Dạng chuẩn tắc của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai trên mặt phẳng

èi vîi mët bë ba têng qu¡ttrìn ho°c trìn ¦y õ trong tæpæ Whitney bi»t thùc l réng ho°c l mët ÷íng cong trìn ÷ñc nhóng trong m°t ph¯ng... h¬ng sè thüc... h¬ng sè tuý þ nh÷ mong muèn... Ti

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M

THI NGUY–N - 2020

Líi cam oan

Tæi xin cam oan Luªn v«n "D¤ng chu©n t­c cõa ph÷ìng tr¼nh

¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p hai tr¶n m°t ph¯ng" l  tr¼nh b ynghi¶n cùu khoa håc cõa ri¶ng tæi d÷îi sü h÷îng d¨n trüc ti¸p cõa TS.Trành Thà Di»p Linh

Ngo i ra, trong luªn v«n tæi cán sû döng mët sè k¸t qu£, nhªn x²t cõamët sè t¡c gi£ kh¡c ·u câ chó th½ch v  tr½ch d¨n nguçn gèc.Trong qu¡tr¼nh nghi¶n cùu, tæi ¢ k¸ thøa th nh qu£ khoa håc cõa c¡c nh  khoahåc vîi sü tr¥n trång v  bi¸t ìn

N¸u ph¡t hi»n b§t ký sü gian lªn n o tæi xin ho n to n chàu tr¡chnhi»m v· nëi dung luªn v«n cõa m¼nh

Th¡i Nguy¶n, ng y 15 th¡ng 9 n«m 2020

T¡c gi£

°ng Thà Loan

Líi c£m ìn

Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m Th¡iNguy¶n T¡c gi£ xin b y tä láng k½nh trång v  bi¸t ìn s¥u s­c ¸n TS.Trành Thà Di»p Linh ng÷íi th¦y ¢ trüc ti¸p h÷îng d¨n, tªn t¼nh ch¿b£o v  ëng vi¶n t¡c gi£ trong suèt thíi gian nghi¶n cùu vøa qua

T¡c gi£ tr¥n trång gûi líi c£m ìn ¸n c¡c th¦y, cæ gi¡o Khoa To¡n,Pháng  o t¤o Sau ¤i håc, c¡c b¤n håc vi¶n lîp Cao håc K26 To¡n gi£it½ch tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m Th¡i Nguy¶n ¢ luæn gióp ï, t¤o i·u ki»nthuªn lñi cho t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu t¤i tr÷íng.T¡c gi£ công xin b y tä bi¸t ìn s¥u s­c tîi gia ¼nh v  ng÷íi th¥n ¢luæn khuy¸n kh½ch, ëng vi¶n t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  l mluªn v«n

T¡c gi£ mong nhªn ÷ñc nhúng þ ki¸n âng gâp quþ b¡u cõa c¡c th¦y

cæ v  b¤n åc º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn

Th¡i Nguy¶n, ng y 15 th¡ng 9 n«m 2020

Ng÷íi thüc hi»n

°ng Thà Loan

Möc löc

1.1 Mët sè kh¡i ni»m v· ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng 4

1.2 Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai 7

1.2.1 Ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh 7

1.2.2 D¤ng chu©n t­c cõa ph÷ìng tr¼nh hyperbolic 20

1.2.3 D¤ng chu©n t­c cõa ph÷ìng tr¼nh parabolic 23

1.2.4 D¤ng chu©n t­c cõa ph÷ìng tr¼nh eliptic 25

2 D¤ng chu©n t­c cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p hai tr¶n m°t ph¯ng 28 2.1 Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p hai vîi hai bi¸n ëc lªp 28

