Luận văn sư phạm Phương pháp toạ độ và các ứng dụng

Tìm qu tích các đi m trong không gian.

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 1

M c l c

Trang

L i nói đ u……… 2

Ch ng 1: M t s ki n th c c b n liên quan………3

A Khái ni m và các tính ch t c b n……… …3

I Các khái ni m ……….3

II M t s tính ch t trong E2 và E3……….4

B M t s công th c c b n trong t a đ êcác vuông góc……….6

I Xét trong E2……… 6

II Xét trong E3………8

Ch ng 2: M t s ng d ng gi i bài tóan b ng ph ng pháp t a đ …………14

Bài 1: Ph ng pháp t a đ ……… 14

Bài 2: L p các bài toán gi i đ c b ng ph ng pháp t a đ ……….15

I: L p bài toán tính góc và kho ng cách……… 15

II: L p các bài toán ch ng minh tính vuông góc……….24

III: L p các bài toán ch ng minh th ng hàng, đ ng ph ng……… 30

IV: L p bài tóan tìm qu tích……… 38

V: L p bài toán đ nh tính ch ng minh m i liên h đ i s …………46

VI: L p các bài toán ch ng minh b t đ ng th c đ i s ………52

K t lu n: ……… 59

Tài li u tham kh o:………60

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 2

1 -1 gi a đ i s và hình h c, nh m phát tri n t duy toàn di n cho h c sinh khi

đ ng tr c m t bài toán, hình thành cho mình h ng t duy đúng đ n, phù h p góp ph n đ t đ c m c tiêu đó lu n v n đ a ra h th ng lý thuy t phù h p,

m t s d ng toán th ng g p thông qua ph ng pháp chung và các ví d minh

h a, b c đ u giúp h c sinh th y đ c t m quan tr ng c a nh ng ng d ng c a

t a đ trong gi i toán Coi đây là m t công c m i r t hi u qu

B t ngu n t lòng say mê c a b n thân và đ c s giúp đ ch b o t n tình

c a th y Bùi V n Bình em đã ch n đ tài: Ph ng pháp t a đ và các ng d ng

làm khoá lu n t t nghi p c a mình Qua đây em xin g i l i c m n t i t t c các

th y cô giáo trong t hình h c đã t o đi u ki n giúp đ em trong quá trình nghiên c u, đ c bi t em xin chân tr ng c m n th y Bùi V n Bình đã tr c ti p

gi ng d y, giúp đ , h ng d n em trong quá trình th c hi n đ tài này Tuy có nhi u c g ng song do n ng l c c a b n thân c ng nh đi u ki n v tài li u và

th i gian còn h n ch nên bài khoá lu n không th tránh kh i nh ng sai sót Em

hy v ng s nh n đ c s ch b o c a th y cô và các b n

Hà N i, ngày 19 tháng 5 n m 2007

Sinh viên Hoàng Th Ng c Anh

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 3

  uur uur uur là m t

c s tr c chu n c a Euuurn , ngh a là e eur uuri j ij, và O là đi m cho tr c trong đó:

khi i j khi i = j

e euur uur enuur , cho

vect vr Khi đó, luôn t n t i duy nh t b s (x1,…,xn) sao cho:

i j



Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 4

Trong không gian Eukleides n chi u En v i h t a đ 0, , , , 

1 2

e euur uur enuur cho

đi m M b t kì T a đ c a vect OMuuuur đ c g i là t a đ c a đi m M đ i v i h

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 5

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 6

+, wur   0r u vur//r+, V i uur // vr  wur  u vur r .sin( , )u vur r

( , )

wur S u vur r

vr

uur ( trong đó ( , )S u vur r là di n tích hình bình hành d ng trên u vur r, )

 Ba vect u v wur r ur, , đ ng ph ng khi và ch khi tích h n h p t p c a 3

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 7

2 Chia m t đo n th ng theo t s cho tr c

Trong 2E , đi m M (x, y) chia đo n th ng M1M2 theo t s k có ngh a:

k

y kyy

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 8

6 Công th c tính di n tích tam giác

Trong 2E , di n tích c a tam giác có các đ nh A( x1, y1) , B (x2 , y2) và

C (x3 , y3) đ c cho b i công th c sau:

