Dạy giải toán chủ đề phương trình và bất phương trình theo quan điểm hàm

Các kiến thức về hàm được thểhiện trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là trong phương trình và bất phương trình.Nhưng trong thực tế dạy học về phương trình và bất phương trình ở THPT cóthể nh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ––––––––––––––––––––

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS NGUYỄN HỮU CHÂU

THÁI NGUYÊN – 2015

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN i h t t p :// w w w lr c t n u e d u v n/

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận văn thạc sỹ là công trình nghiên cứu khoa họccủa riêng tôi Các kết quả nghiên cứu của Luận văn là trung thực và có nguồngốc rõ ràng

Tác giả Luận văn

Nguyễn Thị Nga

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 2 h t t p :// w w w lr c t n u e d u v n/

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này là kết quả của quá trình học tập và nghiên cứu của tôi Vớitình cảm chân thành, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáotrong Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên – Đại học Thái Nguyên đã quantâm, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài này

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS TS Nguyễn HữuChâu, thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành Luậnvăn này Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, thầy côtrong nhóm Toán thuộc tổ Tự nhiên trường THPT Nguyễn Tất Thành – Uông

Bí – Quảng Ninh, cảm ơn các bạn học viên lớp Cao học Lý luận và phươngpháp dạy học bộ môn Toán khóa 21, các em học sinh, người thân trong gia đình

đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên tôi thực hiện đề tài này

Cuối cùng, dù rất tâm huyết và hết sức cố gắng song bản Luận văn chắcchắn còn nhiều thiếu sót Kính mong được sự chỉ dẫn của các nhà khoa học vàcác bạn đồng nghiệp

Xin chân thành cảm ơn !

Uông Bí, ngày tháng năm 2015

Học viên

Nguyễn Thị Nga

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 3 h t t p :// w w w lr c t n u e d u v n/

MỤC LỤC

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt iv

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu 3

4 Giả thuyết khoa học

3 5 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

6 Phương pháp nghiên cứu 4

7 Những đóng góp của luận văn

4 8 Cấu trúc của luận văn 4

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Hàm và quan điểm hàm trong dạy học toán ở trường phổ thông

5 1.1.1 Khái niệm hàm 5

1.1.2 Quan điểm hàm trong dạy học toán ở trường phổ thông 7

1.1.3 Đặc trưng của quan điểm hàm trong dạy học toán ở trường phổ thông

7 1.1.4 Chủ đề hàm trong chương trình Toán phổ thông

8 1.2 Thực trạng việc dạy giải toán chủ đề phương trình và bất phương trình theo quan điểm hàm ở trường phổ thông 24

1.3 Kết luận chương 1 29

Chương 2: DẠY GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH THEO QUAN ĐIỂM HÀM 31

2.1 Một số dạng toán có thể giải theo hướng vận dụng quan điểm hàm 31

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 4 h t t p :// w w w lr c t n u e d u v n/

2.1.1 Phân loại, phân bậc các bài toán 312.1.2 Hướng dẫn học sinh phương pháp chung để giải một bài toán theohướng vận dụng quan điểm hàm 322.2 Một số tri thức cơ bản về hàm số 33

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 5 h t t p :// w w w lr c t n u e d u v n/

2.2.1 Dấu hiệu của đạo hàm về tính đơn điệu của hàm số 33

2.2.2 Dấu hiệu của đạo hàm về sự tồn tại nghiệm của phương trình 33

2.2.3 Các kết quả toán 33

2.3 Hệ thống bài tập và những gợi ý với giáo viên nhằm rèn luyện kỹ năng giải phương trình và bất phương trình dựa vào quan điểm hàm 34

2.3.1 Vận dụng tri thức về hàm số vào việc giải phương trình đại số hữu tỉ và phương trình đại số vô tỉ 34

2.3.2 Vận dụng tri thức về hàm số vào việc giải phương trình lượng giác 54

2.3.3 Vận dụng tri thức về hàm số vào việc giải phương trình mũ và phương trình lôgarit 66

2.3.4 Vận dụng tri thức về hàm số vào việc giải bất phương trình đại số hữu tỉ, bất phương trình đại số vô tỉ 90

2.3.5 Vận dụng tri thức về hàm số vào việc giải bất phương trình mũ và lôgarit 94

2.4 Kết luận chương 2 98

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 100

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 100

3.1.1 Mục đích của thực nghiệm sư phạm 100

3.1.2 Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 100

3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 100

3.3 Đối tượng thực nghiệm sư phạm 101

3.4 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 101

3.5 Kết quả thực nghiệm sư phạm 101

3.5.1 Cơ sở để đánh giá kết quả thực nghiệm 101

3.5.2 Kết quả thực nghiệm sư phạm 114

3.6 Kết luận chương 3 117

KẾT LUẬN 118

TÀI LIỆU THAM KHẢO 119 PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 1 h t t p :// w w w lr c t n u e d u v n/

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong các môn học ở nhà trường phổ thông, môn Toán có một vị trí rấtquan trọng vì Toán học là công cụ ở nhiều môn học khác Môn Toán có khảnăng to lớn giúp học sinh phát triển năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyệncho học sinh óc tư duy trừu tượng, tư duy chính xác, và tư duy lôgic Qua đó cótác dụng lớn trong việc rèn luyện cho học sinh tính tư duy lôgic Trong nhữngnăm gần đây, nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học mônToán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành giáo dục Đảng vànhà nước ta đã đề ra nhiều chủ trương, chính sách nhằm phát triển giáo dục vớimục tiêu là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có tri thức, phẩmchất tốt, có trình độ thẩm mỹ và lòng yêu nghề nghiệp, đáp ứng yêu cầu của sựnghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ quốc trong thời kỳ mới Một trong những nhiệm

vụ và giải pháp lớn về giáo dục được đề ra trong Đại hội đại biểu toàn quốc lần

thứ XI của Đảng là: "Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện Đổi mới cơ cấu,

tổ chức, nội dung, phương pháp dạy và học theo hướng chuẩn hoá, hiện đại hoá, xã hội hoá Phát huy trí sáng tạo, khả năng vận dụng, thực hành của người học".

Điều 28 khoản 2 của Luật Giáo dục nêu rõ: "Phương pháp giáo dục phổ

thông phải phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh" [19].

