Hiệu ứng trơn và tính chất fredholm đối với các phương trình đạo hàm riêng hyperbolic cấp một

12 2 Hiệu ứng trơn và tính chất Fredholm đối với các phương trình đạo hàm riêng Hyperbolic cấp một 15 2.1 Hiệu ứng trơn.. Lời mở đầuTrái với phương trình vi phân thường và phương trình đ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS TRỊNH THỊ DIỆP LINH

THÁI NGUYÊN - 2019

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là sự trình bày và tìm hiểu bài báo của riêngtôi dưới sự hướng dẫn khoa học của TS TRỊNH THỊ DIỆP LINH Các nộidung nghiên cứu, kết quả trong luận văn này là trung thực

Lời cảm ơn

Để hoàn thành đề tài luận văn và kết thúc khóa học, với tình cảmchân thành, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới trường Đại học Sư phạmThái Nguyên đã tạo điều kiện cho tôi có môi trường học tập tốt trong suốtthời gian tôi học tập, nghiên cứu tại trường

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới TS Trịnh Thị Diệp Linh đã giúp đỡ tôitrong suốt quá trình nghiên cứu và trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành luậnvăn tốt nghiệp này Đồng thời, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy cô trongKhoa Toán, bạn bè đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trìnhhọc tập và hoàn thiện luận văn tốt nghiệp này

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 05 năm 2019

Tác giả

Hoàng Thị Nhung

Mục lục

1.1 Hiệu ứng trơn đối với các phương trình đạo hàm riêng

hyper-bolic cấp một 3

1.2 Lý thuyết Fredholm 7

1.3 Điều kiện biên 8

1.3.1 Điều kiện biên tuần hoàn 9

1.3.2 Điều kiện biên tuyến tính của dạng địa phương 10

1.3.3 Hiện tượng trơn cho bài toán biên ban đầu 12

2 Hiệu ứng trơn và tính chất Fredholm đối với các phương trình đạo hàm riêng Hyperbolic cấp một 15 2.1 Hiệu ứng trơn 15

2.1.1 Trường hợp điều kiện biên cổ điển 15

2.1.2 Trường hợp điều kiện biên tích phân trong các mô hình cấu trúc tập hợp 21

2.1.3 Trường hợp điều kiện biên phân tán và bài toán tuần hoàn 24

2.2 Tính chất Fredholm với bài toán tuần hoàn 28

Kết luận 34

Lời mở đầu

Trái với phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêngparabolic, tính chất Fredholm và dáng điệu chính quy của các bài toánhyperbolic đã được biết ít hơn Một số kết quả trong luận văn này và phần

mở rộng nhấn mạnh vào hiện tượng trơn, xây dựng các tham số và tính chấtFredholm Một bước quan trọng trong nghiên cứu phương trình vi phân phituyến (các phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêngparabolic) là thiết lập khả năng tuyến tính hóa Fredholm trong các trườnghợp hyperbolic Vì tính kỳ dị của phương trình hyperbolic nửa tuyến tính,dọc theo các đường cong đặc trưng, nghiệm không phải là nghiệm chínhquy trong miền nguyên trên biên Nó được gọi là chính quy khi xuất hiệnsai số của tính trơn Vì vậy phân tích tính chất Fredholm về các bài toánhyperbolic đòi hỏi phải thiết lập sự tối ưu của tính chính quy giữa khônggian của các nghiệm và vế phải của các phương trình vi phân Các bước giảiquyết tính chất Fredholm thường dựa trên thực tế cơ bản là bất kỳ toán

tử Fredholm nào độ chính xác là một sự nhiễu compact của một toán tửsong ánh Trong trường hợp hyperbolic bằng cách sử dụng tính compact,argument trở nên phức tạp bởi vì toàn bộ miền thiếu tính chính quy trênphương pháp tiếp cận của bài báo được nghiên cứu Dựa trên thực tế làđối với một loạt các toán tử biên, nghiệm cải thiện độ trơn một cách tựđộng Sau k lần liên tục có thể thay đổi cho từng trường hợp của k Các kếtquả như vậy được chứng minh và trình bày trong chương II Khi đó thấyrằng trong một số trường hợp, hiện tượng trơn đã được trình bày sớm hơntrong các tài liệu [3,4,10,11] Hiện tượng này cho phép chúng ta xây dựng

một tham số Trình bày một cách tiếp cận chung để chứng minh tính chấtFredholm cho các phương trình đạo hàm riêng cấp một và áp dụng nó vàocác bài toán tuần hoàn Kết quả Fredholm bao gồm các hệ thống hyperbolickhông ngặt với các hệ số gián đoạn, nhưng chúng cũng đúng trong trườnghợp hyperbolic ngặt và hệ số trơn Từ một số quan điểm chung, hiệu ứngtrơn và tính chất Fredholm đóng một vai trò quan trọng trong nghiên cứu

sự rẽ nhánh Hopf và đồng thời trong phương trình đạo hàm riêng hyperbolicphi tuyến [1] thông qua định lý hàm ẩn và các nghiên cứu của Lyapunov –Schmidt [2,5]