12

SABC 

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 9

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 10

1.4 Kho ng cách gi a 2 đ ng th ng chéo nhau

Trong không gian mu n tính kho ng cách gi a 2 đ ng th ng chéo nhau

a và b ta có các ph ng pháp sau:

Ph ng pháp 1: N u bi t đ dài đo n vuông góc chung AB c a 2

đ ng th ng chéo nhau  AB = d(a,b)

2 Chia 1 đo n th ng theo 1 t s cho tr c

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 11

Trong 3E , đi m M (x, y, z) chia đo n th ng M1M2theo t s k có ngh a

k

y kyy

k

z kzz

 Trong không gian, v i h t a đ êcác vuông góc Oxyz, cho đ ng th ng

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 12

Khi đó góc  gi a đ ng th ng d và m t ph ng (P) đ c tính theo công

Trong 3E , góc gi a vect vr(x, y, z) và chi u d ng c a các tr c Ox, Oy,

Oz là   x, y, z Khi đó cosx,cosy,cos z g i là các côsin ch ph ng Ta

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 13

 Trong 3E , đi u ki n c n và đ đ 3 đi m A( x1, y1, z1) , B (x2 , y2 ,z2) và

= 0   AB AC AD , 

uuur uuur uuur

= 0

6 Công th c tính di n tích tam giác, th tích t di n

 Trong 3E , di n tích c a tam giác có các đ nh A( x1, y1,z1) ,

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 14

= 16

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 15

 Ch n h t a đ thích h p, sao cho đi m g c O và các tr c t a đ trùng

v i các đi m đ c bi t, các đ ng đ c bi t thì vi c tính toán s đ c th c hi n đ n

gi n, ng n g n

 Chuy n ngôn ng hình h c sang ngôn ng t a đ

 Sau đó b ng ph ng pháp t a đ và các phép tính đ i s chúng ta c n

th c hi n các yêu c u c a bài toán đ t ra

 Chuy n các k t qu t ngôn ng t a đ sang ngôn ng hình h c

2 M t vài ví d v cách chuy n ngôn ng hình h c sang ngôn ng t a đ

M là trung đi m c a đo n th ng AB MA = MB

Hai đ ng th ng d1 và d2vuông góc và g i u 1

ur, u 2

p

uuuuur

là vect pháp tuy n m t ph ng (P))

Bài 2: L p các bài toán gi i đ c b ng ph ng pháp t a đ

I L p bài toán tính góc và kho ng cách

Bài toán tính góc và kho ng cách là nh ng bài toán yêu c u tính góc gi a 2

đ ng th ng, góc gi a hai m t ph ng, góc gi a đ ng th ng và m t ph ng

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 16

Kho ng cách gi a 2 đi m, t m t đi m đ n m t đ ng th ng, t đi m đ n m t

ph ng

Ph ng pháp chung đ gi i bài toán tính góc và kho ng cách b ng ph ng pháp t a đ là s d ng các công th c có liên quan nh đã nói ch ng I áp d ng trên h tr c t a đ

Ví d 1:

Cho t di n OABC có góc tam di n đ nh O là tam di n vuông,

OA=OB=OC=1 G i M, N l n l t là các trung đi m các c nh AB, OA Tính kho ng cách gi a 2 đ ng th ng OM, CN

L i gi i

Cách 1:

B ng ph ng pháp t ng h p có th gi i bài toán b ng các cách sau:

1 D ng đ ng vuông góc chung EF c a OM và CN Tính EF

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 17

B O

E

2 Kho ng cách c n tìm b ng kho ng cách t m t đi m b t k trên đ ng

th ng OM đ n m t ph ng( ) ()//OM và ch a CN; () chính là m t ph ng (CKI) trong đó OK//AB và KI//OM

