Bán kính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên

Chương II: Bán kính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc.Chương này chủ yếu dựa trên nội dung của bài báo [1].. Trong chương này, chúng tôi giảibài toán bán kính

Trang 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ THU

BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2013

Trang 2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ THU

BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN

Chuyên ngành : Lý thuyết Xác suất và thống kê toán học

Mã số: 60 46 15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TS Nguyễn Hữu Dư

Hà Nội - Năm 2013

Trang 3

Mục lục

1.1 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân 4

1.1.1 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân-sai phân thường 4

1.1.2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân-sai phân ngẫu nhiên 5

1.2 Khái niệm về bán kính ổn định 7

2 Bán kính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc 8 2.1 Giới thiệu 8

2.2 Toán tử input-output 14

2.3 Tính chất của bán kính ổn định 17

2.4 Cực đại hóa bán kính ổn định bởi thông tin phản hồi đầu ra 28

3 Bán kính ổn định của hệ tuyến tính với nhiễu ngẫu nhiên thời gian liên tục 31 3.1 Giới thiệu 31

3.2 Toán tử input-output 32

3.3 Các tính chất của bán kính ổn định 35

Trang 4

Lời nói đầu

Vào cuối thế kỉ XIX khi mà Lyapunov công bố công trình "Bài toán tổng quát về tính ổnđịnh của chuyển động" (The General Problem of Stability of Motion in 1892) đánh dấu sựnghiên cứu một cách có hệ thống về lý thuyết ổn định và trở thành một bộ phận quan trọngtrong lý thuyết nghiên cứu về định tính của phương trình vi phân Đến nay, đã hơn một thế

kỷ trôi qua, bài toán ổn định của hệ phương trình vi phân vẫn là một lĩnh vực toán học đượcnghiên cứu sôi nổi và đã thu được nhiều thành tựu rực rỡ về cả lý thuyết lẫn áp dụng trongcác lĩnh vực khoa học kỹ thuật công nghệ, sinh thái học, y học Trong các bài toán liên quanđến tính ổn định thì bài toán về nghiên cứu ổn định vững đóng vai trò đặc biệt quan trọng vì

nó cho phép ta nghiên cứu tính ổn định cấu trúc Vì thế, bắt đầu từ năm 1986, D.Hinrichsen

và A.J.Pritchard đưa khái niệm goi là bán kính ổn định Khái niệm này đã hình thành mộthướng nghiên cứu mớivà đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học vì tính thời sự của nócũng như những ứng dụng trong các bài toán kinh tế- kỹ thuật

Tuy nhiên phần lớn các công trình này nghiên cứu dựa trên giả thiết là các hệ phát triểntrong môi trường không biến đổi, tức các hệ số tham gia vào phương trình là những hàm tấtđịnh Điều đó rõ ràng là không phù hợp với hiện thực vì môi trường đang xét luôn luôn biếnđộng Do đó việc tính đến các yếu tố ngẫu nhiên tham gia vào sự phát triển của mô hình này

là hết sức quan trọng và cần thiết

Trên ý tưởng như vậy, trong Luận văn này, chúng tôi muốn nghiên cứu bán kính ổn địnhcủa các hệ chịu tác động của các yếu tố ngẫu nhiên dưới dạng ồn trắng Các công thức vềtính bán kính ổn định cũng được đưa ra trong các chương II và chương III

Các nội dung chính của Luận văn được dựa trên các bài báo [1, 2]

Luận văn được chia làm 3 chương:

Chương I: Các kiến thức chuẩn bị

Nội dung của chương này là đưa ra một số khái niệm cơ bản về tính ổn định, bán kính

ổn định cũng như một số công thức tính bán kính ổn định phức của phương trình vi phân vàphương trình sai phân có chịu nhiễu chưa biết có cấu trúc đã biết

Chương II: Bán kính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc.Chương này chủ yếu dựa trên nội dung của bài báo [1] Trong chương này, chúng tôi giảibài toán bán kính ổn định của µ− phân tích ngẫu nhiên với hệ thời gian rời rạc bằng kĩ thuật

