Phương pháp toạ độ và các ứng dụng

Với mỗi bài tập hình học có thể có nhiều phương pháp giải khác nhau: Phương pháp tổng hợp, phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ… Việc sử dụng tọa độ để giải toán cung cấp cho học sinh m

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt

nghiệp

Khoa Toán

1 Hoàng Thị Ngọc Anh K29A Toán Mục lục Trang Lời nói đầu……… 2

Chương 1: Một số kiến thức cơ bản liên quan………3

A Khái niệm và các tính chất cơ bản……… …3

I Các khái niệm ……….3

II Một số tính chất trong E2 và E3 ……….4

B Một số công thức cơ bản trong tọa độ Đêcác vuông góc……….6

I Xét trong E2 ……… 6

II Xét trong E3………8

Chương 2: Một số ứng dụng giải bài tóan bằng phương pháp tọa độ…………14

Bài 1: Phương pháp tọa độ……… 14

Bài 2: Lớp các bài toán giải được bằng phương pháp tọa độ……….15

I: Lớp bài toán tính góc và khoảng cách……… 15

II: Lớp các bài toán chứng minh tính vuông góc……….24

III: Lớp các bài toán chứng minh thẳng hàng, đồng phẳng……… 30

IV: Lớp bài tóan tìm quỹ tích……… 38

V: Lớp bài toán định tính chứng minh mối liên hệ đại số…………46

VI: Lớp các bài toán chứng minh bất đẳng thức đại số………52

Kết luận: ……… 59

Tài liệu tham khảo:………60

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt

nghiệp Khoa Toán

2

lời nói đầu

Hình học là một môn học có tính hệ thống chặt chẽ, tính lôgic và tính trừu

tượng hóa cao Vì vậy hình học là một môn học khó đối với học sinh Với mỗi bài tập hình học có thể có nhiều phương pháp giải khác nhau: Phương pháp tổng hợp, phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ…

Việc sử dụng tọa độ để giải toán cung cấp cho học sinh một kiến thức mới cách nhìn mới về toán học hiện đại Giúp cho các em thấy được mối tương quan

1 -1 giữa đại số và hình học, nhằm phát triển tư duy toàn diện cho học sinh khi đứng trước một bài toán, hình thành cho mình hướng tư duy đúng đắn, phù hợp

Để góp phần đạt được mục tiêu đó luận văn đưa ra hệ thống lý thuyết phù hợp, một số dạng toán thường gặp thông qua phương pháp chung và các ví dụ minh họa, bước đầu giúp học sinh thấy được tầm quan trọng của những ứng dụng của tọa độ trong giải toán Coi đây là một công cụ mới rất hiệu quả.

Bắt nguồn từ lòng say mê của bản thân và được sự giúp đỡ chỉ bảo tận tình

của thầy Bùi Văn Bình em đã chọn đề tài: Phương pháp tọa độ và các ứng dụng

làm khoá luận tốt nghiệp của mình Qua đây em xin gửi lời cảm ơn tới tất cả các thầy cô giáo trong tổ hình học đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong quá trình nghiên cứu, đặc biệt em xin chân trọng cảm ơn thầy Bùi Văn Bình đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ, hứơng dẫn em trong quá trình thực hiện đề tài này Tuy có nhiều cố gắng song do năng lực của bản thân cũng như điều kiện về tài liệu và thời gian còn hạn chế nên bài khoá luận không thể tránh khỏi những sai sót Em

hy vọng sẽ nhận được sự chỉ bảo của thầy cô và các bạn.

