Phương pháp toạ độ và các ứng dụng

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán Hoàng Thị Ngọc Anh K29A Toán 10 1.4 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau.. Trong không gian muốn tính khoảng cách giữa 2 đường

Trang 1

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Hoàng Thị Ngọc Anh K29A Toán 1 Mục lục Trang Lời nói đầu……… 2

Chương 1: Một số kiến thức cơ bản liên quan………3

A Khái niệm và các tính chất cơ bản……… …3

I Các khái niệm ……….3

II Một số tính chất trong E2 và E3 ……….4

B Một số công thức cơ bản trong tọa độ Đêcác vuông góc……….6

I Xét trong E2 ……… 6

II Xét trong E3………8

Chương 2: Một số ứng dụng giải bài tóan bằng phương pháp tọa độ…………14

Bài 1: Phương pháp tọa độ……… 14

Bài 2: Lớp các bài toán giải được bằng phương pháp tọa độ……….15

I: Lớp bài toán tính góc và khoảng cách……… 15

II: Lớp các bài toán chứng minh tính vuông góc……….24

III: Lớp các bài toán chứng minh thẳng hàng, đồng phẳng……… 30

IV: Lớp bài tóan tìm quỹ tích……… 38

V: Lớp bài toán định tính chứng minh mối liên hệ đại số…………46

VI: Lớp các bài toán chứng minh bất đẳng thức đại số………52

Kết luận: ……… 59

Tài liệu tham khảo:………60

Trang 2

Khoa Toán

Hoàng Thị Ngọc Anh K29A Toán 2

lời nói đầu

Hình học là một môn học có tính hệ thống chặt chẽ, tính lôgic và tính trừu

tượng hóa cao Vì vậy hình học là một môn học khó đối với học sinh Với mỗi bài

tập hình học có thể có nhiều phương pháp giải khác nhau: Phương pháp tổng

hợp, phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ…

Việc sử dụng tọa độ để giải toán cung cấp cho học sinh một kiến thức mới

cách nhìn mới về toán học hiện đại Giúp cho các em thấy được mối tương quan

1 -1 giữa đại số và hình học, nhằm phát triển tư duy toàn diện cho học sinh khi

đứng trước một bài toán, hình thành cho mình hướng tư duy đúng đắn, phù hợp

Để góp phần đạt được mục tiêu đó luận văn đưa ra hệ thống lý thuyết phù hợp,

một số dạng toán thường gặp thông qua phương pháp chung và các ví dụ minh

họa, bước đầu giúp học sinh thấy được tầm quan trọng của những ứng dụng của

tọa độ trong giải toán Coi đây là một công cụ mới rất hiệu quả

Bắt nguồn từ lòng say mê của bản thân và được sự giúp đỡ chỉ bảo tận tình

của thầy Bùi Văn Bình em đã chọn đề tài: Phương pháp tọa độ và các ứng dụng

làm khoá luận tốt nghiệp của mình Qua đây em xin gửi lời cảm ơn tới tất cả các

thầy cô giáo trong tổ hình học đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong quá trình

nghiên cứu, đặc biệt em xin chân trọng cảm ơn thầy Bùi Văn Bình đã trực tiếp

giảng dạy, giúp đỡ, hứơng dẫn em trong quá trình thực hiện đề tài này Tuy có

nhiều cố gắng song do năng lực của bản thân cũng như điều kiện về tài liệu và

thời gian còn hạn chế nên bài khoá luận không thể tránh khỏi những sai sót Em

hy vọng sẽ nhận được sự chỉ bảo của thầy cô và các bạn

Hà Nội, ngày 19 tháng 5 năm 2007

Sinh viên Hoàng Thị Ngọc Anh

Trang 3

Khoa Toán

Chương I: một số kiến thức cơ bản liên quan

A khái niệm và các tính chất cơ bản

  uur uur uur là một

cơ sở trực chuẩn của E n

uuur

, nghĩa là e eur uuri j ij, và O là điểm cho trước trong đó:

khi i j khi i = j

thì tập hợp  0, hay 0, , , , 

1 2

e euur uur enuur được gọi là hệ tọa độ trực chuẩn hay hệ tọa

độ Đêcác vuông góc

2.Tọa độ của véctơ

Trong không gian Eukleides n chiều E n với hệ tọa độ 0, , , , 

1 2

e euur uur enuur , cho vectơ vr Khi đó, luôn tồn tại duy nhất bộ số (x1,…,xn) sao cho:

1 1 2 2

vr x eurx euur x e n nuur Bộ số (x1, x2, ,xn) được gọi là toạ độ của vectơ vrđối

với hệ tọa độ đã cho

i j



Trang 4

Khoa Toán

Trong không gian Eukleides n chiều E n với hệ tọa độ 0, , , , 

1 2

e euur uur enuur cho

điểm M bất kì Tọa độ của vectơ OMuuuur được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ

tọa độ đó

Như vậy, nếu OMuuuur (x1 , x2 , … , xn) tức là:

OMuuuur = x e1 1urx e2 2uur  x e n nuur thì bộ số (x1 , x2 , … , xn ) được gọi là tọa độ

Trang 5

Khoa Toán

Khi đó, tọa độ của vectơ ( ; )

Trang 6

Khoa Toán

+, wur   0r u vur//r +, Với uur // vr  wur  u vur r .sin( , )u vur r

( trong đó ( , )S u vur r là diện tích hình bình hành dựng trên u vur r, )

 Ba vectơ u v wur r ur, , đồng phẳng khi và chỉ khi tích hỗn hợp tạp của 3

1.1 Khoảng cách giữa 2 điểm

 Trong mặt phẳng cho 2 điểm M1( x1, y1) và M2 (x2 , y2) Khi đó khoảng

cách d giữ 2 điểm M1 và M2 là độ dài vectơ

 Trong mặt phẳng khoảng cách từ điểm M1( x1, y1) đến đường thẳng 

Trang 7

Khoa Toán

2 Chia một đoạn thẳng theo tỉ số cho trước

Trong 2E , điểm M (x, y) chia đoạn thẳng M1M2 theo tỉ số k có nghĩa:

k

y ky y

Đặc biệt, nếu k = -1 thì M là trung điểm của đoạn thẳng M1M2 , khi đó tọa

độ của điểm M được xác định như sau :

Trang 8

Trong 2E , ba điểm A( x1, y1) ; B( x2, y2) và C (x3 , y3) thẳng hàng nếu

( điều kiện cần và đủ ) : AC k ABuuur  uuur 3 1 3 1

= 0 hay

6 Công thức tính diện tích tam giác

Trong 2E , diện tích của tam giác có các đỉnh A( x1, y1) , B (x2 , y2) và

C (x3 , y3) được cho bởi công thức sau:

12

S ABC 

Trang 9

Trong không gian, khoảng cách từ điểm M1( x1, y1 ,z1) đến đường thẳng 

Trong đó M0( x0, y0 ,z0)  ; uur là vectơ chỉ phương của  và uur (a, b, c) ;

uur là độ dài của vectơ uur

Khoảng cách từ một điểm M0( x0, y0 ,z0) đến mặt phẳng ( ) có phương

trình Ax + By + Cz + D = 0 được tính theo công thức :

Trang 10

Khoa Toán

1.4 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Trong không gian muốn tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

a và b ta có các phương pháp sau:

Phương pháp 1: Nếu biết độ dài đoạn vuông góc chung AB của 2

đường thẳng chéo nhau  AB = d(a,b)

Phương pháp 2: Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng () chứa đường thẳng a và () // b

Bước 2: Lấy một điểm M trên b và tính khoảng cách từ M tới ()

d ( a, b) = d(M, () )

Phương pháp 3: ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương

uur uur

2 Chia 1 đoạn thẳng theo 1 tỉ số cho trước

Trang 11

Khoa Toán

Trong 3E , điểm M (x, y, z) chia đoạn thẳng M1M2 theo tỉ số k có nghĩa

k

y ky y

k

z kz z

n A B C

ur

Trang 12

Khoa Toán

Khi đó góc  giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) được tính theo công

 Trong không gian, với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho các mặt

phẳng (1) , (2) lần lượt có các vectơ pháp tuyến ( , , )

