Chuyển động Brown và phương trình đạo hàm riêng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘIKHOA TOÁN - TIN ————————–o0o————————– LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYỂN ĐỘNG BROWN VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Chuyên ngành : Lý thuyết Xác suất và Thống kê

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

KHOA TOÁN - TIN

————————–o0o————————–

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYỂN ĐỘNG BROWN VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

Chuyên ngành : Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Giảng viên hướng dẫn :PGS TS Phạm Văn Kiều

HÀ NỘI - 2017

Lời cảm ơn

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Bộ môn Toán ứng dụng, KhoaToán - Tin đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng như trong quá trìnhhoàn thành luận văn này

Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến PGS TS PhạmVăn Kiều, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong quá trình nghiêncứu để luận văn của tôi được hoàn thành đúng thời hạn

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,người thân, bạn bè đã luôn ở bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quátrình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 06 năm 2017

Tác giả

Lục Thanh Dự

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS TS Phạm VănKiều, luận văn chuyên ngành Lý Thuyết Xác Suất Và Thống Kê Toán Học với

đề tài:"Chuyển động Brown và phương trình đạo hàm riêng" được hoànthành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngkết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2017

Tác giả

Lục Thanh Dự

Mục lục

1.1 Định nghĩa 4

1.2 Toán tử đặc trưng 9

1.3 Phương trình truyền nhiệt 11

1.4 Phương trình Laplace 12

1.5 Phương trình đạo hàm riêng cấp hai 12

2 Chuyển động Brown và phương trình đạo hàm riêng 16 2.1 Hàm điều hòa và bài toán Dirichlet 16

2.1.1 Định nghĩa hàm điều hòa 16

2.1.2 Định nghĩa tính chất giá trị trung bình 18

2.2 Bài toán Dirichlet 21

2.3 Phương trình truyền nhiệt một chiều 23

2.3.1 Định lý duy nhất của Tychonoff 24

2.3.2 Nghiệm không âm của phương trình truyền nhiệt 27

3 Quan hệ giữa quá trình khuếch tán và phương trình đạo hàm

3.1 Nghiệm ngẫu nhiên, giả thiết thác triển trơn 34

3.2 Điểm chính quy và kì dị của biên 40

Lời nói đầu

1 Lý do chọn đề tài

Vào năm 1827, nhà thực vật học Robert Brown đã quan sát thấy một hiệntượng kỳ lạ của những hạt phấn hoa lơ lửng trong một cốc nước Chúngliên tục lắc lư, chuyển động một cách ngẫu nhiên và dường như không baogiờ dừng lại ngay cả khi cốc nước được giữ yên gần như tuyệt đối Năm

1928, Robert Brown giới thiệu mô hình chuyển động này Mô hình chuyểnđộng Brown cũng giống như nhiều chuyển động bất thường khác trong lĩnhvực vật lý, sinh học, tài chính, kinh tế

Năm 1905, Albert Einstein (1987- 1955) giới thiệu mô hình chuyển độngBrown từ quỹ đạo các nguyên tử với những cú sốc qua những tính toánxác suất thống kê và sử dụng thuyết động học phân tử

Người đầu tiên xây dựng chặt chẽ chuyển động Brown (vào năm 1923) làNorbert Weiner (1984- 1964) Ông đưa ra rất nhiều ứng dụng của chuyểnđộng Brown trong lý thuyết tín hiệu và truyền tin

Paul Levy (1886- 1971) có nhiều đóng góp trong sự nghiên cứu các tínhchất toán học của chuyển động Brown Kyioshi Itô (1915- 1971) đã đónggóp phát triển phép tính vi phân ngẫu nhiên trên nền tảng chuyển độngBrown

Một trong những ứng dụng của chuyển động Brown đó là tìm kiếm giảipháp cho nhiều vấn đề của phương trình đạo hàm riêng Ellip và Parabolic.Thiết lập những kết nối giữa chuyển động Brown và phương trình đạo hàmriêng Elipp và Parabolic dựa trên toán tử Laplace Toán tử Laplace là toán

tử đạo hàm cấp hai của quá trình khuếch tán Vào năm 1923, NorbertWeiner đã xây dựng quá trình khuếch tán tương ứng với toán tử Laplace

và được gọi là quá trình Weiner Quá trình Weiner được xem là mô hìnhtoán học của chuyển động Brown.

Với mong muốn tìm hiểu kĩ hơn về chuyển động Brown và đặc biệt là hàmđiều hòa và các quá trình khuếch tán liên hệ với phương trình đạo hàmriêng và đặc biệt là quá trình truyền nhiệt tôi đã quyết định chọn đề tài

“Chuyển động Brown và phương trình đạo hàm riêng” cho luận văn thạc

sỹ của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Giới thiệu các khái niệm chuyển động Brown, thuật toán Laplace, quátrình Weiner, phương trình đạo hàm riêng, hàm điều hòa và các quá trìnhkhuếch tán liên hệ với phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt là quá trìnhtruyền nhiệt

3 Đối tượng nghiên cứu

Chuyển động Brown

Phương trình đạo hàm riêng

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp giải tích ngẫu nhiên

các định nghĩa, toán tử đặc trưng, phương trình truyền nhiệt, phương trìnhđạo hàm riêng cấp hai.

Chương 2: Chuyển động Brown và phương trình đạo hàm riêngChương này tôi trình bày chi tiết về định nghĩa hàm điều hòa, định nghĩatính chất giá trị trung bình, bài toán Dirichlet, phương trình truyền nhiệtmột chiều Đồng thời nêu và chứng minh định lý duy nhất của Tychonoff,tính chất nghiệm không âm của phương trình truyền nhiệt

Chương 3: Quan hệ giữa quá trình khuếch tán và phương trìnhđạo hàm riêng

Tôi trình bày mối quan hệ của quá trình khuếch tán và phương trình đạohàm riêng Đồng thời trình bày một số tính chất điểm chính quy và kì dịcủa biên

Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng do thời gian thực hiện luận văn khôngnhiều nên trong luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếusót Tôi rất mong nhận được những góp ý và sự chỉ bảo của các thầy giáo,

cô giáo cũng như các anh chị nghiên cứu sinh, các anh chị và các bạn họcviên

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 06 năm 2017

Tác giả

Lục Thanh Dự

Trái lại, hợp của các σ - đại số chưa chắc đã là một σ - đại số Nếu C là mộttập con của 2Ω thì tồn tại một σ - đại số nhỏ nhất trong Ω chứa C Ta gọi σ -đại số đó là σ - đại số sinh bởi C và kí hiệu là σ(C) Ta gọi σ - đại số sinh bởi

họ tất cả các tập mở trên Rd là σ - đại số Borel trên Rd và kí hiệu là B(Rd)

Định nghĩa 1.1.2 • Họ (F )t≥0 các σ - đại số con của F được gọi là mộtlọc nếu Ft ⊂ Fs với mọi s ≥ t ≥ 0

• Lọc (Ft)t≥0 được gọi là liên tục phải nếu Ft = ∩s≥tFs với mọi t ≥ 0

• Lọc (Ft)t≥0 được gọi là thỏa mãn điều kiện thông thường nếu nó liên tụcphải và F0 chứa tất cả các tập có xác suất không

Định nghĩa 1.1.3 (Quá trình ngẫu nhiên)

Họ (Xt)t∈T các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên Rd được gọi là một quá trìnhngẫu nhiên với tập chỉ số T và không gian trạng thái Rd Khi tập T là tập các

số nguyên dương thì (Xt)t∈T được gọi là quá trình ngẫu nhiên với thời gian rờirạc, còn khi T là tập con của R+ thì (Xt)t∈T được gọi là quá trình ngẫu nhiênthời gian liên tục

Với mỗi t cố định Xt(ω) là hàm đo được theo ω Với mỗi ω cố định Xt(ω) đượcgọi là quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên ứng với ω

Định nghĩa 1.1.4 (Quá trình Weiner)

Quá trình Wt được gọi là quá trình Weiner xuất phát từ 0, 0 < ∞ nếu các điềukiện sau thực hiện:

a) W0 = 0

b) Với bất kỳ 0 ≤ t0 < t1 < t2 < < tn các đại lượng ngẫu nhiên

Wt1− Wt0, Wt2 − Wt1, , Wtn − Wtn−1 là độc lập

c) Wt − Ws, s ≤ t có phân phối chuẩn kỳ vọng bằng 0 và phương sai bằng

t − s

Định nghĩa 1.1.5 (Quá trình Markov)

Giả thiết chúng ta nghiên cứu sự tiến triển theo thời gian của một hệ vật lýhoặc sinh thái nào đó (có thể là phân tử, hạt cơ bản, người hoặc một sinh vậtnào đó, v.v ) Ký hiệu X(t) là vị trí của hệ tại thời điểm t Tập hợp các vị trí

có thể có của hệ được gọi là không gian trạng thái Giả sử trước thời điểm s hệ

ở trạng thái nào đó, còn ở thời điểm s hệ ở trạng thái i Ta cần biết tại thờiđiểm t trong tương lai (t > s) hệ ở trạng thái j với xác suất là bao nhiêu? Nếuxác suất này chỉ phụ thuộc vào s, t, i, j thì điều này có nghĩa là: sự tiến triểncủa hệ trong tương lai chỉ phụ thuộc vào hiện tại và độc lập với quákhứ Đó là tính Markov Hệ có tính chất này được gọi là quá trình Markov

Về phương diện toán học , tính Markov có thể được định nghĩa như sau:

Giả sử I tập gồm các giá trị của X(t) và gọi I là không gian trạng thái của X(t)

Ta nói (Xt) có tính Markov nếu:

P {X(tn+1) = j|X(t0) = i0, , X(tn−1) = in−1, X(tn) = in}

= P {X(tn+1) = j|X(tn) = i} ,với bất kỳ t0 < t1 < t2 < < tn < tn+1 < và i0, , in−1, i, j ∈ I

Ta xem tn là hiện tại, tn+1 là tương lai, (t0, t1, , tn−1) là quá khứ Vì thế biểuthức trên chính là tính Markov của X(t)

Quá trình (Xt)t∈I được gọi là quá trình Markov

Đặt p(s, i, t, j) = P {X(t) = j|X(s) = i} , (s < t) Đó là xác suất có điều kiện để

hệ (hay quá trình) ở thời điểm s ở trạng thái i, đến thời điểm t chuyển sangtrạng thái j Vì thế ta gọi p(s, i, t, j) là xác suất chuyển của hệ (hay quá trình)

Định nghĩa 1.1.6 (Quá trình Markov ngặt)

Quá trình Markov mà đối với nó giữa tương lai và quá khứ là độc lập điều kiệnkhi biết hiện tại, sự thực hiện không chỉ đối với thời gian liên tục mà còn đốivới lớp các thời điểm ngẫu nhiên τ được gọi là quá trình Markov ngặt.

Hoặc ta có thể định nghĩa như sau:

Họ (ξt, Px) được gọi là Markov ngặt đối với σ - đại số Pt nếu:

• Quá trình ngẫu nhiên ξt đo được tiến

• Đối với thời điểm Markov τ bất kỳ hàm η = η(ω) nhận giá trị từ tập T ∪ {∞}xác định trên:

Ωτ = {ω : τ < ∞} và đo được đối với σ - đại số Fτ Bất kỳ X thuộc không gianpha X, Γ ∈ B và đối với biến cố bất kỳ A ⊆ Ωτ ∩ Ωη = {τ, η < ∞} , sao cho Fτ:

Px(A ∩ {ξτ +η ∈ Γ}) =

Z

A

P(η, ξτ, Γ)Px(dω)

Tiếp theo ta định nghĩa một trường hợp đặc biệt của quá trình Markov đó

là quá trình Markov Feller

Định nghĩa 1.1.7 (Quá trình Markov Feller)

Giả sử

F≤t = σ(Xs, s ≤ t); F≥t = σ(Xs, s ≥ t); F=t = σ(Xs)

Quá trình ξt được gọi là Markov nếu với bất kỳ A ∈ F≤t, B ∈ F≥t có:

P[AB|F=t] = P[A|F=t]P[B|F=t]

Định nghĩa 1.1.8 (Họ Markov Feller)

Giả sử X là không gian Metric, B = X, C là không gian các hàm liên tục bịchặn

Họ (ξt, Ps,t) được gọi là Feller nếu Pst ⊆ C với bất kỳ s ≤ t Nói cách khác đối

với hàm liên tục bất kỳ bị chặn f trên X hàm Pstf (x) cần là liên tục theo x,khi x → x0 ∈ X có:

Định nghĩa 1.1.9 (Quá trình Feller mạnh)

Quá trình ξ = (ξt, Ft) được gọi là Feller mạnh nếu đối với mọi hàm Borel bịchặn f (x), hàm F (x) = Exf (Xt) là liên tục

Định nghĩa 1.1.10 (Hàm chuyển Feller)

Hàm chuyển P (t, x, T ) trong không gian Topo (E, C, B) được gọi là hàm Fellernếu đối với f ∈ C(E, C, B) hàm:

Lớp hàm này được gọi là Feller mạnh

Định nghĩa 1.1.12 (Quá trình Ito)

Quá trình ngẫu nhiên liên tục ξ = (ξt, Ft); 0 ≤ t ≤ T được gọi là quá trình

Ito nếu tồn tại hai quá trình không đoán được trước a = (at, Ft), b = (bt, Ft),

t ∈ [0, T ] sao cho:

P

"

Z T 0

a(s, ω)ds +

Z t 0

b(s, ω)dWs

với xác suất 1

Định nghĩa 1.1.13 (Quá trình khuếch tán)

Quá trình Ito được gọi là quá trình khuếch tán nếu hàm a(s, ω), b(s, ω) trongđịnh nghĩa quá trình Ito là Fsξ đo được với hầu tất cả s, 0 ≤ s ≤ t

Hoặc ta cũng có thể định nghĩa như sau:

Quá trình (ξt, Px) trên không gian pha (Rr, Br) được gọi là quá trình khuếchtán trên Rr nếu:

Toán tử cực vi xác định trên các hàm có đạo hàm riêng liên tục đến hạng hai vàtồn tại vecto hàm bi(x) và ma trận aij với x bất kỳ là đối xứng, xác định dươngsao cho:

Định nghĩa 1.2.1 (Toán tử cực vi)

Giả sử G là một miền với biên trơn G0 và L là toán tử vi phân trong G mà hệ

số của nó được thác triển liên tục trên G ∪ G0 Đòi hỏi với tất cả các quá trìnhkhuếch tán trong miền đóng G ∪ G0 mà đối với nó thực hiện đạo hàm của toán

tử vi phân theo tất cả các điểm trong trùng với L Trong lúc đó chưa xác địnhrằng quá trình này là khuếch tán trên biên tại điểm x mà chỉ đối với điểm trong.Khái niệm này được ký hiệu qua toán tử đặc trưng U

Ngoài toán tử cực vi của quá trình Markov

Af (x) = lim

t&0

Ttf (x) − f (x)

được gọi là toán tử cực vi của quá trình

Định nghĩa 1.2.2 (Toán tử đạo hàm)

Lf (x) = 1

2P

Toán tử L được gọi là toán tử đạo hàm của quá trình khuếch tán

Định nghĩa 1.2.3 (Toán tử đặc trưng)

U f (x) = lim

U &x

Tτ (u)f (x) − f (x)

Exτ (u) .Trong đó U là lân cận của x

τ (u) là thời điểm đầu tiên rời khỏi U khi chuyển qua giới hạn U → x

U (f (x)) được gọi là toán tử đặc trưng của quá trình

• Giá trị U f (x) được xác định hoặc là a) đối với mọi hàm trơn hoặc là b)đối với mọi hàm trơn tuân theo một điều kiện tuyến tính

• Sự liên hệ giữa toán tử Tt với toán tử U

Trong không gian Topo nào đó, quá trình có quỹ đạo liên tục phải Toán tử tịnhtiến Tt còn bất biến đối với tập tất cả những hàm liên tục bị chặn, toán tử U là

sự mở rộng của toán tử Tt Dĩ nhiên rằng nếu U f (x) xác định và hàm f đạt tạiđiểm x cực tiểu không dương thì U f (x) ≥ 0 Tính chất này thường được gọi lànghỉ cực tiểu Toán tử U được gọi là toán tử tuyến tính địa phương

1.3 Phương trình truyền nhiệt

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử nhiệt độ của vật thể Ω tại điểm x và tại thời điểm

t được xác định bởi hàm u(t, x) ∈ C1,2(Ω × [0, T ]) Ta coi Ω là vật thể đẳnghướng, tức là nhiệt truyền theo phương nào cũng như nhau

Ta giả thiết rằng ρ(x) là mật độ khối lượng và c(x) là nhiệt dung của vật thểtại thời điểm x Khi đó phương trình có dạng:

được gọi là phương trình truyền nhiệt

Định nghĩa 1.3.2 (Bài toán Dirichlet hay Bài toán biên loại I)

Bài toán xác định nghiệm nào đó từ phương trình

Định nghĩa 1.3.3 (Bài toán Neuman hay Bài toán biên loại II)

Giả sử cho miền giới nội nào đó G sao cho những điểm không nằm trong G vàbiên Γ của nó tạo thành miền với biên Γ

Giả sử cho trên biên Γ của miền này hàm liên tục f Tìm hàm điều hòau(x1, x2, , xn) liên tục trên miền G + Γ và ∂u

∂n theo hướng pháp tuyến ngoài ~ntại một điểm trên biên Γ của G nhận giá trị của hàm f tại điểm này

Phương trình (1.3) lần đầu tiên được S.Poisson đưa vào năm 1813 và được gọi

là phương trình Poisson Trong trường hợp f (x) ≡ 0 phương trình (1.3) đượcgọi là phương trình Laplace

Bài toán tìm phân bố dừng của nhiệt độ bên trong vật thể theo nhiệt độ đã chotrên biên được gọi là bài toán Dirichlet theo tên của nhà toán học L.Dirichlet,ông là người đầu tiên chứng minh được sự duy nhất nghiệm của bài toán này

1.5 Phương trình đạo hàm riêng cấp hai

Xét trong miền Ω ⊂ Rn phương trình tuyến tính cấp hai

Dạng (1.8) được gọi là dạng chính tắc của phương trình (1.4).

Từ các lí luận trên , các số n+, n− và n0 là bất biến qua phép biến đối (1.5)

- Phương trình (1.4) được gọi là phương trình loại elliptic tại điểm x0 (hoặcphương trình elliptic tại điểm x0) nếu n+ = n hoặc n− = n Phương trình(1.4) được gọi là phương trình elliptic trên tập hợp E, E ⊂ Ω, nếu nó làphương trình elliptic tại mỗi điểm của tập hợp này

- Phương trình (1.4) được gọi là phương trình loại hyperbolic tại điểm x0(hoặc phương trình hyperbolic tại điểm x0) nếu n+ = n − 1, n− = 1 hoặc

n+ = 1, n− = n − 1 Nếu phương trình là hyperbolic tại mỗi điểm của tậphợp E, E ⊂ Ω, thì nó được gọi là phương trình hyperbolic trên tập hợp E

- Phương trình (1.4) được gọi là phương trình loại parabolic tại điểm x0(hoặc phương trình hyperbolic tại điểm x0) nếu n0 > 0 Nếu phương trình

là parabolic tại mỗi điểm của tập hợp E, E ⊂ Ω, thì nó được gọi là phươngtrình parabolic trên tập hợp E Trường hợp đặc biệt khi n = 2 Phươngtrình (1.4) được viết như sau:

ở đó a, b, c là các hàm không đồng thời bằng không trong một lân cận nào

đó U ⊂ R2 Xét phương trình sau

det a − λ b

b c − λ

= λ2− (a + c)λ + ac − b2 = 0 (1.10)

Nếu b2− ac > 0, thì phương trình (1.10) có hai nghiệm trái dấu

Trong trường hợp b2 − ac = 0 phương trình (1.10) có một nghiệm bằng

0, còn khi b2− ac < 0 phương trình (1.10) có hai nghiệm cùng dấu Theocách phân loại ở trên ta có kết luận sau:

i) Phương trình (1.9) là hyperbolic nếu b2− ac > 0;

ii) Phương trình (1.9) là parabolic nếu b2− ac = 0;

iii) Phương trình (1.9) là elliptic nếu b2− ac < 0

Chương 2

Chuyển động Brown và phương

trình đạo hàm riêng

2.1 Hàm điều hòa và bài toán Dirichlet

2.1.1 Định nghĩa hàm điều hòa

Sự kết nối giữa chuyển động Brown và hàm điều hòa đã được tìm thấy, bởi sựgiải thích đơn giản Vì lý do này, chúng ta nói đến sự kết nối này như sự minhhọa đầu tiên của chúng ta về sự tương tác giữa lý thuyết và phân tích xác suất.Hàm u ánh xạ từ tập mở D của Rd vào R được gọi là hàm điều hòa trong Dnếu u thuộc lớp C2 và ∆u =

Trong suốt phần này, {Wt, Ft : 0 ≤ t < ∞} , (ω, F ), {Px}x∈Rd là họ Brown d chiều và {Ft} thỏa mãn điều kiện thông thường Chúng ta ký hiệu D một tập

-mở trong Rd và giới thiệu thời điểm dừng

τD = inf {t ≥ 0; W∆ t ∈ Dc} , (2.1)

là thời gian lần đầu tiên đi khỏi D Trên biên của D được ký hiệu là ∂D, và

D = D ∪ ∂D là tập đóng của D Gần như mỗi thành phần của W chắc chắn bịchặn bởi

 = d

rVr. (2.4)

Một độ đo xác suất µr trên ∂Br được định nghĩa bởi:

µr(dx) = P0[WτBr ∈ dx]; r > 0 (2.5)

Chú ý 2.1.1 Hàm điều hòa là nghiệm của phương trình U f (x) = 0

Trong đó U là toán tử đặc trưng của quá trình (trong trường hợp quá trìnhWeiner thì nó là nghiệm của phương trình Laplace ∆f (x) = 0)

Định nghĩa 2.1.2 Hàm f ánh xạ từ tập mở D của Rd vào R được gọi là điềuhòa trong D nếu f là phần tử của lớp C2 và ∆f =

Chú ý 2.1.3 Ý nghĩa hàm điều hòa

Hàm điều hòa đóng vai trò quan trọng trong giải tích cổ điển

Hàm điều hòa đòi hỏi là hàm liên tục và giá trị trung bình của nó theo hình cầubất kỳ không vượt quá giá trị tại tâm của nó

2.1.2 Định nghĩa tính chất giá trị trung bình

Vì sự quay bất biến của chuyển động Brown, độ đo µr cũng là quay bất biến do

đó tỷ lệ với độ đo mặt trên ∂Br Đặc biệt, tích phân Lebesgue của hàm f trên

Br có thể viết dưới dạng tích phân như sau:

Z

∂B r

f (x)dx =

Z r 0

SρZ

có tính chất giá trị trung bình Có thể chứng minh đơn giản dựa trên công thứcIto

Mệnh đề 2.1.5 Nếu u là điều hòa trong D, thì nó có tính chất giá trị trungbình trong đó

Chứng minh Với a ∈ D và 0 < r < ∞ sao cho a +

Hệ quả 2.1.6 (Nguyên lý Maximum)

Giả sử u là hàm điều hòa trong miền liên thông mở D Nếu u đạt cận trên tạiđiểm nào đó trong D thì u đồng nhất với hằng số

Chứng minh Đặt M = sup

x∈D

u(x) và DM = {x ∈ D : u(x) = M }

Ta giả thiết rằng DM là không rỗng và DM = D

Bởi vì u là hàm liên tục, DM là đóng tương đối với D

Nhưng đối với a ∈ DM và 0 < r < ∞ sao cho a +Br ⊂ D

Ta có tính chất giá trị trung bình:

M = u(a) = 1

VrZ

Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh u thuộc lớp C∞ Cho  > 0, giả sử

: kxk < 

Sρexp

1

B 

u(a + x)g(x)dx

= c()

Z  0

SρZ

Sρu(a)exp

1