Hà Nội, ngày 19 tháng 5 năm 2007

Sinh viên Hoàng Thị Ngọc Anh

Chương I: một số kiến thức cơ bản liên quan

A khái niệm và các tính chất cơ bản

I Cá c khá i niệm

1 Đị nh nghĩa hệ tọa độ

uur uur uur

Trong không gian Eukleides n chiều En (n 1)

E n

Trong không gian Eukleides n chiều

3 Tọ a độ của đ iểm

uur uur uur

Trong không gian Eukleides n chiều

uuuur

En với hệ tọa độ 0,e ,e

1 2, ,enchođiểm M bất kì Tọa độ của vectơ

x 2 y 211

1 2 1 2

x 2 y 2 x 2  y 2

x 2 y 2  z 2111

(x x )2 ( y y)2

Ax By C11A2  B2

Khoảng cách giữa 2 điểm

 Trong mặt phẳng cho 2 điểm M1( x1, y1) và M2 (x2 , y2) Khi đó khoảng

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

 Trong mặt phẳng khoảng cách từ điểm M1( x1, y1) đến đường thẳng 

có phương trình : A x + B y + C = 0

được tính theo công thức sau: d(M , ) 

1

M M

A A B B1 21 2

A 2 B 2 A 2  B 2

2 Chia m ột đ oạ n t hẳng theo tỉ số cho trước

Trong E2 , điểm M (x, y) chia đoạn thẳng M1M2 theo tỉ số k có nghĩa:

uuuuuurM MM k uuuuuur, khi đó:

và chiều dương của các trục Ox, Oy là



E2 , diện tích của tam giác có các đỉnh A( x1, y1) , B (x2 , y2) và

C (x3 , y3) được cho bởi công thức sau:

Trong không gian, nếu ta cho 2 điểm M1( x1, y1, z1) và M2 (x2 , y2, z2) tương

tự như trong mặt phẳng ta có:

Trong không gian, khoảng cách từ điểm M1( x1, y1 ,z1) đến đường thẳng 

Ax By Cz D0 0 0A2 B2  C2

1.3 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Khoảng cách từ một điểm M0( x0, y0 ,z0) đến mặt phẳng () có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 được tính theo công thức :

d(M

0, () 

uur uur uuur

Trong không gian muốn tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

a và b ta có các phương pháp sau:

Ph ương pháp 1 : Nếu biết độ dài đoạn vuông góc chung AB của

Ph ương phá p 2: Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng () chứa đường thẳng a và

() // b Bước 2: Lấy một điểm M trên b và tính khoảng cách từ M tới ()

của đường thẳng b và một điểm

Bước 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b được tính theo công thức :

d (a,b) =

2 Chia 1 đo ạn t hẳng theo 1 tỉ số cho trước

uur uur

u u

uuruur1 2u1 u2

Trong E3 , điểm M (x, y, z) chia đoạn thẳng M1M2 theo tỉ số k có nghĩa

 Trong không gian

uur E3 , cho 2 đường thẳng d1 , d2 lần lượt có các vectơ

Aa Ba  Ca1 2 3A2 B2 C2a 2 a 2 a 2

yx2 y2 z2

xx2 y2 z2

zx2 y2 z2

Rõ ràng:

cos2x cos2y cos2z 1.

5 Đi ều ki ện t hẳ ng hà ng, đ ồng p hẳng

E3 , diện tích của tam giác có các đỉnh A( x1, y1,z1) ,

B (x2 , y2, z2) , C (x3 , y3, z3) được tính theo công thức :

C (x3 , y3, z3) , D (x4 , y4, z4) được tính theo công thức:

uuur uuur uuur

V ABC D

C ác b ước giải bài toán bằ ng phương phá p tọ a độ:

Khi bài toán cho có các vấn đề như tính khoảng cách, tính góc, chứng minh

sự vuông góc của 2 đường thẳng, của đường thẳng và mặt phẳng, của 2 mặtphẳng hoặc những bài toán quỹ tích, cực trị, chứng minh yếu tố cố định thì ta

có thể sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán

Nó gồm có 4 bước sau:

14

 Chọn hệ tọa độ thích hợp, sao cho điểm gốc O và các trục tọa độ trùng với các điểm đặc biệt, các đường đặc biệt thì việc tính toán sẽ đựơc thực hiện đơngiản, ngắn gọn

 Chuyển ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ tọa độ

 Sau đó bằng phương pháp tọa độ và các phép tính đại số chúng ta cầnthực hiện các yêu cầu của bài toán đặt ra