2.2 D¤ng chu©n t­c khæng àa ph÷ìng 31

2.3 D¤ng chu©n t­c trìn 35

2.3.1 ành l½ rót gån 39

2.3.2 D¤ng chu©n t­c trìn cho c¡c iºm k¼ dà g§p 47

K¸t luªn 51

Líi nâi ¦u

Sü khði ¦u cõa lþ thuy¸t v· c¡c d¤ng chu©n t­c cõa ph÷ìng tr¼nh

¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p hai tr¶n m°t ph¯ng ÷ñc nghi¶n cùu v okho£ng giúa th¸ k 18 V o thíi iºm â d'Alembert v  Euler ¢ · xu§tph÷ìng tr¼nh sâng v  ph÷ìng tr¼nh Laplace º mæ t£ sü chuyºn ëng cõad¥y v  sü thay th¸ vªn tèc cõa ch§t läng khæng n²n ÷ñc t÷ìng ùng Saukhi xu§t hi»n nhúng d¤ng chu©n t­c m  ¤i di»n cho c¡c ph÷ìng tr¼nhlo¤i eliptic v  ph÷ìng tr¼nh lo¤i hyperbolic, ÷ñc sû döng nhi·u trong gi£it½ch º ¡p döng trong vi»c gi£i quy¸t c¡c b i to¡n kh¡c nhau Ng y nayv§n · n y ÷ñc nhi·u ng÷íi quan t¥m v  th÷íng ÷ñc nghi¶n cùu trongl¾nh vüc ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng X²t ph÷ìng tr¼nh têng qu¡t

a(x, y)uxx + b(x, y)uxy + c(x, y)uyy = 0, (0.1)vîi a, b, c l  c¡c h» sè trìn, câ thº ÷ñc ÷a v· c¡c d¤ng àa ph÷ìng g¦n

iºm b§t ký cõa ph÷ìng tr¼nh hyperbol v  elip t÷ìng ùng, tùc l  x²t bi»tthùc D vîi D = b2 − 4ac cõa ph÷ìng tr¼nh (0.1) theo thù tü l  d÷ìng

v  ¥m, b¬ng c¡ch thay êi c¡c tåa ë trìn v  thüc hi»n ph²p nh¥n tr¶nmët h m trìn b§t bi¸n th½ch hñp (xem[4]) èi vîi mët bë ba têng qu¡ttrìn ho°c trìn ¦y õ trong tæpæ Whitney bi»t thùc l  réng ho°c l  mët

÷íng cong trìn ÷ñc nhóng trong m°t ph¯ng Nh÷ vªy cho mët ph÷ìngtr¼nh têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh sâng d¤ng uxx − uyy = 0 v  ph÷ìngtr¼nh Laplace d¤ng uxx+ uyy = 0c¡c d¤ng chu©n t­c hi»n nay cõa ph÷ìngtr¼nh (0.1) ch½nh l  g¦n mët iºm n¬m ngo i ÷íng th¯ng n y

÷íng th¯ng n y ÷ñc gåi l  d¤ng ÷íng thay êi v¼ b§t ký iºm n og¦n nâ ph÷ìng tr¼nh gçm câ c¡c iºm cõa c£ elip v  hyperbol Ph÷ìng

tr¼nh (0.1) thay êi d¤ng trong mi·n ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh d¤ng hénhñp.

Trong nghi¶n cùu cõa Tricomi ([xem 6]) ¢ x²t mët ph÷ìng tr¼nh g¦n

iºm P cõa d¤ng ÷íng thay êi, â l  ph÷ìng tr¼nh khæng suy bi¸n cõabi»t thùc, tùc l  D(P ) = 0 v  dD(P ) 6= 0 v  t¤i â ph÷ìng °c tr÷ng

dy : dx ÷ñc x¡c ành bði ph÷ìng tr¼nh

a(x, y)dy2 − b(x, y)dxdy + c(x, y)dx2 = 0 (0.2)Ph÷ìng tr¼nh (0.2) khæng ti¸p tuy¸n vîi ÷íng th¯ng G¦n mët iºm nh÷vªy, Tricomi ¢ ÷a ra cho (0.1) d¤ng chu©n t­c ÷ñc k½ hi»u

Sau khi thay êi c¡c tåa ë trìn v  thüc hi»n nh¥n tr¶n mët h mtrìn b§t bi¸n Ð d¤ng ph÷ìng tr¼nh thay êi tr¶n tröc ho nh v  nâ thuëcph÷ìng tr¼nh lo¤i eliptic trong mi·n y > 0 v  hyperbolic trong mi·n y < 0.Hìn núa, ng÷íi ta ¢ chùng minh r¬ng ph÷ìng tr¼nh ð d¤ng chu©n t­c

câ hai °c t½nh t¤i méi iºm x0 cõa tröc ho nh C¡c °c t½nh n¬m trongmi·n y ≤ 0 v  câ d¤ng 9(x − x0)2 = −4y3

