Phương pháp tọa độ và các ứng dụng

Phương pháp tọa độ không chỉ giúp chúng ta giải quyếtcác bài toán quỹ tích khó hoặc các bài toán chứng minh mà ta không giảiđược bằng suy luận, cứu cánh ta mỗi khi bí, hiệu quả trong khi

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Năng Tâm đã tận tình giúp

đỡ em trong suốt thời gian em thực hiện đề tài

Xin chân thành các thầy, các cô trong tổ Hình học - Khoa toán,Trường Đại học Sư phạm Hà Nội II đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ em hoànthành đề tài này

Xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuậnlợi cho em trong quá trình thực hiện đề tài

Em xin chân thành cảm ơn

Xuân Hòa, ngày 05 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Đinh Thị Ly

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận là công trình nghiên cứu của riêng tôi.Trong khi nghiên cứu, tôi đã thừa kế những thành quả nghiên cứu củacác nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự chân trọng và biết ơn

Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kìcông trình nào khác

Xuân Hòa, ngày 05 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Đinh Thị Ly

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học có vai trò quan trọng trong đời sống thực tiễn, cũng nhưtrong nghiên cứu khoa học Toán học là cơ sở nền tảng để nghiên cứu cácmôn khoa học khác Trong quá trình học tập, em được nghiên cứu vềchuyên nghành hình học Đây là môn học có tính chặt chẽ, tính lôgic, tínhtrừu tượng hóa cao độ nên nó là môn học tương đối khó Với mỗi bài tậphình học lại có thể có nhiều phương pháp giải khác nhau: phương pháp tọa

độ, phương pháp vectơ, phương pháp tổng hợp

Việc sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán cung cấp cho học sinhcách nhìn mới, kiến thức mới về toán học hiện đại Giúp cho các em thấyđược mối quan hệ 1-1 giữa đại số và hình học nhằm phát triển tư duy toàndiện cho học sinh Phương pháp tọa độ không chỉ giúp chúng ta giải quyếtcác bài toán quỹ tích khó hoặc các bài toán chứng minh mà ta không giảiđược bằng suy luận, cứu cánh ta mỗi khi bí, hiệu quả trong khi còn ít thờigian vì dù tính toán có hơi phức tạp nhưng ta không cần nghĩ nhiều

Bắt nguồn từ lòng say mê của bản thân và được sự giúp đỡ chỉ bảocủa thầy Nguyễn Năng Tâm em chọn đề tài PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀỨNG DỤNG để làm khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về phương pháp tọa độ và ứng dụng của phương pháp tọa

độ trong việc giải các bài toán sơ cấp và chứng minh một số định lí tronghình học xạ ảnh

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu phương pháp tọa độ

- Nghiên cứu một số ứng dụng của phương pháp tọa độ

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng: phương pháp tọa độ và ứng dụng

- Phạm vi nghiên cứu: hình học afin, hình học Ơclit, hình học xạ ảnh

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận, tài liệu tham khảo

- Phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu

6 Cấu trúc

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận tốt nghiệpgồm hai chương:

- Chương 1: Phương pháp tọa độ

- Chương 2: Một số ứng dụng giải toán bằng phương pháp tọa độ

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU . 3

1.Lý do chọn đề tài . 3

2.Mục đích nghiên cứu . 4

3.Nhiệm vụ nghiên cứu . 4

4.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . 4

5.Phương pháp nghiên cứu . 4

6.Cấu trúc . 4

CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ . 7

1.1. MỘT VÀI NÉT VỀ HỆ TỌA ĐỘ . 7

1.2. KHÔNG GIAN AFIN . 8

1.2.2 Mặt phẳng A 2 và không gian A 3 9 1.3.1 Định nghĩa 1 0 1.3.2 Một số tính chất trong 1 2 1.3.3 Một số công thức cơ bản trong hệ tọa độ Đêcac vuông góc 1 3

