bài toán tựa cân bằng tổng loại i và các vấn đề liên quan

23 2.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I và những bài toán liên quan.. Trong luận văn này ta trình bày sự mở rộng của bài toán trêncho lớp bài toán tựa cân bằn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Lời nói đầu 2

1 Kiến thức cơ bản của giải tích đa trị 5

1.1 Tập lồi và các tính chất 5

1.2 Nón và các khái niệm liên quan 7

1.3 ánh xạ đa trị 8

1.4 Tính liên tục và liên tục theo nón của ánh xạ đa trị 12

1.5 Tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị 16

1.6 Các định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị 19

2 Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I 22 2.1 Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I 22

2.2 Một số bài toán liên quan 23

2.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I và những bài toán liên quan 25

3 ứng dụng vào các bài toán tối ưu đa trị 38 3.1 Bài toán tựa tối ưu loại I 38

3.2 Bài toán quan hệ tựa biến phân loại I 43

3.3 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng trên loại I 45

Tài liệu tham khảo 51

Lời nói đầu

Bài toán điểm cân bằng được hình thành từ khái niệm điểm hữu hiệu

mà Edgeworth và Pareto đề xướng từ cuối thế kỷ 19 Sau đó nó được nhiềunhà toán học như Debreu, Nash, sử dụng để xây dựng những mô hình kinh

tế mà trong những năm cuối thế kỷ 20, nhiều nhà kinh tế trên thế giới quantâm khai thác Để chứng minh sự tồn tại điểm cần bằng của mô hình kinh

tế, đầu tiên người ta thường sử dụng các định lý bất động kiểu Brouwer [4],Katutani [11], KyFan [8], Browder [5], Sau này, người ta đã chỉ ra rằng

định lý điểm bất động Brouwer tương đương với định lý về sự tương giaohữu hạn của các tập compact, định lý không tương thích của Hoàng Tụy [22]

và định lý KKM [12] Như vậy người ta đã tìm ra nhiều phương pháp khácnhau để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán Năm 1972 Ky Fan [7]

và năm 1978 Brower-Minty [18] đã phát biểu bài toán một cách tổng quát vàchứng minh sự tồn tại nghiệm của nó với những giả thiết khác nhau Kết quảcủa Ky Fan nặng về tính nửa liên tục trên, còn kết quả của Brower-Mintynặng về tính đơn điệu của hàm số Năm 1991, Blum và Oettli [3] đã phátbiểu bài toán cân bằng tổng quát và tìm cách liên kết các bài toán của KyFan và Brower-Minty với nhau thành dạng chung cho cả hai Các tác giả đãchứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán này dựa trên nguyên lý KKM.Bài toán điểm cân bằng bao gồm các bài toán tối ưu, bất đẳng thức biếnphân, điểm bất động, bài toán bù, bài toán điểm yên ngựa, bài toán cân bằngNash Bài toán này đã được N X Tấn, Phan Nhật Tĩnh [23] và J Lin [13]

mở rộng cho trường hợp véctơ và đa trị, hơn nữa nó còn mở rộng cho cácbài toán bao hàm thức tựa biến phân, bài toán tựa cân bằng, bài toán quan

hệ biến phân Trong luận văn này ta trình bày sự mở rộng của bài toán trêncho lớp bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I và các ứng dụng của nó

Về bố cục, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo luận văngồm 3 chương:

Chương 1: Trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của nón, kháiniệm và các tính chất của ánh xạ đa trị, các phép tính về ánh xạ đa trị, tínhliên tục và liên tục theo nón của ánh xạ đa trị, tính lồi theo nón của ánh xạ

đa trị và một số định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị cần dùng tới trongluận văn này

Chương 2: Trình bày về bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I và một

số bài toán liên quan như: bài toán tựa cân bằng vô hướng, bài toán tựa cânbằng lý tưởng trên, bài toán bao hàm tựa biến phân véctơ tổng quát và xét sựtồn tại nghiệm của chúng

