Cố định 2 đầu của sợi dây.. Làm sợi dây dao động, ta nghiên cứu quỹ đạo của sợi dây trong quá trình dao động.. Gt chiểu dài của sợi dây không đổi trong quá trình dao đọng tức là sức căng
Trang 1Câu 1: Nêu một số ví dụ về PT ĐHR
được sinh ra từ vật lí
Một số ví dụ về PT vật lí – Toán là:
*) PT dao động của sợi dây:
Xét 1 sợi dây căng thẳng theo trục Ox
Cố định 2 đầu của sợi dây Làm sợi dây
dao động, ta nghiên cứu quỹ đạo của sợi
dây trong quá trình dao động Gt chiểu
dài của sợi dây không đổi trong quá trình
dao đọng tức là sức căng của sợi dây
không đổi
KH: u(x,t) là khoảng cách đại số của
điểm M so với VTCB tại thời điểm t
0, = , = , ≥ 0
Rõ ràng u = u(x,t0) cho ta quỹ đạo sợi
dây tại thởi điểm t0
Xét tại thì điểm t; trên đoạn M1M2 của
sợi dây:
Theo nguyên lí dalambe, lực tác dụng
trên sợi dây sau khi tổng hợp phải bằng
0⃗ Do đó lực chiếu lên phương Ou cũng
phải bằng 0 Trên [M1M2] có những lực
sau tác dụng (xét trên hình chiếu của Ou)
- Sức căng của sợi dây
= sin ( ) − (sin ( ))
≈
(T0 là độ lớn của sức căng của sợi dây)
- Gọi p(x,t) là ngoại lực tác động vào sợi
dây song song với trục Ou theo 1 đơn vị
độ dài hình chiếu trên trục Ou của
ngoại lực tác động lên sợi dây là
-Lực quán tính của sợi dây:
= − ρ(x).∂ u
( ) là tỉ trọng của sợi dây
Ta có + + = 0
PT (1) đgl PT dao động của sợi dây
Trong trường hợp sợi dây đồng chất PT
trên có dạng:
PT (2) có VSN Để bài toán có d.n ta cần
có them các điều kiện ràng buộc khác
Chẳng hạn như:
+) Điều kiện biên: u(0,t)=u(l,t)=0
+) đk ban đầu: (, 0) = ( , ) = 0
+) Vận tốc ban đầu:
( , 0) = ( )
*) PT Chuyển động của màng mỏng
*) PT truyền sóng (truyền âm)
+ ( , , , ) (4)
*) PT truyền nhiệt:
Cho 1 vật thể Ω trong không gian 3
chiều
Gọi nhiệt độ tại điểm x=(x1,x2,x3), thời
gian t là u(x,t) Gt \ là vật thể
đẳng hướng Xét miền bất kì Ω ⊂⊂ Ω,
(Ω ⊂ Ω) với biên Ω′
- Nhiệt lượng của môi trường xung
quanh Ω′ truyền qua biên của Ω′ là:
(thời gian từ → ):
( )
⃗
Ω
Trong đó k(x) là hệ số truyền nhiệt
- Nhiệt lượng của Ω′ được sinh ra hoặc
hấp thụ:
- Sự thay đổi nhiệt lượng trong Ω′ từ
→ là;
= ( ) ( )
= ( ) ( ) ( , ) − ( , ) Ω
( ): mật độ vật chất, C(x): nhiệt dung Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có:
Vì t1,t2 lấy bất kì nên:
( ) ( )
⃗ Ω
+ Ω
AD công thức ostrogradski ta có:
( )
⃗ Ω
= ( ( ) ∇ ) Ω
Vì ( )