1.4 KHÔNG GIAN XẠ ẢNH 1 8 1.4.1 Định nghĩa 1 8 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO GIẢI TOÁN 2 0 2.1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 2 0 2.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI BẰNG HỆ TỌA ĐỘ AFIN 2 1 2.2.1 Một số toán trong hình học phẳng 2 1 2.2.2 Các bài toán trong không gian 2 5

2.3 MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI BẰNG HỆ TỌA ĐỘ

TRỰC CHUẨN 3 1

2.3.1. Trong mặt phẳng 3 1

2.3.2. ong không gian 3 9

2.4.ỨNG DỤNG CỦA MỤC TIÊU XẠ ẢNH 4 6 KẾT LU ẬN 5 3

MỘT SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO 5 4

CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

1.1 MỘT VÀI NÉT VỀ HỆ TỌA ĐỘ

Hệ tọa độ là tập hợp các điều kiện để xác định vị trí của một điểmtrên đường thẳng, trên mặt phẳng hay trong không gian

Khái niệm về hệ tọa độ đầu tiên được đưa vào địa chất và thiên văn

để xác định vị trí trên mặt đất và trên bầu trời Vào thế kỷ XIV, nhà toánhọc người Pháp N.Oresme (1323-1382) sử dụng hệ tọa độ trên mặt phẳng

để dựng đồ thị Ông dùng khái niệm kinh độ và vĩ độ ứng với khái niệmtung độ và hoành độ của ta hiện nay

Vào thế kỷ XVII nhờ các công trình của nhà toán học người PhápDescarter, người ta thấy rõ ý nghĩa của phương pháp tọa độ: cho phépchuyển các bài toán hình học về ngôn ngữ giải tích và ngược lại cho phép

mô tả các kết quả khác nhau toán học giải tích bằng hình học Ông đã mở ramột thời kỳ mới cho toán học

Tọa độ của một điểm là một bộ số được sắp thứ tự, đặc trưng cho vịtrí của một điểm trên đường thẳng, trên mặt phẳng hay trong không gian

Tọa độ của một điểm luôn gắn liền với một hệ tọa độ xác định, baogồm gốc tọa độ và các trục tọa độ Tùy theo tính chất của việc khảo sát đốitượng này hay đối tượng khác mà người ta chọn các hệ tọa độ khác nhau

1.2 KHÔNG GIAN AFIN

Định nghĩa Trong không gian afin n chiều

A n , trên trường số K cho điểm O và một cơ sở e ,e , ,e  của n Ta gọi bộ số O;e ,e , ,e 

là một hệ tọa độ afin của A n

Điểm O được gọi là gốc của hệ tọa độ.

Cơ sở e ,e , ,e  gọi là cơ sở của hệ tọa độ

Định nghĩa Trong không gian afin n chiều

afin của điểm M đối với hệ tọa độ đã cho.

Ký hiệu: M   x1, x2 , , x n  hay M  x1, x2 , , x n 

Định nghĩa Trong không gian afin n chiều A n

Không gian A 3

Hệ tọa độ afin gồm một điểm gốc O và ba vectơ cơ sở e

 ,

e ,  khác vectơ không và không đồng phẳng.

.y Nếu ánh xạ này thỏa mãn bốn điều kiện sau

thì ta gọi  là một hàm tích vô hướng trên V

i)ii)

x.y  y.x

 x  x .y  x .y  x .y;

x. y  y   x.y  x.y

iii) kx .y  k. x.y   x.ky iv)

x.x  0

và x.x  0

 x.y được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x , y

Cặp E  V ,  được gọi là một không gian vectơ Ơclit

Định nghĩa Không gian Ơclit là không gian afin liên kết với không gian

vectơ Ơclit hữu hạn chiều

Không gian Ơclit sẽ được gọi là n chiều nếu không gian vectơ Ơclit liên kết với nó có chiều bằng n Kí

và O là điểm cho trước thì tập hợp O; hay O;e1,e2 , ,e n  được gọi là

hệ tọa độ trực chuẩn hay hệ tọa độ Đêcác vuông góc

Định nghĩa Trong không gian Ơclit n chiều E n

được gọi là tọa

độ của điểm M đối với hệ tọa độ đó.

