Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy để hình thành được kĩ năng giải toán cho học sinh trước hết giáo viên cần nêu được phương pháp giải từng bài toán cụ thể, để dựa vào đó học sinh luyện tập dần dần hình thành kĩ năng giải toán cho các em. Nếu ta chỉ dạy lí thyết mà không phân loại được từng dạng bài tập và phương pháp giải thì thiết nghĩ học sinh khó có thể thực hiện tốt các dạng toán nói chi là hình thành kĩ năng. Do vậy, trong bài viết này tôi đặt vấn đề “phân loại các dạng bài tập toán và phương pháp giải”. Tuy nhiên với thời gian và trình độ không cho phép nên tôi chỉ dừng lại việc phân loại:“Các bài toán chia hết và phương pháp giải”
Trang 1ĐẶT VẤN ĐỀ
Theo xu thế phát triển của đất nước, việc phải hội nhập nến kinh tế và giáo dụcvới các nước trong khu vực và trên thế giới là điều tất yếu Nhiệm vụ đặt ra chongành giáo dục là làm thế nào để cải tiến phương pháp giảng dạy cho phù hợp với
sự phát triển của thế giới
Trong lí luận dạy học hiện nay, nhiều phương pháp được xem xét, được phânloại theo nhiều quan điểm khác nhau, nhiều ý tưởng mới về phương pháp đangđược đề xuất thử nghiệm nhằm đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của con người Riêng môn toán, nó có tầm quan trọng trong đời sống và trong các ngành khoahọc Việc tìm ra phương pháp giảng dạy cho tốt môn toán trong trường phổ thông
là hết sức cần thiết Theo C.Mac “một khoa học thực sự phát triển nếu nó có thể
sử dụng được phương pháp toán học” Toán học có vai trò như vậy, vì nó khôngchỉ là một tập hợp các sự kiện mà là một hệ thống các sự kiện Do vậy, việc giảngdạy môn toán không chỉ đơn điệu sử dụng một phương pháp mà phải phối hợpcác phương pháp giảng dạy với nhau đối với từng loại tri thức toán học (nên dạycho học sinh những gì? Cần truyền đạt những gì? )
Việc học toán và giải toán trong học tập và việc giải quyết những vấn đề trongcuộc sống có những nét giống nhau nếu cả hai vấn đề đó đều được thực hiện mộtcách khoa học Tính khoa học được thể hiện ở khả năng suy luận logic và khảnăng thực hành công việc Chẳng hạn, một thợ sửa máy giỏi nếu đoán chính xácmáy bị hư bộ phận nào; sửa bộ phận đó ra sao; thực hiện các thao tác sửa chữa.Cuối cùng để đạt được kết quả tốt hay không phần lớn dựa vào khả năng thựchiện các thao tác (giả sử có dự đoán chính xác đến đâu nhưng kĩ năng “tồi” thìkhông bao giờ thu được kết quà tốt)
Trong thao tác giải toán cũng đòi hỏi một kĩ năng thật tốt “Không phải cứ cótri thức là tự khắc có kĩ năng tương ứng, con đường đi từ chỗ có tri thức đến chỗ
LÊ THỊ LIỄU
1
PHẦN I
Trang 2cho học sinh trước hết giáo viên cần nêu được phương pháp giải từng bài toán cụthể, để dựa vào đó học sinh luyện tập dần dần hình thành kĩ năng giải toán chocác em Nếu ta chỉ dạy lí thyết mà không phân loại được từng dạng bài tập vàphương pháp giải thì thiết nghĩ học sinh khó có thể thực hiện tốt các dạng toán nóichi là hình thành kĩ năng Do vậy, trong bài viết này tôi đặt vấn đề “phân loại cácdạng bài tập toán và phương pháp giải” Tuy nhiên với thời
gian và trình độ không cho phép nên tôi chỉ dừng lại việc phân loại:
“Các bài toán chia hết và phương pháp giải”
Phân loại và nêu được phương pháp giải các dạng bài toán về chia hết trongchương trình THCS
Đưa ra một số dạng bài tập và nâng cao
Đối tượng thực hiện: học sinh khối 6,7, 8 và khối 9
Thời gian thực hiện: trong năm học
LÊ THỊ LIỄU
2
Trang 3cụ thể Do vậy, hình thành kỹ năng cho học sinh cần:
o Giúp học sinh biết cách tìm tòi để nhận ra yếu tố đã cho, yếu tố phảitìm và mối quan hệ giữa chúng
o Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải quyết nhữngbài tập, đối tượng cùng loại
o Xác lập được mối quan hệ giữa bài tập mô hình khái quát và các kiếnthức tương ứng
2 Cơ sở lý thuyết để thực hiện đề tài:
2.1 Phép Chia Hết:
a Định Nghĩa:
Cho a, b Z, b ≠ 0 Nếu tồn tại một số nguyên k sao cho a = kb Ta nói :
+ a chia hết cho b , kí hiệu: a b
+ b chia hết a, kí hiệu : b | a
Trang 4 a m , a n và a p với m,n,p nguyên tố đôi một cùng nhau a mnp
Tích n số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho giai thừa n
(m +1)(m+2)…(m+n) n!