Trang 6

Lời cảm ơn

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS TS Nguyễn Hữu Dư Thầy

đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quátrình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình

Qua đây, tôi xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tựnhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy lớp cao họcToán khóa 2010- 2012, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ, chỉ dẫn nhiệt tìnhtrong suốt khóa học và thời gian làm luận văn

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các anh, chị, em học viên đồng khóa và các em sinh viênnăm cuối khoa Toán-Cơ-Tin của trường đã giúp đỡ rất nhiệt tình để tôi hoàn thành bản luậnvăn này

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên

cổ vũ tôi để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình

Hà nội,ngày tháng năm 2013

Học viên

Nguyễn Thị Thu

Trang 7

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chúng tôi dẫn vào trong mục này một vài khái niệm và định nghĩa chính cơ bản của lý thuyết

ổn định

1.1.1 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân-sai phân thường

Xét hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên

dx(t) = f (x(t)), x(0) = x0, t ∈ R (1.1)hoặc là hệ phương trình sai phân

xt+1= f (xt), x(0) = x0∈ Rd, t ∈ N

ở đây x(t) ∈D ⊆ Rn ký hiệu véctơ trạng thái của hệ,D là tập mở bao chứa trạng thái banđầu x(0) và f :D → Rnlà hàm liên tục trênD Giả sử rằng với mỗi điều kiện ban đầu x(0),nghiệm của hệ (1.1) tồn tại duy nhất và trên [0, ∞) Ngoài ra f có trạng thái cân bằng xe, tức

là f (xe) = 0

• Trạng thái cân bằng của hệ trên được gọi là ổn định Lyapunov, nếu với mọi ε > 0, tồn

tại δ = δ (ε) > 0 sao cho, nếu kx(0) − xek < δ thì kx(t) − xek < ε, với mọi t ≥ 0

• Trạng thái cân bằng của hệ trên được gọi là ổn định tiệm cận nếu xelà ổn định Lyapunov

và tồn tại δ1> 0 sao cho nếu kx(0) − xek < δ1thì lim

t→∞kx(t) − xek = 0

• Trạng thái cân bằng của hệ trên được gọi là ổn định mũ nếu xelà ổn định tiệm cận vàtồn tại α, β , δ > 0 sao cho nếu kx(0) − xek < δ thì kx(t) − xek ≤ αkx(0) − xeke−βt,với t ≥ 0

Trang 8

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Ta có thể giải thích sơ bộ ý nghĩa của các định nghĩa ở trên như sau: Tính ổn định Lyapunovcủa trạng thái cân bằng nghĩa là cho trước một khoảng cách ε > 0, nếu các nghiệm xuất phát

ở khoảng cách "đủ gần" với trạng thái cân bằng (trong khoảng δ từ điểm cân bằng) thì nghiệmvẫn mãi mãi vẫn "đủ gần" với điểm cân bằng (trong khoảng cách đã định ε) Chú ý rằng điềunày đúng với ε > 0 tùy ý Ổn định tiệm cận nghĩa là không chỉ ổn định Lyapunov mà nếuxuất phát đủ gần thì nó còn phải hội tụ tới trạng thái cân bằng Ổn định mũ nghĩa là nghiệmkhông chỉ hội tụ, mà trên thực tế còn hội tụ nhanh hơn tốc độ đã được biết αkx(0) − xeke−βt.Trong trường hợp tổng quát nếu ta sử dụng phép đổi gốc tọa độ, ta hoàn toàn có thể giảthiết rằng trạng thái cân bằng xe= 0

1.1.2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân-sai phân ngẫu nhiên

Chúng ta xét hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô:

dx(t) = a(x(t))dt + σ (x(t))dw(t), (1.2)trong đó thỏa thỏa mãn a(·, ·) : Rn→ Rnvà σ (·, ·) : Rn→ Rnlà các hàm liên tục còn W (t)

là quá trình Wiener một chiều Chúng ta giả thiết rằng với điều kiện ban đầu x(0) đã cho, hệphương trình trên thỏa mãn điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm x(t) và nghiệm có thể kéodài được trên khoảng [0, ∞) Chúng tôi không đưa ra cụ thể các điều kiện này ở đây Độc giảquan tâm có thể xem công thức (3.32) trong [7, Định lí 3.4]

