Trờng THPT chuyên Hùng Vơng Đề thi kiểm tra chất lợng lớp 12 lần I năm học 2008 2009 Môn thi : Toán, khối A, B, D Thời gian làm bài : 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu I (2 điểm) Cho hàm số 2 x x 1 y x 1 + = 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2) Tìm trên đờng thẳng y=x những điểm M sao cho từ đó kẻ đợc đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C) của hàm số đã cho. Câu II (2 điểm) 1. Giải phơng trình : 2sin(x )cos2x 2sin 2x 3 cos(3x ) 4 4 + = + . 2. Giải hệ phơng trình + = + + = 3 2 2 x 2x y 3x y x 3xy 7 Câu III (3,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(0;3) và hai đờng thẳng d 1 : x+2y1=0, d 2 : 2x+y-4=0. Viết phơng trình đờng tròn đi qua A, có tâm thuộc d 1 và tiếp xúc với d 2 . 2. Trong mặt phẳng (P) cho một điểm O và một đờng thẳng (d) cách O một khoảng OH=h. Lấy trên (d) hai điểm B,C sao cho BOH=COH= . Trên đờng vuông góc với (P) tại O lấy điểm A sao cho OA=OB. 1) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo h, . 2) K là một điểm di động trên đoạn OH nhng không trùng với O và H. Mặt phẳng (Q) vuông góc với OH tại K cắt hình tứ diện OABC theo một thiết diện. Tìm để chu vi của thiết diện không phụ thuộc vào vị trí của K trên OH. Câu IV (2 điểm) 1. Một lớp gồm 35 học sinh, trong đó có 3 cán bộ lớp, cần lập ra một nhóm gồm 5 học sinh sao cho trong nhóm đó có không quá 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm nh vậy. 2. Tìm hệ số của số hạng chứa 5 x trong khai triển nhị thức Newton của 3 n 1 ( x ) x + , biết rằng x > 0 và : 3 2 n n A 2C+ =81n. Câu V (1 điểm) Chứng minh rằng với mọi x>0 và 1 , ta có ( )x 1 x 1 + , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 = hoặc x=1. ---------------------------Hết------------------------ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh : .Số báo danh : . Đáp án Thang điểm Đề thi kiểm tra chất lợng lớp 12 lần I Năm học 2008 2009 Môn Toán , khối A, B, D (Đáp án thanh điểm gồm 5 trang) Câu ý Nội dung Điểm I 2,00 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị(C) của hàm số đã cho: (1,00 điểm) Ta có 1 1 2 1 1 2 ++= + = x x x xx y Tập xác định : D=R\{1} Sự biến thiên : 2 )1( 2 2 2 )1( 1 1' = = x xx x y , = = = 2 0 0' x x y 0,25 Bảng biến thiên : x - 0 a1 2 + y + 0 - - 0 + y 1 - - + + 5 y CĐ =y(0)=1 , y CT =y(2)=5. 0,25 Tiệm cận : Tiệm cận đứng x=1, tiệm cận xiên y=x+2. 0,25 Đồ thị : x y O 5 1 1 2 3 0,25 2 2 Tìm trên đờng thẳng y=x những điểm M sao cho từ đó ta kẻ đợc đến đồ thị (C) đúng 2 tiếp tuyến. (1,00 điểm) Xét điểm M(a;a) thuộc đờng thẳng y=x, khi đó đờng thẳng (d) đi qua M với hệ số góc k có phơng trình y = k(xa)+a. Đờng thẳng này là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 x x 1 y x 1 + = khi và chỉ khi hệ phơng trình: 2 2 x x 1 k(x a) a (1) x 1 1 1 k (2) (x 1) + = + = có nghiệm, và số nghiệm của hệ chính là số tiếp tuyến kẻ từ điểm M(a;a). 0,50 Từ hệ thay (2) vào (1) ta đợc phơng trình 2 2 x x 1 x a x a a x 1 (x 1) + = + 2 2 (x x 1)(x 1) x(x 1) x a x 1 + = + 3 2 2 3 2 x x x x x 1 x 2x x x a x 1 + + = + + 2 2x 2x 1 a 0 x 1 + = (*) Vậy để từ M kẻ đợc đến đồ thị hàm số đúng 2 tiếp tuyến thì cần và đủ là hệ phơng trình (*) có đúng 2 nghiệm. Tức là phơng trình 2 2x 2x 1 a 0 + = có 2 nghiệm phân biệt khác 1. 0,25 Điều này tơng đơng với: 0 a 1 0 > 1 2a 0 a 1 0 + > 1 2a 0 1 a ; a 1 a 1 0 2 + > > Vậy những điểm M cần tìm là M(a;a) với 1 a ; a 1 2 > . 