d Điều Kiện Chia Hết:
Điều kiện chia hết cho 2:
Trang 5 Điều kiện chia hết cho 4 = 2 2 hoặc 25 = 5 2 :
Điều kiện chia hết cho 11:
Điều kiện để một số tự nhiên chia hết cho 11 là tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ tổngcác chữ số ở hàng chẵn chia hết cho 11
Tính chất 1: Ta có thể cộng vế với vế của hai đồng dư thức theo cùng một
mô đun Nghĩa là từ các đồng dư thức a b ( mod m ), cd( mod m ), suy
Trang 6Hệ quả:
o a b ( mod m ) suy ra a + c b + c ( mod m )
o a b ( mod m ) suy ra a b + mt ( mod m )
o a b ( mod m ) suy ra a – c b ( mod m )
Tính chất 2: Ta có thể nhân vế với vế của hai đồng dư thức theo cùng một
mô đun Nghĩa là từ các đồng dư thức ab( mod m ), cd( mod m ), suy ra
ac bd ( mod m )
Hệ quả:
o a b ( mod m ) suy ra ac bc ( mod m )
o a b ( mod m ) suy ra an bn ( mod m ), n là số nguyên dương
chung nguyên tố với mô đun Nghĩa là nếu d là một ước chung nguyên tốcủa a và b và (d,m) = 1 thì a b ( mod m ), suy ra
a b (mod )m
d d
LÊ THỊ LIỄU
6
Ch ng minh: ứng minh: Ta có: ac – bd = ac – ad + ad – bd = a(c – d) + d(a – b)
T gi thi t suy ra, c – d và a – b chia h t cho m, do đóừ giả thiết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó ả thiết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó
ac – bd chia h t cho mết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó Hay ac bd ( mod m )
Ch ng minh: ứng minh:
Theo gi thi t ta có: a – b = ả thiết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó d(a b)
d d chia h t cho m ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó
Nh ng (d,m) = 1, t đó suy ra ưng (d,m) = 1, từ đó suy ra ừ giả thiết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó d a d b chia h t cho m.ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó
Hay a b (mod )m
Trang 7 Tính chất 4: Ta có thể nhân hai vế và mô đun của một đồng dư thức với
một số nguyên dương và chia hai vế và mô đun cho một ước chung dươngcủa chúng, Nghĩa là từ a b ( mod m ), suy ra ac bc ( mod mc ) và
(mod )
d d d , với mọi số nguyên dương c và mọi ước chung dương d
của a, b, m
đồng dư với nhau theo theo mô đun n với mọi ước nguyên dương n của m,nghĩa là từ a b ( mod m ) suy ra a b ( mod n ), n là ước nguyên dươngbất kì của m
cũng đồng dư với nhau theo theo mô đun là BCNN của các mô đun, nghĩa
là, từ a b ( mod mi ), i = 1, 2, 3, …, n suy ra a b ( mod M ), M = = [m1,
d d d , v i m i s nguyên d ng c và m i ới mọi số nguyên dương c và mọi ước chung dương d ọi số nguyên dương c và mọi ước chung dương d ố nguyên dương c và mọi ước chung dương d ưng (d,m) = 1, từ đó suy ra ơng c và mọi ước chung dương d ọi số nguyên dương c và mọi ước chung dương d ưng (d,m) = 1, từ đó suy ra ới mọi số nguyên dương c và mọi ước chung dương dc chung d ng dưng (d,m) = 1, từ đó suy ra ơng c và mọi ước chung dương d
c a a,b,mủa a,b,m
Ch ng minh: ứng minh:
Tính ch t này hi n nhiên vì a – b chia h t cho m thì a – b chia h tất này hiển nhiên vì a – b chia hết cho m thì a – b chia hết ển nhiên vì a – b chia hết cho m thì a – b chia hết ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đócho cho m i c c a mọi số nguyên dương c và mọi ước chung dương d ưng (d,m) = 1, từ đó suy ra ới mọi số nguyên dương c và mọi ước chung dương d ủa a,b,m
Ch ng minh: ứng minh:
Tính ch t này c ng hi n nhiên vì a – b là m t b i chung c a mất này hiển nhiên vì a – b chia hết cho m thì a – b chia hết ũng hiển nhiên vì a – b là một bội chung của m ển nhiên vì a – b chia hết cho m thì a – b chia hết ột bội chung của m ột bội chung của m ủa a,b,m 1, m2,
…,mn thì nó c ng là b i c a BCNN(mũng hiển nhiên vì a – b là một bội chung của m ột bội chung của m ủa a,b,m 1, m2,…,mn)
Trang 8o Tạo điều kiện thuận lợi cho giáo viên phát huy khả năng của mình.