Với mục tiêu đó thì đổi mới nội dung và phương pháp dạy học nóichung, nội dung và phương pháp dạy học môn Toán nói riêng diễn ra sâu rộng

ở tất cả các bậc học và cấp học Trong môn Toán ở trường Phổ thông chủ đềphương trình và bất phương trình giữ vị trí quan trọng Kiến thức và kỹ năng vềchủ đề này có mặt xuyên suốt từ đầu cấp đến cuối cấp Những kiến thức về

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 2 h t t p :// w w w lr c t n u e d u v n/

phương trình và bất phương trình còn là chìa khóa để giải quyết nhiều vấn đềthuộc hầu hết các chủ đề kiến thức về Đại số, Giải tích và Hình học, đặc biệt làHình học giải tích Bên cạnh đó kiến thức hàm số cũng có vai trò quan trọngtrong toàn bộ chương trình môn Toán phổ thông Hàm số giữ vị trí trung tâm,việc đảm bảo vị trí trung tâm của hàm số sẽ tăng cường tính thống nhất củagiáo trình Toán phổ thông, góp phần xóa bỏ ranh giới giả tạo giữa các phầnkhác nhau của chương trình

Theo [17, trang 93], quan điểm này thể hiện rõ nét trong chương trìnhToán ở trường THPT :

- Nghiên cứu hàm số được coi là nhiệm vụ chủ yếu suốt chương trình bậc

Trong dự thảo chương trình môn Toán ở trường THPT (Dự thảo 1989 –

trang 17) có quy định: " Nghiên cứu hàm số được coi là nhiệm vụ chủ yếu suốt

chương trình bậc Phổ thông trung học…" theo [4].

Có thể nói rằng hàm nói chung và hàm số nói riêng như sợi chỉ đỏ xuyênsuốt nội dung môn Toán ở trường Phổ thông Các kiến thức về hàm được thểhiện trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là trong phương trình và bất phương trình.Nhưng trong thực tế dạy học về phương trình và bất phương trình ở THPT cóthể nhận thấy rằng HS thường mắc một số sai lầm và đa số các em chưa có kỹnăng thành thạo để giải phương trình và bất phương trình theo QĐH Hơn nữa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 3 h t t p :// w w w lr c t n u e d u v n/

những năm gần đây các đề thi CĐ - ĐH, thi học sinh giỏi các cấp luôn luôn códạng bài tập về phương trình và bất phương trình, trong đó có rất nhiều bài tậpđược giải theo QĐH Đã có một số công trình nghiên cứu các biện pháp nângcao chất lượng dạy học nội dung phương trình, bất phương trình Nhưng chưa

có công trình nào nghiên cứu về việc dạy giải toán phương trình và bất phươngtrình theo QĐH

Xuất phát từ những lý do trên nên tôi chọn đề tài "Dạy giải toán chủ đề

phương trình và bất phương trình theo quan điểm hàm".

2 Mục đích nghiên cứu

Tổng kết được một số yếu tố lý luận và thực tiễn về dạy giải toán theoQĐH và đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển khả năng giải toánphương trình, bất phương trình theo QĐH cho học sinh THPT

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

3.1 Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học phương trình và bất

phương trình ở trường THPT

3.2 Đối tượng nghiên cứu: Các mô hình dạy giải toán chủ đề phương

trình và bất phương trình cho học sinh THPT theo QĐH

4 Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở lý luận của phương pháp dạy học môn Toán và thực tiễn dạyhọc về phương trình và bất phương trình, nếu khai thác và vận dụng thành thạoQĐH để giải phương trình và bất phương trình thì sẽ phát huy được khả năngphát hiện tìm lời giải, phân tích bài tập, hệ thống dạng toán của HS trong việchọc tập, qua đó nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường THPT

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

5.1 Tổng kết một số vấn đề lý luận về QĐH và giải toán theo QĐH.5.2 Đề xuất một số biện pháp sư phạm giúp HS phát triển khả năng giảiphương trình và bất phương trình theo QĐH thông qua việc phân loại các bàitập về phương trình, bất phương trình có thể giải theo QĐH

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 4 h t t p :// w w w lr c t n u e d u v n/

5.3 Tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quảcủa các nội dung đã đề xuất

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu

về dạy học theo QĐH, phương pháp dạy học môn Toán và các tài liệu khác liênquan đến đề tài

6.2 Phương pháp điều tra, quan sát: Khảo sát thực trạng dạy học giải

toán phương trình, bất phương trình theo QĐH ở trường THPT hiện nay

6.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm

để xem xét tính khả thi và hiệu quả của việc dạy giải toán chủ đề phương trình

và bất phương trình theo QĐH ở trường Phổ thông

7 Những đóng góp của luận văn

7.1 Góp phần hệ thống lại một số yếu tố lý luận và thực tiễn về dạy giảitoán theo QĐH ở trường Phổ thông

7.2 Hệ thống và phân loại các dạng bài tập về phương trình và bấtphương trình thường gặp ở THPT có thể giải theo QĐH

7.3 Đưa ra một số chỉ dẫn cho giáo viên giúp HS giải hệ thống bài tập vềphương trình, bất phương trình theo QĐH

8 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, phụ lục, nộidung chính của luận văn gồm ba chương

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Dạy giải toán chủ đề phương trình và bất phương trình theoquan điểm hàm

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 5 h t t p :// w w w lr c t n u e d u v n/

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Hàm và quan điểm hàm trong dạy học toán ở trường phổ thông

1.1.1 Khái niệm hàm

1.1.1.1 Định nghĩa hàm dựa vào đại lượng biến thiên

Theo [4, trang 15] có hai dạng định nghĩa sau:

a) Dạng thứ nhất: "Đại lượng y được coi là hàm số của đại lượng x, nếu

với mỗi giá trị của x (trong khoảng biến thiên của nó) thì tương ứng một giá trịxác định của y; x gọi là đối số "

b) Dạng thứ hai: "Luật (quy tắc) theo đó các giá trị của đại lượng biến

thiên phụ thuộc tương ứng với những đại lượng biến thiên độc lập gọi là hàm"(bài giảng về đại số cao cấp của Mytskit)

1.1.1.2 Định nghĩa hàm dựa vào tập hợp

Theo [4, trang 15, 16] có bốn dạng định nghĩa sau:

a) Định nghĩa tình huống hàm (dạng thứ nhất): theo Klomogorov và

Fomin: "Giả sử M và F là hai tập hợp bất kì Người ta nói rằng trên M xác định một hàm f nhận các giá trị trong F nếu với mỗi phần tử xM đặt tương ứng

một và chỉ một phần tử trong F" Trong trường hợp các tập hợp có bản chất bất

kì thì thay từ "hàm" người ta dùng từ ánh xạ và nói về "ánh xạ" của tập M đếntập F

b) Hàm như một quy tắc tương ứng giữa hai tập hợp ( dạng thứ hai):

Chẳng hạn, theo Lê Đình Phi: "X và Y là hai tập hợp đã cho Một ánh xạ f từ Xđến Y là một quy tắc cho tương ứng với mỗi phần tử x X duy nhấtphần tử y Y" Những định nghĩa thuộc dạng trên, người ta dùngnhững khái niệm "quy tắc" hay "luật" Ý nghĩa của những từ này có thểđược chính xác

hóa nhờ khái niệm thuật toán, nhưng một sự chính xác như thế lại dẫn đếnthu hẹp khái niệm hàm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 6 h t t p :// w w w lr c t n u e d u v n/

c) Hàm như một tương ứng (dạng thứ ba): theo Klini trong cuốn nhập

môn vào toán học, có viết: "Theo định nghĩa tổng quát nhất thì hàm là một sựtương ứng mà theo đó với mỗi phần tử x của tập hợp X tương ứng với mộtphần tử y của tập Y nào đó"

d) Định nghĩa hàm dựa vào tập hợp (dạng thứ tư): các định nghĩa hàm

thuộc ba dạng trên đã dựa vào tập hợp nhưng chưa triệt để Vì vậy chúng chưachỉ đích danh định nghĩa hàm là gì (dạng thứ nhất), hoặc còn những thuật ngữchưa rõ ràng, chẳng hạn như quy tắc (dạng thứ hai), "sự tương ứng" (dạng thứba) Để khắc phục được những đặc điểm trên, dạng thứ tư đem vào tập hợpnhững cặp để chính xác hóa khái niệm hàm Dạng này có hai cách định nghĩa:định nghĩa đầy đủ và định nghĩa rút gọn