Chương 3: Trình bày về bài toán tựa tối ưu, bài toán quan hệ tựa biếnphân, bài toán bao hàm tựa biến phân lý tưởng trên và sự tồn tại nghiệm củachúng cũng như mối quan hệ của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I vớicác bài toán khác

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình, chu đáocủa GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc

đến thầy về sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy trong suốt quá trình tôi thực hiệnluận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Cao đẳng Kinh tế - kỹthuật cùng toàn thể các bạn đồng nghiệp trong trường đã tạo điều kiện thuậnlợi cho tôi trong suốt quá trình học tập

Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới trường ĐHSP TháiNguyên, Khoa Toán, các thầy cô trong trường đã tạo điều kiện thuận lợicho tôi thực hiện tốt kế hoạch học tập của mình

Cuối cùng, tôi xin được bày tỏ sự biết ơn tới gia đình tôi đã luôn bêncạnh ủng hộ động viên và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi được học tập và hoànthành luận văn này

Do điều kiện thời gian và khả năng bản thân nên luận văn không thể tránhkhỏi những thiếu sót Vì vậy tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến củacác thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.

Kiến thức cơ bản của giải tích đa trị

Trong chương này, ta trình bày một số kiến thức cơ sở về giải tích lồi nhưtập lồi, nón lồi, khái niệm và các tính chất của ánh xạ đa trị, tính liên tụctheo nón của ánh xạ đa trị, tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị và một số định

lý điểm bất động Những kiến thức này phục vụ cho việc nghiên cứu các bàitoán ở chương sau

1.1 Tập lồi và các tính chất

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X là không gian tuyến tính Tập A ⊂ X được gọi

là lồi nếu với mọi x1, x2 ∈ A, t ∈ [0, 1] thì tx1 + (1 − t)x2 ∈ A

Ví dụ 1.1.2 Các hình tam giác, các hình tròn trong mặt phẳng và hình cầu

đơn vị trong không gian Banach là các tập lồi

Mệnh đề 1.1.3 Các khẳng định sau là đúng:

(i) Giao của một họ bất kỳ các tập lồi là tập lồi;

(ii) Tích đề các của các tập lồi là tập lồi;

(iii) Tập ảnh và ảnh ngược của một tập lồi qua ánh xạ tuyến tính là tậplồi;

(iv) Với A, B là các tập lồi và t ∈ R thì tA, A + B là các tập lồi, với

(i) intA, A là các tập lồi;

(ii) Với x ∈ intA, y ∈ A ta có

[x, y) = {tx + (1 − t)y | 0 < 1 ≤ 1} ⊂ intA;

(iii) A = intA;

(iv) int(A) = intA

Định nghĩa 1.1.5 Cho A ⊂ X và n điểm x1, , xn ∈ A.Điểm x = Pn

Từ định nghĩa trên ta thấy coA là tập lồi đó là tập lồi nhỏ nhất chứa A,coA là tập lồi đóng đó là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa A

Mệnh đề 1.1.7 Các khẳng định sau là đúng:

(i) coA trùng với tất cả các tổ hợp lồi trong A;

(ii) coA = coA

1.2 Nón và các khái niệm liên quan

Giả sử Y là không gian tuyến tính Ta nhắc lại các khái niệm về nón nhưsau

Định nghĩa 1.2.1 Tập C ⊂ Y được gọi là nón có đỉnh tại gốc trong Y nếu

tc ∈ C với mọi c ∈ C, t ≥ 0 Tập C ⊂ Y được gọi là nón có đỉnh tại y0 nếutập C − {y0} là nón có đỉnh tại gốc

Trong luận văn này, ta chỉ quan tâm đến nón có đỉnh tại gốc và gọi ngắngọn là nón Nón C được gọi là nón lồi nếu C là tập lồi, nón C được gọi lànón đóng nếu C là tập đóng Trong trường hợp Y là không gian tôpô tuyếntính và C là nón trong Y , ta kí hiệu clC, intC, convC lần lượt là bao đóng,phần trong và bao lồi của nón C Kí hiệu l(C) = C ∩ (−C), ta thấy rằng:Nếu C là nón lồi thì l(C) là không gian con tuyến tính nhỏ nhất nằm trong

