SKKN Vận dụng sáng tạo có hiệu quả kết quả một bài tập trong sách giáo khoa toán 8 vào giải quyết một số bài toán chia hết và liên quan đến chia hết

SKKN Vận dụng sáng tạo có hiệu quả kết quả một bài tập trong sách giáo khoa toán 8 vào giải quyết một số bài toán chia hết và liên quan đến chia hếtSKKN Vận dụng sáng tạo có hiệu quả kết quả một bài tập trong sách giáo khoa toán 8 vào giải quyết một số bài toán chia hết và liên quan đến chia hếtSKKN Vận dụng sáng tạo có hiệu quả kết quả một bài tập trong sách giáo khoa toán 8 vào giải quyết một số bài toán chia hết và liên quan đến chia hếtSKKN Vận dụng sáng tạo có hiệu quả kết quả một bài tập trong sách giáo khoa toán 8 vào giải quyết một số bài toán chia hết và liên quan đến chia hếtSKKN Vận dụng sáng tạo có hiệu quả kết quả một bài tập trong sách giáo khoa toán 8 vào giải quyết một số bài toán chia hết và liên quan đến chia hếtSKKN Vận dụng sáng tạo có hiệu quả kết quả một bài tập trong sách giáo khoa toán 8 vào giải quyết một số bài toán chia hết và liên quan đến chia hếtSKKN Vận dụng sáng tạo có hiệu quả kết quả một bài tập trong sách giáo khoa toán 8 vào giải quyết một số bài toán chia hết và liên quan đến chia hếtSKKN Vận dụng sáng tạo có hiệu quả kết quả một bài tập trong sách giáo khoa toán 8 vào giải quyết một số bài toán chia hết và liên quan đến chia hết

I ĐẶT VẤN ĐỀ :

1 Lý do chọn đề tài:

Để thực hiện mục tiêu chiến lược giáo dục: nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài trong giai đoạn hiện nay Mỗi trường THCS đã chú trọng

về công tác bồi dưỡng mũi nhọn phát triễn nhân tài trong đó có trường mà tôi đang công tác Đối với đơn vị mà tôi đang công tác việc làm công tác mũi nhọn

là hết sức khó khăn Do đặc thù của vùng miền nên các em hầu như không có điều kiện được cọ xát về môn toán, đứng trước một bài toán có phần nâng cao hơn so với kiến thức SGK các em tỏ ra lúng túng, không tự tin

Thực tế đã chứng minh khi tôi yêu cầu học sinh vận dụng bài tập 58 (trang

25 SGK toán 8) để giải quyết một bài toán khác hầu hết các em không vận dụng được Nguyên nhân một phần là các em chưa có cơ hội làm quen với những bài toán như dạng bài 58 , các em chỉ mới dừng lại ở các bài toán về dấu hiệu chia hết, phần nữa là các em đang làm theo kiểu độc lập từng bài riêng lẻ chưa có thói quen xâu chuỗi kiến thức dẫn đến chưa phát triễn được tính tư duy sáng tạo mà tư duy này là rất cần thiết đối với người học toán

Là một giáo viên dạy môn toán 8 được nhà trường giao cho trọng trách bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 để làm tiền đề cho đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 Đứng trước thực trạng đó tôi không khỏi không băn khoăn

Xuất phát từ những thực trạng đó mà tôi xây dựng nên đề tài “ Vận dụng sáng tạo có hiệu quả kết quả một bài tập trong sách giáo khoa toán 8 vào giải quyết một số bài toán chia hết và liên quan đến chia hết” phần nào giúp các em

bổ sung thêm về dạng toán chia hết qua đó giúp các em thu hẹp dần khoảng cách

từ những bài toán trong sách giáo khoa với những bài toán nâng cao ngoài sách giáo khoa, cho các em thấy được rằng bài toán khó thực chất là xuất phát từ những bài toán cơ bản như thế thì các em sẽ tự tin hơn khi đứng trước bài toán khó

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

- Đối tượng là bài tập Chứng minh rằng n 3 – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

(Bài tập 58 trang 25 trong sách giáo khoa Toán 8 hiện hành )

- Phạm vi nghiên cứu:

+ Kiến thức sách giáo khoa Toán 6, sách giáo khoa Toán 8

+ Kiến thức sách tham khảo Toán 6, Toán 8

+ Một số dạng toán chia hết trong các đề thi

+ Một số tài liệu liên quan đến dạng toán chia hết,

3 Mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài:

- Về kiến thức: Học sinh được ôn lại một số kiến thức thông qua hoạt động giải toán Thông qua đề tài học sinh biết được mỗi bài toán trong SGK không chỉ

là đứng độc lập riêng lẽ một mình mà nó còn liên quan đến nhiều bài toán khác, nhiều kiến thức khác nếu như chúng ta biết cách sử dụng kết quả từ những bài toán được coi như là đơn giản đó để giải quyết những bài toán khó hơn phức tạp hơn qua đó hình thành cho học sinh phát triễn tư duy sáng tạo một cách tự nhiên

- Về kỹ năng: Rèn cho học sinh kỹ năng liên tưởng, tương tự hóa, kỹ năng vận dụng kiến thức một cách linh động và sáng tạo

- Thái độ: Tạo ra hứng thú học tập cho học sinh thông qua hoạt động giải toán, thu hút sự tham gia của học sinh bằng một hệ thống bài tập có tính kế thừa

và xâu chuổi chặt chẽ

4 Giải pháp nghiên của đề tài:

Khi giảng dạy tại lớp, hướng dẫn học sinh học ở nhà Giáo Viên nên hướng dẫn học sinh:

- Tìm bài tập tương tự

- Đưa bài toán lạ về bài toán đã gặp

- Xâu chuổi được các bài toán

- Từ một bài toán có thể thêm bớt giả thiết để có cach giải tương tự, cách giải hay

Thực hiện tốt đề tài hy vọng sẽ tạo ra cho người học niềm đam mê và hướng thú hơn khi tiếp cận kiến thức, đồng thời qua đó người học được phát triễn

tư duy một cách sáng tạo góp phần nâng cao chất lượng môn Toán trong trường THCS

5 Tính mới của đề tài:

- Học sinh được tiếp thu kiến thức một cách có hệ thống dễ nhớ khó quên không mang tính rời rạc

- Học sinh được biết thêm về một số dạng toán chia hết và liên quan đến chia hết qua đó các em được phát triển tư duy sáng tạo một cách tự nhiên

- Tạo thói quen trong học và làm toán cho học sinh theo hướng phát triễn năng lực

- Tạo ra hứng thú và niềm đam mê muốn khám phá toán học

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Cơ sở lí luận:

Trong các buổi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi việc vận dụng sáng tạo có hiệu quả kết quả một bài tập trong sách giáo khoa vào giải quyết một số bài toán nâng

cao hơn là hết sức cần thiết bởi như thế học sinh sẻ thấy được một minh chứng thực tế là không phải đâu xa lạ mà ngay trong những bài tập ở SGK mà chúng ta học hằng ngày nó cũng tiềm ẩn những điều thú vị, qua đó giúp các em thu hẹp dần khoảng cách từ những bài toán cơ bản đến bài toán nâng cao Biết khai thác kết quả của một bài toán để vận dụng nó vào giải một bài toán khó hơn tức là đã

khai thác được những đặc điểm của bài toán, điều đó làm cho học sinh “có thể

biết được cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi” ( Poolia-1975)

Ở trường THCS, dạy toán là hoạt động toán học Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Trong dạy học toán, mỗi bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý khác nhau, có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra,…

Ở thời điểm cụ thể nào đó, mỗi bài tập chứa đựng tường minh hay những chức năng khác nhau (chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển, chức năng kiểm tra), những chức năng này đều hướng tới việc thực hiện mục đích dạy học

Tuy nhiên, trong quá trình thực tế các chức năng này không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời nhau, khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể, tức là có ý nói chức năng ấy được thực hiện một cách tường minh, công khai

2.Cơ sở thực tiễn và thực trạng học sinh:

Dạy học toán thực chất là dạy hoạt động toán, học sinh là chủ thể của hoạt động do đó cần phải được cuốn hút vào những hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo Thông qua đó học sinh tự khám phá những điều mình chưa biết chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã sắp đặt sẵn Muốn vậy giáo viên phải biết vận dụng những kết quả có được để phát triển bài toán hướng dẫn học sinh biết cách tìm tòi để phát hiện ra kiến thức mới