Về định nghĩa đầy đủ, Bourbaki cho rằng: "Một tập G mà mỗi phần tửcủa nó là những cặp được gọi là một đồ thị Tập hợp các phần tử thứ nhất củacác cặp trong G được gọi là miền xác định của đồ thị G, ký hiệu là pr 1 G Tậphợp tất cả các phần tử thứ hai của các cặp trong G được gọi là miền giá trị của

nếu trong đó không có hai cặp phân biệt nào cùng chung phần tử thứ nhất Một

sự tương ứng (F, A, B) được gọi là một hàm nếu F là một đồ thị hàm và A = pr1G

Về định nghĩa rút gọn, theo kolmogorov: "Một hàm là một tập hợpnhững cặp (x, y) sao cho đối với mỗi x bất kì trong tập hợp đó không có quámột cặp (x, y) với phần tử thứ nhất x cho trước" Như thế định nghĩa hàm theođịnh nghĩa rút gọn chính là đồ thị hàm theo định nghĩa đầy đủ, còn nguồn vàđích không có mặt trong định nghĩa rút gọn Trong các định nghĩa hàm theo

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 7 h t t p :// w w w lr c t n u e d u v n/

khuynh hướng hiện đại, thực chất chỉ có dạng thứ tư là triệt để dựa vào lýthuyết tập hợp

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 8 h t t p :// w w w lr c t n u e d u v n/

1.1.2 Quan điểm hàm trong dạy học toán ở trường phổ thông

- Theo [4], QĐH trong dạy học Toán ở phổ thông là: xem xét các sự vật

và hiện tượng dựa trên tương quan hàm, trong đó chú trọng vào các biểu hiện

cơ bản của hàm gồm "tương ứng, biến thiên, phụ thuộc", trong sự hình thành và

phát triển một bộ phận (một ngành) của Toán học

1.1.3 Đặc trưng của quan điểm hàm trong dạy học toán ở trường phổ thông

Khi vận dụng QĐH trong dạy học Toán ở trường phổ thông chúng cónhững biểu hiện sau đây:

- Trình bày các đối tượng toán học trong sự chuyển động và sự biến đổicủa chúng;

- Thể hiện quan điểm tác động - ảnh hưởng đến các sự kiện toán họctrong mối quan hệ nhân quả;

- Khuynh hướng diễn đạt các sự kiện toán học một cách thực chất vàtăng cường ứng dụng của toán học;

- Làm rõ kiến thức về hàm xuyên suốt qua hầu hết các chủ đề toán họctrong nhà trường

Với khái niệm hàm số được học ở trường Phổ thông thì sự thể hiện 4biểu hiện trên là:

- Khi cho hàm số cần phải đảm bảo tính đa dạng (bảng, sơ đồ Ven; biểuthức giải tích; đường cong hình học), tránh tình trạng „„độc quyền‟‟ bằng biểuthức giải tích, dẫn đến HS gặp nhiều khó khăn khi đối diện với các tình huốngtrong đó hàm số xuất hiện dưới dạng bảng hay đồ thị (biểu hiện 1)

- Sự thể hiện quan điểm tác động - ảnh hưởng đến các sự kiện toán họctrong mối quan hệ nhân quả; hàm (hàm số nói riêng) có tác động - ảnh hưởngtrong 7 lĩnh vực: xây dựng và mở rộng các hệ thống số; các phép biến đổi đồngnhất; phương trình và bất phương trình; hàm số (giới hạn, đạo hàm, nguyênhàm, tích phân) và các phép biến hình với các tập điểm và phương pháp tọa độ(tương ứng giữa tập hợp điểm và tập số), lượng giác, tính liên môn trong dạy

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 9 h t t p :// w w w lr c t n u e d u v n/

học (biểu hiện 2 - 4) Ngay cả trong chương tập hợp - mệnh đề, nếu chú ý khaithác ta vẫn tìm ra mối quan hệ với hàm Thật vậy, khi nói đến mệnh đề là đúnghoặc sai, như thế thực chất là ta có một ánh xạ từ tập hợp tất cả các mệnh đề lêntập hợp gồm hai phần tử, một trong chúng mang tên là đúng, còn phần tử kiamang tên là sai

- Diễn đạt khái niệm hàm phải thể hiện rõ đặc trưng của nó là: phụ thuộc,tương ứng, biến thiên Ứng dụng của nó vào việc rèn luyện một số kỹ năng giảitoán, hay giải quyết một số bài toán thực tiễn, hay vận dụng tri thức về hàm khihọc các môn khác trong quan hệ liên môn Chẳng hạn trong vật lý phải xácđịnh trạng thái chuyển động của vật tại thời điểm nào đó, tức là phải thiết lậpđược một hàm số biểu diễn tọa độ, vận tốc của vật tại thời điểm t Để làm đượcđiều này cần phải thiết lập hệ quy chiếu; phân tích, tổng hợp lực; dùng ý nghĩacủa đạo hàm (a =x") để lập phương trình vi phân; giải phương trình vi phân tìm

1.1.4 Chủ đề hàm trong chương trình Toán phổ thông

Tuy thuật ngữ "hàm số" và định nghĩa khái niệm hàm số chỉ được đưa

chính thức ở lớp 7, nhưng những hình ảnh và những VD về hàm số đã xuất hiệnmột cách ngầm ẩn ngay từ bậc Tiểu học Vì vậy, việc nghiên cứu khái niệmhàm số trong toàn bộ chương trình và SGK ở trường Phổ thông phải tính đến

hai giai đoạn khác nhau : "giai đoạn ngầm ẩn" (trước lớp 7) và "giai đoạn

tường minh" (từ lớp 7 đến lớp 12) Tuy nhiên phân tích trong giáo trình tập

trung chủ yếu vào giai đoạn thứ hai

1.1.4.1 Giai đoạn ngầm ẩn (trước lớp 7)

Ngay từ những lớp đầu tiên của bậc Tiểu học, HS đã được làm quen

ngầm ẩn với khái niệm "tương ứng" Đó là những tương ứng đơn giản giữa các

phần tử của hai tập hợp như: tương ứng giữa số chén và số đĩa, tương ứng giữa

số HS và số ghế, tương ứng giữa giá trị của tổng và số hạng khi cho cố định sốhạng còn lại, …Các em cũng được là quen với một số bảng cộng, trừ các số tựnhiên Từ lớp 4, SGK bắt đầu giới thiệu về các biểu thức chứa chữ đơn giản,các bài toán tìm x hay tìm giá trị của biểu thức với 1 hoặc 2 biến.