Trong 3E , góc giữa vectơ vr(x, y, z) và chiều dương của các trục Ox, Oy,

Oz là   x, y , z Khi đó cosx,cosy ,cos z gọi là các côsin chỉ phương Ta

Trang 13

Khoa Toán

 Trong 3E , điều kiện cần và đủ để 3 điểm A( x1, y1, z1) , B (x2 , y2 ,z2) và

= 0  AB AC AD, 

uuur uuur uuur

= 0

6 Công thức tính diện tích tam giác, thể tích tứ diện

 Trong 3E , diện tích của tam giác có các đỉnh A( x1, y1,z1) ,

B (x2 , y2, z2) , C (x3 , y3, z3) được tính theo công thức :

Trang 14

Khoa Toán

C (x3 , y3, z3) , D (x4 , y4, z4) được tính theo công thức:

1( , , )6

= 16

Chương II: Một số ứng dụng giải bài toán bằng

phương pháp tọa độ

Bài 1: Phương pháp tọa độ

1 Các bước giải bài toán bằng phương pháp tọa độ:

Khi bài toán cho có các vấn đề như tính khoảng cách, tính góc, chứng minh

sự vuông góc của 2 đường thẳng, của đường thẳng và mặt phẳng, của 2 mặt

phẳng hoặc những bài toán quỹ tích, cực trị, chứng minh yếu tố cố định thì ta

có thể sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán

Nó gồm có 4 bước sau:

Trang 15

Khoa Toán

 Chọn hệ tọa độ thích hợp, sao cho điểm gốc O và các trục tọa độ trùng

với các điểm đặc biệt, các đường đặc biệt thì việc tính toán sẽ đựơc thực hiện đơn

giản, ngắn gọn

 Chuyển ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ tọa độ

 Sau đó bằng phương pháp tọa độ và các phép tính đại số chúng ta cần

thực hiện các yêu cầu của bài toán đặt ra

 Chuyển các kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học

2 Một vài ví dụ về cách chuyển ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ tọa độ

M là trung điểm của đoạn thẳng AB MA = MB

Hai đường thẳng d1 và d2 vuông góc và gọi u1

ur

, u2

r

lần lượt là vectơ chỉ phương của d1, d2 khi đó:

p

uuuuur

là vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P))

Bài 2: Lớp các bài toán giải được bằng phương pháp tọa độ

I Lớp bài toán tính góc và khoảng cách

Bài toán tính góc và khoảng cách là những bài toán yêu cầu tính góc giữa 2

đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trang 16

Khoa Toán

Khoảng cách giữa 2 điểm, từ một điểm đến một đường thẳng, từ điểm đến mặt

phẳng

Phương pháp chung để giải bài toán tính góc và khoảng cách bằng phương

pháp tọa độ là sử dụng các công thức có liên quan như đã nói ở chương I áp dụng

trên hệ trục tọa độ

Ví dụ 1:

Cho tứ diện OABC có góc tam diện đỉnh O là tam diện vuông,

OA=OB=OC=1 Gọi M, N lần lượt là các trung điểm các cạnh AB, OA Tính

khoảng cách giữa 2 đường thẳng OM, CN

Lời giải Cách 1:

Bằng phương pháp tổng hợp có thể giải bài toán bằng các cách sau:

1 Dựng đường vuông góc chung EF của OM và CN Tính EF

Trang 17

Khoa Toán

B C

O K

E

2 Khoảng cách cần tìm bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường

thẳng OM đến mặt phẳng( ) ()//OM và chứa CN; () chính là mặt phẳng

(CKI) trong đó OK//AB và KI//OM

Khi đó, OKIM là hình chữ nhật và dễ dàng chứng minh nếuOH CK thì

OH mặt phẳng (CKI)

tính OH từ tam giác vuông OCK, có OK= 2

4 và OC=1 Khi đó áp dụng công thức diện tích suy ra OH =1

3

3 Xem khoảng cách cần tìm là đường cao của hình chóp có đáy thuộc mặt

phẳng chứa CN và song song với OM và đỉnh của hình chóp là điểm thuộc OM,

ta có OH =3V

S

Trang 18

y

x

N O

Khi đó khoảng cách giữa 2 đường thẳng OM và CN là:

