Nghiệm cơ bản của phương trình đạo hàm riêng

Lời cam đoanQuá trình nghiên cứu khóa luận với đề tài “Nghiệm cơ bản của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính” giúp em hiểu sâu sắc hơn về bộ môn giải tích hiện đại, đặc biệt là phương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS BÙI KIÊN CƯỜNG

Hà Nội – Năm 2017

1.2 Không gian hàm suy rộng 10

1.3 Không gian Sobolev 20

2.1 Nghiệm cơ bản 24

2.2 Nghiệm cơ bản của một số phương trình đạo hàm riêng 31

2.2.1 Nghiệm cơ bản của phương trình Poisson 31

2.2.2 Nghiệm cơ bản của phương trình Helmholtz 33

2.2.3 Nghiệm cơ bản của phương trình sóng 37

2.2.4 Nghiệm cơ bản của phương trình khuếch tán

một chiều 39

2.2.5 Nghiệm cơ bản của phương trình Klein-Gordon

một chiều 41

Lời cảm ơn

Sau thời gian cố gắng làm việc, dưới sự hướng dẫn tận tình, tỉ mỉ

của Thầy giáo - Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, khóa luận của em đã hoàn

thành Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Bùi Kiên Cường,

người đã giúp đỡ hướng dẫn em trong suốt quá trình học tập, nghiên

cứu và làm khóa luận này

Bằng sự nỗ lực hết sức của bản thân bài khóa luận này đã được

hoàn thành Song trong khuôn khổ thời gian có hạn và năng lực bản

thân còn nhiều hạn chế nên bài khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót

Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô để bản

thân có thể tiếp tục hoàn thiện hơn nữa trong quá trình học tập

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Thạch Thị Huệ

Lời cam đoan

Quá trình nghiên cứu khóa luận với đề tài “Nghiệm cơ bản của

phương trình đạo hàm riêng tuyến tính” giúp em hiểu sâu sắc

hơn về bộ môn giải tích hiện đại, đặc biệt là phương trình đạo hàm

riêng Qua đó cũng bước đầu giúp em làm quen với công tác nghiên

cứu khoa học

Bên cạnh đó em cũng nhận được sự quan tâm giúp đỡ, tạo điều

kiện, đặc biệt là sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình của Thầy Bùi

Kiên Cường

Em xin cam đoan kết quả của đề tài “ Nghiệm cơ bản của

phương trình đạo hàm riêng tuyến tính” không có sự trùng lặp

với kết quả của các đề tài khác

Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Thạch Thị Huệ

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn Sự phát triển

của toán học được đánh dấu bởi những ứng dụng của toán học vào

việc giải quyết các bài toán thực tiễn Trong lĩnh vực toán học ứng

dụng thường gặp rất nhiều bài toán có liên quan đến phương trình

đạo hàm riêng Tuy ra đời khá muộn so với các ngành toán học khác

nhưng phương trình đạo hàm riêng đã nhanh chóng khẳng định được

vị trí và tầm quan trọng của mình trong khoa học nói chung và toán

học nói riêng

Để bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học và thực hiện khóa

luận tốt nghiệp, đồng thời yêu thích môn phương trình đạo hàm riêng,

em đã chọn đề tài “Nghiệm cơ bản của phương trình đạo hàm

riêng tuyến tính” để tìm hiểu về không gian hàm thử - đây là một

công cụ đắc lực trong việc giải phương trình đạo hàm riêng và bước

đầu tìm hiểu về phương pháp giải nghiệm cơ bản của phương trình

đạo hàm riêng thông qua hàm Green

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu nhằm giới thiệu sơ lược về không gian hàm

thử, đặc biệt quan trọng và mục tiêu chính đó là tìm hiểu phương

pháp giải nghiệm cơ bản của một phương trình đạo hàm riêng quan

trọng

3 Đối tượng nghiên cứu

Nghiệm cơ bản của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính.

4 Phạm vi nghiên cứu

Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lí luận liên quan và phương pháp tìm nghiệm cơ

bản của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính

• Nghiên cứu các định nghĩa, định lý, bổ đề liên quan đến khônggian hàm thử, không gian hàm suy rộng, không gian Sobolev

• Nghiên cứu phương pháp tìm nghiệm cơ bản của một số phươngtrình đạo hàm riêng tuyến tính

6 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu tài liệu

• Căn cứ vào mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài, tôi đã thuthập, sưu tầm một số tài liệu, sách, báo, tạp chí, các công trình

nghiên cứu khoa học, thông tin trên mạng Internet để phục vụ

cho việc nghiên cứu

7 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm có:

• Phần 1: Mở đầu

• Phần 2: Nội dung

+ Chương 1: Không gian hàm thử

+ Chương 2: Nghiệm cơ bản của phương trình đạo hàm riêng

tuyến tính

• Phần 3: Kết luận.