VD 1 [14, trang 9] : Điền giá trị vào bảng sau :

Đặc biệt, ở lớp 4, HS đã được học về các đại lượng tỉ lệ thuận và đạilượng tỉ lệ nghịch, đây là những VD cụ thể về tương quan hàm số Qua sự trìnhbày của SGK, HS có thể nắm được mối quan hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa haiđại lượng tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch

Như vậy, SGK Toán ở Tiểu học và lớp 6 bước đầu giúp HS làm quenmột cách ngầm ẩn với những đặc trưng của khái niệm hàm số như mối quan hệphụ thuộc giữa 2 đại lượng biến thiên, sự tương ứng giữa các phần tử của 2 tậphợp, … nhằm hình thành những biểu tượng ban đầu về khái niệm hàm số, làm

cơ sở cho việc trình bày chính thức khái niệm này ở lớp 7 Đồng thời, việc đưavào những công thức, những biểu thức chứa biến và bảng tính giá trị biểu thức

là ngầm cho HS thấy được cách biểu thị sự tương ứng, sự phụ thuộc giữa cácđại lượng bằng công cụ toán học, tạo điều kiện sau này tiếp thu các cách chohàm số dễ dàng hơn

1.1.4.2 Giai đoạn tường minh (từ lớp 7 trở lên)

a Lớp 7

♦ Phần lý thuyết: Những vấn đề cơ bản về hàm số như định nghĩa hàm

sô, đồ thị hàm số, … được trình bày trong chương II của SGK Toán 7 Ở đây,

HS cũng được nghiên cứu hai hàm số cụ thể, đơn giản là hàm số y = ax (y = a xđược đưa vào phần đọc thêm)

• Phần 1: Trình bày kĩ về tương quan tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch, đưa racác công thức biểu thị mối quan hệ giữa hai đại lượng tỉ lệ thuận, hai đạilượng tỉ lệ nghịch.

Ở những lớp trước, HS đã làm quen với những đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệnghịch và mối quan hệ phụ thuộc giữa chúng SGK Toán 7 tổng kết lại, đưa rađịnh nghĩa tổng quát và công thức liên hệ giữa các đại lượng đó Xuất phát từnhững VD thường gặp trong vật lý như khối lượng sắt tỉ lệ thuận với thể tích,vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian đi một quãng đường cố định, … SGK ngầm

ẩn cho HS hình dung ra sự phụ thuộc tương ứng giữa hai đại lượng biến đổi.Như vậy, từ sự trình bày cụ thể qua một số VD, SGK ngầm ẩn nêu lên sự phụthuộc, sự tương ứng giữa hai đại lượng (khối lượng và thể tích chẳng hạn).Tính chất biến thiên của các đại lượng được mô tả dựa vào bảng giá trị tươngứng: V tăng (hoặc giảm) bao nhiêu lần thì m cũng tăng (hoặc giảm) bấy nhiêulần Ở đây, SGK chưa đưa vào thuật ngữ hàm số, sự phụ thuộc, sự tương ứnghay sự biến thiên của hàm số nhưng VD trên chính là hình ảnh cụ thể của mộthàm số bậc nhất được biểu thị bằng công thức, bằng bảng và SGK đã ngầm ẩnthể hiện đầy đủ các đặc trưng của khái niệm này SGK đưa ra công thức tổngquát biểu thị mối quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch.Việc giới thiệu những tương quan tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch có ý nghĩa chuẩn bịnghiên cứu về hàm số Các VD, các bài toán thường xuất phát từ thực tế, từnhững quan hệ trong vật lý mà HS đã học để biểu thị tương quan tỉ lệ thuận, tỉ

lệ nghịch có tác dụng giúp HS hiểu việc nghiên cứu hàm số bắt nguồn từ thựctiễn, hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tiễn và trong các bộ môn khoa họckhác, tức là gợi động cơ đưa vào khái niệm hàm số

• Phần 2: Trình bày khái niệm hàm số

SGK trình bày khái niệm hàm số bằng con đường quy nạp, xuất phát từnhững VD cụ thể về hàm số rút ra những thuộc tính bản chất của khái niệm, sau

đó định nghĩa khái niệm và củng cố khái niệm Mở đầu bài "Hàm số", SGK nêu

ra các VD về các đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch Chẳng hạn: [9, trang 62]

có VD: Nhiệt độ T ( 0 C) tại các thời điểm t (giờ) cùng một ngày được cho bằng bảng sau:

Như vậy, bản chất của việc lập bảng hay cho công thức đều là diễn tả sựtương ứng giữa x và y; với mỗi giá trị của x thì giá trị tương ứng y là duy nhất.Bảng và công thức đều cho thấy mối quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng biếnthiên một cách ngầm ẩn, đều cho ta quy tắc thiết lập sự tương ứng giữa cácphần tử của hai tập hợp Từ đây, HS có thể rút ra thuộc tính bản chất của kháiniệm hàm số là sự tương ứng giữa các phần tử của hai tập hợp thỏa mãn một số

điều kiện nào đó SGK nêu "khái niệm hàm số" [9, trang 63] : "Nếu đại lượng y

phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số".

Cách trình bày trên không xuất hiện đặc trưng biến thiên, chỉ đề cập đếnđặc trưng tương ứng, phụ thuộc Qua các VD thực tế về hàm số có thể coi hàm

số là công cụ mô tả sự phụ thuộc lẫn nhau của hai đại lượng biến thiên một

cách ngầm ẩn SGK Toán 7 chưa nhắc tới thuật ngữ "biến thiên" và đặc trưng

biến thiên của hàm số Có lẽ để HS tiếp thu một cách tường minh đặc trưng nàyngay sau khi vừa làm quen với khái niệm hàm số là một việc khó, nó đòi hỏi ởmức độ cao hơn khi HS đã nắm được những vấn đề cơ bản về hàm số Vì vậy,

ở đây chưa đề cập tới sự đồng biến, nghịch biến của hàm số mà chỉ mô tả đặctrưng biến thiên dưới dạng: x tăng bao nhiêu lần thì y tăng bấy nhiêu lần, …

• Phần 3: Trình bày về đồ thị của hàm số và nghiên cứu các hàm số

y  ax, y  a

x

SGK giới thiệu về mặt phẳng tọa độ thông qua một số VD thực tế, sau đóxây dựng tọa độ của một điểm Xây dựng khái niệm đồ thị của hàm số f(x), [9,

trang 69] đã nêu : "Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn

các cặp giá trị tương ứng (x; y) trên mặt phẳng tọa độ".