cos( ⃗, )
+ cos( ⃗, ) + cos( ⃗, ) =
= ( ( ) ∇ ) ⃗)
Vì Ω′ là miền con bất kì của Ω nên:
( ) ( ) = ( ( )∇ ) + (5)
Trong trường hợp , là những hằng số thì PT (5) có thể viết dưới dạng
= ∆ + (6)
*) PT laplace
PT truyền nhiệt trong môi trường đồng chất, đẳng hướng không có nguồn nhiệt
sẽ là:
= ∆
Trong TH quá trình truyền nhiệt ổn định (nhiệt độ không phụ thuộc vào thời gian) thì = 0 ta được PT:
∆ = 0 (7) PT laplace Trong TH có nguồn nhiệt ta có thể viết
PT dạng:
∆ = (8) ⇒
Câu 3: Phân loại phương trình ĐHR
t 2 cấp hai từ đó chỉ ra rằng loại của
PT không đổi qua phép đổi biến không suy biến
Cho PT ĐHR t2 cấp hai
,
+ ( ) ( ) = ( ) ; ∈ (2.1)
Do = nên ta có = tức
là nhân
Từ đó suy ra tất cả các giá trị riêng của
A đều là thực với ∀ ∈ Ω Phương trình đặc trưng:
det( − ) = 0 (∗) Xét tại điểm = ∈ Ω
Ta gọi là số nghiệm thức dương của (*)
Ta gọi là số nghiệm thức âm của (*)
Ta gọi là số nghiệm thực = 0 của (*)
Ta có các ĐN sau:
+ nếu =
= thì ta gọi pt (2) là pt elliptic tại x0
+ Nếu = − 1
= 1 hoặc
= 1
= − 1
⇒ pt hyperbolic
+ Nếu = − 1
= 1 hoặc
= − 1
= 1 ⇒ pt parabolic
Ta gọi pt (2.1) gọi là elliptic (hyperbolic, parabolic) trên tập ⊂ Ω nếu như pt (2.1) là elliptic (hyperbolic, parabolic) tạiđiểm V
*) Loại PT không đổi qua phép đổi biến không suy biến:
Thực hiện phép đổi biến : → ⊂
⟼
= ( , , … , )
= ( , ,… , )
…
= ( , , … , )
sao cho , ∈ , ( ) ≠ 0 ê Đặt ( )= ( ), ∈ , ( = ) ta
có
=
+ _ .
thế vào (2.1) ta được
, + ( , , ∇ ) = 0 (2.2)
Trong đó
,
Hay = ớ
=
Từ tính chất của ma trận đối xứng tồn tại phép biến đổi sao cho ma trận
có dạng 1 1 1
=
Phép biến đổi đưa A về dạng biến
pt (2.1) thành (2.2) Khi đó ta gọi pt (2.2) là pt dạng chính tắc của (2.1)
Thực hiện phép biến đổi trên đưa pt (2.1) về dạng chính tắc Tuy nhiên việc tìm phép biến đổi như trên là phức tạp nên ta chỉ xét những trường hợp đơn giản + khi aij là hằng số + khi n=2
Câu 4: đưa về dạng chính tắc pt ĐHR tuyến tính cấp hai với hệ số hằng
a)Cho pt ĐHR t2
∑ + ( , , ∇ ) = 0 (2.3)
ê Ω ⊂ Đặt t=Cx trong đó C là ma trận hằng cỡ (n x n) không suy biến
=0, , =1,
⇒ = Đổi biến ( )= ( ) Theo (I), (2.3) đưa được về dạng
+ ( , , ∇ ) = 0 (2.4) ,
Trong đó = Xét dạng toàn phương tương ứng
,
Đặt = ( ) ⇔ = (∗) thì ( )= = (∗∗)
Nhận xét: Nếu phép biến đổi (*) đưa
