Phương pháp WKB để giải phương trình vi phân thường

KHOA TOÁN ************* ĐOÀN THỊ PHƯƠNG NHUNG PHƯƠNG PHÁP WKB ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ N

KHOA TOÁN

*************

ĐOÀN THỊ PHƯƠNG NHUNG

PHƯƠNG PHÁP WKB ĐỂ GIẢI PHƯƠNG

TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

*************

ĐOÀN THỊ PHƯƠNG NHUNG

PHƯƠNG PHÁP WKB ĐỂ GIẢI PHƯƠNG

TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

PSG.TS KHUẤT VĂN NINH

HÀ NỘI – 2018

Tr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa khâa luªn tèt nghi»p, em xin b y tä lángbi¸t ìn s¥u s­c tîi PGS.TS Khu§t V«n Ninh ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n º

em câ thº ho n th nh khâa luªn n y

Em công xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi to n thº c¡c th¦y cæ trong KhoaTo¡n, Tr÷íng ¤i håc s÷ ph¤m H  Nëi 2 ¢ d¤y b£o em tªn t¼nh trong suèt qu¡tr¼nh håc tªp t¤i khoa

Nh¥n dàp n y em công xin ÷ñc gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi gia ¼nh, b¤n b±

¢ luæn b¶n em, ëng vi¶n, gióp ï em trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»nkhâa luªn tèt nghi»p

H  Nëi, th¡ng 5 n«m 2018

Sinh vi¶n

o n Thà Ph÷ìng Nhung

LÍI CAM OAN

Em xin cam oan k¸t qu£ nghi¶n cùu trong khâa luªn n y l  trung thüc v  ch÷ah· ÷ñc sû döng º b£o v» mët håc và n o, c¡c thæng tin tr½ch d¨n trong khâa luªn

¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc mët c¡ch rã r ng Em ho n to n chàu tr¡ch nhi»m tr÷îc

nh  tr÷íng v· sü cam oan n y

H  Nëi, th¡ng 5 n«m 2018

Sinh vi¶n

o n Thà Ph÷ìng Nhung

LÍI MÐ †U 1

1.1 Chuéi lôy thøa 4

1.1.1 Kh¡i ni»m chuéi lôy thøa 4

1.1.2 B¡n k½nh hëi tö cõa chuéi lôy thøa 4

1.1.3 Khai triºn h m th nh chuéi lôy thøa 5

1.2 Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p n 6

1.2.1 Kh¡i ni»m ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p n 6

1.2.2 B i to¡n Cauchy 6

1.2.3 C¡c kh¡i ni»m v· nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p n 7

1.2.4 ành l½ tçn t¤i v  duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n Cauchy 8

2 PH×ÌNG PHP WKB GIƒI G†N ÓNG B€I TON KHÆNG NHI™U 10 2.1 B i to¡n khæng nhi¹u 10

2.2 V½ dö ¡p döng 13

3 PH×ÌNG PHP WKB GIƒI G†N ÓNG B€I TON BÀ NHI™U 15 3.1 Mët sè °c tr÷ng ri¶ng cõa c¡c nghi»m g¦n lîp bi¶n 15

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc O€N THÀ PH×ÌNG NHUNG

3.4.1 Quang håc h¼nh håc v  quang håc vªt l½ 313.5 Sü k¸t hñp c¡c ph²p g¦n óng ti»m cªn: Nghi»m cõa b i to¡n câ mët

iºm ngo°t 343.5.1 B i to¡n mët iºm ngo°t ìn 35

1 Lþ do chån · t i

Tho¤t ¦u, To¡n håc ÷ñc ph¡t sinh do nhu c¦u gi£i quy¸t c¡c b i to¡n câ nguçngèc thüc ti¹n Còng vîi sü ph¡t triºn cõa nëi t¤i To¡n håc v  c¡c ng nh khoa håckh¡c, To¡n håc chia th nh hai l¾nh vüc: To¡n håc l½ thuy¸t v  To¡n håc ùng döng.Trong l¾nh vüc To¡n ùng döng th÷íng g°p r§t nhi·u nhúng b i to¡n li¶n quan