Việc lập các cặp số (x; y) để định nghĩa đồ thị của hàm số có tác dụngcủng cố đặc trưng tương ứng, đặc trưng phụ thuộc và cả đặc trưng biến thiêncủa hàm số một cách ngầm ẩn Thật vậy, mỗi cặp số (x; y) cho thấy sự tươngứng giữa mỗi phần tử xX với mỗi giá trị y = f(x) Y là duy nhất, xácđịnh

Đồ thị của hàm số bao gồm tất cả các điểm có tọa độ (x; y) trong đó x thay đổinhận hết các giá trị trong X, y thay đổi tương ứng nhận hết các giá trị trong Yhoặc nhận các giá trị trong một tập con của Y Ở lớp 7, HS chỉ làm quen vớiviệc

vẽ đồ thị một hàm số đơn giản (thường là tập xác định hữu hạn hay hàmsố

y  ax, y  a ) Việc trình bày các hàm số

cụ thể để khái quát lên đồ thị của chúng Chẳng hạn: "Đồ thị của hàm số y =

trưng

tương ứng, phụ thuộc, biến thiên một cách ngầm ẩn)

Như vậy, trong toàn bộ chương trình lớp 7, hàm số chỉ nhấn mạnh về đặctrưng tương ứng và đặc trưng phụ thuộc Đặc trưng biến thiên chưa được đềcập đến một cách tường minh Phần lớn các hàm số được cho bằng bảng số,biểu thức hoặc đồ thị trong cách biểu diễn hàm số bằng biểu thức giải tíchchiếm ưu thế hơn cả.

b Lớp 8

Trong toàn bộ chương trình SGK Toán lớp 8 không xuất hiện thuật ngữ

"hàm số", không trình bày những vấn đề về hàm số, nhưng ta có thể thấy hàm

số được sử dụng một cách ngầm ẩn qua các mối liên hệ khác trong toán họcnhư đa thức, phân thức, phương trình Ở đây HS làm quen với việc thực hiệncác phép biến đổi trên các biểu thức chứa chữ (các đa thức, phân thức, …) vàtìm giá trị của biến để đa thức, phân thức nhận giá trị 0 (tức là giải phươngtrình) Qua đó giúp cho HS rèn luyện kỹ năng làm việc trên các đối tượng tổngquát chứ không chỉ là làm việc với các số cụ thể, nhằm tạo cơ sở để HS tiếp thunhững khái niệm về hàm số sau này

c Lớp 9

Bước đầu nghiên cứu về tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số,xem xét các hàm số y = ax + b và y = ax 2 SGK nêu định nghĩa hàm số :

"Hàm số f từ tập hợp X đến tập hợp số Y là một quy tắc tương ứng mỗi

giá trị x thuộc X một và chỉ mỗi giá trị y thuộc Y mà ta kí hiệu là f(x), x là biến

số, y = f(x) là giá trị của hàm số tại x" [1].

Hàm số được hiểu là một quy tắc tương ứng giữa các phần tử của hai tậphợp Ta thấy SGK muốn nhấn mạnh đặc trưng tương ứng của hàm số, điều đóđược thể hiện rõ nét trong bảng giá trị tương ứng và cách viết các điểm (x ; y):với mỗi phần tử x X xác định thì có một phần tử tương ứng y Y duy nhấtvà

hoàn toàn xác định Qua đó, có lẽ SGK cũng muốn nhấn mạnh lại các cách chohàm số và sự tương đương giữa các cách cho đó, từ cách cho hàm số bằng côngthức, có thể lập được bảng giá trị tương ứng, rồi vẽ đồ thị hàm số Đặc biệt ở

lớp 9, HS được tiếp cận một cách tường minh với đặc trưng biến thiên của hàm

số Cùng với các đặc trưng tương ứng, phụ thuộc đã được làm quen ở các lớptrước, đến đây HS mới thấy được đầy đủ các đặc trưng của khái niệm hàm số.Tuy nhiên, ở lớp 9 HS chỉ làm quen bước đầu với các đặc trưng biến thiên quaviệc nắm khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến và xét sự đồng biến, nghịchbiến của một số hàm số đơn giản Đặc trưng biến thiên chưa được ứng dụng

vào việc vẽ đồ thị và giải toán SGK chưa chính thức đưa vào thuật ngữ "sự

biến thiên của hàm số".

Về bài tập ta có bảng tổng kết sau :

(Tổng số bài tập của chương II, chương III về hàm số là : 46)

Như vậy, hàm số cho bằng một công thức chiếm ưu thế, và phần lớn làchuyển hàm số từ cách cho bằng công thức sang dạng đồ thị (vẽ đồ thị của hàmsố) Bảng cặp phần tử bây giờ chỉ là những phương tiện trung gian cho bướcchuyển đổi trên Qua bảng tổng kết trên ta thấy: mặc dù ở lớp 9 đã đưa vào kháiniệm hàm số đồng biến, nghịch biến, nhưng các bài tập chủ yếu vẫn nhằm củng

cố đặc trưng tương ứng của hàm số Các đặc trưng biến thiên, phụ thuộc khôngđược nhấn mạnh Chỉ có một số ít bài tập về các đặc trưng này nhằm cho HSbước đầu làm quen với sự biến thiên của hàm số một cách tường minh Về mặt

lý thuyết, hàm số được xem xét đầy đủ cả ba đặc trưng, nhưng trong phần bàitập, việc nhấn mạnh, khắc sâu đặc trưng biến thiên của hàm số là chưa quantrọng

d Lớp 10

♦ Phần lý thuyết

Những vấn đề về hàm số tiếp tục được trình bày trong chương II của

SGK Đại số 10 Ở đây, SGK giới thiệu lại định nghĩa hàm số một cách chính

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 15 h t t p :// w w w lr c t n u e d u v n/

xác hơn có đề cập đến TXĐ của hàm số, đồng thời đưa ra các khái niệm hàm sốđồng biến, hàm số nghịch biến, hàm số chẵn, hàm số lẻ đồng thời giới thiệumột phương pháp nghiên cứu hàm số đó là khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thịcủa chúng SGK tổng kết và trình bày đầy đủ hai loại hàm số y = ax + b;

y  ax2

 bx  c , giới thiệu thêm về hàm số y  ax  b và cụ thể là hàm số

y  x Định nghĩa hàm số được nêu một cách tổng quát hơn ở lớp 7 trên cơ sở

xem xét một số VD cụ thể về hàm số SGK Đại số 10 không xuất phát từ các

VD mà giới thiệu ngay định nghĩa và cho VD minh họa

Định nghĩa trong SGK Đại số 10 :

"Giả sử có 2 đại lượng biến thiên x và y, trong đó x nhận giá trị thuộc

tập D.

Nếu với mỗi giá trị x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tương ứng

hàm số của x Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số" [11, trang 32].