Trang 19

Khoa Toán

0

1 2 1 2

0

1 2

0

1 0 -1

1 2

0

0 -1

2 + 0 -1

1 2

1 2 1 2

1 2

0

1 2

= 1 3

Như vậy bằng phương pháp tổng hợp, để giải bài toán ta phải kẻ thêm hình

Điều này đối với nhiều bài là khó xác định Cách 2 ta sử dụng phương pháp tọa

độ lời giải có phần đơn giản, ngắn gọn

Trang 20

Trang 21

Khoa Toán

Chọn hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz sao cho A 0 Khi đó các điểm B,

uuuur uuuur

Nhận xét:

Với yêu cầu tính góc của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian có thể

có nhiều phương pháp giải khác nhau Tuy nhiên với 2 cách giải trên rõ ràng

bằng phương pháp tọa độ việc giải bài toán đã đơn giản hơn rất nhiều Ta chỉ việc

áp dụng công thức liên quan đã biết mà không phải kẻ thêm hình

Ví dụ 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường

tròn đường kính AB = 2a, SA = a 3 và vuông góc với đáy

Trang 22

Khoa Toán

a Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)

b Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

Giải

Vì giả thiết cho SA (ABCD) tại A Do đó, ta có thể chọn hệ trục tọa độ

Đêcác vuông góc Oxyz sao cho AO.Giả sử điểm BOx, SOz

Khi đó: A(0,0,0); B(2a,0,0) Do ABCD là nửa lục giác đều nên:

(3 , 3,0)

a a C

a a

D ; (0,0,S a 3)z

y

x

C D

B S

uuur uur

Trang 23

Suy ra cos

1 2

3 1 3 1 4 4 2 2 2

Qua ®iÓm B(2a,0,0)

Cã vect¬ ph¸p tuyÕn nuur2 ( 3,1, 2)

Trong không gian cho các điểm A, B, C theo thứ tự thuộc các tia Ox, Oy,

Oz vuông góc với nhau từng đôi một sao cho OA = a, OB = a 2 , OC = c

(a, c >0) Gọi D là đỉnh đối diện với O của hình chữ nhật OADB và M là trung

điểm của đoạn BC (P) là mặt phẳng đi qua A, M và cắt mặt phẳng (OCD) theo

một đường thẳng vuông góc với AM

uuur uur

Trang 24

Khoa Toán

Gọi E là giao điểm của (P) với OC Tính độ dài OE

Nhận xét:

Nếu dùng phương pháp tổng hợp để giải bài toán trên thì việc xác định

các giao điểm, giao tuyến là tương đối phức tạp.Từ giả thiết bài toán cho các tia

Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một ta nghĩ tới việc áp dụng phương

pháp tọa độ để tìm mối liên hệ giữa cái đã cho và điều cần chứng minh

O C

J

M E

I

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz, theo giả thiết có A, B, C tương

ứng thuộc các trục Ox, Oy, Oz

Trang 25

Từ (1) ,(2) và từ IJ, OD đồng phẳng suy ra IJ //OD

Mặt phẳng (P) qua A (a, 0, 0), có cặp vectơ chỉ phương là uuurAM và ODuuur

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:

2 2 2

a

2 0

a



2 2 2

x y

3

x y c z

II Lớp các bài toán chứng minh tính vuông góc

Lớp bài toán chứng minh tính vuông góc là những bài toán yêu cầu chứng

minh 2 đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, 2 mặt

phẳng vuông góc với nhau

Đối với những bài toán dạng này, khi giải bằng phương pháp tổng hợp ta

phải đi chứng minh góc tạo bởi các yếu tố đó bằng 900 Việc làm này nhiều khi

Trang 26

Khoa Toán

gặp khó khăn, nhất là trong không gian Tuy nhiên bằng phương pháp tọa độ với

việc sử dụng định nghĩa và tính chất của yếu tố vuông góc ta có thể thực hiện đơn

giản hơn rất nhiều

Ví dụ 1:

Cho đường tròn tâm O, bán kính bằng a, có 2 đường kính vuông góc với

nhau là AB và CD Trên tia CD lấy hai điểm M, N sao cho CN OMuur uur Đường

thẳng AB cắt đường tròn tại P Hãy xét xem khi N thay đổi trên đoạn CO, ANP

có vuông tại N không? Nếu ANP vuông thì khi đó điểm N nằm ở vị trí nào?