dạng toàn phương f(t) về dạng chính tắc (**) thì = tức là là ma trận dạng chính tắc khi đó phép biến đổi t=Cx sẽ đưa (2.3) về dạng chính tắc (2.4) Như
như sau b) Đ PT tt cấp 2, hai biến về dạng chính tắc
Xét PT ĐHR 2 biến:
( , ) + 2 ( , ) + ( , ) + ( , ) = 0 (1)
U(x,y) là hàm ẩn; a,b,c,d,e,f,g là những hàm cho trước
có pt đặc trưng
−
− = 0
∆= ( − ) + 4 ≥ 0
Đặt = −
> 0 thì (1) là pt hyperbolic
< 0 thì (1) là elliptic
= 0 thì (1) là parabolic
Gs phép đổi biến
= ξ(x, y),
= ( , ) x, y ∈ V
ℎ ̉ , ∈ ( )
| ( , )| ≠ 0 ê Đặt (, ) = ( , ) ta tính
ux,uy,uxx,uxy,uyy
Trong đó ( ) + = 0 ta được phương trình
Câu 4.1: Đưa về dạng chính tắc pt ĐHR t 2 cấp hai hai biến
Cho pt ĐHR t2 cấp hai hai biến ( , ) + 2 ( , ) + ( , ) + ( , , , ∇ ) = 0 (2.5)
ma trận tương ứng = có phương trình đặc trưng
−
∆= ( + ) − 4 + 4
= ( − ) + 4 ≥ 0 Đặt = − + Nếu > 0 thì (2.5) là pt hyperbolic + Nếu = 0 thì (2.5) là pt pẩbolic +Nếu < 0 thì (2.5) là pt Eliptic
* đưa pt (2.5) về dạng chính tắc Xét phép biến đổi
= ( , )
= ( , ) ( , ) ≠ 0 ê , ∈ ( )
Và (, ) = ( , ) thì
Thay vào pt (2.5) pt (2.5) đưa được về dạng
* Nhận xét: det = − =
| | det = −| | − ̃
Rõ ràng loại của pt không thay đổi theo cách đổi biến trên có liên quan đến pt ĐHR cấp 1 và pt vi phân
− 2 + = 0 (2.7) Ptvp (2.7) được gọi là ptvp đặc trưng của pt DHR (2.5)
Câu 5: Nêu định nghĩa hàm điều hòa,cách tìm nghiệm cơ bản , công thức biểu diễn Green và pp hàm Green cho bài toán đirichlet a) Định nghĩa hàm điều hòa:
Cho miền Ω ⊂ ℝ Hàm số ( ) ∈ (Ω) đgl hàm điều hòa trên Ω nếu thỏa mãn pt :
= 0 ; ∈ Ω
b, Công thức nghiệm cơ bản của pt laplace
Xét pt laplace ∆ = 0 cho pt laplace bất biến với phép quay của biến nên ta thường tìm nghiệm của
pt laplace ở dạng ( )= ( ), =
| | = ( + ⋯ + )/
Ta có = = , = 1,
Thế vào pt (2.3) ta được
+ 1−
= 0 ℎ + ( )= 0
⇔ =( ) lấy tích phân 2 vế ta được
ln + ; = 2
Đặt Γ( ) = ( ) | |
; > 2 | | ; = 2
c) Xây dựng công thức biểu diễn Green
Mục đích : XDCT biểu diễn nghiệm
của bài toán Dirichlet ∆ = Ω U=g trên Ω ∈ ớ Ω là miền bị chặn với biên trơn ,với y bất kì thuộc Ω, cố định y, > 0 đủ nhỏ sao cho = ( , ) ⊂ Ω
Ta có ∫ Γ( − )∆Ω =
∫(Ω\ )Γ( − )⃗− ( )
∂n⃗−
∂Γ(x − y)
∂n⃗
Ω
∂n⃗−
∂Γ
∂n⃗( − )
Với n>2 ta có ∫ Γ( − )⃗ = Γ( ) ∫ ⃗ ≤ Γ( )|∂B |
∈ (Ω)
=
=
− 2 → 0 ℎ → 0
– ∂Γ
∂n⃗( − ) =
− limΓ(x − y + tn⃗) − Γ(x − y)
= ( − ) −| − | −− ( − )
= lim→Γ( + ) − Γ( )
∂Ω( ) =
1 Ω .