Định nghĩa trong SGK Đại số nâng cao :

"cho D là một tập con khác rỗng của tập số thực  Một hàm số f

chỉ một số, kí hiệu là f(x) ; số f(x) đó gọi là giá trị của hàm số f tại x Tập D gọi là tập

xác định (hay miền xác định), x gọi là biến số hay đối số của hàm số f" [33,

trang 35]

Định nghĩa này vẫn theo quan điểm lý thuyết tập hợp, coi hàm số là mộtquy tắc tương ứng giữa các phần tử của hai tập hợp D và  , giống như quan điểm của định nghĩa hàm số ở lớp 7, lớp 9 Định nghĩa này làm nổi bật đặc

trưng tương ứng của hàm số, quy tắc tương ứng xác định một hàm số là quy tắc thỏa mãn : cho tương ứng với mỗi phần tử x D một và chỉ một số thực

SGK Đại số 10 nâng cao dùng thuật ngữ "quy tắc tương ứng" để địnhnghĩa khái niệm hàm số Ở đây, SGK không định nghĩa quy tắc tương ứng màxem đây là một khái niệm cơ bản và mô tả quy tắc tương ứng xác định mộthàm số là quy tắc thỏa mãn với mỗi số x D ứng với một và chỉ một số f(x)

Sau khi nêu định nghĩa hàm số, SGK [33] trình bày thêm:

Để chỉ rõ kí hiệu biến số, hàm số f còn được viết là y = f(x), hay đầy đủ hơn là :

x  y=f(x).

SGK nêu các VD về hàm số trong thực tế, đó là những hàm số được chobằng bảng

Hoạt động 1 (SGK Đại số 10 trang 32) nhằm khuyến khích học sinh tự

tìm các VD về hàm số trong thực tiễn giúp HS thấy được ý nghĩa thực tiễn củakhái niệm này

Về cách cho hàm số, SGK Đại số 10 trình bày ba cách cho hàm số: Hàm

số cho bằng bảng, hàm số cho bằng biểu đồ và hàm số cho bằng công thức.Trong các SGK Toán thường chỉ xét các hàm số được cho bằng công thức Tuynhiên, trong thực tiễn thì thường gặp các hàm số cho bởi bảng hoặc biểu đồ

SGK Đại số 10 nâng cao chỉ giới thiệu hàm số được cho bởi biểu thức

mà không nói tới các cách khác Điều này có thể gây cho HS hiểu lầm rằnghàm số phải được cho bằng một biểu thức Để tránh gây hiểu lầm có thể nhấnmạnh hàm số có thể cho bằng nhiều cách như: cho bằng bảng, biểu đồ, đồ thị,biểu thức, … nhưng khi nghiên cứu hàm số và các tính chất của nó ta chủ yếuxem xét các hàm số cho bằng công thức

Trong phần này, SGK đã đưa ra các VD thực tế về hàm số và qua VDcủng cố khái niệm TXĐ, khái niệm tập giá trị của hàm số

Ở đây, SGK đưa ra quy ước về TXĐ của hàm số được cho bởi công thức

: "Khi hàm số bằng công thức mà không chỉ rõ TXĐ của nó thì ta quy ước sau:

TXĐ của hàm số y = f(x) là tập tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa".

Về đồ thị hàm số, HS đã được học khái niệm đồ thị hàm số ở lớp 7, ởđây SGK lớp 10 chỉ nhắc lại và minh họa bằng những VD cụ thể

Hoạt động 7 (SGK Đại số 10) và VD 2 (SGK Đại số 10 nâng cao) nhằmgiúp HS tập "đọc" đồ thị (đọc xuôi, đọc ngược) nghĩa là dựa vào đồ thị để tìmf(x) theo các giá trị của x và lại tìm x theo f(x).

Khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến cũng đã được trình bày trongSGK Toán 9 Ở đây, đặc trưng biến thiên tiếp tục được đề cập và trở thành đặctrưng cơ bản nổi bật được xem xét, SGK đã chính thức đưa vào thuật "sự biếnthiên của hàm số" và điểm mới ở đây là SGK đưa ra bảng biến thiên để tổng kếtkết quả xét chiều biến thiên của hàm số

Khái niệm hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến được nhắc lại một cáchkhái quát từ nhận xét trực giác về đồ thị của hàm số y =

SGK đề cập tới việc khảo sát sự biến thiên của hàm số trên một khoảng.

Ở đây, SGK Đại số 10 nâng cao xem xét hàm số trên khoảng K với K là một khoảng (nửa khoảng hay đoạn) nào đó của  còn SGK Đại số 10 thì xét

trên khoảng (a; b)

"Khảo sát sự biến thiên của hàm số là xét xem hàm số đồng biến, nghịch

biến không đổi trên các khoảng (nửa khoảng hay đoạn) nào đó trong TXĐ của nó", [33, trang 39].

Kết quả xét chiều biến thiên được tổng kết trong một bảng gọi là Bảngbiến thiên Nhìn vào bảng đó HS có thể thấy được một cách trực quan sự thayđổi phụ thuộc lẫn nhau của biến số và hàm số trên các khoảng xác định của nó

Cụ thể, nhìn vào bảng HS có thể hình dung một cách sơ bộ dạng của đồ thị hàm

số, đồ thị hàm số đi lên trong khoảng nào, đi xuống trong khoảng nào

Tính chẵn lẻ của hàm số cũng giúp nhận dạng đồ thị của hàm số

Trong SGK Đại số 10, khái niệm hàm số chẵn và hàm số lẻ được đưa ra

từ nhận xét trực giác về đồ thị hàm số y = x2

và y = x Và từ đồ thị của các hàm

số này, SGK nêu lên một cách khái quát (không chứng minh) :

"Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng

Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng"

Trong SGK Đại số 10 nâng cao trình bày sơ lược về phép tịnh tiến song

song nhằm hỗ trợ cho việc trình bày đồ thị hàm số y  ax2

 bx  c được SGK giới thiệu,

xem xét một cách đầy đủ các trường hợp dạng tổng quát chứ không xuất phát

từ VD cụ thể như trước đây

Hàm số bậc nhất được trình bày theo đúng lược đồ khảo sát hàm số Đó

là tìm TXĐ; các khoảng đồng biến; nghịch biến; lập bảng biến thiên; vẽ đồ thị

y = ax 2 a 

0

bằng các phép tịnh tiến ở đây được hiểu một cách trực giác là

dịch chuyển một hình song song với trục tung (trục hoành) lên trên hoặc xuốngdưới (sang phải goặc sang trái)

Đối với SGK Đại số 10 nâng cao, phép tịnh tiến song song đã được trìnhbày ở bài trước nên ở đây SGK trình bày đồ thị hàm số

Ở đây, HS đã được tiếp xúc một cách tường minh với sự chuyển đổi cácđối tượng từ dạng tĩnh sang dạng biến thiên Việc nghiên cứu đặc trưng biếnthiên của hàm số không chỉ thuận tiện trong khảo sát hàm số mà còn tạo cơ sở

để sau này đưa vào các khái niệm giới hạn, đạo hàm, … của hàm số

Để cho HS thấy được sự đa dạng của hàm số, SGK giới thiệu một số

hàm số khác như y = x (SGK Đại số 10) và ở dạng tổng quát y = ax  b

(SGK Đại số 10 nâng cao)