C và nó được gọi là phần trong tuyến tính của nón C Ta có các khái niệmsau về nón

(i) Nón C được gọi là nón nhọn nếu l(C) = {0};

(ii) Nón C được gọi là nón sắc nếu bao đóng của nó là nón nhọn;

(iii) Nón C được gọi là nón đúng nếu cl(C) + C \ l(C) ⊂ C

Ta thấy rằng nếu C là nón đóng thì C là nón đúng

Mệnh đề 1.2.2 Các khẳng định sau là tương đương

(i) C là nón lồi;

(ii) C + C ⊂ C và tC ⊂ C, với mọi t ≥ 0

Với nón C cho trước trong Y , ta định nghĩa quan hệ thứ tự trên Y nhưsau: x, y ∈ Y, x ≥C y nếu x − y ∈ C Nếu không có sự nhầm lẫn, ta có thểviết đơn giản là x ≥ y

Cho x, y ∈ Y , ta kí hiệu x > y nếu x − y ∈ C \ l(C) và x >> y nếu

x − y ∈ int(C)

Nếu C là nón lồi thì quan hệ thứ tự trên là tuyến tính nên nó là quan hệthứ tự từng phần trên Y Hơn nữa, nếu C là nón nhọn thì quan hệ trên có tínhphản đối xứng tức là, nếu x ≥ y và y ≥ x thì x = y Từ định nghĩa nón ởtrên, ta thấy tập {0} và cả không gian Y đều là nón trong Y Ta gọi chúng

Định nghĩa 1.3.2 Đồ thị gphF , miền hữu hiệu domF và miền ảnh rgeFcủa ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y tương ứng được xác định bởi công thức sau

gphF = {(x, y) ∈ X ì Y | y ∈ F (x)};

domF = {x ∈ X | F (x) 6= φ};

rgeF = {y ∈ Y | ∃x ∈ X sao cho y ∈ F (x)}

Ví dụ 1.3.3 Xét phương trình đa thức: xn+ a1xn−1+ + an−1x + an = 0,với n là số nguyên dương và ai, i = 1, 2, , n là các hệ số thực Quy tắccho tương ứng với mỗi véc tơ a = (a1, a2, , an) ∈ Rn với tập nghiệm, kýhiệu bởi F (a), của phương trình trên cho ta một ánh xạ đa trị F : Rn

⇒ C

từ không gian Rn vào tập các số phức C Theo định lý cơ bản của đại số,

F (a) 6= φ với mọi a ∈ Rn nên domF = Rn Hơn nữa, rgeF = C vàgphF = {(a, x) ∈ Rn ì C | xn+ a1xn−1+ + an−1x + an = 0}

Định nghĩa 1.3.4 Cho F, G : X ⇒ Y là hai ánh xạ đa trị, α là một số thực

và A là tập con của Y Khi đó F ∩ G, F ∪ G, F + G, αF là các ánh xạ đatrị xác định trên X và lấy giá trị trên Y được cho bởi các công thức sau:

(F ∩ G)(x) = F (x) ∩ G(x), x ∈ X(F ∪ G)(x) = F (x) ∪ G(x), x ∈ X(F + G)(x) = F (x) + G(x), x ∈ X(αF )(x) = αF (x), x ∈ X

Định nghĩa 1.3.5 ánh xạ ngược F−1

: Y ⇒ X của ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y

được xác định bởi công thức

F−1(y) = {x ∈ X | y ∈ F (x)}, y ∈ Y

Định nghĩa 1.3.6 Nếu M ⊂ X là một tập con cho trước thì hạn chế của Ftrên M là ánh xạ đa trị F |M: M ⇒ Y được xác định bởi