( ) |∂B |
Như vậy ta có ∫ Γ( − ) ⃗−
⇒ ( ) ℎ → 0
ớ ∈ (Ω) (∗∗) Với n=2 chứng minh tương tự ta cũng
có khẳng định (**)
từ (*) cho → 0 ta nhận được
( ) = Γ( − )∆
Ω
+ Γ( − )∂u
∂n⃗
Ω
− ∂Γ
∂n⃗( − ) (2.1) Với ∈ (Ω) ∩ (Ω)
CT trên đgl CT biểu diễn Green cho hàm u bất kì Nếu u là hàm điều hòa trên Ω ta có
( ) = ∫ΩΓ( − )⃗−
∂Γx−y∂n 2.5
và công thức (2.5) đgl CT biểu diễn Green cho hàm điều hòa trên Ω Khi Ω
là miền bị chặn có biên trơn ⇒ ∈ (Ω) ∩ (Ω)
Từ CT biểu diễn Green cho hàm điều hòa,nếu u là hàm điều hòa thì u khả vi mọi cấp trên Ω
Câu 6: Phát biểu và chứng minh các định lý về tính chất cơ bản của hàm điều hòa
a, định lý về giá trị trung bình ĐL: Cho U(x) là hàm điều hòa trên
miền Ω, = ( , ) ⊂ Ω Khi đó
ω. ( ) (2.1)
( ) = 1 ( ) (2.2)
Nhận xét: Khẳng định ngược lại cũng
đúng khi ∈ (Ω)
Chứng minh: Với ∈ ( , ) ta có
∂u
Đổi biến = + ta có
∂n⃗ =
∂u(y + rω)
∂n⃗
= r ∂
∫ ( ) ; ∈ ( ; )
Cho → 0 ta nhận được
( )
= lim
→[ |∂B | ( )]
lim
= ( ) ℎ ( )
∂B ∫ ( )
⇒ (2.1) ( )
Từ (2.1) ta có
= ( ) ; ∀ ∈ [ ; ]
lấy tích phân theo r từ → đượ
Hay ( ) = ∫ ( ) ⇒đẳng thức (2.2)
b, các nguyên lí cực trị
*) nguyên lí cực trị mạnh ĐL: cho u là hàm điều hòa trên miền
Ω ⊂ nếu ∃ ∈ Ω ℎ = sup∈Ω ( ) ( ) thì u(x) là hằng
số trên Ω
CM: gt ∃ ∈ Ω sao cho ( ) =
sup∈Ω ( ) Đặt = ( ) = sup∈Ω ( ) ; Ω = { ∈ Ω, ( ) = }
rõ ràng ∈ Ω → 0Ω ≠ ∅
Ω là tập đóng (vì u liên tục trên Ω )
Ta đi chứng minh Ω là tập mở(2) Thật vậy ( , ) ⊂ Ω
( ) = 1
≤1
Ω tức là khẳng định (2) đúng
Từ (1), (2), Ω là tập liên thông ⇒ Ω =
Ω Hay ( ) = ∀ ∈ Ω Định lý được chứng minh
*) Nguyên lý cực trị
Cho Ω là một miền bị chặn, ∈ (Ω) ∩ (Ω) là hàm điều hòa Khi đó inf ( ) ≤ ( ) ≤ sup
Ω ( ) , ∀ ∈ Ω
do u là hàm liên tục nên dễ dàng chứng minh
hệ quả: cho ∈ (Ω); ∈ (Ω) Bài toán dirichlet: ∆ = trong Ω (miền bị chặn trong R), u=g trên Ω
Có không quá một nghiệm ∈ (Ω) ∩ (Ω)
c, Định lý Harnack
Định lý (2.4) cho u là 1 hàm điều hòa không âm, trong miền Ω, Ω ⊂ Ω Khi đó ∃ hằng số ( , Ω′) sao cho supΩ ( ) infΩ ( )
Chứng minh:
Đặt = ( Ω , Ω) > 0 (khoảng cách)
Với , ∈ Ω , | − | <
ta có ( ) =| ( , )|∫( , )( ) (theo định lý giá trị trung bình) mặt khác ( ) ≥ 0 ∀ ∈ Ω: ( , ) ⊂ ( , 2 )
Nên ( )≤| ( , )|∫( , )( ) =
| ( )|∫( ,) ( ) = 2 ( ) Với bất kì , ∈ Ω , ∃ , , … ∈ Ω′ sao cho =
=
| − | ≤ ; = 1, − 1 Khi đó ( )≤ 2 ( ) ≤
2 ( ) ≤ ⋯ ≤ 2( ) ( ) Đặt = sup∈Ω ( ) ≤ inf∈Ω ( )
Dễ thấy c chỉ phụ thuộc vào n và Ω′ định lý được chứng minh
Câu 7: định nghĩa hàm Green trong hình cầu, chứng minh hàm số được xác định theo công thức poison là nghiệm của bài toán Dirichlet tương ứng
Cho hình cầu = ( , ) ⊂ , ta
đi xây dựng hàm Green cho hình cầu
Kí hiệu ̅ =| | , ≠ 0
∞, = 0
̅ đgl nghịch đảo của điểm x qua biên của hình cầu
Đặt ℎ( , ) =
−Γ.| || − | , ∈ ( , ), ≠ 0
−Γ( ), = 0
Rõ ràng ∆, ℎ( , ) = 0, ∀ , ∈ +) với ≠ 0, ta có
| | | − |
| | +
∀ ∈ Nên ℎ( , ) = −Γ(| − |);
+) với y=0 hiển nhiên ℎ( , ) = −Γ(| |)
Do đó h(x,y) là nghiệm duy nhất của bài toán Đirichlet
ℎ( , )
=∆ ℎ = 0, ∈ℎ( , ) = −Γ( − ), ∈, ∈
Do đó ta xây dựng được hàm Green cho hình cầu BR
( , )
= Γ( − ) − Γ
| |
| − | , ≠ 0 Γ( − ) − Γ( ) = 0 Theo kết quả: Nếu u là hàm điều hòa trên Ω ta có: ( ) = ∫Ω ⃗ , ∈
Với n>2; ≠ 0 ta có
= Γ( − )−
Γ| |2| − |
| − | −| | .
