Đề thi và lời giải vào chuyên sư phạm 2012 môn toán (chung)

Như vậy sẽ mất thời gian và ảnh hưởng đến tâm lý làm bài của các em... Nhận xét: Đây là bài toán dễ, chỉ cần chú ý đến các điều kiện của đề bài về vận tốc, đường đi là ta có thể giải đượ

ĐỀ THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM 2012

Môn Toán – Đề thi chung

Bài giải

Câu 1:

Trước hết ta đặt điều kiện cho biểu thức dưới mẫu số và biểu thức dưới dấu căn thức

Nhận thấy giả thiết a>b>0 nên các biểu thức a b− , a b+ + a b− và

a −b đều có nghĩa

Ta chỉ cần tìm điều kiện để: a2 −b2 − + ≠a b 0

a b a b a b

Dễ dàng nhận thấy biểu thức trên cũng khác không

Đây là bài toán dễ, các em học sinh chỉ cần chú ý đến việc tách thành các nhân tử dựa vào đẳng thức x2 −y2 = − (x y x y)( + )

Ta có:

P

a b a b a b a b a b

.

.

.

.

a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a b a b a b

−

2 2 22 22 2 2

2

.

a b a b a b b

b) Biết a-b = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Đây là dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức có điều kiện.

Thay a=b+1 ta có: P a2 b2 (b 1)2 b2 2b2 2b 1 2b 2 1

Đến đây ta nhìn thấy bất đẳng thức Cô-si cho 2 số:

2b 2 (2 )(b ) 2 2

Dấu bằng xảy ra khi: 2 1 1

2

b

= ⇔ =

Từ đó suy ra: P≥ + 2 2 2 và dấu bằng xảy ra khi 1

2

b= .

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 2 2 + khi 1

2

b= và 1 1

2

a= +

Nhận xét: Đây là dạng toán hết sức cơ bản Câu a để kiểm tra kiến thức cơ bản, còn câu b là dạng toán tìm giá trị nhỏ nhât Các em cần cẩn thận để không bị nhầm lẫn ở câu a, qua đó có thể giải đúng câu b Một số em, do không cẩn thận nên làm nhầm câu a, sau đó mày mò mãi mà không ra câu b Như vậy sẽ mất thời gian và ảnh hưởng đến tâm lý làm bài của các em

Câu 2:

Gọi vận tốc của xe máy là x, vận tốc của oto là y

Do khi hai xe gặp nhau thì tổng quãng đường 2 xe đi được là AB = 210

Vậy thời gian hai xe gặp nhau là: x y210+

M

Sau khi gặp nhau xe máy đi thêm 4h nữa thì đến B tức là xe máy đã đi được

210 km

Vậy ta có phương trình:

210 ( 4).x 210

x y+ = +

Tương tự, sau khi gặp nhau, oto đi thêm 2,25h thì đến A tức là đi được BA = 210km

Suy ra: ( 210 2, 25).y 210

+

Đến đây ta dễ dàng giải được hệ phương trình hai ẩn Ta có nghiệm:

x=30(km/h), y =40(km/h)

Nhận xét: Đây là bài toán dễ, chỉ cần chú ý đến các điều kiện của đề bài (về vận tốc, đường đi) là ta có thể giải được

Câu 3.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

Vậy m=2 và m=-6 là các giá trị cần tìm.

Câu 4:

ChuTieu xin lỗi vì không vẽ được hình nha Các em chịu khó tự vẽ nhé Gõ công thức Toán nhiều mỏi quá

90 2

Ta có theo tính chất tiếp tuyến AK, AL là hai tiếp tuyến của đường tròn:

0

180

KOL BAC KOL KON NOE EOM MOL

Tương tự NK, NE, ME, ML là tuyến tuyến của đường tròn:

Suy ra:

KON NOE EOM MOL

90 2

b) Gợi ý: Chứng minh OE, MQ, NP là 3 đường cao của tam giác

c) ChuTieu xin gợi ý nhé: Các em tự chứng mình nếu không được thì alo ChuTieu sẽ giải đáp