Luận văn trình bày lại bài báo [9] với phần mở đầu, kết luận, tài liệutham khảo bao gồm 2 chương

Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Nội dung chính của luận văn trình bày về hiệu ứng trơn vàtính chất Fredholm đối với các phương trình đạo hàm riêng hyperbolic cấpmột

j,k=1 và a = diag(a1, , an) là các ma trận chéo của cáchàm có giá trị thực và 0 ≤ m ≤ n là số nguyên cố định Hơn nữa, ánh xạR:C(Π0)n → C([0, ∞))n là toán tử, tương tự với R trongΠ−∞ Trong miềnđang xét, giả sử rằng

aj > 0, ∀j ≤ m và aj < 0, ∀j > m, (1.4)

ví dụ tại (x0, t0).

Chúng ta sẽ áp dụng các giả thiết của tính trơn sau đây trên dữ liệuban đầu: Giả sử a, b và f là C∞- trơn trong tất cả các đối số của chúngtrong các miền tương ứng, trong đó ϕ chỉ được giả thiết là các hàm liên tục

Từ (1.1), (1.3) dọc theo các đường cong đặc trưng, choj ≤ n, x ∈ [0, 1]

và t ∈ R, đặc trưng thứ j của (1.1) đi qua điểm (x, t) được định nghĩa như

là nghiệm ξ ∈ [0, 1] 7→ ωj(ξ; x, t) ∈ R của giá trị ban đầu bài toán

∂ξωj(ξ; x, t) = 1

aj(ξ, ωj(ξ; x, t)), ωj(x; x, t) = t. (1.7)Xác định

đó có tung độ nhỏ hơn Các phép tính đơn giản cho thấy rằng C1 - ánh xạ

u : [0, 1] × [0, ∞) → Rn là một nghiệm từ (1.1) - (1.3) khi nó thỏa mãn hệ

phương trình tích phân sau đây

Ở đây B là toán tử dịch chuyển từ ∂Π0 dọc theo các đường cong đặc trưngcủa (1.1), trong khi toán tử S được sử dụng để biểu thị toán tử biên trêntoàn bộ∂Π0 Tương tự, mộtC1 – ánh xạ u : [0, 1] ×R →Rn là một nghiệmcho (1.1), (1.3) nếu và chỉ khi nó thỏa mãn hệ (1.8), nếu định nghĩa của Sđược thay đổi thành S = R Khi đó ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 1.1.1 ([9]) Hàm liên tục u được gọi là một nghiệm liên tụccủa (1.1) - (1.3) trong Π0 nếu nó thỏa mãn (1.8) với S được xác định bởi(1.10)

Hàm liên tục u được gọi là nghiệm liên tục của (1.1), (1.3) trong Π−∞ nếu

nghiệm tăng theo thời gian Thực tế rằng tính chính quy không đều trongmiền nguyên là hệ quả đơn giản của điểm kỳ dị dọc theo đường cong đặctrưng Hơn nữa, việc thay đổi từ Ck sang Ck+1 - chính quy là một bướcnhảy, hiện tượng này được chú ý thường xuyên trong các tình trạng khinghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng hyperbolic thay đổi tínhchính quy của chúng.

Ta thấy, nếu bài toán (1.1), (1.3) phải tuân theo các điều kiện tuầnhoàn trong t, thì Định nghĩa 1.1.2 được hiểu rằng các nghiệm trơn là C∞ -chính quy trong toàn bộ miền

Định nghĩa 1.1.2 trình bày được tính chất chung của hiện tượng trơnđối với các phương trình vi phân hyperbolic

Việc đạt được Ck - chính quy đối với các nghiệm chỉ cần Ck+1 - chínhquy đối với a, b và f Các điều kiện chính quy chính xác hơn đối với dữ liệubiên, cũng phụ thuộc vào k, có thể được bắt nguồn từ các chứng minh này.Những cải tiến này rất hữu ích trong một số ứng dụng

Định nghĩa 1.1.2 có thể mạnh hơn bằng cách thêm vào các tính chínhquy cho dữ liệu ban đầu Một phần mở rộng của tính chất này, khi dữ liệuban đầu là các hàm suy biến mạnh tập trung ở một số điểm hữu hạn

