Chuyên đề dirichle và bài toán chia hết

Các học sinh sẽ được học chuyên đề về phép chia hết, chứng minh biểu thức chia hết cho 1 số hay chuyên đề áp dụng tính chia hết để giải phương trình nghiệm nguyên.. Sau khi học về Nguyên

CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN LÝ ĐIRICLÊ VÀ BÀI TOÁN CHIA HẾT.

A Đặt vấn đề:

Sau khi học xong kiến thức về phép chia, phép chia hết và phép chia có dư Các học sinh sẽ được học chuyên đề về phép chia hết, chứng minh biểu thức chia hết cho 1 số hay chuyên đề áp dụng tính chia hết để giải phương trình nghiệm nguyên

Sau khi học về Nguyên lý Dirichle, học sinh sẽ được học nâng cao thông qua chuyên đề về áp dụng nguyên lý Dirichle vào các bài toán chia hết

Mục đích của chuyên đề: Giúp học sinh đào sâu hơn, nắm chắc nguyên lý

Dirichle và cách vận dụng cũng như củng cố kiến thức về tính chia hết

B Kiến thức cơ bản.

Nếu nhốt a con thỏ vào b cái lồng mà a = b.q + r (0< r <q ) thì ít nhất cũng có một lồng nhốt từ q+1 con thỏ trở lên

* Chú ý cho học sinh: Khi giải bài toán vận dụng nguyên lí điriclê cần suy nghĩ để làm xuất hiện " thỏ" và "lồng", khái niệm "nhốt thỏ vào lồng" nhưng khi trình bày lời giải ta

cố gắng diễn đạt theo ngôn ngữ toán học thông thường

Ví dụ: Cho 9 số tự nhiên bất kì Chứng minh rằng có thể chọn ra 2 số mà hiệu của chúng chia hết cho 8

Phân tích: Coi 9 số là 9 con thỏ Chín con thỏ này được nhốt trong mấy lồng ?

Ta biết rằng khi chia một số cho 8 thì số dư chỉ có thể là một trong8 số:0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;

5 ; 6 ; 7 Có 9 số tự nhiên chia cho 8 mà chỉ có 8 số dư nên theo nguyên lí điriclê thì cũng có ít nhất 2 số chia cho 8 có cùng số dư Hiệu 2 số này chia hết cho 8

Trình bày lời giải:

Khi chia một số tự nhiên bất kì cho 8 thì số dư r chỉ có thể lấy một trong 8 giá trị là:0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 mà có 9 số tự nhiên chia cho 8 mà chỉ có 8 số dư nên theo

nguyên lí điriclê thì ít nhất cũng có 2 số chia cho 8 có cùng số dư.Hiệu 2 số này chia hết cho 8

Đưa cho học sinh nhận xét trong n + 1 số tự nhiên , bao giờ cũng có thể chọn ra hai số

mà hiệu của chúng chia hết cho n ( n ∈N* )

C.Bài tập áp dụng:

Bài 1:Chứng minh rằng trong 11 số tự nhiên bất kì bao giờ cũng có ít nhất hai số có chữ

số tận cùng giống nhau

Hướng dẫn:

Cách 1: Xét trong phép chia cho 10

Có 11 số chia cho 10 có ít nhất hai số có cùng số dư ⇒hiệu hai số này chia hết cho 10 Hay hiệu hai số có chữ số tận cùng là 0 ⇒hai số này có chữ số tận cùng giống nhau Cách 2: Có 11 số mà một số tự nhiên bất kì chỉ có chữ số tận cùng là một trong 10 số

đó là: 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9

⇒đpcm

Bài 2: Chứng minh rằng tồn tại một bội của 13 gồm toàn chữ số 2

Hướng dẫn: Xét dãy số gồm 14 số hạng:

2 ; 22 ; 222 ; 2222 ; ; 22   2

14 chữ số 2

Có 14 số xét , trong phép chia cho 13→có hiệu hai số chia hết cho 13.

Mà hiệu hai số ( số lớn trừ số nhỏ ) có dạng:

22 2000 0 = 22 2 10n

⇒22 2 10n 13 mà ( 10n , 13 ) =1

⇒22 2  13 ( đpcm )

Bài 3: Cho dãy số : 10 ; 102 ; 103 ; ;1020.

Chứng minh rằng tồn tại một số chia cho 19 dư 1

Hướng dẫn:

Dãy số có 20 số, xét trong phép chia cho 19 ⇒có ít nhất hai số có cùng số dư

⇒hiệu hai số chia hết cho 19 Mà hiệu hai số có dạng:

10m -10n = 10n ( 10m-n -1 )

⇒10n (10m-n -1 )19 mà (10n, 19 ) =1

⇒10m-n -1 19

Hay 10k chia 19 dư 1( 0 < k < 20 )

Bài 4: cho 3 số lẻ Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 8

Hướng dẫn:

Một số lẻ chia cho 8 thì số dư chỉ có thể là một trong 4 số 1 ; 3 ; 5 ; 7 Ta chia 4 số

dư này làm 2 nhóm ( hai lồng )

Nhóm 1 dư 1 hoặc dư 7

Nhóm 2 dư 3 hoặc dư 5

Có ba số lẻ ( ba "thỏ" ) mà chỉ có hai nhóm số dư ( hai "lồng" ) nên tồn tại hai số cùng thuộc một nhóm ⇒đpcm

Bài 5: Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu

chia hết cho 12

Hướng dẫn: Một số nguyên tố lớn hơ 3 chia cho 12 thì số dư chỉ có thể là một trong 4

số 1 ; 5 ; 7 ; 11 (Có dạng 12k + 1, 12k + 5, 12k + 7, 12k + 11)

chia thành 2 nhóm: nhóm dư 1 hoặc dư 11; nhóm dư 5 hoặc dư 7

Như vậy có 3 số, mà chỉ có hai nhóm => Tồn tại 2 số thuộc cùng 1 nhóm, khi đó hai số này chia 12 sẽ có số dư là 1+ 11 hoặc 5+7 Hay tổng hai số đó chia hết cho 12

⇒đpcm

Bài 6: Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên bất kì luôn chọn ra được hai số có tổng chia hết cho 2

Hướng dẫn: Có 2 lồng là chẵn - lẻ.