Ngoài ra chúng ta giả thiết thêm a(0) = 0, σ (0) = 0, ∀t ≥ 0 Với giả thiết này, hệ (1.2)

có nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0

Tương tự, chúng ta cũng xét hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên

xn+1= f (xn, ξn), (1.3)với ξn là quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian metric Y và f : Rd×Y → Rd làhàm đo được

Với mỗi điều kiện ban đầu x(0), nghiệm x(n) của hệ (1.3) tồn tại duy nhất trên N và cóthể giải được bằng phương pháp quy nạp Chúng ta cũng giả thiết thêm fn(y) = 0 để cho hệ(1.3) có nghiệm tầm thường x(n) ≡ 0

Theo mục trên, các khái niệm ổn định thường gặp trong lý thuyết ổn định phương trình

vi phân ngẫu nhiên được phát biểu như sau:

Định nghĩa 1.1.1 Nghiệm tầm thường x(t) = 0 của phương trình vi phân ngẫu nhiên được

gọi là

• Ổn định theo xác suất (với t ≥ t0) nếu với mỗi ε > 0 và δ > 0 tồn tại một số r ≥ 0 saocho nếu t > t0và |x0| ≤ r:

P {|x(t, ω,t0, x0))| > ε} < δ (1.4)

Trang 9

• Ổn định tiệm cận theo xác suất nếu nó ổn định theo xác suất và với mỗi ε > 0 tồn tại

r= r(ε) sao cho, nếu |x0| ≤ r thì

P {|x(t, ω,t0, x0))s| > ε} → 0; khi t → ∞

• p−ổn định (p > 0), nếu với mỗi ε > 0 tồn tại r > 0 sao cho:

E |x(t, ω,t0, x0)|p< εbất kì khi nào t ≥ t0và |x0| < r

• p− ổn định tiệm cận, nếu nó p−ổn định với giá trị |x0| đủ nhỏ:

• ổn định tiệm cận hầu chắc chắn nếu nó ổn định với xác suất 1 và với bất kì x0∈ Rntacó:

P

nlim

iii) Tính chất p − ổn định tiệm cận với p = 2 được gọi là ổn định tiệm cận bình phương

trung bình

Trang 10

Trong những năm gần đây khái niệm bán kính ổn định là một chủ đề được quan tâm đáng

kể Bán kính ổn định, được giới thiệu bởi Hinrichsen và Pritchard Chúng ta biết rằng hệphương trình vi phân

dx(t) = Bx(t) (1.5)

ổn định tiệm cận khi và chỉ khi σ (B) ⊂ C− = {z ∈ C : Rez < 0} Vì phổ của ma trận phụthuộc liên tục theo chuẩn của nó nên nếu ∆ có chuẩn khá nhỏ thì hệ dx(t) = (B + ∆)x(t) vẫncòn ổn định tiệm cận Câu hỏi đặt ra là ∆ khi nào thì phá vỡ tính ổn định của hệ Ngưỡngcủa chuẩn của các nhiễu thực hay phức k∆k sao cho tính ổn định của phương trình bị phá vỡđược gọi là bán kính ổn định của hệ (1.5)

Chúng ta phát biểu chính xác bài toán Giả sử chúng ta xét hệ (1.5) Cho D là ma trận cấp

n× l và E là ma trân cấp q × n Xét phương trình chịu nhiễu có cấu trúc

dx= (B + DΣE)x, (1.6)

ở đây Σ là một ma trận nhiễu chưa biết Các ma trận D, E đã biết và chúng xác định "cấutrúc" của nhiễu Khi đó theo [5], bán kính ổn định phức được cho bởi

max

ω ∈C:|ω|=1

kE(ωI − B)−1Dk

−1

Trang 11

t ∈N, j ∈ N = {1, 2, , N} là N quá trình ngẫu nhiên độc lập.