Khi đó, OKIM là hình ch nh t và d dàng ch ng minh n uOH  CK thì

3 Xem kho ng cách c n tìm là đ ng cao c a hình chóp có đáy thu c m t

ph ng ch a CN và song song v i OM và đ nh c a hình chóp là đi m thu c OM,

ta có OH =3V

S

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 18

y

x

N O

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 19

0

1 2 1 2

0

1 2

0

1 0 -1

1 2

0

0 -1

2 + 0 -1

1 2

1 2 1 2

1 2

0

1 2

= 1 3

Nh v y b ng ph ng pháp t ng h p, đ gi i bài toán ta ph i k thêm hình

i u này đ i v i nhi u bài là khó xác đ nh Cách 2 ta s d ng ph ng pháp t a

đ l i gi i có ph n đ n gi n, ng n g n

Ví d 2:

ABCD ABC D G i M, N l n l t là trung đi m các

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 20

a

áp d ng đ nh lí côsin cho  OKD, ta có:

a

T h th c trên suy ra: cos· 2

3 KDO Cách 2: Dùng ph ng pháp t a đ

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 21

Ch n h t a đ êcac vuông góc Oxyz sao cho A  0 Khi đó các đi m B,

 ; (1,0, )1

2N

Góc gi a 2 đ ng th ng '

AC và MN chính là góc gi a 2 vect ch ph ng '

uuuur uuuur

Nh n xét:

V i yêu c u tính góc c a hai đ ng th ng chéo nhau trong không gian có th

có nhi u ph ng pháp gi i khác nhau Tuy nhiên v i 2 cách gi i trên rõ ràng

b ng ph ng pháp t a đ vi c gi i bài toán đã đ n gi n h n r t nhi u Ta ch vi c

áp d ng công th c liên quan đã bi t mà không ph i k thêm hình

Ví d 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là n a l c giác đ u n i ti p đ ng tròn đ ng kính AB = 2a, SA = a 3 và vuông góc v i đáy

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 22

B S

11

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 23

b Ph ng trình m t ph ng (SBC) đ c xác đ nh b i







Qua ®iÓm B(2a,0,0)

Cã vect¬ ph¸p tuyÕn nuur2 ( 3,1, 2)

Trong không gian cho các đi m A, B, C theo th t thu c các tia Ox, Oy,

Oz vuông góc v i nhau t ng đôi m t sao cho OA = a, OB = a 2 , OC = c

(a, c >0) G i D là đ nh đ i di n v i O c a hình ch nh t OADB và M là trung

đi m c a đo n BC (P) là m t ph ng đi qua A, M và c t m t ph ng (OCD) theo

m t đ ng th ng vuông góc v i AM

22

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 24

G i E là giao đi m c a (P) v i OC Tính đ dài OE

J

M E

I

L i gi i:

Ch n h tr c t a đ êcác vuông góc Oxyz, theo gi thi t có A, B, C t ng

ng thu c các tr c Ox, Oy, Oz

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 25

T (1) ,(2) và t IJ, OD đ ng ph ng suy ra IJ //OD

M t ph ng (P) qua A (a, 0, 0), có c p vect ch ph ng là uuurAM và ODuuur

V y ph ng trình m t ph ng (P) là:

2 2 2

a

a

2 0

c(x-a) + 2

0

c a

a

a (z-0) = 0

x y

xycz

II L p các bài toán ch ng minh tính vuông góc

L p bài toán ch ng minh tính vuông góc là nh ng bài toán yêu c u ch ng minh 2 đ ng th ng vuông góc, đ ng th ng vuông góc v i m t ph ng, 2 m t

ph ng vuông góc v i nhau

i v i nh ng bài toán d ng này, khi gi i b ng ph ng pháp t ng h p ta

ph i đi ch ng minh góc t o b i các y u t đó b ng 900 Vi c làm này nhi u khi

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 26

g p khó kh n, nh t là trong không gian Tuy nhiên b ng ph ng pháp t a đ v i

th ng AB c t đ ng tròn t i P Hãy xét xem khi N thay đ i trên đo n CO, ANP

có vuông t i N không? N u ANP vuông thì khi đó đi m N n m v trí nào?