 Chuyển các kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học

2 Một và i ví dụ về cách chuyển ng ôn ng ữ hình họ c sa ng ngô n ngữ tọa độ

ur r

Hai đường thẳng d1 và d2 vuông góc và gọi u1 , u2

phương của d1, d2 khi đó:

Khoảng cách giữa 2 điểm, từ một điểm đến một đường thẳng, từ điểm đến mặtphẳng

Phương pháp chung để giải bài toán tính góc và khoảng cách bằng phươngpháp tọa độ là sử dụng các công thức có liên quan như đã nói ở chương I áp dụngtrên hệ trục tọa độ

Ví dụ 1:

Cho tứ diện OABC có góc tam diện đỉnh O là tam diện vuông,OA=OB=OC=1 Gọi M, N lần lượt là các trung điểm các cạnh AB, OA Tínhkhoảng cách giữa 2 đường thẳng OM, CN

Lời giải Cách 1:

Bằng phương pháp tổng hợp có thể giải bài toán bằng các cách sau:

1 Dựng đường vuông góc chung EF của OM và CN Tính EF

M N

I

C

H

B K

A

2 Khoảng cách cần tìm bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên

chính là mặt phẳng (CKI) trong đó OK//AB và KI//OM

Khi đó, OKIM là hình chữ nhật và dễ dàng chứng minh nếu

Vectơ chỉ phương của đường thẳng CN là: CN (

2 ,0, 1) Vectơ nối 2 điểm của 2 đường thẳng trên là : uuur

OC (0,0,1) Khi đó khoảng cách giữa 2 đường thẳng OM và CN là:

2 1 2

2

1 2

0

0 0

2 1 2

ADKC' là hình bình hành

.

( Vì

AD // C'

K ) Gọi O là trung điểm

BC'

Mặt khác MN// OD và

O·DK

DK // AC' nên góc giữa MN và AC’ chính là góc

Giả sử cạnh hình lập phương bằng a áp dụng định lý côsin cho

OK 2 C' K 2 OC'2 2C' K.OC' .cos O·C' K

O

KC'

ta có:

= a2  ( a

2 )2 2a.

6 )2 

2a

3

a

6 cos K· DO =

1.11 1 1 1

22

3 32

Với yêu cầu tính góc của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian có thể

có nhiều phương pháp giải khác nhau Tuy nhiên với 2 cách giải trên rõ ràng

'

bằng phương pháp tọa độ việc giải bài toán đã đơn giản hơn rất nhiều Ta chỉ việc

áp dụng công thức liên quan đã biết mà không phải kẻ thêm hình

z S

B A



3

, a 3)

31031 314 4 2 2 22

1 2

n n

b Phương trình mặt phẳng (SBC) được xác định bởi

Trong không gian cho các điểm A, B, C theo thứ tự thuộc các tia Ox, Oy,

Oz vuông góc với nhau từng đôi một sao cho OA = a, OB = a

2 , OC = c(a, c >0) Gọi D là đỉnh đối diện với O của hình chữ nhật OADB và M là trungđiểm của đoạn BC (P) là mặt phẳng đi qua A, M và cắt mặt phẳng (OCD) theomột đường thẳng vuông góc với AM

Gọi E là giao điểm của (P) với OC Tính độ dài OE

AM  (a, a 2

Tọa độ điểm E là nghiệm cuả hệ

II Lớp các bài toá n chứng mi nh tính v uô ng gó c

Lớp bài toán chứng minh tính vuông góc là những bài toán yêu cầu chứng minh 2 đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, 2 mặt phẳng vuông góc với nhau

Đối với những bài toán dạng này, khi giải bằng phương pháp tổng hợp ta phải đi chứng minh góc tạo bởi các yếu tố đó bằng 900 Việc làm này nhiều khi

gặp khó khăn, nhất là trong không gian Tuy nhiên bằng phương pháp tọa độ với việc sử dụng định nghĩa và tính chất của yếu tố vuông góc ta có thể thực hiện đơngiản hơn rất nhiều

Ví dụ 1:

