơ xr đại diện cho X Khi đó, tọa độ

(x0 :x1 : :x n) của đối với cơ sở{ }eri cũng là tọa độ của X đối với mục tiêu {S S0, 1, ,S E n; }

Viết là: X = (x0 :x1 : :x n)

Trong chương này em đã giới thiệu một số kiến thức cơ bản về hệ tọa

độ Đây là công cụ để giải các bài toán ở chương 2

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG

PHÁP TỌA ĐỘ VÀO GIẢI TOÁN

Ở chương 2 em đưa ra một số ví dụ để minh họa cho ứng dụng của phương pháp tọa độ

2.1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

Phương pháp tọa độ là phương pháp giải toán bằng cách gắn bài toán vào một hệ tọa độ thích hợp

Các bước giải một bài toán bằng phương pháp tọa độ

Bước 1: Chọn hệ tọa độ thích hợp, sao cho điểm gốc O và các trục tọa độ trùng với các điểm đặc biệt, các đường đặc biệt thì

việc tính toán sẽ đơn giản ngắn gọn hơn

Bước 2: Chuyển ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ tọa độ

Bước 3: Sau đó bằng phương pháp tọa độ và các phép tính đại số chúng ta thực hiện các yêu cầu của bài toán đặt ra

Bước 4: Chuyển các ngôn ngữ tọa độ về ngôn ngữ hình học

2.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI BẰNG HỆ TỌA ĐỘ

AFIN

2.2.1 Một số toán trong hình học phẳng

Bài toán 1: Cho tam giác A B CV Từ một điểm P thay đổi trong mặt

phẳng kẻ các đường thẳng song song với CA , CB lần lượt cắt CB , CA tại Q và R Đường thẳng d nối Q với trung điểm I của CA cắt

đường thẳng d' nối R với trung điểm J của CB tại S Chứng minh rằng đường thẳng PS luôn đi qua điểm cố định

Giả sử P a b( ), thì R a( ), 0 , Q( )0,b

Phương trình đường thẳng QI là:

1

12

Bài toán 2: Cho hình bình hành A B CD Trên cạnh DC chọn điểm E sao

Þ 1 ,

n F

Þ AF AE

1

n n

trọng tâm tam giác A B CV

2.2.2 Các bài toán trong không gian

Bài toán 1: Cho ba tia không đồng phẳng Ox , Oy , Oz cùng xuất phát từ điểm O trong không gian Trên các tia đó lần lượt lấy các điểm A , B , C

thay đổi sao cho:

1 1 1 1

OA + OB + OC = k (k_ const k ¹, 0) Chứng minh (A B C) luôn đi qua điểm cố định

Vậy mặt phẳng (A B C)luôn đi qua điểm M k k k( ; ; ) cố định

Bài toán 2: Cho tứ diện A B CD Trên các cạnh A B , A C , A D lần lượt

lấy các điểm K , L, M sao cho: A B = a A K

uuur uuur

, A C = b A L

uuur uuur

,

ïî

Hình 5

Bài toán 3: Cho hình tứ diện A B CD Gọi E , F , G , H , I , K lần lượt là

trung điểm của các cạnh A B , CD , A C , B D , A D , B C và M , N , P , Q

lần lượt là trọng tâm của các tam giác A B CV , A DCV , A B DV ,VB CD Chứng minh EF , GH , IK , A Q , B N , CP , DM đồng qui

Phương trình đường thẳng GH là:

12

12

Dễ thấy tọa độ điểm O thỏa mãn phương trình ( )3

Þ Ba đường thẳng EF , GH , IK đồng qui tại O

Do Q là trọng tâm tam giác VB CD nên A Q = 13(A B + A D + A C)

1 1 1

Ta thấy tọa độ của O cũng thỏa mãn phương trình đường thẳng A Q

Suy ra bốn đường thẳng EF , GH , IK , A Q đồng qui tại O

Tương tự ta cũng chứng minh được O thỏa mãn phương trình của các đường thẳng B N , CP , DM

Vậy cả bảy đường thẳng EF , GH , IK , A Q , B N , CP , DM đồng qui tại

Bài toán 1: Cho đường tròn tâm O, bán kính bằng a , có hai đường kính

vuông góc với nhau là A B và CD.Trên tia CD lấy hai điểm M ,N sao

cho CN = OM

uuur uuur

Đường thẳng A B cắt đường tròn tại P Hãy xét xem khi

N thay đổi trên đoạn OC thì A NPV có vuông tại N không?

Nếu A NPV vuông thì khi đó điểm N nằm ở vị trí nào?