o Luôn quan tâm đến việc rèn luyện học sinh giỏi
o Tận tình giúp đỡ, dự giờ thăm lớp, nhận xét những gì đạt được, những
gì còn hạn chế để khắc phục, trao đổi phương pháp để có tiết dạy tốt
o Cơ sở vật chất còn thiếu sân chơi bi tập
o Phụ huynh học sinh: Chưa quan tâm đến chất lượng học tập của con
em mình
3 Thực trạng khi chưa áp dụng đề tài:
Những năm học trước tôi được nhà trường phân công bồi dưỡng học sinhgiỏi toán khối 8 ,9 và học sinh giỏi giải toán bằng máy tính casio, trong quátrình giảng dạy và thông qua kiểm tra tôi nhận thấy những điều sau:
Kỹ năng giải toán của các em còn rất nhiều hạn chế do không biết giải bàitoán phải bắt đầu từ đâu
LÊ THỊ LIỄU
8
Trang 9 Những bài tập vận dụng so với lý thuyết mà các em được học ở lớp thật sựkhó thực hiện với khả năng của các em.
Tuy bộ môn số học các em đã được học từ khi bắt đầu đi học, nhưng khảnăng để giải các bài toán đó hầu như các em không thực hiện được Đặc biệtcác bài toán về chia hết,… mà những dạng toán này thì hầu như đều cótrong các cuộc thi toán Do vậy tôi đã áp dụng đề tài này
1 Các dạng toán thường gặp và phương pháp giải:
1.1 Dạng 1: Chứng minh A(n) chia hết cho một số nguyên tố P
Để chướng minh A(n) chia hết cho P, P nguyên tố ta có thể xét mọi trường
hợp về số dư khi chia n cho (0, 1, 2, , 1)
a/ Trong hai số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho 2
b/ Trong ba số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho 3
c/ Trong k số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho
LÊ THỊ LIỄU
9
Gi i: ải:
Xét các tr ng h p:ưng (d,m) = 1, từ đó suy ra ờng hợp: ợp:
TH1: n u n ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó 5 A(n) = n(n2 + 1)(n2 + 4)5
TH2: n u n ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó 5 thì n có d ng 5k ± 1ho c 5k ± 2ạng 5k ± 1hoặc 5k ± 2 ặc 5k ± 2
N u n = 5k ± 1 ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó n2 = 25k2 ± 10k + 1 n2 + 4 5 A(n) 5
N u n = 5k ± 2 ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó n2 = 25k2 ± 20k + 4 n2 + 1 5 A(n) 5
V y: A(n) = n(nậy: A(n) = n(n 2 + 1)(n2 + 4)5 , n Z
Gi i: ải: a/ Hai s nguyên liên ti p là n và n + 1ố nguyên dương c và mọi ước chung dương d ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó
N u n ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó 2 thì (n + 1)2
N u nết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó 2 thì n 2
V y: Trong hai s nguyên liên ti p có m t và ch m t s chia h t cho 2ậy: A(n) = n(n ố nguyên dương c và mọi ước chung dương d ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó ột bội chung của m ỉ một số chia hết cho 2 ột bội chung của m ố nguyên dương c và mọi ước chung dương d ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó
b/ Ba s nguyên liên ti p là n , n + 1 và n + 2ố nguyên dương c và mọi ước chung dương d ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó
N u n ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó 3 thì (n + 1) và n + 2 không chia h t cho 3 ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó
N u nết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó 3 thì n có d ng 3k ± 1, ạng 5k ± 1hoặc 5k ± 2 k Z
o N u n = 3k + 1 thì (n + 2)ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó 3
o N u n = 3k - 1 thì (n + 1)ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó 3
V y: Trong ba s nguyên liên ti p có m t và ch m t s chia h t cho 3ậy: A(n) = n(n ố nguyên dương c và mọi ước chung dương d ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó ột bội chung của m ỉ một số chia hết cho 2 ột bội chung của m ố nguyên dương c và mọi ước chung dương d ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó
c/ k s nguyên liên ti p là n , n + 1, …, n + k – 1 ố nguyên dương c và mọi ước chung dương d ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó
N u n ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó k thì (n + 1), n + 2, …, n + k – 1 không chia h t cho k ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó
N u nết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó k thì n có d ng kq ± 1, kq ± 2,…, kq ± ạng 5k ± 1hoặc 5k ± 2 k 21
o N u n = kq ± 1 thì n + k – 1 ho c n + 1 chia h t cho k ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó ặc 5k ± 2 ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó
o N u n = kq ± 2 thì n + k – 2 ho c n + 2 chia h t cho kết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó ặc 5k ± 2 ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó
………
o N u n =kq ± ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó k 21 thì n + k 21ho c n + ặc 5k ± 2 k 21 chia h t cho kết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó
Trang 101.2 Dạng 2: Chứng minh A(n) chia hết cho m, m là hợp số.