Ký hiệu M   x1, x2 , , x n

x1, x2 , , x n 

2   y 2    y 2

 y – x11 – x22 – xnn

1.3.3 số công thức cơ bản trong hệ tọa độ Đêcac vuông góc

1.3.3.1 Công thức tính khoảng

cách Khoảng cách giữa hai điểm

n  2 , đây là công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường

có cơ sở u1,u2 , ,u n  thì với điểm bất kì A  , điểm bất kì B   , ta có:

Trong không gian, muốn tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

của đường thẳng b và một điểm

Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b

theo công thức sau: d a,b 

1.3.3.2 Chia đoạn thẳng theo một tỷ số cho trước

Trong E n cho điểm M  x1,

u v

Góc giữa hai siêu phẳng

Trong

E n , cho hai siêu phẳng  và  có hai vectơ pháp tuyến lần

lượt là n và m Góc giữa hai siêu phẳng đó là số  mà 0     và

2cos  m.n

m n

Góc giữa đường thẳng và siêu phẳng

Trong

E n , cho đường thẳng d và siêu phẳng  Vectơ chỉ phương

của đường thẳng d là u và vectơ pháp tuyến của siêu phẳng  là n Góc

y1  x1 z2  x2

y2  x2  

z n 

x n y n  x n

Đặc biệt, trong không gian cho bốn điểm A x1, y1, z1 

1.3.3.5 Công thức tính diện tích tam giác, thể tích tứ diện

Trong mặt phẳng, diện tích tam giác có các đỉnh A (x1, y1 ), B (x2, y2

C (x 3, y3, z 3 ) không thẳng hàng Khi đó, diện tích tam

giác tính bởi công thức:

1

1

1 1

Trong không gian, thể tích tứ diện có các đỉnh

A (x1, y1, z1

),

B (x2, y2, z2 ), C (x 3, y3, z 3 ), D (x 4, y4, z 4 ) được tính theo công thức:

Định nghĩa Cho không gian xạ ảnh P

n liên kết với không gian vectơ

1

được gọi là mục tiêu xạ ảnh nếu bất kỳ

● S gọi là đỉnh của mục tiêu.

● E gọi là điểm đơn vị.

i

Định nghĩa Trong không gian xạ ảnh P

xạ ảnh {S , S , , S ;E }có đại diện là cơ sở {r }

Trong chương này em đã giới thiệu một số kiến thức cơ bản về hệ tọa

độ Đây là công cụ để giải các bài toán ở chương 2

e

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG

PHÁP TỌA ĐỘ VÀO GIẢI TOÁN

Ở chương 2 em đưa ra một số ví dụ để minh họa cho ứng dụng củaphương pháp tọa độ

2.1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

Phương pháp tọa độ là phương pháp giải toán bằng cách gắn bài toánvào một hệ tọa độ thích hợp

Các bước giải một bài toán bằng phương pháp tọa độ.

Bước 1: Chọn hệ tọa độ thích hợp, sao cho điểm gốc O và các trục

tọa độ trùng với các điểm đặc biệt, các đường đặc biệt thì việc tính toán sẽ đơn giản ngắn gọn hơn

Bước 2 : Chuyển ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ tọa độ

Bước 3 : Sau đó bằng phương pháp tọa độ và các phép tính đại số

chúng ta thực hiện các yêu cầu của bài toán đặt ra

Bước 4 : Chuyển các ngôn ngữ tọa độ về ngôn ngữ hình học

d 'B

SJR

IC

Ad

2.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI BẰNG HỆ TỌA ĐỘ

AFIN

2.2.1 Một số toán trong hình học phẳng

Bài toán 1: Cho tam giác VAB

C

.Từ một điểm P thay đổi trong mặt

phẳng kẻ các đường thẳng song song với CA , CB lần lượt cắt CB , CA tại Q và R Đường thẳng d nối Q với trung điểm I của CA cắt đường thẳng d ' nối R với trung điểm J của CB tại S Chứng minh rằng đường thẳng PS luôn đi qua điểm cố định