F |M (x) = F (x), x ∈ M

Định nghĩa 1.3.7 Cho I là tập chỉ số khác rỗng, Fi : D −→ 2Yi là các ánhxạ đa trị từ D vào Yi, (i ∈ I) ánh xạ tích của các ánh xạ Fi, (i ∈ I), kýhiệu F = Q

i∈I

Fi, là một ánh xạ đa trị từ D vào Y = Q

i∈I

Yi, được định nghĩabởi

được gọi là ánh xạ hợp (hay tích) của F và G

Định nghĩa 1.3.9 Cho X, Y là hai không gian tôpô khác rỗng và F : X ⇒ Y

Ta dễ dàng thấy nếu F là ánh xạ đa trị đóng thì F là ánh xạ đa trị có giátrị đóng và nếu F là ánh xạ đa trị lồi thì F là ánh xạ đa trị có giá trị lồi.Nhưng điều ngược lại không đúng.

Nếu X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính, F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị,

ta thường dùng các kí hiệu F và coF để chỉ các ánh xạ đa trị được cho bởicông thức

Ta có

F (x) =

([0, 1] nếu x 6= 0{0} nếu x = 0

là ánh xạ đa trị có giá trị đóng nhưng không là ánh xạ đa trị đóng

Ví dụ 1.3.11 ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi

F (x) = {sinx, cosx}, ∀x ∈ R

Ta thấy:

(coF )(x) = co{sinx, cosx}

là ánh xạ đa trị có giá trị lồi nhưng không phải là ánh xạ đa trị lồi

Bao đóng và bao lồi của ánh xạ đa trị F là các ánh xạ clF và convF đượccho bởi công thức sau:

clF (x) = {y ∈ Y | (x, y) ∈ gphF , ∀x ∈ X};

convF (x) = {y ∈ Y | (x, y) ∈ co(gphF ), ∀x ∈ X}

Ta thấy clF là ánh xạ đa trị đóng, convF là ánh xạ đa trị lồi

+ Nếu F là ánh xạ trong ví dụ 1.3.10 thì

(clF )(x) = [0, 1], ∀x ∈ Rvà

(convF )(x) =

((0, 1) nếu x 6= 0[0, 1) nếu x = 0+ Nếu F là ánh xạ trong ví dụ 1.3.11 thì

(clF )(x) = {sinx, cosx}, ∀x ∈ R;

(convF )(x) = [−1, 1], ∀x ∈ R

1.4 Tính liên tục và liên tục theo nón của ánh xạ đa trị

Trước khi định nghĩa về tính liên tục và liên tục theo nón của ánh xạ đa trị

ta nhắc lại định nghĩa về tính liên tục của ánh xạ đơn trị

Cho X, Y là hai không gian tôpô, f là ánh xạ đơn trị từ X vào Y , f đượcgọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi tập mở V chứa f(x0) tồn tại tập mở

U chứa x0 sao cho f(U) ⊂ V Trường hợp F : X −→ 2Y là ánh xạ đa trị,Berge đã định nghĩa về nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của F như sau

Định nghĩa 1.4.1 Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị giữa hai không gian tôpô

X và Y

(i) Ta nói F là nửa liên tục trên tại x ∈ domF nếu với mọi tập mở V ⊂ Ythỏa mãn F (x) ⊂ V, tồn tại lân cận mở U ⊂ X của x sao cho F (x) ⊂ V,với mọi x ∈ U ∩ domF

Nếu F là nửa liên tục trên tại mọi điểm thuộc domF thì F được gọi lànửa liên tục trên ở trong X.