SGK cũng đưa ra các VD về khảo sát hàm số cụ thể để rèn luyện cho HS

kỹ năng xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Như vậy, ở lớp 10 các vấn đề về hàm số được trình bày khá đầy đủ, kháiquát Đồng thời, do thực hiện chương trình phân ban nên SGK Đại số lớp 10cũng được phân thành hai ban SGK Đại số 10 dành cho ban cơ bản, SGK Đại

số 10 nâng cao dành cho ban khoa học tự nhiên Cách trình bày vấn đề về hàm

số của hai cuốn có sự khác nhau và phù hợp với trình độ của HS SGK Đại số

10 trình bày các vấn đề một cách trọng tâm, cơ bản, đơn giản hóa vấn đề, chẳnghạn các định lý chỉ nêu để HS nắm được mà không trình bày chứng minh SGKĐại số 10 nâng cao có phần đi sâu hơn nhằm giúp HS hiểu được bản chất từ đónắm vững kiến thức, chẳng hạn một số định lý có trình bày chứng minh

♦ Phần bài tập

Tổng số bài tập: SGK Đại số 10: 27 bài

SGK Đại số 10 nâng cao: 46 bài

• Dạng bài tập củng cố đặc trưng tương ứng và phụ thuộc :

SGK Đại số 10: Bài 2 trang 58, bài 3 trang 39, bài 2, 5 trang 42; bài 3trang 49; bài 4 trang 50, bài 11, 12 trang 51

SGK Đại số 10 nâng cao: Bài 7 trang 45; bài 10, 11 trang 46; bài 21,

22 trang 53; bài 28, 28 trang 59; bài 37 trang 60; bài 38 trang 61; bài 45, 46 trang 64

Các dạng bài tập này HS đã được làm quen ở lớp 9

• Dạng bài tập củng cố đặc trưng biến thiên:

SGK Đại số 10: Bài 2 trang 49; bài 2, 4, 5, 9 trang 50; bài 10, 15 trang 51.SGK Đại số 10 nâng cao: Bài 3, 4 trang 45; bài 12, 13 trang 46; bài 18 trang

52, bài 25 trang 54, bài 33, 35 trang 60; bài 39,43 trang 63; bài 14 trang

Bảng tổng kết các dạng bài tập củng cố các đặc trưng của khái niệm hàm

số ở SGK Đại số 10:

SGK Đại số 10 nâng cao:

• Dạng bài tập vận dụng tri thức về hàm để giải những bài toán khôngliên quan trực tiếp đến hàm: Dạng bài tập này có xuất hiện trong SGK nhưng

không nhiều, tập trung ở dạng bài tập biện luận số nghiệm của PT Sự khai thácnhững tri thức về hàm vào giải toán nhìn chung còn mờ nhạt.

Như vậy, ở lớp 10, đặc trưng biến thiên của hàm số đã trở thành đặctrưng nổi bật được chú trọng nghiên cứu, các đặc trưng tương ứng, phụ thuộcvẫn ngầm ẩn được củng cố và không còn đóng vai trò quan trọng nhất trongviệc xem xét hàm số như ở những lớp trước Hàm số ở đây được hiểu là mốiquan hệ giữa hai đại lượng biến thiên, thay đổi Đây thực sự là bước chuyển đổiviệc nghiên cứu hàm số từ mức cụ thể lên mức khái quát lớn, nghiên cứu đầy

đủ các đặc trưng của khái niệm hàm số

e Lớp 11

♦ Phần lý thuyết :

Trong chương trình Đại số và Giải tích 11, SGK trình bày các loại hàm

số cụ thể như: hàm số lượng giác, hàm số với đối số tự nhiên (Dãy số) Từ đóSGK giới thiệu về các loại phương trình lượng giác Đồng thời, HS được làmquen với một loạt các khái niệm mới để nghiên cứu hàm số như khái niệm giớihạn, tính liên tục, đạo hàm của hàm số Các khái niệm này đều liên quan chặtchẽ tới đặc trưng biến thiên của hàm số

Trong chương I (Đại số và Giải tích 11 kể cả sách nâng cao), SGK giớithiệu các hàm số lượng giác của biến số thực y = sinx, y = cosx, … các hàm sốnày được nghiên cứu đầy đủ các tính chất: tính biến thiên, tính tuần hoàn, tínhchẵn, lẻ Dựa vào đó, SGK suy ra cách vẽ đồ thị của các hàm số này trên mặtphẳng toạ độ Ở đây, quá trình khảo sát hàm số được tiến hành bằng phươngpháp sơ cấp, bao gồm các bước:

1 Tìm TXĐ của hàm số

2 Khảo sát tính tuần hoàn ; tính chẵn lẻ

3 Khảo sát sự biến thiên của hàm số và lập bảng biến thiên trên một chu kì

4 Vẽ đồ thị hàm số

Như vậy đặc trưng biến thiên của hàm số vẫn là đặc trưng cơ bản cầnphải xem xét trong quá trình khảo sát hàm số, và trong quá trình đó, các đặctrưng tương ứng và phụ thuộc vẫn được củng cố có khi tường minh có khi chỉngầm ẩn Đối với hàm số lượng giác, để vẽ chính xác đồ thị của nó, cần thiếtphải dựa vào các tính chất biến thiên, tuần hoàn ; tính chẵn lẻ.

Việc trình bày các hàm số lượng giác, nghiên cứu các tính chất và đồ thịcủa chúng tạo điều kiện để giới thiệu về các phương trình lượng giác, nghiệmcủa phương trình lượng giác, … Ở chương III, SGK trình bày khái niệm dãy số

và nghiên cứu hai dãy số đặc biệt là cấp số cộng và cấp số nhân Thực chất, đây

là những hàm số mà biến số chỉ nhận giá trị trong tập hợp số tự nhiên Phần nàyđược trình bày tương tự nhau ở SGK Đại số và Giải tích 11 và SGk Đại số vàGiải tích 11 nâng cao Ở đây hàm số được củng cố cả ba đặc trưng trong đó đặctrưng biến thiên được đề cập đến tường minh còn đặc trưng tương ứng, phụthuộc đều ngầm ẩn SGK giới thiệu đầy đủ các khái niệm dãy số tăng, dãy sốgiảm và cho VD minh họa cụ thể Ở chương IV, SGK đưa vào khái niệm giớihạn, sự liên tục của hàm số Đây là một vấn đề khá mới mẻ và trừu tượng với

HS Chính vì thế, SGK không trình bày khái niệm giới hạn theo ngôn ngữ

 ,

hay  ,



mà trình bày các định nghĩa đó bằng cách mô tả để HS có thể

hiểu một cách trực quan về khái niệm này để HS bước đầu hình dung được thếnào là giới hạn của dãy số, của hàm số Từ đó biết vận dụng các định nghĩa,định lý trong SGK để giải các bài toán cơ bản, đơn giản về giới hạn, liên tục.Tiếp theo chương giới hạn hàm số, chương đạo hàm được đưa xuống chươngtrình lớp 11 nhằm phục vụ cho việc dạy học vật lý ở đầu lớp 12 (trước đây đạohàm được trình bày trong chương trình lớp 12)

