Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB.. Trên mỗi mặt phẳng toạ độ có bao nhiêu điểm như vậy?. 2 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng đường cao, bằng a.
Trang 1Đề luyện thi ĐH-CĐ MÔN TOÁN- KHỐI D– NĂM 2010 - 2011
(Thời gian làm bài 180 phút-không kể thời gian phát đề)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
1
x y x
−
=
− (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)
b) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của m, đường thẳng d: y= − +x m luôn cắt đồ thị (C) tại hai
điểm A,B phân biệt Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB
Câu II: (2 điểm)
a)Giải bất phương trình:
92x x− + 2 1−34.152x x− 2 +252x x− + 2 1>0
b)Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm :
x+1 1
2 1
Câu III: (2 điểm)
2cos cos ( ) sin 2 3cos( ) sin
b) Tính :
1
3 1 0
x
e +dx
∫
Câu IV: (1 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho điểm I(1;5;0) và hai đường thẳng
1: 4
1 2
x t
=
= − +
; 2
2 :
Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm I và cắt cả hai đường thẳng ∆1và ∆2
Viết phương trình mặt phẳng(α ) qua điểm I , song song với ∆1 và ∆2
PHẦN RIÊNG: Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 câu V.a hoặc V.b
1)Trong không gian , cho hệ trục toạ độ Đề Các vuông góc Oxyz
Tìm số các điểm có 3 toạ độ khác nhau từng đôi một,biết rằng các toạ độ đó đều là các số
tự nhiên nhỏ hơn 10
Trên mỗi mặt phẳng toạ độ có bao nhiêu điểm như vậy ?
2) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng đường cao, bằng a
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB
3) Giải phương trình: 3log 2x =x2−1
1) Chứng minh rằng phương trình : 5
5 5 0
x − x− = có nghiệm duy nhất 2)Viết phương trình các tiếp tuyến của e líp (E):
1
16 9
+ = , biết tiếp tuyến đi qua điểmA(4;3) 3) Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một , trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3
ĐÁP ÁN
Trang 2PHẦN
(7 điểm)
Nội dung chính và kết quả
Điểm Câu I
2 điểm
a) (1điểm) D=R/{ }1
y ' 2
1 (x 1)
=
− > 0 ,∀ ∈x D ⇒h/số đồng biến trên D và không có cực trị
Các đường tiệm cận: T/c đứng x=1; T/c ngang: y =1
Tâm đối xứng I(1;1)
BBT
x -∞ 1 +∞
y’ + +
y
+∞ 1
1 -∞
Đồ thị
f(x)=(x-2)/(x-1) f(x)=1 x(t)=1 , y(t)=t
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
x y
0,25
0,25
0,5
b) (1 điểm)
* Phương trình hoành độ giao điểm của d ( )∩ C là:
2
2 0
x −mx m+ − = (1) ; đ/k x≠1
Vì
(1) 1 0
f
∆ = − + >
với m∀ ,nên p/t (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 với m∀ .Suy
ra d ( )∩C tại hai điểm phân biệt với m∀
*Gọi các giao điểm của d ( )∩C là: A( ;x A − +x A m) ; B( ;x B − +x B m);với x ; A x là các B
nghiệm của p/t (1)
AB = x −x = x +x − x x
0,25 0,25
0,25
Trang 3Câu II
2
điểm
a) (1 điểm) 92x x− + 2 1−34.152x x− 2 +252x x− + 2 1 > ⇔0 9.32(2x x− 2 )−34.32x x− 2
5 x x− +25.5 x x− >0
2 2
2
2
2
2
3
1 5
x x
x x
−
−
÷ <
⇔ ÷ − ÷ + > ⇔
>
÷
2
( ;1 3) (0;2) (1 3; )
x x
x
x x
− >
KL: Bpt có tập nghiệm là T= (−∞ −;1 3) (0; 2) (1∪ ∪ + 3;+∞)
0,25
0,25
0,5
b)(1 điểm) đ/k x≥ −1;y≥1 Bất pt ⇔
2
1
2
⇔
; Vậy x+1 và y−1 là nghiệm của p/t: T
( 2 1) 0*
2
− + − − = Rõ ràng hệ trên có nghiệm khi p/t* có 2 nghiệm không âm
2
( 2 1) 0 2
P
0,25
0,25
0,5
Câu III
2 điểm
a) (1 điểm) 2cosx+1 os (2 ) 8 sin 2 3 os(x+ )+ sin1 2
π
2 osx+c
os sin 2 3sinx+ sin
3c x= +3 x− 3 x
6 osx+cosc x 8 6sinx.cosx-9sinx+sin x
2