(ii) Ta nói F là nửa liên tục dưới tại x ∈ domF nếu với mọi tập mở

V ⊂ Y thỏa mãn F (x) ∩ V 6= φ, tồn tại một lân cận mở U ⊂ X của x saocho F (x) ∩ V 6= φ, với mọi x ∈ U ∩ domF

Nếu F là nửa liên tục dưới tại mọi điểm thuộc domF thì F được gọi lànửa liên tục dưới ở trong X

(iii) Ta nói F là liên tục tại x ∈ domF nếu F đồng thời là nửa liên tụctrên và nửa liên tục dưới tại x

Nếu F là liên tục tại mọi điểm thuộc domF thì F được gọi là liên tục ởtrong X

Ví dụ 1.4.2 ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi

là ánh xạ nửa liên tục trên ở trong R nhưng không là nửa liên tục dưới tại

x = 0

Ví dụ 1.4.3 ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi

F (x) =

([0, 1] nếu x 6= 0{0} nếu x = 0

là ánh xạ nửa liên tục dưới ở trong R nhưng không là nửa liên tục trên tại

x = 0

Ví dụ 1.4.4 ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi

F (x) = co{sinx, cosx}

liên tục ở trên R

Ví dụ 1.4.5 ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi

F (x) =

([0, 1] nếu x là số hữu tỷ[−1, 0] nếu x là số vô tỷ

không liên tục ở trên R Hơn nữa, F không là nửa liên tục trên và cũng không

là nửa liên tục dưới tại bất kỳ điểm x ∈ R nào

Việc mở rộng khái niệm liên tục của ánh xạ đơn trị sang cho ánh xạ đatrị theo hai cách khác nhau ta thu được hai khái niệm ánh xạ đa trị nửa liêntục trên và ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới có nội dung hoàn toàn khác nhau

Ví dụ 1.4.2 và 1.4.3 đã chỉ ra sự khác nhau đó

Ta nhắc lại định nghĩa về tính liên tục của ánh xạ đơn trị ánh xạ đơn trị

f : X −→ R được gọi là ánh xạ nửa liên tục trên (hoặc dưới) tại x0 nếu vớibất kỳ  > 0 đều tồn tại lân cận U của x0 sao cho f(x) ≤ f(x0) +  (hoặc

f (x) ≥ f (x0) − ε) với mọi x ∈ U Khái niệm này có thể mở rộng cho ánhxạ đa trị F, trong trường hợp Y là không gian véc tơ lồi địa phương với nón

C Đó là, định nghĩa tính liên tục theo nón của một ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.4.6 Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương,

D là tập con khác rỗng trong X, C là nón trong Y và F là ánh xạ đa trị từ

(iv) Trong trương hợp C = {0} là nón tầm thường trong Y ta nói F −liêntục trên, F −liên tục dưới thay cho việc gọi là 0−liên tục trên, 0−liên tụcdưới.

Ví dụ 1.4.7 Xét ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi

ta thấy F là R+−liên tục trên ở trong R nhưng không là R+−liên tục dưới

ở trong R

Ví dụ 1.4.8 Xét ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi

F (x) =

([0, 3] nếu x > 0[1, 2] nếu x ≤ 0

ta thấy F là R+−liên tục dưới ở trong R nhưng không là R+−liên tục trên

ở trong R

Các mệnh đề dưới đây đưa ra điều kiện cần và đủ để một ánh xạ đa trị làC−liên tục trên hay C−liên tục dưới Phần chứng minh ta có thể tìm thấytrong [2]

Mệnh đề 1.4.9 Cho X, Y là hai không gian tôpô lồi địa phương, F là ánhxạ đa trị từ X vào Y , C là nón trong Y Khi đó:

(i) Nếu F (x0) là tập compact trong Y thì điều kiện cần và đủ để F làC−liên tục trên tại x0 là với mọi tập mở G, F (x0) ⊂ G + C đều tồn tại lâncận U của x0 sao cho F (x) ⊂ G + C với mọi x ∈ U ∩ domF

(ii) Nếu F (x0) là tập compact trong Y thì điều kiện cần và đủ để F làC−liên tục dưới tại x0 là với mọi y ∈ F (x0)và với mọi lân cận V của y đều

tồn tại lân cận U của x0 sao cho F (x)∩(V +C) 6= φ, với mọi x ∈ U ∩domF.