Qua thực tế giảng dạy trong nhiều năm tôi thấy cách học của học sinh còn quá thụ động, lười tìm tòi sáng tạo, kỉ năng phân tích tổng hợp còn yếu, đứng trước một bài toán không tìm ra hướng giải, chưa biết vận dụng khai thác các bài toán, giải một bài toán chỉ dừng lại ở bài toán đó chưa biết xâu chuỗi kiến thức để giải quyết thêm các bài toán khác có liên quan

Với việc “ Vận dụng sáng tạo có hiệu quả kết quả một bài tập trong sách giáo khoa toán 8 vào giải quyết một số bài toán chia hết và liên quan đến chia hết” sau đây phần nào giải quyết được một số vấn đề nói trên:

Bài toán 1: Chứng minh rằng n 3 – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

( Bài tập 58 trang 25 trong sách giáo khoa Toán 8 hiện hành )

Ta có: n3 – n = n(n2 – 1)

= n(n – 1)(n + 1)6

Vì n(n – 1)(n + 1) là 3 số nguyên liên tiếp nên

n(n – 1)(n + 1)2 và n(n – 1)(n + 1)3 mà (2;3) =1 nên (n3 – n) 6 nZ

Bài toán 2: Cho A = n 5 – n

Chứng minh rằng A chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

( Đề thi HSG TP HCM )

Phân tích bài toán: Ta thấy để vận dụng được kết quả của bài toán 1 vào giải

quyết được bài toán này thì ta nghĩ ngay đến việc phân tích biểu thức A thành nhân tử trong đó có chứa thừa số (n 3 – n) chính là bài toán 1 nên (n 3 – n)6 Như vậy biểu thức A sau khi biến đổi trở thành bội của 6 nên A chia hết cho 6.

Giải:

Ta có: A = n5 – n

= n(n4 - 1)

= n(n2 – 1)(n2 + 1)

= (n3 – n)(n2 + 1)

Ta thấy: Theo kết quả bài toán 1 thì (n3 – n) 6 với mọi số nguyên n

 (n3 – n)(n2 + 1) là bội của 6 nên (n3 – n)(n2 + 1) 6

Vậy A chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

Bài toán 3: Cho B = n 3 m – nm

Chứng minh rằng B chia hết cho 6 với mọi số nguyên m, n

( Đề thi HSG Quận 1 – TP.HCM )

Phân tích bài toán: Cũng tương tự như bài toán 2 để vận dụng được bài toán 1

vào giải quyết bài toán này thì ta cũng nghĩ đến việc phân tích B thành nhân tử trong đó có chứa thừa số (n 3 – n) chính là bài toán 1 nên (n 3 – n)6 Như vậy biểu thức B sau khi biến đổi trở thành bội của 6 nên B chia hết cho 6 Nhưng khi phân tích B có thể đưa B về dạng B = mn(n 2 – 1), cũng xuất hiện

n(n 2 – 1)6 như bài toán 1 Tuy nhiên để áp dụng nhanh chóng kết quả của bài toán 1 ta nên phân tích B có chứa thừa số ( n 3 – n ) rồi kết luận như lời giải sau

là được.

Ta có: B = n3m - nm

= m ( n3 – n )

Ta thấy: Theo kết quả bài toán 1 thì (n3 – n) 6 với mọi số nguyên n

 m ( n3 – n ) là bội của 6 với mọi số nguyên m, n nên m ( n3 – n ) 6 với mọi số nguyên m, n

Vậy B chia hết cho 6 với mọi số nguyên m, n

Bài toán 4: Cho C = n 3 +5n

Chứng minh rằng C chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

( Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong )

Phân tích bài toán: Để vận dụng được kết quả của bài toán 1 ta phải làm trong

C xuất hiện (n 3 – n) Nếu như trong C có (n 3 – n) thì hạng tử tiếp theo của C sẽ là gì? Từ đó ta nghĩ ngay đến phương pháp tách hạng tử ta đưa được C về dạng tổng của hai biểu thức C = (n 3 – n) + D và rõ ràng C chia hết cho 6 thì D cũng phải chia hết cho 6 vì (n 3 – n) 6 chính là bài toán 1, từ đó kết luận C chia hết cho 6.