Khái niệm đạo hàm, vi phân của hàm số được trình bày dựa trên cơ sởkhái niệm giới hạn của hàm số tức là cũng liên quan tới đặc trưng biến thiêncủa hàm số

♦ Phần bài tập

Các bài tập củng cố đặc trưng của hàm số ở lớp 11 chủ yếu là củng cốđặc trưng biến thiên như xét tính đơn điệu của hàm số; chứng minh dãy số tăng,dãy số giảm; tìm giới hạn của hàm số, xét tính liên tục của hàm số, tìm số giacủa hàm số tương ứng với sự biến thiên của đối số, tìm đạo hàm của hàm sốbằng định nghĩa, … Còn các đặc trưng tương ứng và phụ thuộc không xuất hiệnmột cách tường minh

Tóm lại, ở lớp 11, hàm số chủ yếu được nghiên cứu về đặc trưng biếnthiên của nó Tính chất biến thiên này có nhiều ứng dụng trong khảo sát hàm

số Đặc biệt đặc trưng này được mở rộng để định nghĩa một số khái niệm mớinhằm nghiên cứu hàm số một cách đầy đủ hơn

Với phương pháp này, HS có thể khảo sát sự biến thiên của nhiều loạihàm số khác nhau và sự biến thiên của hàm số được biểu diện trên các bảngbiến thiên Các bảng này còn cho biết điểm cực đại, cực tiểu của hàm số, giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, … Như vậy, đặc trưng biến thiên đượcnghiên cứu để khảo sát những tính chất khác của hàm số, những đặc điểm của

đồ thị hàm số Sự biến thiên của hàm số là phương tiện trung gian để suy ra cáctính chất đó nhanh chóng và trực quan dựa vào bảng biến thiên Ta thấy hàm số

ở đây chỉ được nghiên cứu về đặc trưng biến thiên còn các đặc trưng tươngứng, phụ thuộc đều ngầm ẩn SGK Toán 12 giới thiệu một số hàm số cụ thể vàtrình bày rất rõ ràng quy trình khảo sát và vẽ đồ thị của chúng theo từng dạng

Tiếp theo, chương II của SGK Giải tích 12 giới thiệu hàm số lũy thừa,hàm số mũ, hàm số lôgarit Do HS đã được học về đạo hàm của hàm số nên cáchám số này được trình bày một cách đầy đủ; định nghĩa, công thức tính đạohàm, khảo sát và vẽ đồ thị hàm số theo đầy đủ các bước.

♦ Phần bài tập

Hệ thống bài tập củng cố đặc trưng biến thiên bao gồm nhiều dạng như :tìm các khoảng đơn điệu của hàm số, tìm cực trị, tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất,các bài toán khảo sát hàm số, …

Như vậy, SGK 12 tiếp tục đào sâu về đặc trưng biến thiên của hàm số.Khác với lớp trước, ở đây hàm số được khảo sát bằng một số công cụ hoàn toànmới là đạo hàm Sự trình bày của SGK ngầm ẩn hình thành quan niệm hàm số

là đại lượng biến thiên, nghiên cứu hàm số đầy đủ phải tính đến đặc trưng biếnthiên của nó

1.2 Thực trạng việc dạy giải toán chủ đề phương trình và bất phương trình theo quan điểm hàm ở trường phổ thông

Để mô tả được thực trạng của việc dạy giải toán chủ đề phương trình, bất

phương trình theo QĐH ở trường Phổ thông tôi đã làm một số nghiên cứu thựctiễn tại trường THPT Uông Bí và THPT Nguyễn Tất Thành.

♦ Đối với giáo viên

- Nội dung của đề tài chưa có một phần cụ thể nào trong SGK THPT

- Giáo viên dạy chủ yếu thông qua hình thức dạy học chuyên đề và ônluyện đan xen vào các tiết tự chọn trên lớp

- Giáo viên mất nhiều thời gian để tìm tòi cơ sở lý thuyết, xây dựng hệthống bài tập và gặp khó khăn khi tìm tài liệu để mở rộng kiến thức và các VDứng dụng

- Giáo viên chưa hoặc có rất ít kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề phươngtrình và bất phương trình

- Giáo viên mất nhiều công sức chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóa thànhmột hệ thống bài tập phù hợp với nhiều trình độ nhận thức khác nhau của HS

- Thời gian để giáo viên hướng dẫn và chữa bài tập cho HS không nhiều

- Đối với giáo viên không chủ chốt trong tổ chuyên môn ít có cơ hội dạyđội tuyển và dạy luyện thi Đại học thì việc phân loại bài tập, trình bày lời giảicòn hạn chế và đôi lúc còn mắc sai lầm

♦ Đối với HS

- HS thường có hứng thú với những vấn đề giáo viên đặt ra lúc bắt đầugiờ học Tuy nhiên, khi học đến các định nghĩa và xây dựng các định lý, hệ quảthì HS lại thấy trừu tượng, khó hiểu và mơ hồ khi vận dụng làm bài tập Những

HS trung bình thì chưa thể hiểu kỹ về lý thuyết và vận dụng ngay vào bài tập

- Nhiều HS hiểu chưa kỹ các khái niệm, định nghĩa và các VD mẫu dẫnđến trình bày lời giải bài toán chưa khoa học và còn mắc nhiều sai lầm

- Khả năng tìm tòi tự học của đa số HS còn hạn chế và khi học chưa cókhả năng rút kinh nghiệm, hệ thống dạng bài tập về phương trình, bất phươngtrình có thể giải theo QĐH

- Nhiều HS chưa biết nhiều về các phương pháp giải toán phương trình,bất phương trình theo QĐH

- Qua thực tế dạy học ở THPT có thể nhận thấy HS thường mắc một sốsai lầm trong quá trình giải toán phương trình và bất phương trình theo QĐH,chẳng hạn ta xem xét các bài toán sau

Bài toán 1 Giải phương trình sinx = x.

Phân tích Có một số HS đã thực hiện lời giải bài toán này như sau :

Phương trình đã cho tương đương với phương trình x – sinx = 0 (*)

Xét hàm số f(x) = x – sinx, x 

Ta có f‟(x) = 1 – cosx  0, suy ra hàm số f(x) đồng biến trên  , mà talại có f(0) = 0 Từ đó phương trình (*) là ở dạng f(x) = f(0)  x = 0 là nghiệm củaphương trình đã cho Nguyên nhân sai lầm ở đây là HS chưa nắm kỹ khái niệmtính đơn điệu của hàm số, đó là ngoài f‟(x)  0 phải chú ý rằng còn phải xét f‟(x) = 0 tại một số điểm hữu hạn thì hàm số mới đồng biến, rõ ràng lời giải này

ta thấy f‟(x) = 0 cho ta x = k 2 , k 

 

là vô số điểm nên chưa thể khẳng

định chắc chắn hàm số đang xét đồng biến trên  được