0,25 II 2,00 1 Giải phơng tình lợng giác (1,00 điểm) Đặt 4 += xt thì phơng trình đã cho trở thành 2sin t cos(2t ) 2sin(2t ) 3 cos(3t ) 2 2 2sin t sin 2t 2cos 2t 3 cos3t = + + = 0,50 2cos 2t cos t 3 + = 2 4cos t cos t 5 0 + = cos t 1 = t k2 = , )( Zk 0,25 Kết luận : x k2 4 = + , )( Zk 0,25 3 2 Giải hệ phơng trình (1,00 điểm) Hệ phơng trình đã cho tơng đơng với: + = + = + 3 2 2 x 2x y 3x y 7 x 3xy Nhân 2 phơng trình với nhau theo từng về ta đợc: + = + + + 3 2 3 2 2 2 7x 14x y 3x 9x y x y 3xy + = 3 2 2 4x 4x y 3xy 0 + = 2 2 x(4x 4xy 3y ) 0 0,50 + Nếu x=0, không thỏa mãn hệ đã cho. 0,25 + Nếu + = 2 2 4x 4xy 3y 0 + =(2x y)(2x 3y) 0 = + = 2x y 0 2x 3y 0 Từ đây kết hợp hệ dã cho ta đợc các nghiệm của hệ phơng trình là: 1 2 x y = = ; 1 2 x y = = 0,25 III 3,00 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy (1,00 điểm) Gọi O là tâm đờng tròn (C) cần tìm, vì O thuộc d 1 nên O(12a; a). Khi đó (C) có phơng trình ( ) ( ) 2 2 2 2 1x a y a R+ + = (1) Do (C) đi qua A(0 ; 3) nên ( ) ( ) 2 2 2 2 1 3a a R + = (2) 0,25 Do (C) tiếp xúc với d 2 nên ta có 2(1 2 ) 4 5 a a R + = ( ) 2 2 3 2 5a R+ = (3) 0,25 Từ (2) và (3) ta có hệ: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 3 3 2 5 a a R a R + = + = 2 2 2 2 5 10 10 9 12 4 5 a a R a a R + = + + = 0,25 Giải hệ này ta đợc 2 nghiệm : 1 5 a R = = và 23 / 8 1445 / 8 a R = = Từ đây suy ra có 2 đờng tròn thỏa mãn bài toán, đó là: (C1): ( ) ( ) 2 2 1 1 5x y+ + = và (C2) : 2 2 19 23 1445 4 8 64 x y + + = ữ ữ 0,25 4 2 Trong mặt phẳng (P) cho . (2,00 điểm) 1) Tính khoảng cách . (1,00 điểm) Nối AH, kẻ OI vuông góc với AH, ta đợc OI vuông góc với mặt phẳng (ABC). 0,50 Khi đó trong tam giác vuông OAH ta có: 2 2 2 2 2 . cos . / cos cos 1 OH OA h h OI AH h h = = = + + 0,50 2) K là điểm di động trên OH .(1,00 điểm) Giả sử mp(Q) cắt OB, AB, AC và OC lần lợt tại M, N, P, Q. Ta có MNPQ là hình chữ nhật và chu vi của nó là p= 2(MN+NP) (1) Ta có MN BN OA BA NP AN BC AB = = 1 MN NP OA BC + = hay .cos 1 2 .tan MN NP h h + = 2 tan 2 .sinNP h MN = (2) 0,50 Thay (2) vào (1) ta đợc 2 4 tan 4 sin 2 (1 2sin ) 4 tanp MN h MN MN h = + = + . Vậy để chu vi p của thiết diện không phụ thuộc vị trí của K rtên OH, càn và đủ là 1 2sin 0 = 0 30 = (Vì là góc nhọn). 0,50 IV 2,00 1 Hỏi có bao nhiêuscách chọn .(1,00 điểm) Số cách chọn 1 nhóm gồm 5 trong 35 học sinh là : 0,25 5 I H Q N M P B C A O K 5 35 35! 31.32.33.34.35 324632 30!5! 1.2.3.4.5 C = = = Số nhóm gồm 5 học sinh mà có cả 3 cán bộ lớp là: 2 32 32! 31.32 496 30!2! 2 C = = = 0,50 Vậy số cách chọn 5 học sinh thỏa mãn yêu cầu là: 324632496 = 324136 cách. 0,25 2 Tìm hệ số của số hạng chứa 5 x . (1,00 điểm) Điều kiện : n N và n 3. Từ giả thiết ta có : ! ! 2. 81 ( 3)! 2!( 2)! n n n n n + = ( 1)( 2) ( 1) 81n n n n n n + = 2 ( 1) 81n = 10 = n , (vì 3 n ) 0,25 Với n=10 ta có : 1 1 103 10 10 3 ( ) ( ) .( ) 0 10 k k k x C x k x x + = = 5 10 10 2 . 0 10 k k C x k = = Khi đó 5 10 5 6 2 k k = = 0,5 Vậy hệ số phải tìm là : 10! 6 210 10 6!4! C = = 0,25 V 1,00 Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với: ( )x x 1 1 + Nếu 1 = ta có đẳng thức xảy ra. 0,25 + Nếu 1 > , khi đó: Xét hàm số = ( ) ( )f x x x 1 trên ( ) 0,+ Ta có = = '( ) ( ) 1 1 f x x x 1 0,25 Từ đây ta có f(x) >0 > > >( )ln 1 x 1 0 1 x 0 x 1 và từ đó f(x)<0 x<1. 0,25 6 Từ đây ta có bảng biển thiên: x 0 1 y' - - - - 0 + + + + y Do đó f(x) 1 vứi mọi x, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=1. Vậy bài toán đợc chứng minh. 0,25 7 + 1 . dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 = hoặc x =1. -- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -Hết -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và. Vơng Đề thi kiểm tra chất lợng lớp 12 lần I năm học 2008 2009 Môn thi : Toán, khối A, B, D Thời gian làm bài : 18 0 phút, không kể thời gian phát đề Câu