−
| − |
Trang 2=( − )
| − |
−
| | .
−| |
.| || − |
=
| − |−
−
| − |
=
| − | 1 − ; ∈
suy ra: ⃗= ∑ cos( ⃗, ⃗) =
=
| − | (∗), ∈
Đối với các trường hợp còn lại n=2,
≠ 0, > 2, = 0, = 2, = 0 ta
cũng có khẳng định (*) đúng Vì vậy
nếu u là hàm điều hòa trên BR ta có
| − | (3.1)
CT(3.1) đgl công thức poisson
( , ) = ( ) đgl nhân poisson
* sự tồn tại nghiệm của bài toán
Dirrichlet cho hình cầu
* Định lý 3.1: Cho ∈ ( ) Khi đó
hàm số
( )
=
−
( ), ∈
thuộc ( ) ∩ ( ) và là ngiệm của
bài toán đirichlet
∆ = 0
= ê
Hiển nhiên ∈ ( ) và u là nghiệm
của bài toán ddirrichlet Ta còn phải
chứng minh: ∈ ( ) tức là ta cần
chứng minh u liên tục trên biên
Với ∈ bất kỳ ∀ε > 0, ∈
( )
Nên ∃ > 0; > 0 ℎ ∶
| ( ) − ( )| < , ∀ ∈
; | − < |
| ( )| < , ∀ ∈
Với ∀ ∈ thỏa mãn | − | <
Ta nói:
| ( ) − ( )| ≤
∫ | ( , )|| ( ) − ( )|
= ( ( , )| ( ) − ( )|)
: | − | <
+) ∫ | ( , )|| ( ) − ( )|
: | − | >
<
2+ 2
−
2
<
2
ta có ∃ < sao cho : +
Vì vậy với ∀ ∈ , ∃ < sao cho
2
<
2
Vì vậy với ∀ ∈ \ ∶ | − | <
thì
| ( ) − ( )| <
-Hàm số u(x) liên tục tại x0
(đpcm)
Câu 7.1: Biểu diễn pt laplace trường hợp hai biến trong hệ tọa độ cực
Trong R2 , xét pt laplace: + =
0 (4.1) đổi biến sang tọa độ cực:
= cos
= sin , ≥ 0, ∈ [0,2 ]
Ta biết rằng : = = cos
= = sin
0 = cos − sin
0 = sin + cos
sin = sin cos sin
=cos
= −sin
Tiếp theo ta đi tính các ĐHR
= cos − sin cos
+ sin − cos sin
+ sin
− − cos sin − cos sin
+ − sin sin − cos sin
pt (4.1) trở thành + + =
0 (4.2)
Câu 8: Phát biểu và chứng minh định
lý về sự duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy đối với pt truyền sóng Định lý: xét bài toán Cauchy cho pt
truyền sóng
= ∆ + ; ( , )
∈ ( , +∞) (1.1) ( , ) = ( ) ; ∈ (1.2) (1, ) = ( ) ; ∈ (1.3) Trong đó (, ); ( ), ( ) là những hàm cho trước u(x,t) là hàm phải
quá 1 nghiệm (, ) ∈ ×
CM: giả sử 2 hằng số u1,u2 thỏa mãn giả thuyết của định lý tức là u1,u2 là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2), (1.3), , ∈
× ( ,+∞) ∩ , [ , +∞) Đặt = − dễ thấy u là nghiệm của bài toán
= ∆ ,( , ) ∈ × ( ,+∞) (1.1)′
( , ) = 0 , ∈ ( , ) = 0 , ∈ Với điểm bất kì ( , ) ∈
× ( , +∞) Xét hình nón
= {( , )
∈ × ( , +∞)} ; ( − )
< ( − ) ; ∈ ( , ) Gọi S1 là mặt nón xung quanh của nón
k1
Do u thỏa mãn pt (1.1)’ nên
∫ ( − ∆ ) = 0 (1.4) dễ thấy
2.