Chúng ta xem ∑∆ như là một hệ chịu nhiễu ngẫu nhiên tương ứng với hệ tuyến tính thờigian rời rạc ∑0: x(t + 1) = Ax(t) Họ các cặp ma trận Dj, Fjj∈N mô tả cấu trúc của hữuhạn các nhiễu phi tuyến chưa biết ∆j, j ∈ N Nếu các toán tử nhiễu ∆j là tuyến tính, khi đó

∑∆miêu tả một hệ tuyến tính với tham số nhiễu Mô hình này quan trọng trong việc áp dụngnơi mà các hệ động lực học hoạt động trong môi trường ngẫu nhiên Một cách tổng quan vềcác kết quả lý thuyết và thực nghiệm trên các hệ rung lắc với tham số ngẫu nhiên đã đượccông bố bởi Ibrahim (1985) Cuốn sách này bao gồm nhiều tài liệu tham khảo và đã thảo luậnmột số các ví dụ cơ học và các bài toán điều khiển với thời gian thực Từ cuối năm 1960, córất nhiều các nghiên cứu tốt về tính ổn định của hệ với đa nhiễu, chẳng hạn Kushner (1967),Curtain (1972), Kubrusly (1986) và Korin (1969) Hầu hết các bài báo xem xét thời gian liêntục Tiêu chuẩn ổn định miền tần suất của cả hệ bị kích thích với thời gian rời rạc và liên tục

đã được đưa ra bởi Willems và Blankenship (1971) Các hệ thời gian rời rạc với các tham sốngẫu nhiên cũng đóng vai trò quan trọng trong phân tích sự hội tụ của các thuật toán lặp ngẫunhiên, có thể xem của Polyak(1977)

Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu bài toán về tính ổn định vững và ổn định hóa

Trang 12

Chương 2 Bán kính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên thời gian rời rạc

vững cho hệ thời gian rời rạc với nhiễu tham số ngẫu nhiên (N ≥ 1 bất kì) đường chéo khối,cái mà trong trường hợp tuyến tính, có dạng A → A + ∑Nj=1Dj∆jFjβj(t) (xem (2.1)) Do đónhiễu được xem xét trong chương này là một bản sao ngẫu nhiên (không tuyến tính) của

nhiễu tham số đường chéo khối, vấn đề này đã được nghiên cứu trong µ− phân tích tất định.

Số ρ ≥ 0 lớn nhất đảm bảo tính ổn định bình phương của tất cả hệ nhiễu ∑∆, ∆j < ρ được

gọi là bán kính ổn định của ∑0

Đối với hệ tất định với nhiễu tham số tất định khái niệm bán kính ổn định đã được đưa

ra vào năm 1986, với nghiên cứu chẳng hạn của Hinrichsen và Pritchard (1990) và phát triểntổng quan hơn nữa trong trường hợp thời gian rời rạc, có thể xem của Hinrichsen và Son(1991) Trong trường hợp đặc biệt ở đây với mọi Ejđều bằng nhau, bán kính ổn định của hệthời gian liên tục với nhiễu ngẫu nhiên được nghiên cứu bởi El Bouhtouri và Pritchard (1992).Phiên bản rời rạc của kết quả này có thể tìm thấy trong Morozan (1997) Trong chương nàychúng tôi khắc phục các giả thiết hạn chế rằng tất cả các Ej bằng nhau, các yêu cầu chủ yếuđược đưa ra về phân tích toán học với trường hợp đơn nhiễu (N = 1) Do đó, trong bối cảnhngẫu nhiên, chương này ta làm bước chuyển từ nhiễu "không cấu trúc" sang nhiễu "cấu trúc"

(µ−phân tích) và từ lý thuyết H∞− sang µ−tổng hợp.