Trong những điều sau đây, chứng minh hiệu ứng trơn trên các ví dụcủa các toán tử biên và cho thấy các tính chất của bài toán có thể được cáctính chất bao hàm của chúng Cách tiếp cận để thiết lập kết quả trơn dựatrên việc xem xét các phép tích phân của các bài toán và quan sát rằng biên

và các phần tích phân không thể tách rời của phép toán này có ảnh hưởngkhác nhau đến độ chính quy của các nghiệm

Ta thấy rằng trong trường hợp của bài toán (1.1)-(1.3) trong Π0 miềnảnh hưởng của các điều kiện ban đầu được xác định bởi cả hai phần của hệ

tích phân là vô hạn Điều này làm cho hiệu ứng trơn chưa được rõ ràng.

1.2 Lý thuyết Fredholm

Giả sử X và Y là hai không gian Banach và T : X → Y là một ánh

xạ tuyến tính Khi đó tập tất cả các phần tử của X có ảnh là θ ∈ Y gọi làhạt nhân của T, ký hiệu là Ker T và

Ker T := {x|x ∈ X, T (x) = θ} Tập tất cả các phần tử của Y là ảnh của ít nhất một phần tử của Xgọi là ảnh của T, ký hiệu là Im T và

Im T := {y|y ∈ Y, ∃x ∈ X, T (x) = y} Như vậy: Im T = T (X)

Định nghĩa 1.2.1 ([5]) Cho X và Y là các không gian Banach, gọi T :

X → Y là toán tử tuyến tính bị chặn T được gọi là Fredholm nếu

(i) dim Ker T < ∞

(ii) Im T đóng

(iii) dim Coker T < ∞ (dim Coker T = dim Y / Im T )

KhiT là ánh xạ Fredholm, chỉ số củaT ký hiệu làInd(T )là số nguyênxác định bởi

Ind(T ) = dim Ker T − co dim Im T

Từ định nghĩa trên và những kết quả cơ bản của giải tích hàm tuyến tính,tồn tại các phép chiếu liên tục

P : X → X, Q : Y → Y thỏa mãn Im P = Ker T, Ker Q = Im T

Bổ đề 1.2.3 Ký hiệu F red(X, Y ) là không gian các toán tử Fredholm từ

X vào Y và F red(X) là tập các toán tử Fredholm xác định trên X Ta có

F red(X, Y ) là tập mở của B(X, Y )

Bổ đề 1.2.4 Cho T : X → X là toán tử compact, khi đó I +T là Fredholm

Bổ đề 1.2.5 Cho T : X → Y và S : Y → Z là các toán tử Fredholm Khi

đó, ST : X → Z cũng là Fredholm Hơn nữa, Ind(ST ) = Ind(T )+Ind(S)

1.3 Điều kiện biên

Xét bài toán

(∂t+ Λ(x, t)∂x+ A(x, t))u = g(x, t), (x, t) ∈ π (1.11)

u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ (0, 1) (1.12)với các điều kiện biên cổ điển

Chú ý rằng điều kiện biên

ui(1, t) = hi(t, v(t)), 1 ≤ i ≤ k, t ∈ (0, ∞),

ui(0, t) = hi(t, v(t)), k < i ≤ n, t ∈ (0, ∞)

bao gồm các tập hợp của các điều kiện biên cổ điển (nếu hi không phụ thuộctrên v) và các điều kiện biên đối xứng của dạng địa phương và không địaphương

Định lý 1.3.1 ([7]) Giả sử rằng λi, aij, gi và hi là trơn trong tất cả cácđối số của nó, thỏa mãn điều kiện

λ1 < < λk < 0 < λk+1 < < λn (1.14)Khi đó nghiệm liên tục của bài toán (1.11), (1.12), (1.13) là trơn với bất kỳ

ϕ ∈ C[0, 1]n thỏa mãn điều kiện tương thích:

T0 > T sao cho x ∈ [0, 1] mọi quỹ đạo mở rộng qua (x, T ) với t = T0 đượcthỏa mãn Định lý được chứng minh

1.3.1 Điều kiện biên tuần hoàn

Giả sử rằng ít nhất một phần đầu tiên của nghiệm thỏa mãn điềukiện biên Cụ thể, điều kiện biên

ui(1, t) = hi(t, v(t)), 1 ≤ i ≤ k, t ∈ (0, ∞),

ui(0, t) = hi(t, v(t)), k < i ≤ n, t ∈ (0, ∞) (1.16)