èi vîi ph÷ìng tr¼nh (0.3), Tricomi ([xem 6]) tr¼nh b y d¤ng mîi v·lo¤i b i to¡n gi¡ trà bi¶n trong mi·n bà ch°n bði c¡c °c tr÷ng giao nhau

i tø hai iºm cõa d¤ng ÷íng thay êi v  bði mët cung trìn n¬m trongmi·n y > 0 v  nèi c¡c iºm n y l¤i èi vîi c¡c i·u ki»n bi¶n cõa Dirichlet

÷ñc x¡c ành tr¶n cung n y v  tr¶n mët trong hai cung °c tr÷ng, æng

¢ chùng minh ành lþ v· sü tçn t¤i v  t½nh duy nh§t cõa nghi»m Ng ynay v§n · n y ÷ñc °t t¶n l  Tricomi I

Trong nghi¶n cùu Tricomi ([xem 6]) công cung c§p n·n t£ng cho d¤ngchu©n t­c (0.3) nh÷ng chùng minh cõa æng ch÷a ¦y õ Sau â chùngminh óng cho d¤ng n y ÷ñc thüc hi»n bði Cibrario Nh÷ l÷u þ ð tr¶n,nhúng k¸t qu£ cõa Tricomi ¢ ÷ñc sû döng t½ch cüc trong nghi¶n cùu lþthuy¸t v· c¡c d¤ng chu©n t­c cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tr¶n m°tph¯ng

B÷îc ti¸p theo trong lþ thuy¸t v· c¡c d¤ng chu©n t­c cõa ph÷ìng tr¼nh

¤o h m ri¶ng hén hñp têng qu¡t tr¶n m°t ph¯ng chõ y¸u ÷ñc thüc hi»nsau â Luªn v«n n y ÷ñc tr¼nh b y theo t i li»u [3], [4], [7] nhúng k¸tqu£ nhªn ÷ñc g¦n ¥y v  ành lþ rót gån, c¡c bi¸n thùc kh¡c nhau ÷ñc

sû döng º thu ÷ñc c¡c k¸t qu£ n y

Ch֓ng 1

Ki¸n thùc chu©n bà

1.1 Mët sè kh¡i ni»m v· ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng

ành ngh¾a 1.1.1 Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng l  mët ph÷ìng tr¼nh câchùa c¡c ¤o h m ri¶ng cõa h m ©n

Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng

F (x1, x2, , xn, u, ux1, , uxn, ux1x1, ) = 0, x ∈ Ω ⊂ Rn, (1.1)trong â x = (x1, , xn) l  c¡c bi¸n ëc lªp, u l  h m ©n cõa c¡c bi¸n â.Nghi»m cõa (1.1) tr¶n Ω l  mët h m u x¡c ành, kh£ vi ¸n c§p c¦nthi¸t tr¶n Ω v  thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh â t¤i måi iºm thuëc Ω

Nâi chung mët ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng th÷íng câ væ h¤n nghi»m.V½ dö c¡c h m

u(x, t) = ex−ct,u(x, t) = cos(x − ct),

l  c¡c nghi»m cõa ut + cux = 0 Hìn núa, måi h m kh£ vi cõa c − ct ·u

l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh â

Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng th÷íng ÷ñc ph¥n lo¤i theo c¡c ti¶u ch½sau:

a) Theo c§p cõa ph÷ìng tr¼nh (nâi chung ph÷ìng tr¼nh câ c§p c ng cao

c ng phùc t¤p)

b) Theo mùc ë phi tuy¸n, tuy¸n t½nh (ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh nâi chung

ìn gi£n hìn ph÷ìng tr¼nh phi tuy¸n, mùc ë phi tuy¸n c ng cao th¼ c ng

phùc t¤p).

c) Theo sü phö thuëc v o thíi gian (ph÷ìng tr¼nh bi¸n êi theo thíi gianth¼ ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh ti¸n hâa, ng÷ñc l¤i ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nhdøng) Trong t¼nh huèng n y ng÷íi ta th÷íng k½ hi»u bi¸n thíi gian l  t,c¡c bi¸n cán l¤i l  bi¸n khæng gian

Cö thº hìn ta câ c¡c kh¡i ni»m sau ¥y:

ành ngh¾a 1.1.2 C§p cõa mët ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng l  c§p caonh§t cõa ¤o h m ri¶ng câ m°t trong ph÷ìng tr¼nh

(uxx)2 + uyy + a(x, y)ux + b(x, y)u = 0, (1.6)

l  ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai

ành ngh¾a 1.1.3 Mët ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng l  tuy¸n t½nh n¸u

ành ngh¾a 1.1.4 Mët ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng khæng tuy¸n t½nhth¼ ÷ñc gåi l  phi tuy¸n.

