Download đề thi và đáp án thi học sinh giỏi lớp 11 môn toán khối chuyên năm học 2003 2004 (vòng 1) tỉnh quảng bình (2)

sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Môn : toán - lớp 11 chuyên Đề chính thức * Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài.. Thí sinh giải cách khác đáp án nhng đún

sở giáo dục và đào tạo kỳ thi chọn học sinh giỏi Tỉnh quảng bình Môn : TOáN - lớp 11 chuyên

( vòng 1) Năm học : 2003 - 2004 đề chính thức

Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (2,0 điểm):

Với giá trị nào của m thì giá trị lớn nhất của hàm số f(x) 5x x 2 x m







 luôn luôn nhỏ hơn 7 ?

Bài 2 (2,0 điểm): Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :

2003 2005 x 2 x

Bài 3 (2,0 điểm): Giải phơng trình :

x

1 2

1 2

2

x 2x 1 x

x 1











Bài 4 (2,0 điểm): Tính giới hạn :

 2004

2003 1

πxx sin lim L





Bài 5 (2,0 điểm): Chứng minh rằng, với mọi số tự nhiên n ≥ 3 thì :

1) (n log n

logn1  n 

Họ và tên :

Số BD :

sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh

Môn : toán - lớp 11 chuyên

Đề chính thức

* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài Thí sinh giải cách khác đáp án nhng

đúng vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo biểu điểm của từng bài Trong bài làm của thí sinh, yêu cầu phải trình bày đầy đủ, lập luận chặt chẽ, lô gíc.

* Nếu thí sinh giải sai bớc trớc thì cho điểm 0 đối với các bớc giải sau có liên quan

trong lời giải của từng bài.

* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm, những điểm

thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25

điểm.

* Điểm tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài là kết quả của thí sinh

điểm

Bài 1 ( 2,0 điểm) : Ta có : maxf(x) < 7  f(x) < 7 ,  x 0,25

Tức là : 5x - x2 + x  m < 7 ,  x  x  m < x2 - 5x + 7 ,  x (1) 0,25

Nhận xét : x2 - 5x + 7 > 0 ,  x Do đó :

























x , 0 m -7 4x x

x , 0 m 7 6x x 1)

2

0,5

























0 m) (7 4 Δ

0 m) (7 9 Δ

2 ' 1 '

0,5

2 m 3

3 m 2 m















Bài 2 ( 2,0 điểm) : Tập xác định của hàm số f(x) là :

0,25

Nhận xét : f(x) là hàm số lẻ trên D nên chỉ cần xét f(x) trong từng nửa khoảng xác định D

+ Với x 0 ; 2005 :

f(x)  x2003  2005  x 2  x 2003 2003  1 2005  x 2 0,25

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốp xki :

2

x 2005 1).(2003

(2003 x

áp dụng bất đẳng thức Cô-si :

2004 2004 2

x 4008 x

2004 f(x)

2 2



















2 2

x 4008 x

1 x 2005

2004 x 2004 x 2004 x

2 2













+ Với x  2005 ; 0 : Hoàn toàn tơng tự, ta có :

2004 2004

0,25

Dấu đẳng thức xãy ra khi và khi : x   2004 0,25

Kết luận : maxf(x) = 2004 2004 , đạt đợc khi x  2004

minf(x) = - 2004 2004 , đạt đợc khi x   2004 0,25

0,25

2 2

2 2

x

x 1 x

2x 1 x

2x x x

2 1 x

1 2

1











Phơng trình đã cho trở thành :

























2

2 2

x 2x 1 x x 1

x

x 1 x

2x 1 2

1 2

2

0,25

2 x

2x 1 2

2 x

x 1

x

2x 1 2

1 2

x

x 1 2

1

2





















0,25

2

1 2





Nhận thấy f(x) là hàm số đồng biến (bằng tổng của hai hàm số đồng biến) 0,25

Do đó :







































0 2x x x

2x -1 x

x -1 x

2x -1 f

x

x

-1

2 2

2 2

2

2

0,25

 x = 0 hoặc x = 2 Đối chiếu với điều kiện đã đặt, loại nghiệm x = 0 0,25

Kết luận : Phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2 0,25

Bài 4 ( 2,0 điểm) : Ta có :

x 1 πxx 1 πx

πx -πxx sin

1 x πx 1 x πx

πx -πxx sin lim L

n n

n

m m

m

1 x















x 1 1

πx

πx πxx sin

m 1





0,25

x 1 1

πx

πx πxx sin

n 1





Do đó :

n

m )

x x

1)(1 (x

) x x

1)(1 (x lim 1

x

1 x lim

1 -m 1

x n

m 1





























0,5 Thay: m = 2003 , n = 2004 Kết quả :

2004

2003

0,5

Bài 5 ( 2,0 điểm) : Với mọi số tự nhiên n  3, ta luôn có :

1 n

1 1 1 n

1















































1 1 log n

1 1 log 1

n

1 1



























n

1 n log 1

n

n











1) (n log n