Nghiên cứu về đa nhiễu đòi hỏi sử dụng kỹ thuật đặc biệt-kỹ thuật định thang (nghĩa lànhân Ejvới một số thực dương αjvà Djbởi α−1j , xem Doyle (1982), Hinrichsen và Pritchard

(1990)) Trong µ−phân tích tất định, kỹ thuật đã được sử dụng để có được các cận cho các

hàm µ, cái mà có thể thu được bằng tính toán Nhưng nếu như có nhiều hơn ba khối 4j thìnói chung các giới hạn này sẽ không chặt (Doyle, 1982) Trong trường hợp tất định vấn đềxác định cận của bán kính ổn định cho cấu trúc ngẫu nhiên đường chéo khối tùy ý vẫn còn xavới giá trị của bán kính ổn định Điều này trái ngược với trường hợp ngẫu nhiên, ở đây chúng

ta sẽ chỉ ra rằng các đặc điểm đầy đủ của bán kính ổn định có thể thu được qua kỹ thuật địnhthang Đây là đóng góp chính của mục này Nó đã giải bài toán bán kính ổn định của µ−

phân tíchngẫu nhiên với hệ thời gian rời rạc Với trường hợp thời gian liên tục, có thể xemtrong Hinrichsen và Pritchard (1996)

Tiếp theo ta kiểm tra bài toán tối ưu hóa bán kính ổn định bởi thông tin phản hồi đầu ra

động học (feedback), trong khuôn khổ của chúng ta, là bài toán của µ−tổng hợp.

Xét hệ thời gian rời rạc có dạng:

Trang 13

trên không gian xác suất đầy đủ (Ω, F, µ) với:

Chúng tôi kí hiệuFt là σ −đại sốFt = σ βj(s), wi(s); 0 ≤ s ≤ t, i, j ∈ N , khi đó

βj(t), wi(t), i, j ∈ N là độc lập vớiFt−1

Với mỗi j ∈ N trên các không gian Kqj, Klj ta trang bị chuẩn Euclide

Chúng tôi kí hiệu: Dj(K) là không gian vectơ của hữu hạn các ánh xạ đo được độc lậpvới nhau ∆j: Kqj→ Kl j với ∆j(0) = 0 và đặt:D(K) =LN

1Dj(K) Theo định nghĩa thì mỗi

ta kí hiệu là x∆(., x0) Chú ý rằng x∆(t, x0) là Ft−1−đo được với mọi t ∈ N (chúng ta đặt:

Trang 14

Hơn nữa, nếu M ∈ Kq×nvà (i) được thỏa mãn, khi đó tồn tại một nghiệm duy nhất P 0

trongHn(K) của phương trình Lyapunov thời gian rời rạc:

t > k ta có Ekx(t, k; x)k2= Ekx(t − k; x)k2 Xét khi t = k + 1 ta có

Ekx(k + 1, k; x)k2= EkL(k)xk2= EkL(0)xk2,

Trang 15

bởi vì EkL(k)xk2chỉ liên quan tới các mô men cấp 1 và cấp 2 của Wi(K) Tương tự như thế

ta thấy Ekx(t + k, k; x)k2chỉ liên quan đến tổng của các tích có dạng

Bằng quy nạp chúng ta nhận được gk≤ qkg0 Vì vậy,

E kx(k, x)k2≤ EV (x(k, x)) = gk(x) ≤ ckxk2

Đó là điều phải chứng minh

Trang 16

(ii) ⇒ (i) Giả sử tồn tại các hằng số M ≥ 1, ω > 0 sao cho:

(i) ⇒ (iii) Ta dễ dàng kiểm tra được nếu hệ (2.5) là l2− ổn định và M ∈ Kq×n thì P =

∑t=0∞ E[Φ(t, 0)∗M∗MΦ(t, 0)] là nghiệm của phương trình

Chú ý 2.1.4 (i) Bán kính ổn định đối với nhiễu tuyến tính có thể định nghĩa bởi sự hạn chế

các toán tử nhiễu ∆j: Kqj → Kl j là toán tử tuyến tính Tính chất của bán kính ổn định trong