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 27

D(0, -a) l

Ta có to đ các đi m: O(0,0), A(-a,0), B(a,0),C(0,a), D(0,-a),

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 28

y

a ly

Do đó ANP vuông t i N khi N C ho c khi N O Ngoài 2 đi m đó

c a N thì tam giác ANP không vuông t i N

Ví d 2:

Cho tam giác đ u ABC c nh a G i D là đi m đ i x ng v i A qua BC Trên

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 29

đ ng th ng vuông góc v i m t ph ng (ABC) t i D l y đi m S sao cho

Gi thi t cho đ ng th ng d vuông góc v i m t ph ng (ABC) tai D

V y ta ch n h tr c t a đ êcác vuông góc Dxyz, v i đi m A  Dx, B và

a ,0), S(0,0, 6

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 30

uuur

2nuur

Yêu c u c a bài toán này c ng gi ng nh trong ví d 1 trên, t c là v i câu

h i ng c l i: “Tìm đi u ki n đ 2 đ i t ng có quan h k v i nhau”, do đó ta

c ng có cách gi i t ng t

Gi i:

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 31

G i G là tr ng tâm tam giác ABC V i đi u ki n SA = SB = SC, ta ch n h

tr c t o đ Oxyz sao cho G  O

Khi đó: BC // Ox; đi m A  Oy

Ta có t a đ các đi m: A (0; 3

3

a ; 0) ; B ( ; 3;0

uuur uur

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 32

G i

3

3( , , )

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 33

yêu c u c a bài toán b ng ph ng pháp t a đ và các phép toán đ i s thông

th ng

III L p các bài toán ch ng minh s th ng hàng, đ ng ph ng

ch ng minh ba đi m A,B,C trong m t ph ng hay trong không gian

là th ng hàng ta c n ch ng minh đi u ki n sau: AC kABuuur  uuur.Trong 3E , đ ch ng minh 4 đi m A, B ,C ,D đ ng ph ng ta c n ch ng minh: uuurACuuurADk AB.uuur

Ví d 1:

Cho tam giác ABC có đ ng cao CH G i I, K l n l t là trung đi m c a các

đo n AB và CH M t đ ng th ng d di đ ng luôn luôn song song v i c nh AB

P I

0

Q A

N

K M

d

C

H J

Ch n h tr c t a đ êcác vuông góc Oxy sao cho O  H Các đi m A, B

n m trên tr c Ox , đi m C n m trên tr c Oy.Do đó t a đ c a các đi m là: H

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 34

(0,0) , A(a,0) , B(b,0) , C(0,c).Vì I là trung đi m c a AB nên I có t a đ là : I

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 35

Ba đi m I, J ,K th ng hàng IKuur a IJuur , a V i m i vect R IK IJuur uur, có

m t t a đ xác đ nh nào đó Khi đó ta bi u th t a đ c a vect này b ng a l n t a

đ c a vect kia Qua ví d trên ta th y đ ch ng minh ba đi m th ng hàng ta quy v vi c ch ng minh các đ ng th c vect mà th c ch t c a nó là s d ng

ph ng pháp t a đ trên c s các phép toán c a tr ng s th c R

Ví d 2:

Cho hình h p ch nh t ABCD.A1B1C1D1có ba kích th c AB = a , AD = b

, AA1= c v i 0 < a < b < c G i I , J l n l t là trung đi m c a các c nh AB,

C1D1 Các đi m M, N th a mãn AM kADuuuur  uuur ,

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 36

y

x

z

A O c

a b

2

a,b,c)  IJuur(0, , )b c

L i có : AM kADuuuur  uuur ,

1

BNkBBuuur uuuur

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 37

V y kIJuur IMuuurINuur

Do đó ba vect : IJ IM INuur uuur uur, , đ ng ph ng

Suy ra 4 đi m : I , J , M , N đ ng ph ng

Nh n xét:

Nh v y đ ch ng minh 4 đi m I , J , M , N đ ng ph ng ta ph i ch ng minh

3 vect IJ IM INuur uuur uur, , th a mãn IMuuurIN kIJuur  uur ( ho c IMuuurIJuurkINuur ho c

Ch n h t a đ êcác vuông góc Oxyz sao cho đi m A O

Các đi m B , D , A1l n l t thu c các tr c Ox , Oy , Oz

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 38

uuur = (0,0,c)

uuur uuur

Hay A , G , C1th ng hàng

Cách 2:

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 39

DM DB DAuuuur

uuuur uuur

Nên 1( )

13

r uuuur uuuur uuur r

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 40

Do đó: A , G , C1th ng hàng

Nh n xét:

Nh v y v n d ng đi u ki n c n và đ đ ba đi m th ng hàng c ng là m t

ph ng pháp giúp ta ch ng minh

Tuy nhiên vi c v n d ng ph ng pháp t a đ l i gi i bài toán r t đ n gi n

N u ta dùng các ph ng pháp ch ng minh khác thì vi c thi t l p m i liên h gi a

ba đi m A , G , C1 trong không gian s r t khó kh n Nh h th c vect v tính

ch t tr ng tâm G c a BDA1nên s d ng ph ng pháp t a đ là r t h p lí

*) M t s bài t p ví d khác

Bài 1:

Cho hình h p ABCD.A’B’C’D’ G i O là giao đi m c a 2 đ ng chéo m t

ABB1A1 M là 1 đi m trên OB1, m t ph ng (MD1C) c t BC1t i I và DA1t i J

Ch ng minh: I , M , J th ng hàng

H ng d n :

*) Bài này có th ch n m t trong 2 h ng nh sau

- S d ng ph ng pháp t a đ ch ng minh hai vect : IM IJ ,

Cho ABC G i O , H , G theo th t là tâm đ ng tròn ngo i ti p, tr c tâm

và tr ng tâm tam giác

Ch ng minh: O , G , H th ng hàng

H ng d n:

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 41

i v i bài toán này ta th ng s d ng ph ng pháp vect Bi u di n

IV L p bài toán tìm qu tích

Bài toán tìm qu tích là nh ng bài toán tìm t t c nh ng đi m trong m t

ph ng ho c không gian cùng có chung m t tích ch t nào đó khác v i các đi m khác Trong m i bài toán qu tích th ng có hai y u t , y u t c đ nh và y u t thay đ i Do đó ta ph i tìm đ c m i liên h gi a hai y u t này, dùng ph ng pháp t a đ đ k t lu n qu tích c a đi m c n tìm

Bài toán qu tích thông th ng đ c th c hi n theo các b c

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 42

1.Thi t l p h tr c t a đ thích h p, t đó suy ra t a đ c a các đi m c n thi t

2 Thi t l p bi u th c gi i tích cho y u t c n tìm qu tích trong tr ng h p bài toán có đi u ki n r ng bu c c n h n ch qu tích

Sau đó suy ra qu tích c a đi m đó c n xác đ nh th o mãn yêu c u bài toán

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 43

a

Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán 44

Cho hình l p ph ng ABCD.A1B1C1D1c nh là a Tìm qu tích các đi m

trong không gian Sao cho t ng các kho ng cách t đi m đó đ n các c p m t đ i

c a ABCD.A1B1C1D1là b ng nhau

Gi i

Ch n h tr c t a đ êcac vuông góc Oxyz sao cho đi m A  O

Các đi m B , D , A1l n l t thu c các tr c Ox , Oy , Oz

Khi đó : A(0,0,0) ; B (a,0,0) ; C(a,a,0) ; D(0,a,0)

A1(0,0,a) ; B1(a,0,a) ; C1(a,a,a) ; D1(0,a,a)

Lúc đó ph ng trình các m t hình l p ph ng là:

M t ph ng (ABCD) : z=0 ; m t ph ng (A1B1C1D1) : z=a

M t ph ng (ABB1A1) : y=0; m t ph ng (CDD1C1) : y=a