Lời giải

Chọn hệ tọa Đêcác vuông góc Oxy sao cho gốc O trùng với tâm O của đường tròn Trục Ox º OB , Oy º OC Đặt CN = OM = l (0£ l £ a)

( ) ( )

êë

Do đó A NPV vuông tại N khi N º C hoặc khi N º O Ngoài hai điểm

đó của N thì A NPV không vuông tại N

Bài toán 2: Cho A B CV có đường cao CH Gọi I , K lần lượt là trung

điểm của các đoạn A B và CH Một đường thẳng d di động luôn luôn song

song với cạnh A B cắt A C tại M và cắt cạnh B C tại N Dựng hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P , Q nằm trên cạnh A B Gọi J là tâm hình chữ nhật MNPQ Chứng tỏ I , K , J thẳng hàng

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ Đêcác vuông góc Oxy sao cho H º O Các

điểm A , B nằm trên trục Ox điểm C nằm trên trục Oy

Hình 8

Tọa độ của các điểm H ( )0, 0 , A a( ), 0 , C ( )0,c , B b( ), 0

Vì I là trung điểm của A B nên , 0

Hay P , Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M , N trên trục Ox

Bài toán 3: Cho tam giác A B CV nhọn, đường thẳng ( )d thay đổi Gọi D ,

E , F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A , B , C lên ( )d

Hay tam giác A B CV là tam giác đều

2.3.2 Trong không gian

Bài toán 1: Cho tứ diện OA B C có góc tam diện đỉnh là tam diện vuông,

1

OA = OB = OC = Gọi M , N lần lượt là các trung điểm của các cạnh

A B , OA Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OM , CN

Bài toán 2: Cho hình chóp S A B CD có SAABCDtại A , có đáy

A B CD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB2a,

3

SAa và vuông góc với đáy

a, Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD và () SBC )

Bài toán 4: Cho tam giác đều A B CV cạnh a gọi D là điểm đối xứng với

A qua B C Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (A B C) tại D

lấy điểm S sao cho 6

2.4 ỨNG DỤNG CỦA MỤC TIÊU XẠ ẢNH

Mục tiêu xạ ảnh không được biết đến rộng rãi để giải các bài toán sơ cấp như hệ tọa độ afin hay hệ tọa độ Đêcac vuông góc nhưng đây lại là công cụ rất hữu hiệu trong việc chứng minh một số định lý toán học.Chẳng hạn như:

Định lí Steiner Xét trong mặt phẳng xạ ảnh thực

a) Cho hai điểm cố định S1 và S2 nằm trên một đường ôvan và một điểm

M thay đổi trên đường ôvan đó Khi đó ánh xạ f : S1  S2 biến đường thẳng S M1 thành đường thẳng S M2 là một ánh xạ xạ ảnh khác với phép xuyên trục

b) Ngược lại : Cho ánh xạ xạ ảnh f : S1  S2 giữa hai chùm phân biệt

 S1 và  S2 Nếu f không phải là phép chiếu xuyên trục thì tập hợp giao

điểm của các đường tương ứng là một đường ôvan

a) Gọi d0 là đường thẳng đi qua S1 và S2; d1 và d2 lần lượt là tiếp tuyến của ôvan tại S2 và S1, S0 d1d2 Lấy một điểm E cố định trên ôvan và khác với S1và S2 Nếu chọn S S S E0, ,1 2;  làm mục tiêu xạ ảnh thì phương trình của ôvan là: 2

0 1 2 0

Nếu điểm M nằm trên ôvan, khác với S1 và S2 thì tọa độ x0:x x1: 2 của

nó thỏa mãn phương trình đó và x 0 0 Do đó x 1 0 Bởi vậy: 2 0

d d a m

x



Suy ra: d d a m0, 2, ,   d d a m1, 0, ', ' Do đó f là ánh xạ xạ ảnh và vì d0

không tự ứng nên f không phải là phép chiếu xuyên trục

b Gọi d0 là đường thẳng đi qua S1 và S2, f d( 0)d1, f1(d0)d2 Vì f

không phải là phép chiếu xuyên trục nên d0 không tự ứng, do đó d0, d1, d2 đôi một phân biệt Vì vậy ba điểm S0 d1d2, S1, S2 là ba điểm độc lập Gọi a là đường thẳng của chùm  S1 khác với d0 và d2, a' a , và

'

E aa Ta chọn S S S E0, ,1 2;  làm mục tiêu xạ ảnh Với mỗi đường thẳng m S1 và m' f m    S2 , ta đặt mm'X x0:x x1: 2 Khi đó: d 0 (1: 0 : 0), d 1 (0 :1: 0), d 2 (0 : 0 :1), a (1: 0 : 1) , 'a  ( 1:1: 0),

m x x , m' ( x x1: 0: 0)

Từ đó suy ra: d d a m, , ,  x2 và d d a m, , ', ' x0