Trang 17

trường hợp này là một vấn đề mở đối với hệ ngẫu nhiên

(ii) Nếu dữ liệu A, A0i, Dj, Fj, i, j ∈ N là thực, bán kính ổn định thu được phụ thuộc vào việcchọn K = R (nhiễu thực) hay K = C (nhiễu phức) liệu là có bằng nhau hay không Trongtrường hợp hệ tất định, nhìn chung bán kính ổn định thực và phức là khác nhau Chúng ta sẽchỉ ra rằng trong trường hợp hệ ngẫu nhiên đang xét hai bán kính này bằng nhau

số (Ft−1)t∈NT Không gian lw,β2 (NT; Kk) được trang bị chuẩn −l2:

ky(.)k2l2 w,β (N T ;K k )= E





x(t + 1) = Ax(t) + ∑Ni=1A0ix(t)wi(t) + ∑Nj=1Djvj(t)βj(t)x(0) = x0∈ Kn, z(t) = Fx(t)

, (2.11)

ở đây: F = [F1T, F2T, , FT

N]T ∈ Kq×n.Chú ý rằng hệ nhiễu (2.2) thu được từ (2.11) bởi thông tin phản hồi (feedback) đầu rakhông tuyến tính vj(t) = ∆j(zj(t)) = ∆j(Fjx(t)), j ∈ N.Với hằng số tùy ý (x0, v) ∈ Kn× l2

w,β(N; Kl) có tồn tại nghiệm duy nhất của (2.11) trong

lw,β2 (NT; Kn)với mọi T ∈ N, chúng ta kí hiệu nghiệm đó là x(t, x0, v)

Bổ đề 2.2.1 Giả sử P ∈ Hn(K) thỏa mãn phương trình Lyapunov (2.8), khi đó với

Trang 18

E hx(t + 1), Px(t + 1)i − E hx(t), Px(t)i = E(kz(t)k2) +

N

∑

j=1

γjE ∗jP∗Djvj(t), vj(t) Cộng vế với vế t đẳng thức trên, ta được:

Trang 19

Chứng minh. Do hệ (2.5) là l2−ổn định nên theo bổ đề 2.1.2 tồn tại duy nhất P thỏa mãnphương trình Lyapunov (2.8), lại theo bổ đề 2.2.1 ta có:

Với c = max

n

kPk , γj D∗jPDj

o

Từ bổ đề 2.2.1 và hệ quả 2.2.2 kéo theo bổ đề sau:

Bổ đề 2.2.3 Giả sử hệ (2.5) là l2−ổn định và P 0 trong Hn(K) thỏa mãn phương trình

Lyapunov (2.8), khi đó với (x0, v) ∈ Kn× l2

kzk2l2 w,β (N,K q )=

Theo hệ quả 2.2.2 nếu (2.5) là l2−ổn định thì (2.11) là l2−ổn định ngoài

Định nghĩa 2.2.5 Giả sử hệ (2.11) là l2−ổn định ngoài Toán tử:

L : lw,β2 (N, Kl) → lw,β2 (N, Kq)được định nghĩa bởi:

Trang 20

t ∈ N, v ∈ l2

w,β(N, Kl) được gọi là toán tử input-output của hệ (2.11).

Chuẩn của toán tử input-output được định nghĩa là số c ≥ 0 nhỏ nhất sao cho (2.14) đượcthỏa mãn

Hệ quả 2.2.6 Giả sử hệ (2.5) là l2−ổn định và P 0 trongHn(K) thỏa mãn phương trình

Lyapunov (2.8), khi đó toán tử input-output L có chuẩn:

Kl, l ∈ N kHk là chuẩn toán tử:

kHk = max

v ∈K l ,kvk=1

hv, Hvi , H ∈Hl(K)

Giả sử cho trước N ∈ N và Hi j ∈H +

l j (K) là họ ma trận Hermintian lj× lj cho trước không

Tìm giá trị cực tiểu của

Định dạng
Số trang	41
Dung lượng	340,17 KB