Điều này cũng tương đương với: Với mọi tập mở G, F (x0)∩(G+C) 6= φđềutồn tại lân cận U của x0 sao cho F (x)∩(G+C) 6= φ, với mọi x ∈ U ∩domF

Mệnh đề 1.4.10 Cho F : D −→ 2Y là ánh xạ đa trị và C ⊂ Y là nón lồi

đóng Khi đó:

(i) Nếu F là C−liên tục trên tại x0 ∈ domF và F (x0) + C là tập đóngthì với mọi dãy suy rộng xβ → x0, yβ ∈ F (xβ) + C, yβ → y0 ta suy ra

y0 ∈ F (x0) + C

Ngược lại, Nếu F là ánh xạ compact và với mọi dãy suy rộng xβ →

x0, yβ ∈ F (xβ) + C, yβ → y0 đều suy ra y0 ∈ F (x0) + C thì F là C−liêntục trên tại x0

(ii) Nếu F là ánh xạ compact và là C−liên tục dưới tại x0 ∈ domF, thìvới mọi dãy suy rộng xβ → x0, y0 ∈ F (x0) + C, đều tồn tại dãy suy rộng{yβ}, yβ ∈ F (xβ),có dãy suy rộng con {yβγ},để yβγ− y0 → c ∈ C (yβγ →

y0 + c ∈ y0 + C)

Ngược lại, Nếu F (x0) là tập compact và với mọi dãy suy rộng xβ → x0

và y0 ∈ F (x0) + C, đều tồn tại dãy sụy rộng {yβ}, yβ ∈ F (xβ), có dãy consuy rộng {yβγ}, để yβγ − y0 → c ∈ C thì F là C−liên tục dưới tại x0

1.5 Tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị

Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính, D ⊂ X là tập lồi và C là nónlồi trong Y Hàm véctơ f : D −→ Y được gọi là C−lồi trên D nếu với mọi

x1, x2 ∈ D, t ∈ [0, 1] ta luôn có

f (tx1 + (1 − t)x2) ∈ tf (x1) + (1 − t)f (x2) − C

f đươc gọi là C−lõm trên D nếu −f là C−lồi trên D Trong trường hợp

Y = R, C = R+, định nghĩa trên cho ta khái niệm về hàm f lồi (lõm) theonghĩa thông thường

Tiếp theo ta đưa ra các khái niệm C−lồi trên (dưới), C−lõm trên (dưới),C−tựa lồi trên (dưới), của ánh xạ đa trị.

Định nghĩa 1.5.1 Cho F : D −→ 2Y là ánh xạ đa trị và C là nón trong Y

Ta nói rằng:

(i) F là C−lồi trên (hoặc C−lồi dưới) nếu

tF (x1) + (1 − t)F (x2) ⊂ F (tx1 + (1 − t)x2) + C;

(tương ứng, F (tx1 + (1 − t)x2) ⊂ tF (x1) + (1 − t)F (x2) − C)

với mọi x1, x2 ∈ domF, t ∈ [0, 1]

(ii) F là C−lõm trên (hoặc C−lõm dưới) nếu

tF (x1) + (1 − t)F (x2) ⊂ F (tx1 + (1 − t)x2) − C;

(hoặc, F (tx1 + (1 − t)x2) ⊂ tF (x1) + (1 − t)F (x2) + C)

với mọi x1, x2 ∈ domF, t ∈ [0, 1]

Định nghĩa 1.5.2 Cho F : D −→ 2Y là ánh xạ đa trị và C là nón trong Y

Ta nói rằng:

(i) F là C−tựa lồi trên trên D nếu với bất kỳ x1, x2 ∈ D, t ∈ [0, 1] hoặc

F (x1) ⊂ F (tx1 + (1 − t)x2) + Choặc

F (x2) ⊂ F (tx1 + (1 − t)x2) + C(ii) F là C−tựa lồi dưới trên D nếu với bất kỳ x1, x2 ∈ D, t ∈ [0, 1]hoặc

F (tx1 + (1 − t)x2) ⊂ F (x1) − Choặc

F (tx1 + (1 − t)x2) ⊂ F (x2) − C

ta thấy F là ánh xạ đa trị R+−lồi trên nhưng không là R+−lồi dưới.