Để chướng minh A(n) chia hết cho m, m là hợp số ta phân tích m ra thừa số.Giả sử m = pq
o Trường hợp 1: Nếu p, q là hai số nguyên tố hay p và q là hai số
nguyên tố cùng nhau thì ta tìm cách chứng minh A(n) p và A(n) q,
Trong hai s nguyên liên ti p n và n + 1 bao gi c ng có m t s chiaố nguyên dương c và mọi ước chung dương d ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó ờng hợp: ũng hiển nhiên vì a – b là một bội chung của m ột bội chung của m ố nguyên dương c và mọi ước chung dương d
h t cho 2 Do đó A(n)ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó 2
Trong ba s nguyên liên ti p n, n + 1 và n + 2 bao gi c ng có m t số nguyên dương c và mọi ước chung dương d ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó ờng hợp: ũng hiển nhiên vì a – b là một bội chung của m ột bội chung của m ố nguyên dương c và mọi ước chung dương dchia h t cho 3 Do đó A(n)ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó 3
Mà (2,3) = 1 V y A(n)ậy: A(n) = n(n 6
Trang 11o Trường hợp 2: Nếu p và q không nguyên tố cùng nhau thì ta phân
tích A(n) ra thừa số Chẳng hạn A(n) = B(n).C(n) và tìm cách chứngminh B(n) p và C(n) q, từ đó suy ra A(n) = B(n).C(n) p.q ,(p.q=m)
a/ Ta có th vi t A(n) = nển nhiên vì a – b chia hết cho m thì a – b chia hết ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó 4 – n2 = (n – 1)n.n(n + 1)
Tích ba s nguyên liên ti p (n – 1)n(n + 1) luôn chia h t cho 3: ố nguyên dương c và mọi ước chung dương d ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó
Trong b n s nguyên liên ti p (n – 1), n, (n + 1), (n + 2) luôn có m tố nguyên dương c và mọi ước chung dương d ố nguyên dương c và mọi ước chung dương d ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó ột bội chung của m
s chia h t cho 2 và m t s chia h t cho 4 ố nguyên dương c và mọi ước chung dương d ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó ột bội chung của m ố nguyên dương c và mọi ước chung dương d ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó C(n) 8, n Z
Mà 24 = 3.8 và (3,8) = 1 nên C(n) = n(n + 2)(n2 – 1) 24, n Z
Ta l i có 24nạng 5k ± 1hoặc 5k ± 2 3(n + 2) 24, n Z
Do đó, B(n) = n(n+2)(25n2 – 1) 24, n Z
c/ Ch ng minh C = ab(aứng minh C(n) = n(n + 2)(n 4 – b4) chia h t cho 2, 3, 5ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó
N u a ho c b ch n thì ab(aết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó ặc 5k ± 2 ẵn liên tiếp là 2n và 2n + 2 Tích của chúng là: 4 – b4) 2 C 2
N u a và b cùng l thì (aết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó ẻ thì (a 4 – b4) 2 C 2
Do đó, C = ab(a4 – b4) 2 a b N, (1 )
N u a ho c b chiah t cho 3 thì ab(aết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó ặc 5k ± 2 ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó 4 – b4) 3 C 3
N u a và b không chia h t cho 3 thì a = 3k ± 1, b = 3q ± 1 ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó k q Z, a4 =3t + 1 , b4 = 3h + 1 t h Z,
(a4 – b4) 3 C 3
Do đó, C = ab(a4 – b4) 3 a b N, (2 )
N u a ho c b chiah t cho 5 thì ab(aết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó ặc 5k ± 2 ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó 4 – b4) 5 C 5
N u a và b không chia h t cho 5 thì a = 5k ± 1 ho c a = 5k ± 2ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó ết suy ra, a – b và c – d chia hết cho m, do đó ặc 5k ± 2
b = 5q ± 1 ho c b = 5q ± 2 ặc 5k ± 2 k q Z, ( a4 – 1) 5 và (b4 – 1) 5 (a4 – b4) 5