được viết dưới dạng u1(0, t) = u1(1, t) Khi đó miền xác định của dữ liệuban đầu u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ (0, 1) trên u1 là Π nguyên Hơn nữa với mỗi(x, t) ∈ Π, là quỹ đạo mở rộng bị chặn đi qua (x, t), ít nhất một quỹ đạo

mở rộng được xây dựng bằng các đặc trưng của phương trình

1.3.2 Điều kiện biên tuyến tính của dạng địa phương

Xét các điều kiện biên đối xứng

Mục đích là cải tiến điều kiện đủ của bài toán

các quỹ đạo mở rộng đi qua (x, t) được xây dựng bằng các phép đối xứngtiếp theo Cho mỗi quỹ đạo mở rộng đi qua (x, t) và có nhiều hơn một giátrị trơn, nó là một chuỗi duy nhất (hữu hạn nếu quỹ đạo mở rộng đi qua(x, t) là bị chặn và vô hạn trong các trường hợp khác) có dạng

bi2i1, ci3i2, bi4i3, ci5i4, (1.18)hoặc là dạng

ci2i1, bi3i2, ci4i3, bi5i4, (1.19)với các phần tử khác 0 Điều kiện T > 0 tồn tại T0 > T sao cho x ∈ [0, 1]mọi quỹ đạo mở rộng qua (x, T ) và t = T0 được thỏa mãn cho mỗi T > 0tất cả các quỹ đạo mở rộng đi qua (x, T ) bị chặn đơn điệu trong x ∈ [0, 1].Tiếp theo, tương đương mệnh đề đã trình bày rằng tất cả các chuỗi (1.18)

và (1.19) là bị chặn Có nghĩa là điều kiện T > 0 tồn tại T0 > T sao cho

x ∈ [0, 1] mọi quỹ đạo mở rộng qua (x, T ) và t = T0 có thể biểu thị ở đâydưới dạng đại số, cụ thể là một số hữu hạn của các đẳng thức

bi2i1 · ci3i2 · bi4i3 · ci5i4 · · bin−1in−2 · cinin−1 = 0 (1.20)với i1, , in sao cho ma trận

trong đó Ij là ma trận đơn vị có kích thước j Xét việc mở rộng hệ số xácđịnh của R dọc theo n − k hàng đầu tiên, cụ thể là

i1< <in−k

Di1, ,in−kFi1, ,in−k (1.21)

Ở đây các định thức tương ứng thứ tự từ n − k, được kí hiệu là Di1, , in−k

và phần phụ đại số là Fi1, , in−k Nó chỉ ra rằng mỗi số hạng trong (1.21)

là tích của (1.20) Có thể chỉ ra rằng (1.21) được hoàn thành nếu tất cả cáctích thu được trong (1.21) bằng 1.

1.3.3 Hiện tượng trơn cho bài toán biên ban đầu

Định lý 1.3.2 ([7]) Giả sử λi, aij, gi, ϕi và hi là các hàm liên tục trongtất cả các đối số của chúng, và các hệ số λi là Lipschit trong x ∈ [0, 1], t ∈[0, ∞]

Giả sử hi(t, z) khả vi liên tục trong z ∈ Rn và với mỗi T > 0 tồn tại

C > 0 sao cho

k∇zh(t, z) ≤ c(log log H(t, kzk))1/4, (1.22)trong đó H là một đa thức trong kzk với các hệ số thuộc C[0, T ]

Nếu tính tương thích không theo thứ tự thì điều kiện (1.15) được ápdụng Khi đó bài toán (1.11)-(1.13) có một nghiệm liên tục duy nhất trong

Π có thể được xây dựng bằng phương pháp của dãy

Định lý 1.3.3 ([7]) Giả sử λi, aij, gi, ϕi và hi là các hàm trơn trong tất cảcác đối số của chúng và thỏa mãn điều kiện (1.14), (1.22) Ta có

(i) Giả sử điều kiện T > 0 tồn tại T0 > T sao cho x ∈ [0, 1] mọi quỹ đạo

mở rộng qua (x, T ) và t = T0 được áp dụng Khi đó nghiệm liên tục cho bàitoán (1.11)-(1.13) trơn với mọi ϕ ∈ C[0, 1]n thỏa mãn đẳng thức (1.15).(ii) Giả sử nghiệm liên tục cho bài toán (1.11)-(1.13) trơn với φ ∈ C[0, 1]nthỏa mãn đẳng thức (1.15) Khi đó, điều kiện T > 0 và i ≤ n tồn tại T0 > Tsao cho x ∈ [0, 1] với (x, T ) ∈ Xi0 mọi quỹ đạo mở rộng chứa ωi(τ ; x; T )với t = T0 được thỏa mãn