¸n ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng V¼ vªy vi»c nghi¶n cùu ph÷ìng tr¼nh vi ph¥nth÷íng âng vai trá quan trång trong lþ thuy¸t To¡n håc Chóng ta bi¸t r¬ng ch¿mët sè ½t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng câ thº t¼m ÷ñc nghi»m ch½nh x¡c, trong khiph¦n lîn ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n n£y sinh tø b i to¡n thüc ti¹n ·u khæng t¼m ÷ñcnghi»m ch½nh x¡c Do vªy, mët v§n · °t ra l  t¼m c¡ch º x¡c ành nghi»m g¦n

D÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa PGS.TS Khu§t V«n Ninh, em chån · t i khâa

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc O€N THÀ PH×ÌNG NHUNG

2 Möc ½ch nghi¶n cùu

Nghi¶n cùu ùng döng cõa ph÷ìng ph¡p WKB v o gi£i mët sè b i to¡n ph÷ìng tr¼nh

vi ph¥n th÷íng

3 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu

- èi t÷ñng nghi¶n cùu: Ph÷ìng ph¡p WKB

- Ph¤m vi nghi¶n cùu: Ph÷ìng ph¡p WKB v  mët sè ùng döng cõa chóng tronggi£i ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng

4 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

• Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu t i li»u

• Ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡

• Ph÷ìng ph¡p h» thèng hâa

5 C§u tróc khâa luªn

Nëi dung khâa luªn gçm 3 ch÷ìng:

Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà. Ch÷ìng n y nh­c l¤i mët sè ki¸n thùc v· chuéi lôythøa, ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p n, b i to¡n Cauchy

Ch÷ìng 2 Ph÷ìng ph¡p WKB gi£i g¦n óng b i to¡n khæng nhi¹u. Möc ½ch cõach÷ìng n y l  giîi thi»u v· ph÷ìng ph¡p WKB º gi£i g¦n óng c¡c b i to¡n khængnhi¹u v  mët sè v½ dö ¡p döng

Ch÷ìng 3 Ph÷ìng ph¡p WKB gi£i g¦n óng b i to¡n bà nhi¹u. Möc ½ch cõach÷ìng n y l  giîi thi»u v· ph÷ìng ph¡p WKB º gi£i c¡c b i to¡n bà nhi¹u v  mët

sè v½ dö ¡p döng

Khâa luªn n y ÷ñc tr¼nh b y tr¶n cì sð c¡c t i li»u tham kh£o ÷ñc li»t k¶ trongph¦n T i li»u tham kh£o âng gâp cõa em thº hi»n ð ché, ¡p döng ph÷ìng ph¡pWKB gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh, t¼m ÷ñc mët sè v½ dö minh håa cho c¡c ph÷ìng tr¼nh

â

Do thíi gian thüc hi»n · t i khæng nhi·u, ki¸n thùc cán h¤n ch¸ n¶n khâa luªnkhæng thº tr¡nh khäi nhúng sai sât Em mong nhªn ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n ph£nbi»n cõa quþ th¦y cæ v  c¡c b¤n.

Em xin ch¥n th nh c£m ìn!

Ch֓ng 1

MËT SÈ KI˜N THÙC CHU‰N BÀ

Trong ch÷ìng n y t¡c gi£ tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v· chuéi lôy thøa, ph÷ìngtr¼nh vi ph¥n, b i to¡n Cauchy Nëi dung cõa ch÷ìng n y ÷ñc tham kh£o trongc¡c t i li»u [1], [2]

