SỞ GD&ĐT NINH BèNHTRƯỜNG THPT YấN Mễ A ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM HỌC 2010 – 2011 MễN TOÁN Thời gian làm bài 180 phỳt khụng kể thời gian phỏt đề Phần chung cho tất cả các thí sinh.. H
Trang 1SỞ GD&ĐT NINH BèNH
TRƯỜNG THPT YấN Mễ A
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM HỌC 2010 – 2011
MễN TOÁN
Thời gian làm bài 180 phỳt (khụng kể thời gian phỏt đề)
Phần chung cho tất cả các thí sinh.
Câu I: Cho hàm số :
1
2
−
+
=
x
x
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)
2 Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cách đều hai điểm A(1; -2) và B(-1; 4)
Câu II:
1 Tìm x ∈ ( 0 ; π ) thoả mãn phơng trình: cos 2 2 1
x
x
2 Tìm m để phơng trình: x− −3 x+ =3 x2− − +9 x m có nghiệm thực.
3 Giải hệ phơng trình:
+
= +
−
−
= +
−
) 1 2 ( 2 8
1 4 2 2 3
2 2
3
x y
x y
x x y x
Câu III: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành có AB = a, ∠ABC=300; mặt bên SAD la tam giác vuông tại A, mặt bên SBC là tam giác vuông tại C Hai mặt bên này cùng tạo với đáy góc 450 Chứng minh rằng (SAC) ⊥ (ABCD) và tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Câu IV: Tính tích phân: I = ∫2 −− −
) 3 1 (
dx x
x x
Câu V: Cho x, y, z là các số thực dơng thoả mãn: x + y + z = xyz.
Tìm GTNN của A =
) 1 ( ) 1 ( ) 1
zx yz
x
yz xy
z
xy
+
+ +
+
Phần riêng ( Thí sinh chỉ đợc chọn một trong hai phần A hoặc B )
Câu VI.a:
1 Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy) cho∆ABC có đỉnh B(2; -1) đờng cao đi qua đỉnh A có phơng trình (d1): 3x - 4y + 27 = 0, đờng phân giác trong của góc C có phơng trình (d2): x + 2y - 5 = 0 Tìm toạ độ đỉnh A
2 Trong không gian toạ độ (Oxyz) cho điểm A(1;1;0) và đờng thẳng (d):
+
=
−
=
=
t z
t y
x
2 2
1
Tìm
các điểm B, C nằm trên đờng thẳng (d) sao cho ∆ABC đều
Cõu VIIa: Tỡm phần thực của số phức: z (1 i) = + n , trong đú n∈N và thỏa món:
log n 34( − + ) log n 65( + = ) 4
Câu VI.b:
1 Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) cho hai đường trũn (C1): (x - 6)2 + y2 = 25 và (C2):x2 + y2 = 13 cắt nhau tại A(2; 3).Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua A và cắt (C1), (C2) theo hai dõy cung cú độ dài bằng nhau
2 Cho hai đường thẳng 1
:
:
− Viết phương trỡnh mặt cầu cú bỏn kớnh nhỏ nhất tiếp xỳc cả hai đường thẳng d1 và d2
Cõu VII.b: Trong cỏc số phức z thỏa món điều kiện z+ +1 2i =1, tỡm số phức z cú mođun nhỏ nhất
( Thí sinh thi khối D không cần phải làm câu II.3 và câu III )
Hớng dẫn chấm môn toán
Câu í Nội dung Điểm
Trang 2I 2,0 đ
Ta có:
1
3 1
− +
=
x
y
• TXĐ: D = R\ {1}
• Sự biến thiên:
+ Giới hạn – Tiệm cận:
+ = +∞
x 1lim − = −∞
x 1lim ⇒ĐTHS có tiệm cận đứng: x = 1 lim = 1
+∞
→
x
y ⇒ĐTHS có tiệm cận ngang: y = 1
0,25
+ Bảng biến thiên:
y '= 0
) 1 (
3
2 <
−
−
HS nghịch biến trên các khoảng (-∞; 1) và (1; +∞)
HS không có cực trị
0,5
• Đồ thị:
KL: Đồ thị hàm số nhận giao hai tiệm cận làm tâm đối xứng
0,25
2 Viết phơng trình tiếp tuyến cách đều hai điểm A(1; -2) và B(-1; 4) 1,0 đ