2. .
= 1, Nên từ (1.4) ta nhận được
1
áp dụng công thức Green cho vế trái của (1.5) ta nhận được 1
2 cos( ⃗, ⃗)
− cos( ⃗, ⃗) = 0 (1.6)
mặt khác với x bất kì thuộc S1 ta có
cos ( ⃗, ⃗) = cos ( ⃗, ⃗) ; ( ⃗
= 0,0 … 1) ∈ ; ⃗ = (0, … 1, … )
∈ Nhân đẳng thức (1.6) vào
2 cos( ⃗, ⃗) = √2 ⇒Đẳng thức
cos( ⃗, ⃗)
+ cos( ⃗, ⃗) cos( ⃗, ⃗)
− 2 cos( ⃗, ⃗) cos( ⃗, ⃗)
+ cos( ⃗, ⃗) = 0
ẫ đế cos( ⃗, ⃗)
= cos( ⃗, ⃗) ê , = 1,
cos( ⃗, ⃗)=cos( ⃗, ⃗)
= , ê , = 1, Với x bất kì nằm trên đường sinh của mặt nón , ⃗ là vecto chỉ phương của đường sinh đó
ó:
⃗
= cos( ⃗, ⃗) + cos( ⃗, ⃗)
= cos( ⃗, ⃗) cos( ⃗, ⃗)
+ cos( ⃗, ⃗) cos( ⃗, ⃗)
= cos( ⃗, ⃗) = 0 (đối với ‖ ⃗‖ = 1 trong không gian Rn: cos( ⃗, ⃗) = )
Vì vậy u không đổi trên các đường sinh của hình nón mà u tại đây của k1=0 nên u(A)=0 Hay u1=u2
Câu 9: Đưa ra và chứng minh công thức nghiệm (CT kirchhoft) của bài toán Cauchy đối với pt truyền sóng (Trong trường hợp = )
Xét bài toán(CT)
= ∆ ,( , ) ∈ × (0, +∞)(2.1) ( , 0) = 0, ∈ (2.2) ( , 0) = ( ); ∈ (2.3)
Định lý 2.1: ℎ ( ) ∈ ( ).Khi
đó nghiệm của bài toán (2.2), (2.3) được cho bởi CT
( , , , ) ( , , , )
=1
Trong đó ( , , ) là mặt cầu tâm ( , , ) bán kính t trong siêu phẳng t=0 (trong R)
Chứng minh;
Ta có đánh giá
| ( , , , )|
≤1 4
| ( , , )|
≤
4 | | =
đó lim→ ( , , , )
= 0 ℎ (2.2)đú Đổi biến = + , = 1,3 ℎì
=
+1
+1
→
+1
+ ; + ) < → 0 Tức là → 0 ⇒ / ã (2.3)
Ta có:
=
+
+ ; + ) (2.4)
áp dụng CT Green ta có
( ) =
(Vt là hình cầu có mặt là St)
=
⃗
=
( , , ) + ) ( )
( , , )
( , , ) + ; + ) (2.5)
= +( )
4 đó
( ) 4
= ( )
4 (2.6) Mặt khác
∆ =1
Theo công thức đổi miền suy ra
( ) =
=
ℎ ( ) = ∫( , )∑ =
∫( , , ) ( ( )) (2.9)
từ (2.6); (2.7); (2.9) suy ra ∆ = (đ )
2 Xét bài toán
= ∆ , ( , ) ∈ × ( , +∞) ( ) ( , ) = ( ); ∈ ( ) ( , ) = ( ), ∈ ( )
Định lý 2.2: Cho ( ) ∈ ( ), ∈ ( ) khi đó nghiệm của bài toán (2.10), (2.11); (2.12) được cho bởi CT ( , )
=1 4
( , , )
+1
4 .