Sử dụng Định lý 1.3.2 và Định lí 1.3.3, ngoài ra có thể lấy ngay bài

toán biên ban đầu được xác định cho phương trình không thuần nhất

(∂t2 − a2∂x2)u = f (x, t) (1.23)

và được kết quả trơn Chẳng hạn, xét (1.23) theo điều kiện ban đầu

u(x, 0) = ϕ(x), ∂tu(x, 0) = ψ(x) (1.24)

và điều kiện biên

u(0, t) =h1(t, u(1, t), (∂tu+a∂xu)|x=0),(∂tu+a∂xu)|x=1 =h2(t, u(1, t), (∂tu+a∂xu)|x=0) (1.25)Bài toán(1.23)-(1.25) tương đương với bài toán sau đối với phương trìnhđạo hàm riêng hyperbolic cấp một

(∂t+a∂x)u = w, (∂t−a∂x)w = f (x, t), (1.26)

u(x, 0) = ϕ(x), w(x, 0) = ψ(x) + adϕ(x)

u(0, t) = h1(t, u(1, t), w(0, t)),w(1, t) = h2(t, u(1, t), w(0, t))

(ii) Giả sử rằng nghiệm liên tục cho bài toán (1.23)-(1.25) là trơn cho bất

kỳ ϕ ∈ C1[0, 1] và ∂ ∈ C[0, 1] thỏa mãn các điều kiện (1.27) và (1.28) thìđiều kiện T > 0 và i ≤ n tồn tại T0 > T sao cho x ∈ [0, 1] với (x, T ) ∈ Xi0mọi quỹ đạo mở rộng chứa ωi(τ ; x; T ) với t = T0 được thỏa mãn

2.1.1 Trường hợp điều kiện biên cổ điển

Xác điều kiện biên tổng quát

(∂t + a(x, t)∂x+ b(x, t))u = f (x, t); (2.3)

Định lý 2.1.1 ([9]) Giả sử rằng aj, bjk, fj và hj là trơn trong tất cả các đối

số của chúng và φj là các hàm liên tục, với aj > 0, ∀j ≤ m và aj < 0, ∀j >

m, inf

x,t

|aj| > 0, ∀j ≤ n, và 1 ≤ j 6= k ≤ n tồn tại pjk ∈ C1([0, 1] × R)sao cho bjk = pjk(ak − aj), và pjk = 0 nằm trong miền {(x, t) : aj(x, t) =

ak(x, t)} Khi đó, bất kỳ nghiệm liên tục nào của bài toán (2.3), (2.4) và bàitoán (2.2) đều là trơn

Chứng minh Giả sử rằng ulà một nghiệm liên tục của bài toán (2.1) (2.3) cho thấy rằng toán tử của bài toán cải thiện tính khả quy của u trongthời gian Để toán tử tuyến tính giới hạn D, F : C(Π0)n → C(Π0)n bởi

đó từ thực tế là u được cho bởi (2.5) thỏa mãn (2.3) theo phương Theo giảthiết inf

x,t

|aj| > 0, ∀j ≤ n có thể thay T1 > 0 đủ lớn sao cho toán tử S ở vế

phải (2.7) bị giới hạn thànhΠt1 không phụ thuộc vàoϕ do đó Su = Ru = hvới h = (h1, , hn) Từ đó có kết quả

u|Π

T 1 = Bh + DBh + D2u + (I + D)F f (2.8)Khi đó u|Π

T1 biểu thị sự hạn chế của u thành ΠT1 Theo tính chính quy trên

a, b, f, và h, hàm Bh + DBh + (I + D)F f là trơn Bài toán chỉ ra rằngtoán tử D2 là trơn, cụ thể hơn, D2u là C1 - trơn trong t trên ΠT1

Lưu ý rằng đối vớit ≥ T1, hàmxj(x, t)là hằng số chỉ phụ thuộc vàoj

Do đó sẽ giảm sự phụ thuộc của xj vào x và t Thay một dãy ul ∈ C1(Π0)nsao cho

ul → u ∈ C(Π0)n, l → ∞ (2.9)Bằng sự hội tụ trong C(Ω)n nghĩa là sự hội tụ trên bất kỳ tập hợp con nàocủa Ω Tương tự D2ul → D2u trong C(Π0)n Khi đó ∂t[D2ul] hội tụ trongC(ΠT1)n khi l → ∞ Với j ≤ n ta có (D2ul)j(x, t) thu được bằng cách thayđổi thứ tự tích phân

djki(ξ, η, x, t) = dj(ξ, x, t)dk(η, ξ, ωj(ξ; x, t))bki(η, ωk(η; ξ, ωj(ξ; x, t))).Sau đó