Giả sử a là hoành độ tiếp điểm Ta có phơng trình tiếp tuyến của đồ
a
0,25
Trang 3 TH1: TiÕp tuyÕn song song víi AB
− = + ⇔ = − +
− TiÕp tuyÕn song song víi AB nªn hsg cña tt lµ k = -3
2
3
−
⇔ = − ⇔ − = ± ⇔ = ∨ =
− Víi a = 0 ta cã ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn lµ y = -3x-2 Víi a = 2 ta cã ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn lµ y = -3x+10
0,25 0,25
TH2: TiÕp tuyÕn ®i qua trung ®iÓm I(0, 1) cña AB
a a
(a−1) =3a+ +(a 2)(a− ⇔ =1) a 2
Víi a = 1/2 ta cã ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn lµ y = -12x + 1
0,25
§K:
−
≠
≠
⇔
≠ +
≠
1 tan
0 2 sin 0
cos sin
0 2 sin
x
x x
x x
x x
x x x
x x
cos sin sin
sin cos
cos 2 cos sin
sin
− +
+
=
−
⇔
x
x x
cos sin sin
cos sin cos
sin
sin
− +
−
=
−
⇔
0,25
⇔ cos x − sin x = sin x ( 1 − sin 2 x ) ⇔ (cos x − sin x )(sin x cos x − sin2x − 1 ) = 0 ⇔ (cos x − sin x )(sin 2 x + cos 2 x − 3 ) = 0
0,25
⇔ cos x − sin x = 0 ⇔tanx = 1 ( )
V× ( )
4 0
;
0 π ⇒ = ⇒ = π
x
0,25
XÐt hs: f x( )= x− −3 x+3 x∈[3;+ ∞)=> '( ) 1 1 0
f x
=> f x( )≥ f(3)= − 6; lim ( ) lim ( 3 3) 0
§Æt t= x− −3 x+3, t∈ − 6; 0)
0,25
Trang 5IV Tính tích phân 1,0đ
Đặt t = x − 1 ⇒ t2 = x − 1 ⇒ dx = 2 tdt
Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 0
x = 2 ⇒ t = 1
0,25
Khi đó:
2 2
3 9
t t
+
=
1
1 0 0
3
60ln 3
Cách 1:
+
≤
a
1 1 4
1 1
( 1) Dấu “ =” xảy ra ⇔ a = b
A =
+
+ +
+ +
− + +
xyz z xyz y xyz x z y x
1 1
1 1
1 1
A =
+ +
+ + +
+ + +
− + +
y x z x z y z y x z
y
1 2
1 2
1 1
1 1
• áp dụng (1) ta có:
A
+
+ +
+ + + + +
− + +
≥
y x x z z y z y x z
y x
1 1
1 2
1 2
1 2
1 4
1 1 1 1
=
− + +
≥
z y x z
y x z
y x
1 1 1 4
3 1 1 1 4
1 1 1 1
• CM: Với mọi a, b, c thì: ( a + b + c )2 ≥ 3 ( ab + bc + ca ) (2) Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c
áp dụng (2) ta có:
2
+ + ≥ + + = + + =
• Do x, y, z > 0 nên 1 + 1 + 1 ≥ 3
z y
4
3 3
≥
KL:
4
3 3
min=
A đạt đợc khi x = y = z = 3
Cách 2:
A =
+ +
+ + +
+ + +
− + +
y x z x z y z y x z
y
1 2
1 2
1 1
1 1 Theo CôSi:
A
+ +
− + +
≥
4 4
1 4
1 4
1 1
1 1
xyzz xyyz
xxyz z
y
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
Pttt: 2
2
t
t+ =m (*) Để pt ban đầu có nghiệm thực thì pt (*) phải có nghiệm t∈ − 6; 0)
<=> m 1; 3 6
2
∈ − −
0,25
Hpt <=>
− + + =
+ + = +
3 + 4x2 + 6x + 3 = y3 + y2 + y <=> (x+1)3 + (x+1)2 + (x+1) = y3 + y2 + y (*)
0,25
Xét hàm số f(t) = t3 + t2 + t, ta có f’(t) = 3t2 + 2t + 1 > 0
Với y = x + 1 ta có phơng trình x3 – 4x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
<=> x3 – 5x2 = 0 <=> x = 0 hoặc x = 5 Với x = 0 => y = 1; x = 5 => y = 6
Vậy hpt có hai cặp nghiệm (0; 1) và (5; 6)
0,25
CM: (SAC)⊥(ABCD):
BC AD
AD SA
⊥
⇒
⊥
BC
0,25
Tính thể tích:
Tơng tự ⇒(ã(SAD),(ABCD)) =(ãSA AC, ) =450(2)
0,25
Từ (1), (2) ⇒SAC =SCA=450
∆ SAC cân tại S ⇒ SO ⊥ AC BC →⊥SO SO ⊥ (ABCD ) ∆ ABC vuông tại C : AC = AB.sin300 =
2
a
4
3 60
sin 2
1 2
SABCD= ABC = =
0,25
∆ SOA vuông tại O: AO =
4 2
AC = ; SO = AO.tan450 1
4a
=
.