èç 2ø÷÷

Giả sử P (a,b) thì R (a, 0), Q (0,b)

Phương trình đường thẳng QI là:

x

+12

Phương trình chùm đường thẳng tâm S xác định bởi hai đường thẳng QI

Bài toán 2: Cho hình bình hành A BCD Trên cạnh DC chọn điểm E sao

Chọn hệ tọa độ afin A;AB , AC , ta có

theo giả thiết ta có:

; 0÷

h ø÷

÷

Muốn MN đi qua điểm cố định, ta buộc đẳng thức (1) không phụ

thuộc vào h Từ đây ta suy ra:

ìï

ï y - x = 0 ìïï x = y 1

í

ï x + î 2y

-1 = 0

Û í

ï 3y = 1

Ûî

x = y =

3

Vậy điểm cố định mà đường thẳng MN đi qua là

æ1 1ö

trọng tâm tam giác VA BC

çè3 3÷ø

2.2.2 Các bài toán trong không gian

Bài toán 1: Cho ba tia không đồng phẳng Ox , Oy , Oz cùng xuất phát từ

điểm O trong không gian Trên các tia đó lần lượt lấy các điểm A , B , C

thay đổi sao cho:

C

xA

1+ 1 + 1 = 1 (k _ const, k

Hay M (k;k;k ) thỏa mãn phương trình mặt phẳng (A BC )

Vậy mặt phẳng (A BC )luôn đi qua điểm M (k;k;k ) cố định.

Bài toán 2: Cho tứ diện A BCD Trên các cạnh A B , A C , A D lần lượt

uuur uuur uuur

Chọn hệ tọa độ afin A;AB , A C , AD

ML

A

C

Hình 5

Bài toán 3: Cho hình tứ diện A BCD Gọi E , F , G , H , I , K lần lượt là

trung điểm của các cạnh A B , CD , A C , BD , A D , BC và M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác VA BC

,

VA DC

,

VA BD ,VBCD Chứng minh EF , GH , IK , A Q , BN , CP , DM đồng qui.

Lời giải

PGNM

uuur uuur uuur

Chọn hệ tọa độ afin A;AB , A C , AD

x - 1

2 = y = z

(1)

- 12 12 21

Gọi O là giao điểm của EF và GH Khi đó, tọa độ của O là nghiệm của hệ

phương trình xác định bởi phương trình (1)và phương trình (2)

và nhận IK ( 1 , 1 , -

1)

làm vectơ chỉ2

phương, nên có phương trình:

Dễ thấy tọa độ điểm O thỏa mãn phương trình (3)

Þ Ba đường thẳng EF , GH , IK đồng qui tại O

Do Q là trọng tâm tam giác

x

= y = z

Ta thấy tọa độ của O cũng thỏa mãn phương trình đường thẳng A Q

Suy ra bốn đường thẳng EF , GH , IK , A Q đồng qui tại O

Tương tự ta cũng chứng minh được O thỏa mãn phương trình của các đường thẳng BN , CP , DM

Vậy cả bảy đường thẳng EF , GH , IK , A Q , BN , CP , DM đồng qui tại

Bài toán 1: Cho đường tròn tâm O , bán kính bằng a , có hai đường kính

vuông góc với nhau là A B và CD Trên tia CD lấy hai điểm M ,N sao

cho

N thay đổi trên đoạn OC thì

P

vuông thì khi đó điểm N nằm ở vị trí nào?