( , , )
Chứng minh: Đặt ( , ) =
∫( , ) ( , , ) ( = 0,1)
Theo định lý 2.1: = ∆
⇒ ( ) = (∆ ) ê = ∆
( , 0) = 0, ( , 0) = ( )
: ( , 0) = ( )
⇒ (2.10); (2.11); (2.12) ⇒ đ Tiếp theo ta đi chứng minh (2.12)
ó ( , 0) = ( , 0) + ( , 0)
à ℎ đị ℎ ý (2.1),
( , 0) = ( )
= ∆ ⇒ ( , 0) = ∆ ( , 0) = 0
⇒ ( , 0) = ( ) (đ )
II: bài toán thuần nhất
Xét bài toán:
= ∆ + ( , ); ( , ) ∈ × ( , +∞) ( ) ( , ) = ( ) ( ) ( , ) = ( ) ∈ ( )
Định lý (2.3) cho hàm ∈
× [0, +∞) ; ∈ ( ).Khi đó nghiệm của bài toán được cho bởi công thức
( , )
=1 4
( , , )
+1
4 .
( , , )
+1 4 ( , , , − )
(
= | − |) các công thức biểu diễn nghiệm trong định lý (2.1),(2.2),(2.3) đgl công thức kirchhoft
Câu 10: Khái niệm các bài toán biên
hỗn hợp) Phát biểu và chứng minh định lý về sự suy nhất nghiệm của bài toán biên ban đầu thứ nhất Khái niệm: Cho Ω là miền trơn bị chặn
trong Rn, T>0;
Đặ = Ω × (0, );
= Ω × (0, ); 0 < <
Xét bài toán: = ∆ + ( , ); ∈ (3.1)
u (, 0) = ( ); ( , 0) = ( ) (3.2)
Và điều kiện biên (, ) = ( , ) ê (3.3)
ặ
⃗ = ( , ) ê (3.4) Bài toán (3.1),(3.2),(3.3) đgl bài toán ban đầu thứ nhất bài toán (3.1), (3.2), (3.4) đgl bài toán biên ban đầu thứ hai
Cả hai bài toán được gọi chung là bài toán hỗn hợp
-Định lý: Bài toán (3.1) ;(3.2) ;(3.3) có
không quá 1 nghiệm thuộc lớp ( , )
Chứng minh: giả sử , ∈ ( ) là nghiệm của bài toán (3.1);(3.2);(3.3)
Đặt = − ℎì ∈ ( ) của u thỏa mãn bài toán
= ∆ ; , ∈ (3.5) ( , 0) = ( , 0) = 0 ∈ Ω (3.6) ( , ) = 0 ê (3.7)
Do đó với 0 < ≤ thì
( − ∆ ) = 0 (3.8)
Áp dụng công thức Green ta có
( − ∆ )
1
+ cos( ⃗, ⃗) (3.9)
Mặt khác;
|Ω×{ }= |Ω×{ }= 0
Ω×{ }
= 0, n⃗ ⊥ e⃗ ê
= 0 ê
⃗ ⊥ ⃗ ê Ω × {1}; = 1,
1
Ω×{ }
= 0; ∈ ( )
⇒ = = 0; = 1, ê Ω × { }
Nếu u=0 trên s ⇒ = 0 ê Ω × { }
Câu 11: Nghuyên lí cực trị và các định lí duy nhất nghiệm:
a) Nguyên lí cực trị trong miền bị chặn:
Cho miền bị chặn Ω ⊂ , > 0
= Ω × (0, ), = Ω × (0, )
Ω = Ω × { } ⊂ , = Ω ∪
Định lí 1: Cho ∈ ,( ) ∩ ( )
a Nếu ≥ 0 Trong thì min ≤ ( , ), ∀( , ) ∈
b Nếu ≤ 0 trong thì max ≥ ( , ), ∀( , ) ∈
Chứng minh:
a) +) > 0 trên Nếu min ( , ) = ( , ) mà ( , ) ∈ ∪ Ω
dễ thấy ( , ) ≤ 0
limu(x , t) − u(x , T)
−
∆ ( , ) ≥ 0 ⇒ ( , ) ≥ 0 (mâu thuẫn) kq (1) +) ≥ 0 trên : Đặt ( , ) = ( , ) + , > 0
Dễ thấy ≥ > 0 trên
AD chứng minh trên ta có min ≤ ( , ); ∀( , ) ∈
Cho → 0suy ra:
min ≤ ( , ), ∀( , ) ∈