0,25
Trang 6A
− + +
≥
z y x z y x z y x z
y x
2 1 1 1 2 1 1 1 2 16
1 1 1 1 A
≥
z y x
1 1 1 4
3
( cách 1)
BC :
( )1
(2; 1) : 3 4 27 0
B
−
Toạ độ C là nghiệm của hpt 2 5 0
+ − =
+ − =
1 3
x y
= −
=
0,25
Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (d2) ta có B’ nằm trên cạnh AC
BB’:
( )2
(2; 1)
B
−
Gọi I = BB’∩(d2), toạ độ I là nghiệm của hpt 2 5 0 3
− − = =
0,25
Vì I là trung điểm của BB’ nên toạ độ B’(4; 3) AC: ( 1; 3)
' (5; 0)
C vtcp CB
−
2 Tìm toạ độ các điểm B, C trên đờng thẳng (d) 1,0 đ
Gọi I là hình chiếu của A trên đờng thẳng (d)
Ta có I(1; -2t; t + 2) =>uurAI =(0; 2 1;− −t t+2)
AI vuông góc với (d) => 5t + 4 = 0 => t = -4/5 => (0; ; )3 6
5 5
AI = uur
0,25
Vì tam giác ABC đều ta có 2
3
=> AB = 6
15
0,25
Phơng trình mặt cầu tâm A bán kính AB là :
5
x− + −y +z = (S)
0,25
Vì B, C thuộc mặt cầu (S) và thuộc đờng thẳng (d) nên toạ độ B, C là
nghiệm của hpt
( )2
5
1
5 2
2
− + − + =
= −
= +
Vậy toạ độ các điểm B, C là: 1;8 2 3 6; 3
0,25
Trang 7VIIa Tìm phần thực của số phức z 1,0đ
Ta có f(x) = log 4 (x – 3) + log 5 (x + 6) là hàm số đồng biến trên (3; +∞) f(19) = log 4 16 + log 5 25 = 4
Do đó pt log 4 (n – 3) + log 5 (n + 6) = 4 có nghiệm duy nhất n = 19
0,25
Ta có (1 + i) 19 = (1 + i)(1 + i) 18 = (1 + i)[(1 + i) 2 ] 9 = (1 + i)(2i) 9 = -2 9 + 2 9 i 0,5
Gọi (C–) là ảnh của đờng tròn (C 2 ) qua phép đối xứng tâm A(2; 3)
Ta có phơng trình đờng tròn (C–) là: (x – 4) 2 + (y – 6) 2 = 13 0,5
Đờng thẳng cần tìm đi qua A và cắt (C 1 ), (C 2 ) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau nên nó chính là trục đẳng phơng (d) của (C–) và (C 1 ). 0,25 Giả sử M(x; y) nằm trên (d) ta có
2 2
− + =
Suy ra phơng trình đờng thẳng (d) là: x – 3y + 7 = 0.
0,25
Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc cả hai đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) là mặt cầu có đờng kính là đoạn vuông góc chung của (d 1 ) và (d 2 ). 0,25 Gọi M∈ (d 1 ) => M(1-t; 2t; -2+t); N∈ (d 2 ) => N(t–; 1+3t–; 1-t–)
Ta có MNuuuur= + −(t t' 1;3 ' 2t − + − − +t 1; t t' 3)
0,25
MN là đoạn vuông góc chung của (d 1 ) và (d 2 ) <=> 1
2
⊥
<=> 4 ' 6 6 0
11 ' 4 1 0
− + =
− − =
<=>
3
7 5
t t
=
=
0,25
Ta có M( 2 14; ; 3)
− − ; N( ;3 14 2; )
5 5 5 => MN = 2 Gọi I là trung điểm của MN ta có I( 1 14; ; 1)
10 5 −10
Phơng trình mặt cầu tìm là: 1 2 14 2 1 2
0,25
Giả sử z = a + bi, với a, b∈R.
Ta có z + 1 + 2i = (a + 1) + (b + 2)i => |z + 1 + 2i| 2 = (a + 1) 2 + (b + 2) 2 0,25
Vì |z + 1 + 2i| = 1 nên (a + 1) 2 + (b + 2) 2 = 1.
Do đó tồn tại x ∈[0; 2π] sao cho a = -1 + sinx; b = -2 + cosx
Ta có a 2 + b 2 = (-1 + sinx) 2 + (-2 + cosx) 2 = 6 – 2(sinx + 2cosx).
0,25
(sinx + 2cosx) 2 ≤ 5 => − 5 sin≤ x+2cosx≤ 5
=> 6 2 5− ≤a2+ ≤ +b2 6 2 5 => 5 1− ≤ a2+b2 ≤ 5 1+
0,25
Vậy số phức có mođun nhỏ nhất là z = ( 1 1 ) ( 2 2 )
Nếu thi sinh thi khối D thì không cần làm câu II.3 và câu III, nên biểu điểm các bài nh sau
Trang 8Phần chung cho tất cả thí sinh (7,0 điểm)
Câu I: 2,5 điểm
1 Khảo sát hàm số : 1,5 điểm
2 Viết phơng trình tiếp tuyến : 1,0 điểm
Câu II: 2,0 điểm
1 Giải phơng trình lợng giác : 1,0 điểm
2 Tìm m để phơng trình có nghiệm thực: 1,0 điểm
Câu IV: 1,5 điểm
Câu V : 1,0 điểm
Phần riêng (3,0 điểm)
Chấm nh biểu điểm khối A & B
Nếu thi sinh làm theo cách khác đáp án mà vẫn đúng thì cho điểm theo các phần tơng ứng
- Hết