Ví dụ 1.5.5 Xét ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi

F (x) =

([1, +∞] nếu x 6= 0{0} nếu x = 0

ta thấy F là ánh xạ đa trị R+−lồi dưới nhưng không là R+−lồi trên

(iii) Nếu F là C−lồi trên thì F (x) + C, x ∈ domF là những tập lồi.Tương tự, nếu F là C−lõm trên thì F (x) − C, x ∈ domF là những tập lồi

Ta có mối quan hệ giữa tính lồi, lõm theo nón của F và −F như sau

Mệnh đề 1.5.7 Các khẳng định sau là tương đương:

(i) F là C−lồi trên;

(ii) −F là C−lõm trên;

(iii) F là (−C)−lõm trên

1.6 Các định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị

Trước khi đưa ra các định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị ta sẽ nhắclại định nghĩa ánh xạ KKM và nguyên lý ánh xạ KKM

Định nghĩa 1.6.1 Cho C là một tập hợp trong không gian tôpô X ánh xạ

đa trị F : C −→ 2X được gọi là ánh xạ KKM nếu với mọi tập hợp hữu hạn

Chứng minh: Chúng ta sẽ chứng minh định lý này từ nguyên lý ánh xạKKM Để làm điều đó ta chỉ cần chứng minh tồn tại ánh xạ KKM với giá trị

đóng F sao cho F (x) ⊂ G(x) với mọi x ∈ A

Với mọi y ∈ G(A) = S{G(x) | x ∈ A}

Định lý 1.6.4 Cho C là tập compact, lồi, khác rỗng và F : C −→ 2C là

ánh xạ đa trị với C = S{intF−1(x), x ∈ C} Khi đó tồn tại x ∈ co(F (x))

Định lý 1.6.5 (Ky Fan, 1952) Cho C là một tập hợp lồi, compact trongkhông gian lồi địa phương tách X F : C −→ 2C là ánh xạ nửa liên tục trênvới giá trị lồi, đóng Khi đó F có điểm bất động

Định lý 1.6.6 (Browder-Fan, 1968) Cho C là một tập hợp lồi, compacttrong một không gian vectơ tôpô tách X F : C −→ 2C là ánh xạ đa trị thỏamãn:

(i) Với mọi x ∈ C, tập F (x) là tập lồi, khác rỗng;

(ii) Với mọi y ∈ C, tập F−1(y) là tập mở trong C

Khi đó, tồn tại x ∈ C sao cho F (x) = φ

Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I

Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I đóng một vai trò quan trọng trongnhiều lĩnh vực khác nhau của toán học lý thuyết cũng như ứng dụng Từ bàitoán này ta có thể suy ra được các bài toán khác nhau trong lý thuyết tối ưu:Bài toán tựa cân bằng vô hướng, bài toán tựa cân bằng trên lý tưởng, bài toánbao hàm thức tựa biến phân tổng quát của véctơ Chính vì vậy, bài toánnày được rất nhiều các nhà toán học quan tâm như E Blum và W oettli [3],

Ky Fan [8], Trong chương này ta trình bày nội dung bài toán, các bài toán

có liên quan và điều kiện về sự tồn tại nghiệm

2.1 Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I

(iii) 0 ∈ F (y, x, x, z), với mọi z ∈ S(x, y)

được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I và được ký hiệu bởi(GQEP )I Các ánh xạ S, T được gọi là ánh xạ ràng buộc, ánh xạ F được

gọi là ánh xạ mục tiêu và nó thường được xác định bởi các đẳng thức, bất

đẳng thức hoặc bởi các bao hàm thức và giao của các ánh xạ đa trị

Tiếp theo, Giả sử X, Z là các tập hợp khác rỗng, D ⊆ X, K ⊆ Z là các tậpcon khác rỗng S : D ì K −→ 2D, T : D ì K −→ 2K, F : K ì D −→ 2X

cũng được gọi là bài toán tựa cân bằng

Từ bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I bằng cách chọn hàm F một cáchthích hợp cho từng trường hợp cụ thể ta có thể suy ra được các bài toán liênquan