Nhận xét:

Bài toán đặt ra, khi N thay đổi trên CO, tam giác ANP có vuông tại N hay

không? tức là ta hãy xét xem có vị trí nào của điểm N trên CO thoả mãn

AN NP

uuuur uuur

Giả thiết cho điểm N chuyển động trên CO, do đó bằng kiến thức sơ cấp

việc tìm lời giải bài toán tương đối khó áp dụng phương pháp toạ độ ta có:

Lời giải Chọn hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxy sao cho O trùng với tâm O của

đường tròn Trục Ox OB, trục Oy  OC Đặt CN = OM = l ( với 0  l a)

Trang 27

D(0, -a) l

Ta có toạ độ các điểm: O(0,0), A(-a,0), B(a,0),C(0,a), D(0,-a),

Toạ độ giao điểm của đường thẳng AM và đường tròn tâm O là nghiệm của hệ

Trang 28

y

a l y

Do đó ANP vuông tại N khi N C hoặc khi N O Ngoài 2 điểm đó

của N thì tam giác ANP không vuông tại N

Ví dụ 2:

Cho tam giác đều ABC cạnh a Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC Trên

Trang 29

Khoa Toán

đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho

Giả thiết cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tai D

Vậy ta chọn hệ trục tọa độ Đêcác vuông góc Dxyz, với điểm A  Dx, B và

C đối xứng nhau qua Dx

Khi đó, ta có: do tam giác ABC đều; A, D đối xứng qua BC

nuurlần lượt là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAB) và (SAC)

uur uur và 1

uuur uur

Trang 30

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a SA=SB=SC,

khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) bằng h Tìm điều kiện của a và h để 2

mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau

Nhận xét:

Yêu cầu của bài toán này cũng giống như trong ví dụ 1 trên, tức là với câu

hỏi ngược lại: “Tìm điều kiện để 2 đối tượng có quan hệ k với nhau”, do đó ta

cũng có cách giải tương tự

Giải:

Trang 31

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Với điều kiện SA = SB = SC, ta chọn hệ

trục tạo độ Oxyz sao cho G  O

Khi đó: BC // Ox; điểm A  Oy

uuur uur

Trang 32

Như vậy điều kiện để 2 mặt phẳng vuông góc ta dựa vào mối liên hệ giữa

hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng tương ứng áp dụng kết quả đó ta tìm

được

Trang 33

Khoa Toán

yêu cầu của bài toán bằng phương pháp tọa độ và các phép toán đại số thông

thường

III Lớp các bài toán chứng minh sự thẳng hàng, đồng phẳng

Để chứng minh ba điểm A,B,C trong mặt phẳng hay trong không gian

là thẳng hàng ta cần chứng minh điều kiện sau: AC k ABuuur  uuur.Trong 3E , để chứng

minh 4 điểm A, B ,C ,D đồng phẳng ta cần chứng minh: uuurACuuurADk AB.uuur

Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC có đường cao CH Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các

đoạn AB và CH Một đường thẳng d di động luôn luôn song song với cạnh AB

cắt cạnh AC ở M và cắt cạnh BC ở N Dựng hình chữ nhật MNPQ với hai điểm

P, Q nằm trên cạnh AB Gọi J là tâm hình chữ nhật MNPQ

Chứng tỏ 3 điểm I, J ,K thẳng hàng

Giải y

x B

P I

0

Q A

N

K M

d

C

H J

Chọn hệ trục tọa độ Đêcác vuông góc Oxy sao cho OH Các điểm A, B

nằm trên trục Ox , điểm C nằm trên trục Oy.Do đó tọa độ của các điểm là: H

Định dạng
Số trang	67
Dung lượng	902,55 KB