Ch¯ng h¤n ph÷ìng tr¼nh (1.5) l  ph÷ìng tr¼nh phi tuy¸n

Nâi chung c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng phùc t¤p hìn c¡c ph÷ìngtr¼nh vi ph¥n th÷íng v¼ vîi ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng, º t¼m mëtnghi»m ri¶ng tø nghi»m têng qu¡t ta ch¿ ph£i t¼m c¡c gi¡ trà cõa c¡c h¬ng

sè tòy þ, trong khi â vîi ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng, vi»c chån nghi»mri¶ng thäa m¢n c¡c i·u ki»n bê sung câ khi cán khâ hìn c£ vi»c t¼mnghi»m têng qu¡t do nghi»m têng qu¡t cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤o h mri¶ng phö thuëc v o c¡c h m tòy þ (xem v½ dö sau ¥y) v  nâ câ thº câ

trong â F, G l  hai h m kh£ vi b§t ký

Nh÷ vªy, º nhªn ÷ñc mët nghi»m ri¶ng thäa m¢n mët sè i·u ki»n

n o â ta s³ ph£i x¡c ành hai h m F, G

1.2 Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai

h m sè c1u1+ + cnun công l  mët nghi»m cõa (1.10) Hìn núa, n¸u up

l  nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh (1.9), khi â

L(c1u1 + + cnun+ up) = L(c1u1 + + cnun) + Lup = Lup = g.V¼ vªy

u = c1u1 + + cnun + up,công l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.9) cho vîi h¬ng sè c1, , cn b§t ký.X²t tr÷íng hñp ìn gi£n nh§t khi c¡c h» sè cõa ph÷ìng tr¼nh (1.9) l 

h¬ng sè thüc Gi£ thi¸t g l  h m cho tr÷îc l  h m gi£i t½ch câ gi¡ trà thüctrong Ω Khi â trong mët sè tr÷íng hñp, câ thº nhªn ÷ñc nghi»m têngqu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh (1.10) l  mèi quan h» hai chu ký tu¦n ho n C2(Ω),n¶n

u = uh + up,

÷ñc gåi l  sè nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh khæng thu¦n nh§t.Ph¥n lo¤i ¤o h m to¡n tû tuy¸n t½nh L ∂

∂x, ∂y∂ ,(i) L ∂

∂x, ∂y∂  l  b§t kh£ quy ho°c khæng ph¥n t½ch ÷ñc n¸u nâ khæng

Tø â h» sè ∂ 2

∂x∂y = ∂y∂x∂2 l  h¬ng sè v  to¡n tû L1L2 giao ho¡n, tùc

l  L1L2 = L2L1 N¸u u1 l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh c§p mët

L1u = 0, do â

Lu1 = (L1L2)u1 = (L2L1)u1 = L2(L1u1) = L2(0) = 0,

tùc u1 l  nghi»m cõa (1.10) T÷ìng tü, n¸u u2 l  nghi»m cõa L2(u) = 0, khi

â u2 l  nghi»m cõa (1.10) Tø â L l  to¡n tû tuy¸n t½nh khi u = u1+ u2công l  nghi»m Do â, n¸u a = a1a2 6= 0 v  c¡c thøa sè L1, L2 l  ri¶ngbi»t, th¼ nghi»m têng qu¡t cõa (1.10) ÷ñc t½nh b¬ng c¡ch

uh = e−a1c1x

ϕ(b1x − a1y) + e−c2a2 x

ψ(b2x − a2y), (1.11)trong â ϕ v  ψ l  h m l§y ¤o h m mët c¡ch li¶n töc g§p æi tuý þ N¸u

khi â nghi»m têng qu¡t l 

L = ∂

∂y

2b ∂

∂x + c

∂

∂y

.Chó þ r¬ng c«n cõa λ1, λ2 l  thüc n¸u b2 − ac ≥ 0

V½ dö 1.2.1 T¼m nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh

uxx+ ux = uyy + uy.Ph÷ìng tr¼nh n y câ d¤ng Lu = 0 trong â L l  to¡n tû

v  tø ph÷ìng tr¼nh (1.11) nghi»m têng qu¡t l 

u = ϕ(x + y) + e−xψ(x − y),m°t kh¡c công câ thº l  vi¸t d÷îi d¤ng

u = ϕ(x + y) + e−xex−yh(x − y)