Giải:

Ta có: C = n3 +5n

= (n3 – n) + 6n

Ta thấy: Theo kết quả bài toán 1 thì (n3 – n) 6, kết hợp 6n6 với mọi số nguyên n  (n3 – n) + 6n chia hết cho 6

Vậy C chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

Bài toán 5: Cho E = a 3 b – ab 3

Chứng minh rằng E chia hết cho 6 với mọi số nguyên a, b

( Đề thi HSG Toán 8, Hà Tiên – Kiên Giang)

Phân tích bài toán: Để vận dụng được kết quả của bài toán 1 ta phải làm trong

E xuất hiện (a 3 – a) và (b 3 – b) Bằng phương pháp thêm bớt hạng tử ta đưa được E về dạng hiệu của hai biểu thức mà trong đó mỗi biểu thức đều chia hết cho 6 Ta thấy (a 3 – a)  6 và (b 3 – b)  6 chính là nội dung của bài toán 1 Từ

đó kết luận E chia hết cho 6.

Giải: Ta có: E = a3b – ab3

= (a3b – ab) – (ab3 –ab)

= b(a3 – a) – a(b3 –b)

Ta thấy: Theo kết quả bài toán 1 thì (a3 – a) 6 và (b3 – b) 6 với mọi số nguyên a, b  b(a3 – a) – a(b3 –b) chia hết cho 6 với mọi số nguyên a, b

Vậy E chia hết cho 6 với mọi số nguyên a, b

Bài toán 6 : Cho M = 1 3 + 2 3 + 3 3 + + 99 3 và N = 1 + 2 + 3 + + 99

Chứng minh rằng: M – N chia hết cho 6

( Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong )

Phân tích bài toán: Để vận dụng được kết quả của bài toán 1 ta phải biến đổi

hiệu M – N xuất hiện các cặp ( 13 – 1 ), ( 23 – 2 ), ( 33- 3 ), , ( 993- 99) Quan

sát bài toán ta thấy trong M có 1 3 trong N có 1, trong M có 2 3 trong N có 2,

trong M có 3 3 trong N có 3, , trong M có 99 3 trong N có 99 Như vậy khi lấy

M – N thì ta khéo léo ghép chúng thành từng cặp ( 13 – 1 ), ( 23 – 2 ),

( 33- 3 ), , ( 993- 99 ) chính là nội dung của bài toán 1 nên mỗi cặp chia hết

cho 6 thì hiệu của chúng chia hết cho 6

Giải:

Ta có: M – N = (13 + 23 + 33 + + 993) – (1 + 2 + 3 + + 99 )

= ( 13 – 1 ) + ( 23 – 2 ) + ( 33- 3 ) + + ( 993- 99 )

Ta thấy:

Theo kết quả bài toán 1 thì mỗi biểu thức trong dấu ngoặc chia hết cho 6

nên ( M – N )6

Bài toán 7: Cho S1 = a1 3 + a2 3 + a3 3 + + an 3

S2 = a1 + a2 + a3 + + an ( a1, a2, a3, ,anZ)

Chứng minh nếu S16 thì S26 điều ngược lại có đúng không?

( Đề thi HSG Bảo Lộc – Lâm Đồng )

Phân tích bài toán: Bài toán 7 là bài toán tổng quát hóa của bài toán 6 Điều

đó định hướng cho chúng ta phân tích bài toán để áp dụng được kết quả của bài toán 1 Do đó từ bài toán 6 định hướng cho ta xét hiệu S1 – S2 rồi lí luận như lời giải sau ta sẽ có câu trả lời

Giải:

Xét S1 – S2 = (a13 + a23 + a33 + + an3) – (a1 + a2 + a3 + + an)

= (a13 - a1) + (a23 – a2) + (a33 – a3) + + (an3 – an)

Ta thấy:

Theo kết quả bài toán 1 thì mỗi biểu thức trong dấu ngoặc chia hết cho 6

 ( S1 – S2 ) 6 Do đó nếu S16 thì S26, nếu S26 thì S16, điều ngược lại vẫn đúng

Bài toán 8: Nếu viết số 1995 1995 thành tổng của các số tự nhiên Tổng các lập phương đó chia cho 6 thì dư bao nhiêu?