1.1 Chuéi lôy thøa

1.1.1 Kh¡i ni»m chuéi lôy thøa

ành ngh¾a 1.1 Chuéi lôy thøa l  mët h m câ d¤ng +∞P

n=0

an(x − x0)n trong â

x0, a1, a2, l  nhúng sè thüc

iºm x0 ÷ñc gåi l  t¥m cõa chuéi lôy thøa º þ r¬ng chuéi lôy thøa luæn hëi

tö t¤i iºm x = x0 N¸u °t y = x − x0 th¼ câ thº ÷a chuéi v· d¤ng +∞P

n = 0

anyn,chuéi câ t¥m t¤i y = 0

1.1.2 B¡n k½nh hëi tö cõa chuéi lôy thøa

Khi â tçn t¤i mët sè R vîi 0 ≤ R ≤ +∞ sao cho

• Chuéi (1.1) hëi tö trong kho£ng ( −R, R) v  hëi tö ·u trong méi o¤n [−r, r]vîi 0 < r < R

• T¤i måi x m  |x| > R th¼ chuéi (1.1) ph¥n k¼

1.1.3 Khai triºn h m th nh chuéi lôy thøa

i·u ki»n º mët h m câ thº khai triºn th nh chuéi lôy thøa

ành lþ 1.1 Gi£ sû chuéi lôy thøa +∞P

n ∀ x ∈ (x0 − R, x0 + R)

v  an = f

(n)(x0)n! ∀ n = 0, 1

ành lþ 1.2 Gi£ sû f l  h m câ ¤o h m måi c§p trong mët l¥n cªn n o â cõa

x0 K½ hi»u: Rn(x)l  ph¦n d÷ d¤ng Lagrange cõa cæng thùc Taylor:

Rn(x) = f

(n+1)(x0+ θ(x − x0)(n + 1)! (x − x0)

n+1

Khi â n¸u trong l¥n cªn cõa iºm x0 : limRn(x) = 0 th¼ h m f(x) câ thº khaitriºn ÷ñc th nh chuéi TayLor t¤i iºm x0

ành lþ 1.3 N¸u trong mët δ l¥n cªn (x0− δ, x0 + δ)cõa iºm x0 h m f câ ¤o

h m måi c§p f(n)(n = 1, 2, ) v  tçn t¤i mët sè M > 0 º sao cho f(n)(x) ≤

M (n = 1, 2 )vîi måi x ∈ (x0− δ, x0 + δ)th¼ h m f câ thº khai triºn ÷ñc th nh

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc O€N THÀ PH×ÌNG NHUNG

H m sè y = ϕ(x), x ∈ (a, b) ÷ñc gåi l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.2) n¸u thay

y = ϕ(x), y0 = ϕ0(x), , y(n) = ϕ(n)(x) v o ph÷ìng tr¼nh (1.2) th¼ ph÷ìng tr¼nh(1.2) trð th nh çng nh§t tr¶n kho£ng (a, b)

1.2.2 B i to¡n Cauchy

a) B i to¡n Cauchy

N¸u tø ph÷ìng tr¼nh (1.2) gi£i ra ÷ñc ph÷ìng tr¼nh èi vîi ¤o h m c§p cao nh§t

y(n)= f x, y, y0, , y(n−1)
(1.3)

trong â f l  h m x¡c ành tr¶n mi·n D ⊂ Rn+1

Gi£ sû iºm trongx0, y0, y00, , y0(n−1)∈ D ⊂ Rn

B i to¡n:

( y(n)= f (x, y, y0, , y(n−1)), (x, y, y0, , y(n−1)) ∈ D

y(x0) = y0, y0(x0) = y00, , y(n−1)(x0) = y0(n−1) (1.4a)

Gåi l  b i to¡n Cauchy ban ¦u.

i·u ki»n (1.4a) ÷ñc gåi l  i·u ki»n ban ¦u

b) B i to¡n gi¡ trà bi¶n èi vîi ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng c§p hai

Cho ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng c§p hai

F (x, y, y0, y00) = 0 (1.5)

B i to¡n bi¶n hai iºm c§p hai èi vîi ph÷ìng tr¼nh (1.5) ÷ñc °t ra nh÷ sau:

T¼m h m y = y(x) sao cho nâ thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh (1.5) trong kho£ng (a, b) v t¤i hai iºm a,b thäa m¢n i·u ki»n bi¶n

ành ngh¾a 1.2 Nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p n (1.2) l  h m y = ϕ(x)kh£

vi n l¦n tr¶n kho£ng (a, b) sao cho

a) (x, ϕ(x), ϕ0(x), , ϕn(x)) ∈ G, ∀x ∈ (a, b)

b) Nâ nghi»m óng ph÷ìng tr¼nh (1.2) tr¶n (a, b)

Nghi»m têng qu¡t Ta gi£ thi¸t r¬ng G l  mi·n tçn t¤i v  duy nh§t nghi»mcõa ph÷ìng tr¼nh (1.2), tùc l  nghi»m cõa b i to¡n Cauchy tçn t¤i v  duy nh§t èivîi méi iºm x0, y0, y00, , y0(n−1)∈ D ⊂ Rn

H m φ(x, y, C1, C2, , Cn)x¡c ành trong mi·n bi¸n thi¶n cõa c¡c bi¸n x, C1, C2, , Cn

câ t§t c£ c¡c ¤o h m ri¶ng theo x li¶n töc ¸n c§p n ÷ñc gåi l  nghi»m têng qu¡t

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc O€N THÀ PH×ÌNG NHUNGcõa ph÷ìng tr¼nh (1.2) trong mi·n g n¸u trong g tø h» ph÷ìng tr¼nh

Nghi»m ký dà: Nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.2) m  t¤i méi iºm cõa nâ t½nh duynh§t nghi»m cõa b i to¡n Cauchy bà ph¡ vï ÷ñc gåi l  nghi»m k¼ dà Nghi»m k¼ dàcõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p n câ thº l  c£ mët hå phö thuëc mët sè h¬ng sè tòy

þ, nh÷ng sè h¬ng sè tòy þ n y khæng ÷ñc qu¡ n − 1

1.2.4 ành l½ tçn t¤i v  duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n Cauchy

Gi£ sû trong mi·n G ⊂ Rn+1h m f(x, u1, u2, , un)li¶n töc v  thäa m¢n i·u ki»nLipsit theo u1, u2, , un Khi â vîi b§t ký iºm trong (x0, y0, y00, , y0(n−1)) ∈ Gtçn t¤i duy nh§t nghi»m y = y(x) cõa ph÷ìng tr¼nh (1.3) thäa m¢n i·u ki»n ban

y(x0) = y0, y0(x0) = y00, , y(n−1)(x0) = y0(n−1)Nghi»m n y x¡c ành t¤i l¥n cªn, nâi chung, kh¡ b² cõa x0

K¸t Luªn Ch÷ìng 1

Nëi dung ch½nh cõa Ch÷ìng 1 l  n¶u mët sè ki¸n thùc v·

1 Chuéi lôy thøa

2 Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p n

3 B i to¡n Cauchy

Ch֓ng 2

PH×ÌNG PHP WKB GIƒI

G†N ÓNG B€I TON

KHÆNG NHI™U

2.1 B i to¡n khæng nhi¹u

Tr÷îc ti¶n em s³ tr¼nh b y v· ph÷ìng ph¡p WKB gi£i g¦n óng cho b i to¡n khæng

bà nhi¹u m  ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng

d2y

dx2 + f (x)y = 0 (2.1)trong â f(x) l  mët h m sè bi¸n thi¶n chªm cõa x

Kh¡i ni»m bi¸n thi¶n chªm ÷ñc hiºu l  h m â câ |f0(x)|nhä Nghi»m cõa ph÷ìngtr¼nh (2.1) vîi f(x) ÷ñc coi l  mët h¬ng sè gióp em th§y r¬ng nghi»m câ thº ÷ñcvi¸t theo d¤ng

y(x) = eiψ(x) (2.2)L§y ¤o h m hai v¸ biºu thùc èi vîi x, ta câ

y0(x) = ieiψ(x)ψ0(x) (2.3)

L§y ¤o h m l¦n núa, ta ÷ñc

f (x)pf(x)

f (x)dx + i ln f (x) ≈ ±

Zp

f (x)dx + ln (f (x))4i (2.11)

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc O€N THÀ PH×ÌNG NHUNGTh¸ ψ(x) tø ph÷ìng tr¼nh (2.11) v o ph÷ìng tr¼nh (2.2) thu ÷ñc nghi»m têng qu¡tcõa b i to¡n l 

≈ei

h

± R√

f (x)dx i

eln (f (x))

i2 4

≈ei

h

± R√

f (x)dx i

eln (f (x))

−1 4

f (x)dx + c2exp −i

Zp

f (x)dx

 (2.12)

trong â c1 v  c2 l  c¡c h¬ng sè tòy þ Tø â, ta ¢ t¼m ÷ñc mët x§p x¿ cõa nghi»mtêng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh (2.1) trong mët mi·n ¢ cho cõa ph÷ìng tr¼nh (2.8)

*Chó þ : Ph÷ìng ph¡p n y khæng th nh cæng n¸u f(x) thay êi qu¡ nhanh ho°c

f (x) bi¸n m§t trong kho£ng ang quan t¥m L½ do m  i·u ki»n thù hai l  i·uki»n quan trång hìn v¼ t½nh ch§t iºn h¼nh cõa nghi»m t¤i iºm ngo°t Trong vòng

f (x) > 0nghi»m dao ëng, trong vòng f(x) < 0 câ t½nh ch§t mô theo nghi»m

º minh håa i·u n y, l§y f(x) = x khi â ÷íng cong ti¸n tîi khæng t¤i x = 0.Cho f(x) > 0 , f(x) = x = 4, c¡c nghi»m l  sin2x ho°c cos2x, câ dao ëng tünhi¶n, trong khi èi vîi f(x) = −4, câ c¡c nghi»m l  h m mô v  khæng phò hñpvîi c¡c nghi»m n y t¤i x = 0 iºm m  t¤i â h m ti¸n tîi khæng ÷ñc gåi l  iºmngo°t Gi£ sû f(x) thäa m¢n i·u ki»n cõa ph÷ìng tr¼nh (2.8) trong c¡c mi·n ð c£b¶n tr¡i, b¶n ph£i cõa x, th¼ c¡c tr÷íng hñp sau ph¡t sinh

+ TH1: N¸u x  x0, f (x) < 0 khi â nghi»m l 

y (x) ≈ 1

4

p(−f (x))

Z

0

√xdx

câ ÷ñc ph²p g¦n óng WKB L÷u þ r¬ng nghi»m thu ÷ñc l  nh÷ nhau b¬ng c¡ch

sû döng ph÷ìng ph¡p ti»m cªn (tø v½ dö n y, rã r ng th§y r¬ng ph÷ìng ph¡p WKB

câ t¡c ëng m¤nh m³ l  nâ cung c§p nghi»m trong mët b÷îc duy nh§t.)

Ph÷ìng tr¼nh trong V½ dö 2.1 ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh Airy v  c¡c nghi»m cõa

nâ ÷ñc gåi l  nhúng h m sè Airy Nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vîi mët iºm ngo°tth÷íng li¶n quan ¸n c¡c h m Airy

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc O€N THÀ PH×ÌNG NHUNG

K¸t luªn Ch÷ìng 2

Nëi dung ch½nh cõa Ch÷ìng 2 tr¼nh b y mët sè nëi dung sau

1 Ph÷ìng ph¡p WKB gi£i g¦n óng c¡c b i to¡n khæng nhi¹u

2 V½ dö ¡p döng

3.1 Mët sè °c tr÷ng ri¶ng cõa c¡c nghi»m g¦n

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc O€N THÀ PH×ÌNG NHUNGcõa lîp bi¶n câ xu h÷îng 0 Trong tr÷íng hñp n y, câ thº nâi r¬ng nghi»m n y bàmët sü cè cöc bë ð lîp bi¶n vîi ε → 0 + Sü cè cöc bë x£y ra khi nghi»m g¦n óngt«ng ho°c gi£m theo c§p sè nh¥n T½nh ch§t n y ÷ñc gåi l  t½nh ch§t t¡n x¤ v¼ c¡cy¸u tè thay êi nhanh châng cõa nghi»m ph¥n r¢ theo c§p sè nh¥n( t¡n x¤ ) ra khäi

iºm ph¥n t½ch cõa sü cè cöc bë

b) T½nh ch§t ph¥n t¡n

Mët sè ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n vîi c¡c tham sè nhä câ nghi»m thº hi»n sü ph¥n r¢

to n c¦u V½ dö b i to¡n gi¡ trà bi¶n

εy00+ y = 0, y(0) = 0, y(1) = 1 (3.1)Nghi»m ch½nh x¡c l 

y(x) = sin(x/

√ε)sin(1/√

ε), ε 6= (nπ)

−2

Nghi»m n y trð n¶n dao ëng nhanh vîi ε nhä v  gi¡n o¤n khi ε → 0 + Sü cè l 

to n cöc v¼ nâ x£y ra trong kho£ng húu h¤n 0 < x < 1 B£n ch§t cõa c¡c nghi»m

n y ÷ñc gåi l  t½nh ch§t ph¥n t¡n

Tâm l¤i, l½ thuy¸t WKB cung c§p mët ph÷ìng ph¡p g¦n óng ìn gi£n v  têng qu¡t

èi vîi c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh v  xû l½ ÷ñc c¡c t½nh ch§t t¡n x¤ v t½nh ch§t ph¥n t¡n

3.2 Nghi»m g¦n óng WKB theo d¤ng h m mô

C¡c t½nh ch§t t¡n x¤ v  ph¥n t¡n ·u ÷ñc mæ t£ bði t½nh ch§t h m mô, trong â

sè mô l  sè thüc trong tr÷íng hñp mët, l  sè £o trong tr÷íng hñp hai Do â, èivîi ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n thº hi»n mët trong hai lo¤i, ta câ thº x¥y düng nghi»mWKB d÷îi d¤ng h m mô nh÷ sau

y(x) ∼ A (x) eS(x)δ , δ → 0+ (3.3)

H m S(x) ¤i di»n cho pha cõa mët sâng v  ÷ñc gi£ ành l  mët h m khæng êi

v  h m thay êi tø tø trong vòng sü cè

C¡c tr÷íng hñp sau ph¡t sinh

1) S(x) l  thüc, trong tr÷íng hñp câ ë d y lîp bi¶n l  δ

2) S(x) l  £o, th¼ câ mët vòng dao ëng nhanh °c tr÷ng bði c¡c sâng câ b÷îc sângbªc δ

3) S(x) l  h¬ng sè: T½nh ch§t cõa y(x) ÷ñc °c tr÷ng bði h m sü bi¸n thi¶n chªmcõa h m bi¶n ë A(x)

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc O€N THÀ PH×ÌNG NHUNG

∞

X

n=0

δnSn(x), δ → 0 (3.7)Th¸ ph÷ìng tr¼nh (3.4) v  ph÷ìng tr¼nh (3.7) v o ph÷ìng tr¼nh (3.5) thu ÷ñc

Ph÷ìng tr¼nh èi vîi S1(x)÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh chuyºn

P (t)dt + C2.P−14 (x) exp−1

ε

x

Zp

P (t)dt (3.10)

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc O€N THÀ PH×ÌNG NHUNG

− 5(P

0)232P52

0P00032P7/2 − 19(P

00)2128P7/2 + 221P

00(P0)2256P9/2 − 1, 105(P

0)4

2, 048P11/2

#dt,(3.13)

S5 = d

4P/dx4

64 P3 + 7P

0P0064P4 +5(P

00)264P4 − 113(P

0)2P00

256 P5 + 565(P

0)4

2, 048 P6 (3.14)V½ dö 3.2 X²t ph÷ìng tr¼nh

ε2d

2y

dx2 + f (x) y = 0, 0 < ε < 1 (3.15)Líi gi£i:

So s¡nh ph÷ìng tr¼nh n y vîi ph÷ìng tr¼nh Schr¨odinger, ta th§y r¬ng

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc O€N THÀ PH×ÌNG NHUNG

Do â nghi»m g¦n óng l 

y(x) =

sin2xεsin2ε

L÷u þ r¬ng nghi»m ch½nh x¡c cõa b i to¡n n y l 

y(x) =

sin2xεsin2ε,

S0(x) = ±R

x 0

√4dt = ±2x,

p döng i·u ki»n bi¶n ta thu ÷ñc







y(0) = 0 = Ay(1) = 1 = B sinh2

* Chó þ: V¼ P (x) = 4 > 0, S0(x) l  sè thüc, i·u n y t÷ìng ùng vîi sü xu§t hi»ncõa mët lîp bi¶n

B¥y gií em s³ x²t mët v½ dö º th§y r¬ng ph÷ìng ph¡p WKB bao gçm l½ thuy¸tlîp bi¶n nh÷ mët tr÷íng hñp °c bi»t

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc O€N THÀ PH×ÌNG NHUNGTh¸ v o ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n cho tr÷îc thu ÷ñc

+ b(x) = 0

trong â c1 l  h¬ng sè tòy þ bao gçm sè h¤ng eS0

ε C¡c d¤ng n y t¤o th nh nghi»m ngo i cõa b i to¡n bi¶n ÷ñc x²t

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc O€N THÀ PH×ÌNG NHUNGtrong â c2 l  mët h¬ng sè tòy þ ¥y l  nghi»m trong cõa b i to¡n.

Vªy nghi»m têng qu¡t l 

1a(x)exp

1ε

1

Z

0

b(t)a(t)dt. (3.26)

Bä qua sè h¤ng nhä theo h m mô chùa exp −ε−1R1

c2a(0) ⇒ c2 = a(0)

x

Z

0

b(t)a(t)dt +

a(0)a(x)

x

Z

0

a(t)dt, ε → 0+

∼ B exp

Z

0

b(t)a(t)dt +

Z

x

b(t)a(t)dt −

Z

0

b(t)a(t)dt+

a(0)a(x)A − B exp

Z

0

b(t)a(t)dt

1ε

a(0)a(x)

1ε

1

Z

0

b(t)a(t)dt exp

Líi gi£i:

So s¡nh ph÷ìng tr¼nh ¢ cho vîi ph÷ìng tr¼nh têng qu¡t ð V½ dö 3.6, ta câ

a(x) = 4, b(x) = 4, A = 0, B = 1

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc O€N THÀ PH×ÌNG NHUNGV¼ a(0) = 4 ta thu ÷ñc tø ph÷ìng tr¼nh (3.27)



1 − 4xε



Do â nghi»m c¦n t¼m l 

y(x) ∼ e1−x − e1−4xε V½ dö 3.8 T¼m nghi»m g¦n óng cho b i to¡n gi¡ trà bi¶n b¬ng ph÷ìng ph¡p g¦n

b) Bi toĂn giĂ tr biản ối vợi phữỡng trẳnh vi phƠn thữớng cĐp hai

Cho phữỡng trẳnh vi phƠn thữớng cĐp hai

F (x, y, y0, y00) =... im a,b thọa mÂn iÃu kiằn biản

nh nghắa 1.2 Nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp n (1.2) l hm y = (x)khÊ

vi n lƯn trản khoÊng (a, b) cho

a) (x, ϕ(x), ϕ0(x),... trẳnh vi phƠn cĐp n

3 Bi toĂn Cauchy

Chữỡng 2

PHìèNG PHP WKB GII