= ϕ(x + y) + e−yh(x − y),trong â ϕ, ψ v  h l  c¡c h m tuý þ

Mët ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh c§p hai trong n bi¸n ëc lªp x1, xn câd¤ng

Lu = G,

v  ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t t÷ìng ùng l 

Gi£ sû r¬ng h» sè Aij, Bi, C trong L l  sè thüc, v  Aij = Aji; i, j = 1, , n.Khi L l  kh£ quy

Khi â bi¸n êi t÷ìng tü trong tr÷íng hñp cõa hai bi¸n ëc lªp V¼vªy nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh (1.13) l 

uh = e−a1c x 1

ϕ(a2x1−a1x2, , anx1−a1xn)+e−b1dx 1

ψ(b2x1−b1x2, , bnx1−b1xn),trong â ϕ, ψ l  c¡c h m tuý þ N¸u a1 ho°c b1 b¬ng 0 th¼ nghi»m cõaph÷ìng tr¼nh têng qu¡t ÷ñc bi¸n êi th½ch hñp Nghi»m têng qu¡t cõaph÷ìng tr¼nh khæng thu¦n nh§t (1.12) l  u = uh + up, trong â up l nghi»m ri¶ng

b) Ph÷ìng tr¼nh b§t kh£ quy

Cho to¡n tû L ∂

∂x,∂y∂  b§t kh£ quy, khæng ph£i lóc n o công câ thº t¼m

÷ñc nghi»m têng qu¡t, nh÷ng câ thº x¥y düng nghi»m bao h m nhi·u

h¬ng sè tuý þ nh÷ mong muèn i·u n y ¤t ÷ñc b¬ng c¡ch thû nghi»m

câ d¤ng mô

u = eαx+βy,trong â α, β l  h¬ng sè x¡c ành Tø â

(i) hyperbolic, n¸u ∆ (x, y) > 0.

(ii) parabolic, n¸u ∆ (x, y) = 0

(iii) eliptic, n¸u ∆ (x, y) < 0

Ph÷ìng tr¼nh l  hypebolic (parabolic, eliptic) trong tªp con G ⊂ Ω n¸u

nâ l  hypebolic (parabolic, eliptic) t¤i måi iºm cõa G

Ti¸p theo, t¼m to¤ ë mîi ξ v  η sao cho vîi i·u ki»n cõa to¤ ë mîiph÷ìng tr¼nh (1.15) câ ph¦n ch½nh °c bi»t ìn gi£n Khi â ph÷ìng tr¼nh

l  d¤ng chu©n t­c

ành lþ 1.2.2 Gi£ sû r¬ng ph÷ìng tr¼nh (1.15) l  hyperbolic, parabolicho°c elliptic trong l¥n cªn iºm P0(x0, y0) Khi â tçn t¤i thay êi kh£nghàch cõa bi¸n sè

Φ :

(

ξ = ξ(x, y)

η = η(x, y)

x¡c ành trong l¥n cªn iºm P0(x0, y0) sao cho ph÷ìng tr¼nh (1.15) câ thºrót gån th nh mët trong ba d¤ng d÷îi ¥y

(i) N¸u P0(x0, y0) l  mët iºm hyperbolic

uξη+ Ψ(ξ, η, u, uξ, uη) = 0 (1.16)(ii) N¸u P0(x0, y0) l  mët iºm parabolic

uηη + Ψ(ξ, η, u, uξ, uη) = 0 (1.17)(iii) N¸u P0(x0, y0) l  mët iºm elliptic

uξξ + uηη + Ψ(ξ, η, u, uξ, uη) = 0 (1.18)Trong tr÷íng hñp cõa ph÷ìng tr¼nh hypebolic ph²p bi¸n êi