÷

Lời giải

A

M

PD

Chọn hệ tọa Đêcác vuông góc Oxy sao cho gốc O trùng với tâm O của đường tròn Trục Ox º OB , Oy º OC Đặt

Tọa độ giao điểm của đường thẳng A M và đường tròn tâm O là nghiệm

của hệ phương trình:

Bài toán 2: Cho VA B

C

có đường cao CH Gọi I , K lần lượt là trung điểm của các đoạn A B và CH Một đường thẳng d di động luôn luôn song

ê

song với cạnh A B cắt A C tại M và cắt cạnh BC tại N Dựng hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P , Q nằm trên cạnh A B Gọi J là tâm hình chữ nhật MNPQ Chứng tỏ I , K , J thẳng hàng.

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ Đêcác vuông góc Oxy sao cho H º

y =

m (với 0 < m < c ).

ï NP ^î

A

B A B

Hay P , Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M , N trên trục Ox

çç

ïï

c

E , F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A , B , C lên (d ).

(d )

FE

Vậy A D đạt giá trị lớn nhất bằng A H khi đường thẳng (d )đi qua H

và song song với BC

Bài toán 4: Chứng minh rằng trong tam giác

(1) (2)

Hay tam giác

2.3.2 Trong không gian

Bài toán 1: Cho tứ diện OABC có góc tam diện đỉnh là tam diện vuông,

OA =

OC

= 1 Gọi M , N lần lượt là các trung điểm của các cạnh

A B , OA Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OM , CN

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz sao cho điểm O của

chóp trùng với gốc tọa độ

Khi đó: O(0, 0, 0) ; A(1, 0, 0) ; C (0, 0, 1) ; M ( 1 , 1 , 0) ; N ( 1 , 0, 0)

uuur

Ta có véctơ chỉ phương của đường thẳng OM là OM (1 , 1 , 0)

2 2uuur 1

Ta có véctơ chỉ phương của đường thẳng CN là CN ( , 0, - 1)

2

10

1

1212

1212

120

2

120

00

BA

D

C

Bài toán 2: Cho hình chóp S ABCD

có

SA   ABCD tại A , có đáy

A BCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB  2a ,

SA 

a, Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)

b, Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

Lời giải

Vì giả thiết cho SA   ABCD tại A Do đó, ta có thể chọn hệ trục toạ độ Đêcác vuông góc Oxyz sao cho A  O Giả sử điểm B  Ox , S  Oz Khi đó: A(0,0,0)

S (0,0, a 3)

x

y

a) Gọi

A lần lượt thuộc các trục Ox , Oy , Oz

1

A1

D1C

1

GA

DB

Vậy A , G , C thẳng hàng.1

zS

B

D

AC

Bài toán 4: Cho tam giác đều

A qua BC Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (A BC ) tại D

lấy điểm S sao cho SD =

2.4 ỨNG DỤNG CỦA MỤC TIÊU XẠ ẢNH

Mục tiêu xạ ảnh không được biết đến rộng rãi để giải các bài toán sơ cấpnhư hệ tọa độ afin hay hệ tọa độ Đêcac vuông góc nhưng đây lại là công cụrất hữu hiệu trong việc chứng minh một số định lý toán học.Chẳng hạn như:

Định lí Steiner Xét trong mặt phẳng xạ ảnh thực

M thay đổi trên đường ôvan đó Khi đó ánh xạ f :S1  S2 biến đường

2  Nếu f không phải là phép chiếu xuyên trục thì tập hợp giao

điểm của các đường tương ứng là một đường ôvan

2

S S

d

S

d

Hình 14

a) Gọi d là đường thẳng đi qua S và S ; d và d lần lượt là tiếp tuyến

x1  0 Bởi vậy:

, a ', m '  x0

Suy ra: d0 , d2 , a, m  d1 , d0 , a ', m ' Do đó f là ánh xạ xạ

ảnh và vì không tự ứng nên f không phải là phép chiếu xuyên trục.

b Gọi d là đường thẳng đi qua S và S , f (d0 )  d1