( Đề thi HSG Châu Thành – Bến Tre )

Phân tích bài toán: Thoạt nhìn ta thấy bài toán trên là một bài khó nhưng với 2

gợi mở ( tổng các số và tổng các lập phương các số của a ) cho ta hướng giải quyết bài toán, để vận dụng được bài toán 1 ta đưa bài toán về dạng

(a1 3 - a1) + (a2 3 - a2) + …+ (an 3 - an) + a, trong đó mỗi biểu thức trong dấu ngoặc chính là nội dung của bài toán 1 nên mỗi biểu thức đều chia hết cho 6 Do

đó từ việc tìm số dư khi chia tổng các lập phương cho 6 ta đưa về tìm số dư khi chia a cho 6.

Giải:

Giả sử số 19951995 viết được dưới dạng: 19951995 = a = a1 + a2 + …+ an

a  a + a + + a + a - a = (a1 3 - a1) + (a2 3 - a2) + …+ (an 3 - an) + a

Theo kết quả bài toán 1 thì mỗi biểu thức trong dấu ngoặc chia hết cho 6 Nên chỉ cần tìm số dư khi chia a cho 6

Vì 1995 là số lẻ chia hết cho 3, nên a củng là số lẻ chia hết cho 3, do đó chia cho

6 dư 3

Với cách làm như thế thì ta có thể giải quyết được những kiểu bài toán khác tương tự Ví dụ như bài toán sau:

( Đề thi học sinh giỏi Tỉnh Hà Tĩnh năm 2012 – 2013)

Viết 2012 2013 = m1 + m2 + …+ m2012 (m 1, m2 , , m2012 N)

Hỏi: m1 3 + m2 3 + + a2012 3 chia hết cho 3 dư mấy?

Bài toán 9: Cho 3

2n n

 ( n2,n N ) Chứng minh rằng A chia hết cho 64.

( Đề thi HSG Tiên Lữ – Hưng Yên)

Phân tích bài toán: Thoạt nhìn ta thấy ngay n 3 – n chính là bài toán 1

Do đó n 3 – n chia hết cho 6 nên ta viết n 3 – n dưới dạng: n 3 – n = 6k (kN* )

và lí luận như lời giải sau ta sẽ có câu trả lời.

Giải:

Ta thấy với điều kiện (n2,n N ), theo kết quả bài toán 1 thì (n3 –n)6 nên

n3 – n viết được dưới dạng n 3 – n = 6k (kN* )

Do đó A = 26k = (26)k = 64k

64  (kN*)

Vậy A64 với mọi n thỏa mãn n 2,nN

Bài toán 10: Cho F = n 4 + 3n 3 - n 2 - 3n

Chứng minh rằng F luôn chứa hai ước nguyên tố 2 và 3 với mọi nZ

Phân tích bài toán: Để vận dụng được kết quả của bài toán 1 ta phải làm trong

F xuất hiện n 3 - n Nhưng khi phân tích F có thể đưa F về dạng

F = n(n 3 + 3n 2 – n - 3), rồi tiếp tục phân tích biểu thức trong dấu ngoặc ta có F

= n (n2 - 1)(n + 3), cũng xuất hiện n(n 2 – 1)6 như bài toán 1 Tuy nhiên để áp dụng nhanh chóng kết quả của bài toán 1 ta chỉ cần phân tích F có chứa thừa số ( n 3 – n ) rồi kết luận như lời giải sau là được

Giải:

Ta có: F = n4 + 3n3 - n2 - 3n

= (n4 + 3n3) - (n2 + 3n)

= n3( n + 3) - n( n + 3)

= (n3 - n)(n + 3)

Ta thấy: Theo kết quả bài toán 1 thì (n3 – n) 6 với mọi số nguyên n

 ( n3 – n )( n + 3 ) là bội của 6 với mọi số nguyên n nên F2 và F3

Vậy F luôn chứa hai ước nguyên tố 2 và 3 với mọi nZ

Bài toán 11: Cho đa thức G = x 4 + 3x 3 - x 2 - 15x + 13 (xZ)

Tìm số dư trong phép chia A cho 6

( Đề thi HSG Thọ Xuân – Thanh Hóa)