Và có ba thỏ là ba số

Bài 7: Cho bảy số tự nhiên bất kì Chứng minh rằng ta luôn chọn được 4 số có tổng chia hết cho 4

Hướng dẫn: Gọi 7 số đó là a1, a2, a3 , a4, a5, a6, a7

Theo bài tập trên ta chọn được 2 số có tổng chia hết cho 2 Chẳng hạn

a1 + a2 = 2k1.Còn 5 số lại chọn được hai số chia hết cho hai, chẳng hạn a3 + a4= 2k2 Còn ba số , lại chọn được 2 số, chẳng hạn chia hết cho 2, chẳng hạn a5+ a6 = 2k3 Xét ba

số k1, k2,k3 ta lịa chọn được 2 số chia hết cho 2 chẳng hạn k1+k2=2m như vậy:

2k1+2k2 = 4m

Hay a1+a2+a3+a4=4m chia hết cho 4

Bài 8: Chứng minh rằng trong 5 số tự nhiên bất kỳ luôn chọn được ba số có tổng chia hết

cho 3

Hướng dẫn: Bất kỳ số tự nhiên nào cũng chỉ có một trong ba dạng 3k, 3k+1, 3k+2

( k∈N)

Trường hợp 1: Có ít nhất 3 số cùng một dạng ⇒ Tổng của 3 số này chia hết cho 3

Trường hợp 2: Có 2 số thuộc một dạng nào đó suy ra mỗi dạng có ít nhất là một

số ⇒ Tổng 3 số ở 3 dạng có ít nhất là một số ⇒ Tổng 3 số ở 3 dạng chia hết cho 3

Bài 9: Cho năm số tự nhiên lẻ bất kỳ Chứng minh rằng luôn chọn được 4 số có tổng chia

hết cho 4

Hướng dẫn: Một số lẻ chia hết cho 4 thì số dư chỉ là 1 hoặc 3 Tức là số lẻ chỉ có một

trong 2 dạng 4k+1 hoặc 4k+3

Nếu có ít nhất bốn số thuộc cùng 1 dạng tổng của 4 số đó chia hết cho 4

Nếu không như vậy thì mỗi dạng có ít nhất 2 số, ta chọn 2 số ở dạng này và 2 số

ở dạng kia thì tổng của 4 số này chia hết cho 4

Bài 10: Viết 6 số tự nhiên vào 6 mặt của 1 con súc sắc Chứng minh rằng khi ta gieo súc

sắc xuống bàn thì trong 5 mặt có thể nhìn thấy bao giờ cũng tìm được 1 hay nhiều mặt để tổng các số trên đó chia hết cho 5

Hướng dẫn: Gọi các số trên 5 mặt là a1, a2, a3, a4, a5

Xét 5 tổng:

S1= a1.

S2= a1+a2

S3=a1+a2+a3

S4=a1+a2+a3+a4

S4=a1+a2+a3+a4+a5

- Nêu có 1 trong 5 tổng đó chia hết cho 5 thì bài toán đã giải song

- Nếu không có tổng nào chia hết cho 5 thì tồn tại hai tổng có cùng số dư khi chia cho 5⇒ hiệu hai tổng này chia hết cho 5 Gọi 2 tổng là Sivà Sj (1≤i<J≤5)

thì Sj -Si chia hết 5 hay (a1+a2+ +aJ) - (a1+a2+ +aJ) = ai+1+ai+2+ +aJ chia hết cho 5

Bài 11 Có tồn tại hay không số có dạng

20072007 200700 0 chia hết cho 2005

Hướng dẫn:

Xét dãy số 2007, 20072007, 200720072007, ,       

2007 2006

2007

20072007

so

trong phép chia cho 2005 có it nhất hiệu hai số chia hết cho 2005 Hiệu hai số này ( số lớn trừ số nhỏ ) có dạng 20072007 200700 0

Bai 12: Chứng minh tồn tại một số tự nhiên x < 17 sao cho

25x -1  17

Hướng dẫn : Xét dãy số gồm 17 số hạng sau :

25 ; 252 ; 253 ; ; 2517

Chia số hạng của dãy (1) cho 17

Vì (25,17) =1 nên (25n ,1) = 1 ∀n∈ N và n ≥ 1

Xét trong phép chia cho 17 dãy số trên có ít nhất hai số chia cho 17 có cùng số dư

Gọi 2 số đó là 25m và 25n với m , n∈N và 1≤ m <n ≤ 17

⇒ 25n - 25m 17

⇔25m ( 25n - m -1 ) 17 vì ( 25m , 17 ) = 1⇒đpcm

D.Kết luận

Như vậy chúng ta đã đi qua việc giải các bài toán ví dụ để hiểu được cách xây dựng

”lồng” và ”thỏ” trong bài toán áp dụng phương pháp Dirichle

Các em học sinh chú ý 1 số điểm sau:

1 Chỉ ra được đâu là số lồng, thỏ

2 Chỉ ra tính chất của các lồng (ví dụ: có cùng số dư, )

3 Chỉ ra ít nhất 1 số thỏ cùng thuộc vào lồng đó (tức là cùng có tính chất nào đó )

Chúc các em học sinh học tập tốt