α = ξ + η,

β = ξ − η,rót gån (1.16) º uαα− uββ+ θ(α, β, u, uα, uβ) = 0, ÷ñc gåi l  d¤ng chu©nt­c thù hai cho ph÷ìng tr¼nh hyperbolic

Chùng minh (i) Gi£ sû P0(x0, y0) l  mët iºm thuëc hyperbolic Chån

dϕ

dt = pFp+ qFq = 2(ap

2 + 2bpq + cq2) = 0,v¼ vªy còng vîi nhúng °c tr÷ng cõa ph÷ìng tr¼nh (1.19) th¼

ϕ (x, y) = const

N¸u gi£ sû r¬ng ϕy(x0, y0) 6= 0 x¡c ành y = y(x) nh÷ h m ©n trongl¥n cªn cõa iºm x0 v 

C£ hai ph÷ìng tr¼nh (1.20) v  (1.21) câ thº ÷ñc tr¼nh b y d÷îi d¤ng

¤o h m

a(dy)2 − 2bdxdy + c(dx)2 = 0 (1.22)Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû a(x0, y0) 6= 0 ho°c c(x0, y0) 6= 0bði v¼ n¸u a(x0, y0) = c(x0, y0) = 0 th¼ b(x0, y0) 6= 0 v  chia (1.15)cho b(x0, y0) câ ÷ñc d¤ng (1.16)

Gi£ sû a(x0, y0) 6= 0 v  a(x, y) 6= 0 trong l¥n cªn N cõa iºm (x0, y0).Ph÷ìng tr¼nh (1.20) rót gån v· hai ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng

Thay êi bi¸n sè

Φ :

(

ξ = ξ (x, y)

η = η (x, y) ,rót gån (1.15) trð v· d¤ng (1.16) Nâ l  kh£ nghàch, v¼

ξxηy − ξyηx = −2

√

∆

a ξyηy 6= 0

Trong tr÷íng hñp c(x0, y0) 6= 0 ÷ñc bi¸n êi t÷ìng tü

Ti¸p theo, mæ t£ tr÷íng hñp eliptic v  parabolic

(ii) Gi£ sû P0(x0, y0) l  iºm thuëc parabolic Chån ξ v  η sao cho A =

B = 0 Khi â b2 − ac = 0 n¶n mët trong hai h» sè a ho°c c kh¡c

0 Hay nâi c¡ch kh¡c b b¬ng 0 l  m¥u thu¨n (a, b, c) 6= (0, 0, 0) N¸u

a 6= 0 th¼ ph÷ìng tr¼nh (1.22) trð th nh

y0 = b

a.Gi£ sû nghi»m têng qu¡t cõa nâ l 

ξ (x, y) = K

L§y η = η(x, y) mët h m ìn gi£n nh÷

J Φ(P ) = ∂(ξ, η)

∂ (x, y) 6= 0,trong â A = B = 0 v  C 6= 0 Thay êi cõa bi¸n sè

Φ :

(

ξ = ξ (x, y)

η = η (x, y) ,rót gån (1.15) v· d¤ng chu©n t­c (1.17) Trong tr÷íng hñp a = 0, th¼

c 6= 0 v  sû döng ph÷ìng ph¡p t÷ìng tü

(iii) Gi£ sû P0(x0, y0) l  iºm thuëc eliptic Chån ξ v  η sao cho A = C

v  B = 0 Khi â b2 − ac < 0 cho n¶n a 6= 0 v  (1.22) trð th nhph÷ìng tr¼nh ¤o h m cõa d¤ng phùc

Φ :

(

ξ = ξ (x, y)

η = η (x, y) ,rót gån (1.15) v· d¤ng (1.18)

Ph÷ìng tr¼nh (1.22) ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng cõa (1.15) trong

â nghi»m cõa nâ l  °c tr÷ng Trong mi·n hyperbolic ph÷ìng tr¼nh (1.15)thøa nhªn hai hå cõa °c t½nh thüc c­t nhau theo chi·u ngang Trong mi·nparabolic ph÷ìng tr¼nh (1.15) thøa nhªn mët hå cõa °c tr÷ng thüc trong

â mi·n cõa eliptic khæng câ °c tr÷ng thüc

X²t mi·n hyperbolic

Nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng Thay th¸ y0 bði λ trong (1.20) nhªn