Cho đường tròn tâm O, bán kính bằng a, có 2 đường kính vuông góc với

uur uur

nhau là AB và CD Trên tia CD lấy hai điểm M, N sao cho CN OM Đường

thẳng AB cắt đường tròn tại P Hãy xét xem khi N thay đổi trên đoạn CO, 

ANP có vuông tại N không? Nếu ANP vuông thì khi đó điểm N nằm ở vị trí nào?

với 0 l a)

27

Ta có toạ độ các điểm: O(0,0), A(-a,0), B(a,0),C(0,a), D(0,-a),

a2( y 

l)2l2

l2



P( a(a2 

l2) a2

Khi đó hệ số góc k của đường thẳng NP là:

k  N P (a l)(a l ) 2a l

(a l)2.l2 0  l a

l 0

Do đó ANP vuông tại N khi N C hoặc khi N O Ngoài

2 điểm đó của N thì tam giác ANP không vuông tại N

Ví dụ 2:

Cho tam giác đều ABC cạnh a Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC Trên



a 6

đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho

2

Giải

z S

B

D

C y

Giả thiết cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tai D

Vậy ta chọn hệ trục tọa độ Đêcác vuông góc Dxyz, với điểm A Dx,

B và C đối xứng nhau qua Dx

Khi đó, ta có: do tam giác ABC đều; A, D đối xứng qua BC

Gọi n ,

1

Ta có:

uu r

n

2lần lượt là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAB) và (SAC)

 n

(1,

 1

Nhậ n xét :

Yêu cầu của bài toán này cũng giống như trong ví dụ 1 trên, tức là với câu hỏi ngược lại: “Tìm điều kiện để 2 đối tượng có quan hệ k với nhau”, do đó ta cũng có cách giải tương tự

Giải:

a 3

z S

G O

x A

3 )

Chứng tỏ 3 điểm I, J ,K thẳng hàng.

Giải

y

x

Chọn hệ trục tọa độ Đêcác vuông góc Oxy sao cho O H Các điểm

A, B nằm trên trục Ox , điểm C nằm trên trục Oy.Do đó tọa độ của các điểmlà: H

(0,0) , A(a,0) , B(b,0) , C(0,c).Vì I là trung điểm của AB nên I có tọa độ là : I

0)c

c

J là trung điểm của PM

một tọa độ xác định nào đó Khi đó ta biểu thị tọa độ của vectơ này bằng a lần tọa

độ của vectơ kia Qua ví dụ trên ta thấy để chứng minh ba điểm thẳng hàng taquy về việc chứng minh các đẳng thức vectơ mà thực chất của nó là sử dụng phương pháp tọa độ trên cơ sở các phép toán của trường số thực R

1

J c

= 1 (0, kb, kc) 

(0,b,c) k

= IJ

uur uuur uur

Vậy k IJ IM IN

uur uuur uur

Do đó ba vectơ: IJ , IM ,

Suy ra 4 điểm : I , J , M , N đồng phẳng

Nhậ n xét :

Như vậy để chứng minh 4 điểm I , J , M , N đồng phẳng ta phải chứng minh

3 vectơ uur uuur

uur

IJ , IM ,

IN

uuur uur uur

thỏa mãn IM IN

 k IJ

uuur uur uur

) Khi đó nếu dùng phương pháp thông thường lời giải sẽ

rất phức tạp và khó xác định Dự trên mối quan hệ giữa vectơ và tọa độ ta

chuyển bài toán về cách chưúng minh theo tọa độ và thấy được những ưu điểm vàthấy được những ưu điểm của phương pháp này trong giải quyết những dạng toántrên

Chọn hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz sao cho điểm A

 O Các điểm B , D , A1 lần lượt thuộc các trục Ox , Oy

, Oz

uuur uuur uuur uuuur   A

uuuurC  a b c Lại có A 1 ( , , )

3

AC1

Hay A , G , C1 thẳng hàng

Bài này cũng có thể sử dụng điều kiện cần và đủ để ba điểm A ,G , C1 thẳng

uuuur uuur uuuuur

1Gọi M là trung điểm của BA1 G là trọng tâm BDA1

uuur uuur r uuuur r

Mà A uuuur uuuur uuur rAA  AD c br

C

uuuur uuuuur uuur

Vậy với mọi điểm D ta luôn có : DG 1

2 DA

về tính chất trọng tâm G của BDA1 nên sử dụng phương pháp tọa độ là rấthợp lí.