2.2 Một số bài toán liên quan

Trong mục này ta giới thiệu một số bài toán thường gặp trong lý thuyết tối

ưu véctơ đa trị có liên quan tới các bài toán trên

Bài toán 2.2.1 Bài toán tựa cân bằng vô hướng

Cho D, K, S, T như phần 2.1, g : K ì D ì D −→ R là hàm thực saocho g(y, x, x) = 0, với mọi y ∈ K, x ∈ D M : K ì D ì D −→ 2X,

F : K ì D ì D ì D −→ 2X là các ánh xạ đa trị được xác định bởi:

M (y, x, z) = {t ∈ D | g(y, x, z) ≥ g(y, x, t)}, (y, x, z) ∈ K ì D ì D;

F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K ì D ì D ì D

Bài toán (GQEP )I liên quan tới các ánh xạ đa trị S, T và F sẽ trở thành bàitoán: Tìm (x, y) ∈ D ì K sao cho

(i) x ∈ S(x, y);

(ii) y ∈ T (x, y);

(iii) g(y, x, z) ≥ 0, với mọi z ∈ S(x, y).

Bài toán này được gọi là bài toán tựa cân bằng vô hướng

Bài toán 2.2.2 Bài toán tựa cân bằng lý tưởng trên

Cho D, K, S, T như trong phần 2.1, G : K ì D ì D −→ 2Y là ánh xạ đatrị với giá trị khác rỗng, C : K ì D −→ 2Y là ánh xạ đa trị nón với giá trịlồi, khác rỗng sao cho G(y, x, x) ⊆ C(y, x), với mọi (y, x, x) ∈ K ì D ì D.Các ánh xạ đa trị M : K ì D ì D −→ 2X, F : K ì D ì D ì D −→ 2X

được xác định bởi

M (y, x, z) = {t ∈ D | G(y, x, z) ⊆ G(y, x, t) + C(y, x)},(y, x, z) ∈ K ì D ì D;

F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K ì D ì D ì D

Bài toán (GQEP )I liên quan tới các ánh xạ đa trị S, T và F trở thành bàitoán: Tìm (x, y) ∈ D ì K sao cho

(i) x ∈ S(x, y);

(ii) y ∈ T (x, y);

(iii) G(y, x, z) ⊆ C(y, x), với mọi z ∈ S(x, y)

Đây là bài toán tựa cân bằng lý tưởng trên

Bài toán 2.2.3 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân tổng quát của véctơ

Cho D, K, S, T như phần 2.1, C : K ì D ì D ì D −→ 2Y và

G : K ì D ì D ì D −→ 2Y là các ánh xạ đa trị với tập giá trị khác rỗng.Các ánh xạ đa trị M : K ì D ì D −→ 2D, F : K ì D ì D ì D −→ 2X

được định nghĩa bởi:

M (y, x, z) = {t ∈ S(x, y) | αi(G(y, x, t, z), C(y, x, t, z))};

F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K ì D ì D ì D

Bài toán (GQEP )I liên quan tới các ánh xạ đa trị S, T và F trở thành bàitoán: Tìm (x, y) ∈ D ì K sao cho

Đây là bài toán bao hàm thức tựa biến phân tổng quát của véctơ

2.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát

loại I và những bài toán liên quan

Trước khi phát biểu và chứng minh định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toántựa cân bằng tổng quát loại I và các hệ quả của nó ta cần đến một số địnhnghĩa và mệnh đề dưới đây Trừ một số trường hợp đặc biệt, ta luôn kí hiệu

X, Y, Z, W là các không gian véctơ tôpô lồi địa phương Cho D ⊆ X, K ⊆ Z

là các tập con khác rỗng S, T và F là các ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗngnhư phần đầu

Định nghĩa 2.3.1 Một không gian tôpô khác rỗng được gọi là acyclic nếumọi nhóm đồng điều Cech trên các trường hữu tỉ đều bằng không