÷ñc ph÷ìng tr¼nh

aλ2 − 2bλ + c = 0,

−xy2

1 x

#.Cho ξ v  η ¡p döng ph²p t½nh vectì v  Hessian

vξ + 12ξv = 0,vîi nghi»m têng qu¡t

v(ξ, η) = ξ−12f (η)

L§y t½ch ph¥n èi vîi η, ta câ

u(ξ, η) = ξ−12ϕ(η) + ψ(ξ)

Do â nghi»m têng qu¡t l 

u(x, y) =

xy

12ϕ(xy) + ψ

yx

.V½ dö 1.2.4 X¡c ành d¤ng cõa ph÷ìng tr¼nh

y2uxx+ 2xyuxy + 2x2uyy + yuy = 0,

v  ÷a nâ v· d¤ng chu©n t­c trong mi·n eliptic

Gi£i: Cho ∆ = −x2y2 ph÷ìng tr¼nh l  eliptic n¸u x 6= 0, y 6= 0 Cho

a = y2, b = xy, c = 2x2,khi â ph÷ìng tr¼nh

2λ2 − 2bλ + c = 0,

câ nghi»m

λ1 = 12y2(2xy + 2ixy),

"

−2x 2y

#.Cho y2 − x2, câ Hessian l 

"

−2 0

#, cho −x2 câ Hessian l  −2

trong â ω (ξ, η) = u(x (ξ, η) , y (ξ, η)), `1 l  ¤o h m to¡n tû tuy¸n t½nhc§p mët v  G l  h m phö thuëc tr¶n (1.23).

Chùng minh Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû r¬ng a(x, y) 6= 0 vîi måi(x, y) ∈ D C¦n chùng minh hai h m sè ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) sao cho

A (ξ, η) = aξx2 + 2bξxξy + cξy2 = 0,

C (ξ, η) = aηx2 + 2bηxηy + cηy2 = 0

Ph÷ìng tr¼nh nhªn ÷ñc khi h m η gièng ph÷ìng tr¼nh vîi ξ; do â,c¦n gi£i duy nh§t mët ph÷ìng tr¼nh â l  ph÷ìng tr¼nh c§p mët khængg¦n nh÷ tuy¸n t½nh; nh÷ng l  d¤ng to n ph÷ìng trong ξ nâ câ thº vi¸tnh÷ t½ch sè cõa hai sè h¤ng tuy¸n t½nh

1

a

h

aξx+ (b −pb2 − ac)ξyi haξx+ (b +pb2 − ac)ξyi = 0

Do â, c¦n gi£i ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh d÷îi ¥y

ành ngh¾a 1.2.2 Tªp nghi»m cõa (1.26) v  (1.27) ÷ñc gåi l  hai hå

°c tr÷ng (hay ph²p chi¸u °c tr÷ng) cõa ph÷ìng tr¼nh L[u] = g

V½ dö 1.2.6 X²t ph÷ìng tr¼nh Tricomi

uxx+ xuyy = 0, x < 0

T¼m ¡nh x¤ q = q(x, y), r = r(x, y) bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh tr¶n th nhd¤ng chu©n t­c v  tr¼nh b y ph÷ìng tr¼nh trong h» tåa ë n y Gi£i:Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng l 

d¤ng vst = 0 v  t¼m nghi»m têng qu¡t.

V¼ vªy, tªp nghi»m l  y± = cosx ± x + constant Ph²p bi¸n êi c¦n t¼m l 

− cos x(−vs− vt) = 0

Do â, −4vst = 0, v  d¤ng chu©n t­c l 

vst = 0

Nghi»m têng qu¡t l  v(s, t) = F (s) + G(t) vîi måi F, G ∈ C2(R) Do

â, nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh (1.28) l 

u(x, y) = F (cosx + x − y) + G(cosx − x − y)

1.2.3 D¤ng chu©n t­c cõa ph÷ìng tr¼nh parabolic

ành lþ 1.2.8 Gi£ sû (1.23) l  ph÷ìng tr¼nh parabolic trong mi·n D.Khi â h» tåa ë (ξ, η) cõa ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng chu©n t­c

ωξξ + `1[ω] = G(ξ, η),trong â ω(ξ, η)=u(x(ξ, η), y(ξ, η)), `1 l  ¤o h m to¡n tû tuy¸n t½nh c§pmët v  G l  h m tòy þ trong (1.23)