b) Thay u bởi –u
Định lý 2: Nếu ∈ ,
( ) ∩ ( ) thỏa mãn: Lu=0 thì
∀( , ) ∈ b) nguyên lí cực trị trong miền không
bị chặn
Định lí: Gs ( , ) = 0 ( , ) ∈ × (0, ), u bị chặn và
∈ , × (0, ) ∩ × (0, ) Khi đó:
inf
∈ ( , 0) ≤ ( , ) ≤ sup
∈ ( , 0)
Chứng minh:
Đặt = inf ( , 0)
= sup ( , 0)
Dễ thấy L(v1)=Lv2=0 ( , 0) > 0, ( , 0) ≤ 0
| |→ ( , ) = +∞
Nên ∃ ℎ : | ( , 0| ≥ 2
∀| | ≥ , ( = sup ) Với mỗi R>R0, xét hình trụ
= {( , )|| | < ), ∈ (0, )}
Với mặt bên , đáy chứa Ω , Ta có:
| ≥ 0, | ≤ 0
Áp dụng nguyên lí cực trị trong miền
bị chặn ta suy ra: ≥ 0, ≤ 0
∀( , ) ∈
Vì R bất kì ≥ ê ≥ 0, ≤ 0
∀( , ) ∈ × (0, ) Cho → 0 suy ra:
− ≥ 0, − ≤ 0,
∀( , ) ∈ × (0, ) c) sự duy nhất nghiệm:
HQ1: nghiệm của bài toán biên ban đầu t1 đối với phương trình Lu=f là duy nhất trong lớp ,( ) ∩ ( ) ( , 0) = ( )
| = ( )
Thật vậy: Hiệu hai nghiệm u(x,t) của
bài toán thỏa mãn Lu=0 trong , ( , ) ∈ ,( )
̀ | = 0, | = 0 Bởi vậy:
( , ) = 0 ℎ
= 0
hệ quả 2: Nghiệm của bài toán biên
ban đầu thứ 2 đối với pt Lu=f trong
QT
= ∆ + ( , ), ( , ) ∈ × (0, ) ( , 0) = ( ), ∈
Là duy nhất trong lớp , × (0, ) ∩ × (0, )
Chứng minh: tương tự hệ quả 1
Câu 1: Nêu một số ví dụ về PT ĐHR được sinh ra từ vật lí Câu 3: Phân loại phương trình ĐHR
t 2 cấp hai từ đó chỉ ra rằng loại của
PT không đổi qua phép đổi biến không suy biến
Câu 4: đưa về dạng chính tắc pt ĐHR tuyến tính cấp hai với hệ số hằng Câu 4.1: Đưa về dạng chính tắc pt ĐHR t 2 cấp hai hai biến Câu 5: Nêu định nghĩa hàm điều hòa,cách tìm nghiệm cơ bản , công thức biểu diễn Green và pp hàm Green cho bài toán đirichlet Câu 6: Phát biểu và chứng minh các định lý về tính chất cơ bản của hàm điều hòa
Câu 7: định nghĩa hàm Green trong hình cầu, chứng minh hàm số được xác định theo công thức poison là nghiệm của bài toán Dirichlet tương ứng
Câu 7.1: Biểu diễn pt laplace trường hợp hai biến trong hệ tọa độ cực Câu 8: Phát biểu và chứng minh định
lý về sự duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy đối với pt truyền sóng Câu 9: Đưa ra và chứng minh công thức nghiệm (CT kirchhoft) của bài toán Cauchy đối với pt truyền sóng Câu 10: Khái niệm các bài toán biên
hỗn hợp) Phát biểu và chứng minh định lý về sự suy nhất nghiệm của bài toán biên ban đầu thứ nhất Câu 11: Nghuyên lí cực trị và các định lí duy nhất nghiệm: