Đạo hàm phân thứ caputo và sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân phân thứ

Cuèi còng, em xin k½nh chóc quþ Th¦y Cæ dçi d o sùc khäe v th nh cæng trong sü nghi»p cao quþ... Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Ngåc Huy·n... Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Ngåc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÍI CƒM ÌN

Tø khi b­t ¦u håc tªp ð gi£ng ÷íng ¤i håc ¸n nay, em ¢ nhªn

÷ñc r§t nhi·u sü quan t¥m, gióp ï cõa quþ Th¦y Cæ, gia ¼nh v b¤n b±

Em xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh v  sü tri ¥n s¥u s­c èi vîi banl¢nh ¤o Vi»n To¡n håc, pháng X¡c su§t thèng k¶ ¢ t¤o i·u ki»ncho em ÷ñc håc tªp trong suèt thíi gian qua, °c bi»t l  TS Ho ngTh¸ Tu§n ¢ tªn t¥m h÷îng d¨n, ch¿ b£o cho em nhúng ki¸n thùcv· chuy¶n mæn công nh÷ cuëc sèng º em câ th¶m ni·m tin v  quy¸tt¥m tr¶n ch°ng ÷íng ph½a tr÷îc

Trong luªn v«n câ thº v¨n cán nhi·u sai sât, em r§t mong s³ nhªn

÷ñc þ ki¸n âng gâp, ch¿ b£o cõa Th¦y, Cæ º em câ thº håc th¶m

÷ñc nhi·u kinh nghi»m công nh÷ trau dçi th¶m ki¸n thùc cho b£nth¥n

Cuèi còng, em xin k½nh chóc quþ Th¦y Cæ dçi d o sùc khäe v 

th nh cæng trong sü nghi»p cao quþ

Em xin ch¥n th nh c£m ìn!

H  Nëi, ng y 09 th¡ng 05 n«m 2018

Sinh vi¶n

Nguy¹n Ngåc Huy·n

Khâa luªn n y ÷ñc ho n th nh sau qu¡ tr¼nh håc häi, nghi¶n cùucõa b£n th¥n em v  sü h÷îng d¨n nhi»t t¼nh cõa TS Ho ng Th¸Tu§n pháng x¡c xu§t thèng k¶ Vi»n To¡n håc.

Trong b i khâa luªn cõa m¼nh em câ tham kh£o nëi dung, k¸t qu£cõa mët sè b i b¡o n÷îc ngo i v  mët sè t i li»u tham kh£o kh¡c Emxin cam oan ¥y l  b i khâa luªn cõa m¼nh, khæng sao ch²p b§t k¼

b i khâa luªn n o kh¡c Em xin chàu ho n to n tr¡ch nhi»m vîi líicam oan cõa m¼nh

H  Nëi, ng y 09 th¡ng 05 n«m 2018

Sinh vi¶n

Nguy¹n Ngåc Huy·n

Möc löc

1 Mët sè ki¸n thùc cì b£n v· gi£i t½ch ph¥n thù 4

1.1 T½ch ph¥n ph¥n thù Riemann-Liouville 4

1.2 ¤o h m ph¥n thù 11

1.2.1 ¤o h m ph¥n thù nguy¶n thõy 11

1.2.2 ¤o h m ph¥n thù Caputo 12

2 Khi n o mët h m câ ¤o h m ph¥n thù? 14 2.1 Ph¡t biºu k¸t qu£ ch½nh 14

2.2 Mët sè h m câ ¤o h m ph¥n thù 16

2.2.1 X²t h m v ∈ Hβ[0, T ] , 0 < α < β ≤ 1, v (0) = 0 16 2.2.2 X²t h m tα, α > 0 17

2.3 ¤o h m ph¥n thù Caputo 17

2.4 Chùng minh k¸t qu£ ch½nh 19

2.4.1 Sü kh£ vi cõa J1−αv0 19

2.4.2 Mët v i t½nh ch§t cõa t½ch ph¥n ph¥n thù Jαu 25 2.4.3 Sü t÷ìng ÷ìng cõa c¡c i·u ki»n (i), (ii), (ii'), (iii), (iii') 32

K¸t luªn 33

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Ngåc Huy·n

|z| Gi¡ trà tuy»t èi(module)cõa sè thüc (phùc) z

k·k Chu©n cõa mët v²c tì ho°c ma trªn

L1[a, b] Khæng gian c¡c h m kh£ t½ch tr¶n o¤n [a, b]

Cm[a, b] Khæng gian c¡c h m li¶n töc c§p m tr¶n o¤n [a, b]

Hµ[0, T ] Khæng gian c¡c h m li¶n töc Holder

Γ H m Gamma

LÍI NÂI †U

V o cuèi th¸ k¿ 17, thíi iºm Newton v  Leibniz ph¡t triºn cì sð cõaph²p t½nh vi-t½ch ph¥n, Leibniz ¢ giîi thi»u k½ hi»u

dn

dxnf (x)

º ch¿ ¤o h m c§p n cõa mët h m sè f Æng ¢ thæng b¡o i·u n ytrong mët bùc th÷ gûi cho de l'Hospital Trong bùc th÷ hçi ¡p, del'Hospital ¢ häi l¤i "What does dn

dxnf (x) mean if n = 1

2?" Bùc th÷hçi ¡p Leibniz ÷ñc vi¸t v o n«m 1695 n y cõa de l'Hospital ng ynay ÷ñc thøa nhªn nh÷ sü ki»n ¦u ti¶n ¡nh d§u sü xu§t hi»n cõac¡c kh¡i ni»m ¤o h m ph¥n thù (fractional derivative) Chú "ph¥nthù" (fraction) ÷ñc sû döng ð ¥y do y¸u tè làch sû: ¤o h m khængnguy¶n ¦u ti¶n ÷ñc nghi¶n cùu câ c§p b¬ng 1

2, l  mët sè húu t,m°c dò sau n y ng÷íi ta th§y r¬ng ch¯ng câ mët l½ do n o º h¤n ch¸c§p cõa ¤o h m n trong tªp c¡c sè húu t

Trong bèn thªp k¿ g¦n ¥y, câ ng y c ng nhi·u c¡c nh  to¡n håccông nh÷ c¡c k¾ s÷ nghi¶n cùu v· ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ph¥n thù(ph÷ìng tr¼nh câ th nh ph¦n ¤o h m ph¥n thù) Ng÷íi ta th§y nhi·uùng döng phong phó cõa l¾nh vüc n y trong c¡c ng nh k¾ thuªt kh¡c

nhau tø vªt l½, hâa håc, k¾ thuªt, sinh håc ¸n t i ch½nh, v.v Tuynhi¶n, c¥u häi cì b£n "Khi n o mët h m câ ¤o h m ph¥n thù?", v¨nch÷a câ c¥u tr£ líi ¦y õ G¦n ¥y, trong b i b¡o "Which functionsare fractionally differentiable?", t¡c gi£ G.Vainikko câ ÷a ra c¡c t½nhch§t º kiºm tra khi n o mët h m l  kh£ t½ch ph¥n thù? Luªn v«n n y

÷ñc dòng º ph¥n t½ch chi ti¸t c¡c k¸t qu£ trong b i b¡o nâi tr¶n.Luªn v«n gçm hai ch÷ìng:

Ch÷ìng 1: Giîi thi»u mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ cì b£n li¶n quan

¸n ph²p t½nh vi-t½ch ph¥n ph¥n thù

Ch÷ìng 2: Giîi thi»u v  chùng minh c¡c ti¶u chu©n º mët h m kh£t½ch ph¥n thù (bao gçm kh£ t½ch theo ngh¾a nguy¶n thõy v  theo ngh¾aCaputo)

Vîi α = 0, chóng ta quy ÷îc J0 := I l  to¡n tû çng nh§t.

Sau ¥y, chóng ta cho i·u ki»n º mët h m câ t½ch ph¥n ph¥n thùRiemann-Liouville

K½ hi»u L1[a, b] l  khæng gian c¡c h m kh£ t½ch tr¶n [a, b] v  C[a, b] l khæng gian c¡c h m li¶n töc tr¶n [a, b]

ành lþ 1.1 Cho f ∈ L1[a, b] v  α > 0, khi â t½ch ph¥n Jαf (x) tçnt¤i h¦u h¸t x ∈ [a, b] Hìn núa, h m Jαf công kh£ t½ch tr¶n [a, b]

Chùng minh Xem trong [1, Theorem 2.1]

Mët t½nh ch§t quan trång cõa c¡c to¡n tû t½ch ph¥n ph¥n thù l 

t½nh ch§t nûa nhâm

ành lþ 1.2 Cho m, n ≥ 0, φ ∈ L1[a, b] th¼

JmJnφ = Jm+nφ

óng h¦u kh­p nìi tr¶n [a, b] Th¶m núa, φ ∈ C[a, b] ho°c m + n ≥

1, n ≥ 1 th¼ i·u n y óng kh­p nìi tr¶n [a, b]

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Ngåc Huy·n

h¦u kh­p nìi tr¶n [a, b]

Hìn núa, theo c¡c k¸t qu£ v· t½ch ph¥n phö thuëc tham sè, n¸u

φ ∈ C[a, b] th¼ Jnφ ∈ C[a, b], v  do â chóng ta công câ Jm

a Janφ ∈C[a, b], Jam+nφ ∈ C[a, b].i·u n y d¨n tîi JmJnφ(x) = Jm+nφ(x), ∀x ∈[a, b]

Cuèi còng, n¸u φ ∈ L1[a, b] v  m + n ≥ 1, n ≥ 1 theo k¸t qu£ tr¶n tacâ

ành lþ 1.3 Cho φ ∈ Hµ[a, b] vîi µ ∈ [0, 1], v  cho 0 < n < 1 Th¸th¼

Jnφ(x) = φ(a)

Γ(n + 1)(x − a)

n

+ ϕ(x)

i·u n y d¨n tîi

Sû döng gi£ thi¸t φ ∈ Hµ, chóng ta câ

B¥y gií, °t g(x) := φ(x) − φ(a)

Γ(n) v  l§y h > 0 sao cho x, x + h ∈ [a, b].Chóng ta câ

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Ngåc Huy·n

=

Z x

a

g(t)[(x + h − t)n−1− (x − t)n−1]dt+

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Ngåc Huy·n

1.2 ¤o h m ph¥n thù

1.2.1 ¤o h m ph¥n thù nguy¶n thõy

X²t to¡n tû t½ch ph¥n RiemannLiouville Jα : C[0, T ] → C[0, T ] vîic§p α ∈ R+ x¡c ành bði

To¡n tû Jα l  kh£ nghàch tr¶n JαC [0, T ] vîi c§p α khæng nguy¶n.Thªt vªy, n¸u Jαu = 0 vîi u ∈ C [0, T ] th¼ ta l§y m ∈ N, m > α,chóng ta câ Jmu = Jm−αJαu = 0 i·u n y d¨n tîi u = 0 Sü mi¶ut£ cõa gi¡ JαC [0, T ] , α > 0 câ li¶n quan ch°t ch³ tîi sü mi¶u t£ cõac¡c h m kh£ vi ph¥n thù Cö thº, chóng ta câ thº ành ngh¾a to¡n tû

¤o h m nguy¶n thõy c§p α cõa c¡c h m trong JαC[0, T ],

D0αv = (Jα)−1v, v ∈ JαC [0, T ] (1.2)

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Ngåc Huy·n

Khi ¤o h m n y tçn t¤i, chóng ta câ t½nh ch§t nûa nhâm nh÷ sau:

D0αDβ0 = D0βD0α = Dα+β0 , α > 0, β > 0 (1.3)

Theo (1.2), mët h m v ∈ C [0, T ] l  Dα

0-kh£ vi n¸u v  ch¿ n¸u ph÷ìngtr¼nh Jαu = v câ mët nghi»m u ∈ C [0, T ] Vîi m < α < m + 1, m ∈

N0 = {0, 1, 2, } , ph÷ìng tr¼nh n y t÷ìng ÷ìng vîi Jm+1−αJαu =

Jm+1−αv, ho°c vîi, Jm+1u = Jm+1−αv, ph÷ìng tr¼nh n y câ thº gi£i

÷ñc n¸u v  ch¿ n¸u Jm+1−αv ∈ C0m+1[0, T ] ; nghi»m ÷ñc cho bði

u = D0αv = Dm=1Jm+1−αv Do â, m < α < m + 1, m ∈ N0, chóng tacâ:

D0αv = Dm+1Jm+1−αv, (1.4)vîi v ∈ C [0, T ] sao cho Jm+1−αv ∈ C0m+1[0, T ]

i·u n y câ thº ÷ñc xem x²t nh÷ mët ành ngh¾a kh¡c cõa Dα

0.1.2.2 ¤o h m ph¥n thù Caputo

B¶n c¤nh kh¡i ni»m ¤o h m ph¥n thù nguy¶n thõy câ nhi·ukh¡i ni»m ¤o h m ph¥n thù kh¡c ¢ ÷ñc ành ngh¾a Trong sè n y,

¤o h m ph¥n thù Caputo ÷ñc sû döng rëng r¢i trong c¡c b i to¡nl½ thuy¸t v  ùng döng Nëi dung ch½nh cõa luªn v«n n y l  nghi¶n cùuc¡c i·u ki»n õ º mët h m câ ¤o h m ph¥n thù Caputo

Cho α > 0, x : [a, b] → R, ¤o h m ph¥n thù Caputo c§p α cõa x

÷ñc ành ngh¾a bði

DCapα x(t) := D[α+1]J[α+1]−αx(t), t ∈ (a, b]

Trong tr÷íng hñp α = 0, chóng ta quy ÷îc D0

Cap := I l  to¡n tû çngnh§t

D¹ th§y n¸u x ∈ C[α+1][a, b] th¼ ¤o h m ph¥n thù Caputo c§p α tçnt¤i Sau ¥y, chóng ta s³ giîi thi»u mèi quan h» giúa t½ch ph¥n ph¥nthù v  ¤o h m ph¥n thù Caputo

ành lþ 1.4 N¸u f l  h m li¶n töc v  α ≥ 0, th¼

DCapα Jαf = f

Chùng minh Xem trong [1, Theorem 3.7]

Ngo i ra, kh¡c vîi ph²p t½nh vi-t½ch ph¥n cê iºn, chóng ta côngth§y r¬ng ¤o h m ph¥n thù Caputo khæng l  nghàch £o ph£i cõat½ch ph¥n ph¥n thù Riemann-Liouville

Nëi dung ch½nh cõa ch÷ìng n y l  chùng minh ành l½ sau.

ành lþ 2.1 Vîi α ∈ (0, 1) v  v ∈ C [0, T ],c¡c i·u ki»n sau ¥y l t÷ìng ÷ìng

(i) v ∈ JαC [0, T ], tùc l  ¤o h m ph¥n thù Dα

0 := (Jα) v ∈ C [0, T ]

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Ngåc Huy·n

0 < t < T ta câ:

(D0αv) (t) :=

(Jα)−1v

(t)

Chùng minh chi ti¸t cõa ành l½ n y s³ ÷ñc tr¼nh b y ð cuèi ch÷ìng.Tr÷îc khi i v o chùng minh ành l½ n y, chóng ta s³ giîi thi»u mët

DαCapv = D1J1−α(v − v(0)) = DαR−L(v − v(0)) (2.6)

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Ngåc Huy·n

Mèi quan h» giúa ¤o h m ph¥n thù Caputo v  ¤o h m ph¥n thùnguy¶n thõy ÷ñc thº hi»n trong M»nh · sau:

M»nh · 2.2 Mët h m v ∈ C[0, T ] câ ¤o h m ph¥n thù Caputo

DCapα v ∈ C[0, T ], 0 < α < 1, n¸u v  ch¿ n¸u v − v(0) câ ¤o h m ph¥nthù Dα

0(v − v(0)) ∈ C[0, T ] Hìn núa, Dα

Capv = D0α(v − v(0)).Chùng minh Vîi 0 < α < 1, i·u ki»n v ∈ C[0, T ], v(0) = 0, d¨n tîi(J1−αv)(0) = 0 V¼ vªy gi£ thi¸t J1−α(v − v(0)) ∈ C1[0, T ] trong (2.6)t÷ìng ÷ìng vîi J1−α(v − v(0)) ∈ C01[0, T ] V¼ vªy, Dα

0(v − v(0)) ÷ñcx¡c ành v  Dα

Capv = D1J1−α(v − v(0)) = Dα0(v − v(0)).K¸t hñp M»nh · tr¶n vîi ành l½ 2.1 chóng ta thu ÷ñc ngay k¸tqu£ sau

ành lþ 2.2 Vîi 0 < α < 1 v  v ∈ C[0, T ], c¡c i·u ki»n d÷îi ¥y l t÷ìng ÷ìng

t→0ω0(t) =: ω0(0)

Vîi v ∈ C[0, T ] v  Dα

Capv ∈ C[0, T ] th¼ (Dα

Capv)(0) = Γ(α + 1)γ,

Bê · 2.1 Cho 0 < α < 1, t > 0, 0 < h < t ta câ

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Ngåc Huy·n

Bê · 2.2 Cho v0 ∈ Hα

0[0, T ], 0 < α < 1 Gi£ sû t½ch ph¥n Rt

0(t −s)−α−1(v0(t) − v0(s))ds hëi tö vîi mët t ∈ (0, T ] Vîi 0 < h1 < T − t

0(t − s)−α−1(v0(t) − v0(s))ds hëi tö theogi£ thi¸t n¶n Rt

t−h(t − s)−α−1(v0(t) − v0(s))ds → 0 khi h → 0 º chùngminh (2.9) cho V+(t, h1), chóng ta c¦n ch¿ ra

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Ngåc Huy·n

H0α(0, T ], câ mët sè δ > 0 sao cho

V−(t, h2) + α

Z t−2h 2

0

(t − s)−α−1(v0(t) − v0(s))ds → 0, h2 → 0.Tr÷îc h¸t, ta biºu di¹n

M»nh · 2.3 Gi£ sû r¬ng v0 ∈ Hα

0[0, T ], 0 < α < 1 v  t½ch ph¥n

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Ngåc Huy·n

ành (i) ⇒ (ii) v  (i) ⇒ (iii0).

M»nh · 2.4 Vîi u ∈ C[0, T ], 0 < α < 1, h m v = Jαu câ c§u tróc

v := γ0tα + v0, (2.14)

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Ngåc Huy·n

trong â γ0 = u(0)

(Kαun)(t) = 1

Γ(α)Z

0

(t)(t − s)α−1(un(s) − un(0))ds

= 1Γ(α + 1)

0(t − s)−α−1((Jαu)(t) − (Jαu)(s))dshëi tö vîi

0 < t ≤ T D÷îi ¥y chóng tæi chùng minh r¬ng Aθ, A ∈ L(C[0, T ])

v  kAθu − AukC → 0 vîi u ∈ C[0, T ] b§t k¼ khi θ ↑ 0 X¥y düng (2.1)vîi v = Jαu Chóng ta h¢y bi¸n êi

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Ngåc Huy·n

Trong t½ch ph¥n cuèi còng, chóng ta thay êi thù tü l§y t½ch ph¥n

i·u n y d¨n tîi

Thay bi¸n s = (t−σ)x+σ (khi â x = s − σ

t − σ, s − σ = (t − σ)x, t − s =(t − σ)(1 − x), ds = (t − σ)dx), chóng ta thu ÷ñc

− 1Γ(α + 1)t

− 1Γ(α + 1)

Z 1

0

(1 − x)α−1dx = 1

Γ(α + 1)α,(1 − θ)−α

V¼ vªy, vîi u ∈ C[0, T ], θ ∈ (0, 1), ta câ Aθu ∈ C[0, T ] T½nh bà ch°n

v  bà ch°n ·u cõa Aθ ∈ L(C[0, T ]), 0 < θ < 1 suy ra tø (2.16)

Sü li¶n töc cõa ω = Au trong [0, T ] ÷ñc suy ra tø sü li¶n töc cõa

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Ngåc Huy·n

ωθ = Aθu i·u n y chùng minh c¡c kh¯ng ành li¶n quan tîi t½chph¥n Rt

0(t − s)−α−1(v(t) − v(s))ds vîi v = Jαu

Cuèi còng, chóng ta s³ thi¸t lªp cæng thùc (2.15) Theo (2.14) v (1.4), ta câ u = (Jα)−1v = γ0D0αtα+ D0αv0 = γ0Γ(α + 1) + (J1−αv0)0.V¼ v0 ∈ Hα

0[0, T ], t½ch ph¥n Rt

0(t − s)−α−1(v0(t) − v0(s))ds, 0 < t ≤ T,hëi tö p döng M»nh · 2.3 suy ra t½nh kh£ vi cõa J1−αv0 , v  theo(2.13) ta câ

Do â (2.15) ÷ñc chùng minh bði v¼

α

Z t

0

(t − s)−α−1(tα − sα)ds = Γ(1 − α)Γ(α + 1) − 1

Chùng minh cõa M»nh · 2.4 ho n th nh

T½nh ch§t d÷îi ¥y s³ ÷ñc sû döng trong chùng minh kh¯ng ành(ii0) ⇒ (i)

M»nh · 2.5 N¸u v ∈ C[0, T ] thäa m¢n (ii0), v 

tαv(t) + α

Z t

0

(t − s)−α−1(v(t) − v(s))ds = 0 (2.18)th¼ v(t) = 0 vîi 0 < t ≤ T

Chùng minh Bði v¼ t½ch ph¥n Rt

0(t − s)−α−1(v(t) − v(s))ds hëi tö, i·uki»n (2.18) k²o theo, vîi t ∈ (0, T ] b§t k¼,

t−αv(t)dt − α

Z t00

α

Z t0

sθ(t − s)−α−1dtv(s)ds

= θα(1 − θ)−α

Z t00

s−αv(s)ds −

Z θt00

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Ngåc Huy·n

2.4.3 Sü t÷ìng ÷ìng cõa c¡c i·u ki»n (i), (ii), (ii'), (iii),

(iii')

Chóng ta i chùng minh c¡c kh¯ng ành (i) ⇒ (ii) ⇒ (ii0) ⇒ (i), (i) ⇒(iii0) ⇒ (i) v  (iii) ⇒ (iii0)

(i) ⇒ (ii) Kh¯ng ành n y ÷ñc suy ra tø M»nh · 2.4

(ii) ⇒ (ii0) Kh¯ng ành n y l  hiºn nhi¶n

(ii0) ⇒ (i) Cho v ∈ C[0, T ] thäa m¢n (ii0), tùc l  vα(t) = t−αv(t)

câ mët th¡c triºn li¶n töc t¤i t = 0, ω ∈ C[0, T ] vîi ω(t) := Rt

0(t −s)−α−1(v(t) − v(s))ds, v  |ωθ(t)| ≤ W (t), 0 < t < T, vîi ωθ(t) :=

Rθt

0 (t − s)−α−1(v(t) − v(s))ds, trong â W ∈ L1

(0, T ) Chóng ta ph£ichùng minh r¬ng v ∈ JαC[0, T ] H m

Tø c¡c biºu di¹n cõa u(t) chóng ta câ

(i) ⇒ (iii0): Kh¯ng ành n y ÷ñc suy ra tø M»nh · 2.4.

(iii0) ⇒ (i): Gi£ sû (iii0) : v ∈ C[0, T ] câ biºu di¹n v = γ0tα +

v0, 0 < α < 1, trong â γ0 = const, v0 ∈ Hα

0[0, T ], v0(0) = 0, v  t½chph¥n Rt

0(t − s)−α−1(v0(t) − v0(s))ds := ω0(t) hëi tö vîi t ∈ (0, T ] b§tk¼ x¡c ành mët h m ω0 ∈ C[0, T ] vîi ω0(0) = 0 Chóng ta th§yr¬ng v0 ∈ JαC[0, T ] Theo (1.4) vîi m = 0, α ∈ (0, 1), i·u n y cângh¾a l  J1−αv0 ∈ C1

0[0, T ] Sü bao h m n y v¨n thüc sü óng Thªtvªy, theo M»nh · 2.3, J1−αv0 l  kh£ vi v  cæng thùc (2.13) óngvîi (J1−αv0)0(t), t ∈ (0, T ] i·u ki»n (iii0) d¨n tîi r¬ng c£ hai h¤ng

tû ð b¶n ph£i cõa (2.13) thuëc v· C[0, T ], v¼ vªy lim

t→0t−αv0(t) = 0vîi v0 ∈ Hα

0[0, T ] v  v0(0) = 0 V¼ vªy, J1−αv0 ∈ C1[0, T ] Rã r ng(J1−αv0)(0) = 0, do â J1−αv0 ∈ C1

0[0, T ].(iii) ⇔ (iii0) Quan h» t÷ìng ÷ìng n y l  mët h» qu£ cõa (2.5).Cæng thùc ¤o h m (2.3) cho v ∈ JαC[0, T ]÷ñc thi¸t lªp trong M»nh

· 2.4

Kh¯ng ành n y k¸t thóc chùng minh cõa ành l½ 2.1

¤o h m ph¥n thù, nhúng t½nh ch§t công nh÷ ùng döng cõa nâ trongto¡n håc gi£i t½ch M°c dò ¢ cè g­ng h¸t m¼nh º ho n th nh luªnv«n mët c¡ch ho n ch¿nh nh§t, nh÷ng do thíi gian câ h¤n công nh÷vi»c n­m b­t ki¸n thùc, kinh nghi»m cõa em cán h¤n ch¸ n¶n trong

b i Khâa luªn khæng tr¡nh khäi câ nhi·u sai sât Em r§t mong nhªn

÷ñc sü thæng c£m công nh÷ sü âng gâp cõa quþ Th¦y Cæ v  c¡cb¤n º b i Khâa luªn cõa em ÷ñc ho n ch¿nh hìn

Em xin ch¥n th nh c£m ìn!

[1] Diethelm, K., The Analysis of fractional Differential Equations.

An Appli-cation-Oriented Exposition Using Differential Operators

of Caputo Type Lect Notes Math 2004 Berlin: Springer 2010.[2] Kilbas, A A., Srivastava, H M and Trujillo: J J., Theory andApplications of Fractional Differential Equations Amsterdam: El-sevier 2006

[3] L˝att, K., Pedas, A and Vainikko, G., A smooth solution of a gular fractional differential equation Z Anal Anwend 34(2005),127-146

sin-[4] Luchko, Yu and Gorenflo, R., An operational method for ing fractional differential equations with caputo derivatives ActaMath Vietnam 24(1999), 207-233

solv-[5] Podlubny, I., Fractional Differential equations Math Sci Engrg

198 San Diego (CA): Academic Press 1999

[6] Rudin, W.,(1991) Funtional analysis McGraw-Hill Science/ gineering/Math ISBN 978-0-07-054236-5

En-Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Ngåc Huy·n

[7] Samko, S.G., A.A., Kilbas and O.I., Maritchev Fractional tegrals and Derivatives: Theory and Applications Gordon andBreach Science Publishers, Swizerland, 1993

In-[8] Vainikko, G., :"Which funtions are fractionally differentiable?"Journal of Analysis and its Applications, 2016, 35, pp 465487.[9] Vainikko, G., First kind cordial Volterra integral equations 2 Nu-mer Funct Anal Optim 35 (2014), 1607-1637 ˝