6 osx(1-sinx)-(2sinc x 9sinx+7) 0
⇔ − = 6 osx(1-sinx)-2(sinx-1)(sinx- ) 07
2
c
(1-sinx)(6cosx-2sinx+7) 0
(2)
1 sinx=0 6cosx-2sinx+7=0
−
⇔
(p/t (2)vô nghiệm )
0,25 0,25 0,5
Trang 4b) (1 điểm) Tính: I=
1
3 1 0
x
e + dx
∫
Đặt 3x+ =1 t; t 0≥ 2 2
3
= → =
= → =
Vậy I=
2
1
2 3
t
te dt
∫ Đặt u t t du dt t
dv e dt v e
Ta có
2
2 1
I = te −∫e dt = e
0,5
0,5
Điểm
Câu IV
1 điểm
I(1;5;0) , 1: 4
1 2
x t
=
= − +
2
2 :
1
∆ có vtcp u1(1; 1;2)− ;và ∆1đi qua điểm M1(0; 4; 1)−
2
∆ có vtcp u2(1; 3; 3)− − ;∆2 đi qua điểmM2(0; 2;0)
• mp(P)chứa ∆1và điểm I có vtpt nr=M I uuuuur ur1 , 1=(3; 1; 2)− −
→p/t mp(P) : 3x –y - 2z + 2 = 0
Tương tự mp(Q) chứa ∆2và điểm I có vtpt nur'(3;-1;2)
→p/t mp(Q) : 3x - y + 2z + 2 = 0
*Vì đường thẳng d qua I , cắt ∆1 và ∆2, nên d = (P) ∩(Q)
→đường thẳng d có vtcp uuurd = n nr,ur'= (1;3;0); d đi qua điểm I(1;5;0)
Nên p/t tham số của d là
1
5 3 0
z
= +
= +
=
*mp(α ) qua điểm I và song song với ∆1 và ∆2nên (α) có vtpt nuurα =u uur uur1, 2=(9;5;-2)
→ p/t (α) : 9x + 5y -2z – 34 = 0
0,25
0,25
0,5
Trang 5CâuVa
3 điểm
1)(1 điểm) Tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 10 : {0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9}
*Số điểm có 3 toạ độ khác nhau đôi một là: 3
10 720
A = (điểm)
* Trên mỗi mặt phẳng toạ độ,mỗi điểm đều có một toạ độ bằng 0, hai toạ độ còn lại khác
nhau và khác 0.Số các điểm như vậy là: 2
9 72
A = (điểm) 2) * Xác định k/c(AB;SC) Vì AB//mp(SDC) →d(AB,SC) = d(AB,mp(SDC))
Lấy M,N lần lượt là trung điểm của AB,DC;Gọi O = AC∩BD→mp(SMN)⊥mp(SDC)
Hạ MH⊥SN , (H∈SN) → MH⊥mp(SDC) →MH = d(M;(SDC))
= d(AB;(SDC))= d(AB;SC)
* Tính MH: Hạ OI⊥SN→ MH = 2.OI
∆SNO vuông có:
2
ON OI
+
Với ON =
2
a
; OS =
a
N O
A
D
S
M
I H
ta tính được OI = a 5
5 →MH= 2a 5
5 3) (1 điểm) 3log 2x =x2−1* ; Đ/k x>0 Đặt log x t2 = ⇒ =x 2t
p/t * ⇔3 4 1 3 1 1
t = − ⇔t + =
÷ ÷
Nhận thấy p/t này có nghiệm t = 1, và c/m được
nghiệm đó là duy nhất Vậy , ta được : log2x= ⇔ =1 x 2
KL: p/t có duy nhất nghiệm x = 2
0,5 0,5 0,25 0,25
0,25
0,5 0,5
Trang 6Câu Vb
3 điểm
1)(1 điểm) Đặt f x( )= −x5 5x− ⇒5 f x'( ) 5(= x4− =1) 5(x−1)(x+1)(x2+1)
1 '( ) 0
1
x
f x
x
= −
= ⇔ = Ta có bảng biến thiên của h/s f(x):
x -∞ -1 1 +∞
f’(x) + 0 - 0 +
f(x)
-1 +∞
-∞ -9 Nhìn vào bảng biến thiên,ta thấy : đường thẳng y=0 chỉ cắt đồ thị của h/s f(x) tại một
điểm duy nhất Vậy p/t đã cho có 1 nghiệm duy nhất
2) (1 điểm) Gọi toạ độ tiếp điểm là (x y ), PTTT (d) có dạng: 0; 0 0 0 1
16 9
x x+ y y = *
Vì A(4;3)∈(d) → 4 0 3 0
1
16 9
x + y = (1)
Vì tiếp điểm ( )∈ E ,nên
16 9
x + y = (2) .Từ (1),(2) ta có
0
0
12 3
4; 0 4
0; 3
x
y
−
Từ p/t * , ta thấy có 2 tiếp tuyến của (E) đi qua
điểm A(4;3) là : (d1) : x – 4 = 0 ; (d2 ) : y – 3 = 0
3)(1 điểm)TH : Số phải tìm chứa bộ 123:1
Lấy 4 chữ số ∈{0; 4;5;6;7;8;9 : có } 4
7
A cách
Cài bộ 123 vào vị trí đầu,hoặc cuối,hoặc giữa hai chữ số liền nhau trong 4 chữ số
vừa lấy: có 5 cách
→ có 5 4
7
A = 5.840 = 4200 số gồm 7 chữ số khác nhau trong đó chứa bộ 123
Trong các số trên, có 4A = 4.120 = 480 số có chữ số 0 đứng đầu63
→ Có 5 4
7
A - 4 3
6
A = 3720 số phải tìm trong đó có mặt bộ 123
TH : Số phải tìm có mặt bộ 321 (lập luận tương tự)2
Có 3720 số gồm 7 chữ số khác nhau , có bặt 321
Kết luận: có 3720.2 = 7440 số gồm 7 chữ số khác nhau đôi một,trong đó chữ số 2 đứng
liền giữa hai chữ số 1 và 3
0,25
0,25
0,5
0,25 0,25 0,5
0,5
0,5
Chú ý :- Nếu học sinh làm theo cách khác đúng CŨNG cho điểm tối đa