• Phần 4: Tài liệu tham khảo

KHÔNG GIAN HÀM THỬ

Định nghĩa 1.1 Hàm thử là hàm khả vi vô hạn trên RN bị triệt tiêubên ngoài tập bị chặn Không gian chứa tất cả các hàm thử được kí

hiệu là D(RN) hay đơn giản là D

*Ta thường gọi hàm khả vi vô hạn là hàm trơn

Ví dụ 1.1.1 Hàm thử không tầm thường tồn tại là không hiển nhiên

Trong trường hợp số biến N = 1, ta có hàm thử

Sử dụng hàm thử này, ta dễ dàng suy ra được một số ví dụ tổng

quát sau:

ϕ(ax + b), trong đó a, b là hằng số, a 6= 0,

f (x)ϕ(x), trong đó f là hàm trơn tùy ý

ϕ(k)(x), trong đó k là số nguyên dương

là hàm thử trên RN Một cách khác để tạo ra hàm thử trên RN làlấy tùy ý các hàm thử ϕ1, ,ϕN xác định trên R và ta có hàm thửϕ(x) = ϕ1(x1)ϕ2(x2) ϕN(xN).

Định lý 1.1 Không gian tất cả các hàm thử D là một không gian

vector Hơn nữa, nếu ϕ, ψ ∈ D thì

(a) f ϕ ∈ D với mọi hàm trơn f,

(b) ϕ ◦ A ∈ D với mọi biến đổi affine A đi từ RN tới RN,

(c) ϕ ∗ ψ ∈ D

Định nghĩa 1.2 (Sự hội tụ của hàm thử) Cho ϕ1, ϕ2, và ϕ làcác hàm thử Ta nói rằng dãy (ϕn) hội tụ về ϕ trong D, kí hiệu là

ϕn −→ ϕ, nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:D

(a) ϕ1, ϕ2, và ϕ bị triệt tiêu bên ngoài tập bị chặn S ⊂ RN,(b) Dαϕn → Dα

ϕ trên RN với mọi đa chỉ số α

Ví dụ 1.1.2 Cho ϕ ∈ D và {vn} là dãy vector trong RN hội tụ về 0.Hàm ϕn(x) = ϕ(x − vn) thì ϕn −→ ϕ Hay nói cách khác, phép biếnDđổi này là một toán tử liên tục trên D

Cho ϕ ∈ D, và (an) là dãy vô hướng hội tụ về vô hướng a Thế thì

anϕ −→ aϕ Nói cách khác, phép nhân vô hướng là một toán tử liênDtục trên D

Cho ϕ là hàm thử khác không, (an) và (bn) là các dãy vô hướngdương hội tụ về 0 Hàm ϕn = bnϕ(anx) Thế thì Dαϕn → 0 trên RN

với mọi đa chỉ số α

Tuy nhiên, trong trường hợp này, dãy {ϕn} không hội tụ trong D vìđiều kiện (a) không được thỏa mãn

Các tính chất của sự hội tụ trong D được liệt kê trong định lí sau

đều là hệ quả trực tiếp của định nghĩa

Định lý 1.2 Cho ϕn −→ ϕ và ψD n −→ ψ Thế thì, ta có:D

(a) aϕn + bψn −→ aϕ + bψ, với vô hướng a, b nào đó,D

(b) f ϕn −→ f ϕ, với hàm trơn f nào đó xác định trên RD N,

(c) ϕn◦ A −→ ϕ ◦ A, với A là biến đổi affine nào đó đi từ RD N

vào RN,(d) Dαϕn −→ DD αϕ, với đa chỉ số α nào đó

Định nghĩa 1.3 (Hàm suy rộng) Hàm suy rộng F trên RN làhàm tuyến tính liên tục trên D(RN) Hay nói cách khác, ánh xạ F:D(RN) −→ C được gọi là hàm suy rộng nếuD

(a) F (aϕ + bψ) = aF (ϕ) + bF (ψ) với mọi a, b ∈ C và ϕ, ψ ∈ D(RN),(b) F (ϕn) → F (ϕ) (trong C) khi ϕn

D

−→ ϕ

Không gian chứa tất cả các hàm suy rộng được kí hiệu là D0(RN)hay đơn giản là D0 Để thuận tiện ta viết hF, ϕi thay vì F (ϕ) Chú ýrằng hF, ϕi không phải là tích vô hướng

Hàm suy rộng là khái niệm tổng quát của hàm số Về mặt hình

thức, một hàm số trong RN không phải là một hàm suy rộng vì miền

xác định của nó không phải là D Tuy nhiên, mọi hàm f khả tích địa

phương trên RN được xác định ứng với một hàm suy rộng F theo cáchsau:

hF, ϕi =

Z

RN

f ϕ

Định nghĩa 1.4 (Hàm suy rộng chính quy và hàm suy rộng

kì dị) Một hàm suy rộng F ∈ D0 được gọi là hàm suy rộng chính quynếu tồn tại hàm f khả tích địa phương thỏa mãn:

Đặc biệt, nếu Ω = (0, ∞) × × (0, ∞), ta được hàm suy rộng

hH, ϕi =

Z ∞ 0

Z ∞ 0

ϕ(x)dx1 dxN,hàm này được gọi là hàm Heaviside (Oliver Heaviside (1850-1925))

Ta kí hiệu hàm suy rộng này là H, đồng thời đây cũng là hàm đặc

trưng của Ω = (0, ∞) × × (0, ∞).

Ví dụ 1.2.2 (Hàm suy rộng Dirac delta) Một trong những ví dụ

quan trọng nhất của hàm suy rộng Dirac delta (Paul Adrien Maurice

Dirac (1902-1984)) và được kí hiệu là δ và được xác định bởi công thức

hδ, ϕi = ϕ(0),

Rõ ràng δ tuyến tính Để chứng minh tính liên tục cần chú ý rằng

ϕn −→ ϕ hay ϕD n → ϕ trên RN, và do đó ϕn(x) → ϕ(x) với mọi x ∈ RN.Hàm Dirac delta là hàm kì dị

Ví dụ 1.2.3 Cho α là đa chỉ số Hàm F trên D được xác định bởi

hF, ϕi = Dαϕ(0),

là hàm suy rộng

Sự thành công của lý thuyết hàm suy rộng phần lớn là nhờ vào

khái niệm của phép tính vi - tích phân được xác định cho hàm suy

rộng Khi áp dụng định nghĩa của hàm suy rộng, ta luôn mong đợi

định nghĩa mới đồng nhất với với một định nghĩa cổ điển nào đó khi

áp dụng cho hàm chính quy Phương pháp sau sẽ đảm bảo điều đó

Khi tìm kiếm một mở rộng của toán tử A nào đó, tức là ta đi xác định

một hàm, đầu tiên, ta đi xét hàm chính quy

hF, ϕi =

Z

f ϕ

Từ đây, ta mong đợi rằng AF cũng giống như Af , ta có

hAF, ϕi = hF, A∗ϕi

Ví dụ, nếu phương pháp mô tả trên được sử dụng để tìm ra định nghĩa

đạo hàm của một hàm suy rộng thì ta cần chú rằng

Tổng quát hơn, nếu α là đa chỉ số, thì ta kí hiệu DαF là hàm xác địnhbởi

hDαF, ϕi = (−1)|α|hF, Dαϕi

* Thực chất hDαF, ϕi luôn xác định với mọi ϕ ∈ D không đồngnghĩa rằng DαF là một hàm suy rộng Điều đó đã được chứng minhtrong định lý sau

Định lý 1.3 Nếu F là hàm suy rộng thì DαF cũng là hàm suy rộngvới đa chỉ số α nào đó.

Chứng minh: Ta cần chỉ ra rằng DαF tuyến tính và liên tục Nếu

hàm suy rộng (Fn) hội tụ về hàm suy rộng F nếu

hFn, ϕi → hF, ϕi với mọi ϕ ∈ D

Dạng hội tụ này được gọi là hội tụ yếu và được kí hiệu là Fn → Fhoặc lim

n→∞Fn = F

Ví dụ 1.2.5 Cho dãy hàm liên tục f1, f2, trên RN Giả sử fn → ftrên mọi tập con compact của RN với f là hàm liên tục Ta luôn xácđịnh được hàm mở rộng chính quy

R |fn − f | → 0 Xác định hàm mở rộng chínhquy Fn và F như trong ví dụ trước thì Fn → F Thật vậy, ta có

| hFn, ϕi − hF, ϕi | =

Z

RN

(fn− f )ϕ

≤Z

Thay vì nói “dãy hàm suy rộng chính quy sinh bởi dãy hàm (fn)

hội tụ về hàm suy rộng F ”, ta thường nói đơn giản là “dãy hàm (fn)hội tụ về hàm suy rộng F theo nghĩa hàm suy rộng” hay “dãy (fn) hội

=

ϕ(0)

Z −∞

a

fn(x)dx

Lấy tích phân trực tiếp, ta được

lim

n→∞

ϕ(0)

Z −a

−∞

fn(x)dx

= lim

n→∞

...

Thay nói “dãy hàm suy rộng quy sinh dãy hàm (fn)

hội tụ hàm suy rộng F ”,... data-page="18">

hội tụ hàm suy rộng F ”, ta thường nói đơn giản “dãy hàm (fn)hội tụ hàm suy rộng F theo nghĩa hàm suy rộng” hay “dãy (fn) hội

=

Z ∞