Hướng dẫn :

*) Bài này có thể chọn một trong 2 hướng như sau

- Sử dụng phương pháp tọa độ chứng minh hai vectơ :

uuur uur

chứng minh : IM k IJ

uuur uur

IM , IJ

cộng tuyến, tức

- Sử dụng điều kiện cần và đủ để I , M , J thẳng hàng là: tồn tại số thực k sao

uuuur uuur uuur

Chứng minh: O , G , H thẳng hàng Hướng dẫn:

Đối với bài toán này ta thường sử dụng phương pháp vectơ Biểu diễn

uuur

OG,OH theo các vectơ OA,OB,OC Từ đó chứng minh được: OH 3OG

Để chứng minh 3 vectơ a,b,c đồng phẳng ( trong đó có 2 vectơ không cùng

phương) ta phải chứng minh :

đồng phẳng, ta sẽ khai triển các vectơ đó theo

khác Trong mỗi bài toán quỹ tích thường có hai yếu tố, yếu tố cố định và yếu tố thay đổi Do đó ta phải tìm được mối liên hệ giữa hai yếu tố này, dùng phương pháp tọa độ để kết luận quỹ tích của điểm cần tìm

Bài toán quỹ tích thông thường được thực hiện theo các bước

1.Thiết lập hệ trục tọa độ thích hợp, từ đó suy ra tọa độ của các điểm cần thiết

2 Thiết lập biểu thức giải tích cho yếu tố cần tìm quỹ tích trong trường hợp bàitoán có điều kiện rằng buộc cần hạn chế quỹ tích

Sau đó suy ra quỹ tích của điểm đó cần xác định thảo mãn yêu cầu bài toán

A A khi M chạy trên elip (E) là elip có

Vậy quỹ tích trực tâm H của

Ví dụ 2:

Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh là a Tìm quỹ tích các điểm trong không gian Sao cho tổng các khoảng cách từ điểm đó đến các cặp mặt đối của ABCD.A1B1C1D1 là bằng nhau

GiảiChọn hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz sao cho điểm A

 O Các điểm B , D , A1 lần lượt thuộc các trục Ox , Oy , Oz

Khi đó : A(0,0,0) ; B (a,0,0) ; C(a,a,0) ; D(0,a,0)

A1(0,0,a) ; B1(a,0,a) ; C1(a,a,a) ; D1(0,a,a)Lúc đó phương trình các mặt hình lập phương là:

Mặt phẳng (ABCD) : z=0 ; mặt phẳng (A1B1C1D1) : z=a

Mặt phẳng (ABB1A1) : y=0; mặt phẳng (CDD1C1) : y=a

45

Ta gọi điểm M(x,y,z) là điểm trong không gian ta có :

Khoảng cách từ điểm M đến các mặt đối của hình lập phương

Nhậ n xét :

N M

O

trong ví dụ này, nếu ta sử dụng các phương pháp thông thường để dự đoánquỹ tích thì việc làm đó tương đối khó Nhiều khi nếu không có hướng giải thì sẽkhông thực hiện được

Sử dụng phương pháp tọa độ trong lời giải bài toán giúp cho việc tìm tập hợp điểm trở nên đơn giản, ngắn gọn

Ví dụ 3:

Cho 2 điểm A, B cố định và một đường thẳng vuông góc với

đường thẳng AB nhưng không đi qua A , B Một điểm M chạy trên  Tìm tập hợp các giao điểm N của các đường thẳng vuông góc với MA, MB tại A và B

GiảiChọn hệ trục tọa độ Đêcác vuông góc Oxy sao cho trục Ox là đường thẳngchứa A, B , trục Oy là đường thẳng  Chọn gốc O là giao điểm của

uuur uuur uuur uuur