Phân tích bài toán: Bằng phương pháp tách và nhóm hạng tử ta khéo léo đưa

đa thức về dạng (x 3 - x)(x + 3)-12(x - 1)+1 trong đó (x 3 - x)(x + 3) 6 (theo kết

quả bài toán 1) và 12(x - 1)6 (bội của 6), điều đó có nghĩa là đa thức G chia cho 6 có số dư là 1

Giải:

Ta có: G = x4 + 3x3 - x2 - 15x + 13

= (x4 + 3x3) - (x2 + 3x) – (12x – 12) + 1

= x3( x + 3) - x( x + 3) – 12( x – 1 ) + 1

= (x3 - x)(x + 3) - 12(x - 1) + 1

Do (x3 - x)6 (theo kết quả bài toán 1) và 12( x – 1)6 Vậy G chia cho 6 dư 1

Bài toán 12: Chứng minh rằng với mọi x, y  Z thì các phương trình sau không có nghiệm nguyên

a) x3 - x – 6y + 2 = 0

b) x3 - x – 2y – 1 = 0

Phân tích bài toán: Thoạt nhìn ta dễ nhận thấy x 3 – x chính là nội dung của bài

toán 1 Để vận kết quả bài toán 1 ta khéo léo phân tích bài toán về dạng:

- Với lời giải câu a) (x 3 - x)6 ta khẳng định 3

6

x  x là một số nguyên

- Với lời giải câu b) (x 3 - x)6 ta khẳng định (x 3 - x) là một số chẵn

Câu b) ta cũng có thể trình bày như câu a), nhưng với cách giải khác ta sẽ thấy

sự đa dạng trong vận dụng kết quả của bài toán 1.

Giải:

a) Ta có: x3 - x – 6y + 2 = 0  6y = x3 - x + 2

 y = 3 2

6

x  x

 y = 3 1

x  x

Do (x3 - x)6 (theo kết quả bài toán 1), còn 13 => y  Z

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên

b) Ta có: x3 - x – 2y – 1 = 0  x3 - x = 2y + 1

Do (x3 - x)6 (theo kết quả bài toán 1) => x3 - x là số chẵn, mà 2y + 1 là số lẽ nên phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên

Bài toán 13: Cho

6 18

a

Chứng minh rằng M nguyên với mọi a3,a Z

( Đề thi HSG Hàm Thuận – Bình Thuận )

Phân tích bài toán: Hướng giải bài toán trước hết chúng ta rút gọn M bằng

tích tử thành nhân tử và đưa được về thừa số (a 3 - a)(a + 3), còn mẫu dễ dàng phân tích được 6(a +3) và sau khi rút gọn M ta được M

3

6



rõ ràng

theo kết quả bài toán 1 thì (a 3 - a)6 nên kết luận M nguyên với mọi a 3,a Z

Giải: Ta có:

4 3 3 2 3

a a a a M

a





3 ( 3) ( 3)

a a a a

a





3

a a a a





3

6

a  a



Do (a3 - a)6 (theo kết quả bài toán 1) Vậy M nguyên với mọi a 3,a Z

Bài toán 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của m để phương trình

x3 + 3x 2 + 2x = 6y – m + 1 có nghiệm nguyên với x y Z m N,  , 

( Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong )

Phân tích bài toán: Bằng phương pháp tách và nhóm hạng tử ta đã biến đổi bài

toán về sử dụng được kết quả bài toán 1 sau đó dùng lập luận để tìm ra giá trị nhỏ nhất của m thỏa mãn bài toán.

Lưu ý: Ở đây bài toán không yêu cầu tìm nghiệm nguyên x, y trong trường hợp

m = 1 nên lời giải chỉ dừng lại chổ đó

Giải:

Ta có: x3 + 3x2 + 2x = 6y – m + 1

 6y = (x3 + 3x2 + 3x + 1) – (x + 1) + (m – 1)

 6y = (x + 1)3 – (x + 1) + (m – 1)

 ( 1)3 ( 1) ( 1)

6

y      



3

y      (1)

   (theo kq bài toán1) nên để y nguyên thì 1

6

m 

nguyên,

Do m N nên:

+) Với m = 0 thì yZ

+) Với m  1 thì giá trị nhỏ nhất của m = 1 thử với m = 1 thì y Z