Ta đi chứng minh hai tam giác LPM đồng dạng với tam giác KNQ (góc – góc)

Câu 5:

Các em học sinh để ý thấy nếu chúng ta bình phương hai vế thì sẽ xuất hiện

x2, y2 và xy mà thôi Như thế sẽ triệt tiêu được x-y và x+y

(Chú ý: x,y là các số thực dương nên chúng ta không cần đặt điều kiện cho biểu thức dưới căn thức nữa

Ta có:

xy x y x y

xy x y x y

xy x xy y x xy y

Đến đây các em để ý nếu ta thêm bớt khéo léo sẽ được được về dạng sau:

2 2 2

4

1

xy x xy y xy x xy y

xy x xy y x y x xy y

xy x xy y x y

x y

x y

xy

−

Chú ý lập luận là xy – 1 khác 0 nên ta có thể chia được như trên Hơn nữa từ biểu thức trên ta cũng dễ dàng suy ra xy – 1 > 0 (vì các số còn lại đều > 0) Như vậy ta đã đưa được biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất về dạng đơn giản

ở trên

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

4 1

x y

xy− Như vậy, một

lần nữa trong đề thi lại có bài về GTNN Vì thế, các em có thể nhận thấy đây

là dạng toán quen thuộc và phổ biến trong chương trình thi

Đặt xy – 1 = a Bài toán trở thành tìm GTNN của 4(a 1)2

a

Đến đây thì quá dễ rồi phải không nào? Em nào còn thấy khó thì đến gặp ChuTieu nhé ChuTieu sẽ bổ túc cho đến khi nào không thấy khó nữa thì thôi

Ta có:

2 2

( 1) 4

4( 1)

16

a

a

+

Dấu bằng xảy ra khi a = 1 hay xy = 2

Từ đó suy ra: 2

(x y+ ) ≥ 16 => + ≥x y 4 Dấu bằng xảy ra khi xy = 2

Từ xy = 2 kết hợp với điều kiện đề bài xy x y( − ) = +x y ta tìm được x và y Đây là bài giải hệ đơn giản, ChuTieu để các em tự giải nha

Nhận xét và góp ý của ChuTieu

- Đây là đề thi chung nên tương đối dễ Chỉ cần nắm chắc các kiến thức

cơ bản là giải được Kiến thức nào cần dùng đến thì thông qua bài giải các em tự tìm hiểu và bổ sung cho mình nhé

- Khi các em giải đề thi, hay làm bài tập, nên phân loại bài tập Xem bài tập thuộc dạng nào, như thế các em sẽ có thể tổng hợp, và luyện tập 1 cách dễ dàng

- Khi các em học theo chuyên đề, việc giải 1 bài toán cùng dạng với chuyên đề mà các em đang học sẽ không là điều khó khăn vì các em đang quen với dạng đó Tuy nhiên khi đi thi, đứng trước đề thi có nhiều bài tập thuộc nhiều dạng khác nhau, việc này sẽ khó khăn hơn

Vì thế, việc nhìn nhận bài toán và phân loại được bài toán đó, cùng với những nhận xét để đi đến cách giải là hết sức quan trọng

- ChuTieu rất mong muốn các em rèn luyện được điều này Các em có thể giải nhiều bài toán, nhớ cách giải, nhưng các em nên nhớ rằng khi

đi thi không mấy khi các em gặp bài đã làm, mà chỉ gặp “dạng” đã làm Như vậy, nhận biết dạng toán và vận dụng cách giải đã học để giải là việc quan trọng hơn

“Quá trình giải được bài toán, quan trọng hơn lời giải một bài Toán” Các em thử suy nghĩ xem nhé Hãy đặt câu hỏi, tại sao lại nghĩ ra cách giải như vậy???

Chúc các em học tốt

Hà nội, ngày 28/06/2012 ChuTieuThichHocToan