Luận văn nón tiếp và nón pháp trong không gian banach

Nguyễn Năng Tâm, luận vănThạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Nón tiếp và nón pháp trong khônggian Banach" được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả.. Với mong muốn t

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư

PHẠM HÀ NỘI 2

• • • •

NGUYỄN THỊ SÁU ANH ■

NÓN TIẾP VÀ NÓN PHÁP TRONG

KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC

• • •

HÀ NỘI, 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ

NỘI 2

NÓN TIẾP VÀ NÓN PHÁP TRONG KHÔNG GIAN

BANACH

LUẬN VĂN THẠC SỸ

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02

Giáo viên hướng dẫn:

PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM

H À N Ộ I , 2 0 1 4

Mục lục

Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.

Xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợicho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 7 năm 2014 Tác

giả

Nguyễn Thị Sáu Anh

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, luận vănThạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Nón tiếp và nón pháp trong khônggian Banach" được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựucủa các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 7 năm 201Ậ Tác

giả

Nguyễn Thị Sáu Anh

bao đóng của A

miền hữu hiệu của /trên đồ thị của /đạo hàm Frechet của / tại

dưới vi phân của / tại X

chuẩn trong không gian Banach

trị tuyệt đối của số X

giá trị của X* tại X

nón lồi sinh bởi A nón pháp của A tại X

f { x ) < g { x ) với mọi X

tập mức dướihàm khả vi liên tục đến

cấp k ánh xạ đồng nhất trên A cầu tâm y bán kính

£

Mở đầu

Trong Giải tích biến phân và giải tích hàm phi tuyến, nón tiếp và nón pháp là haikhái niệm quan trọng Chúng có vai trò lớn trong nghiên cứu của nhiều lĩnh vực,chẳng hạn như: bất đẳng thức biến phân, lý thuyết tối ưu, V.V Nhiều tác giả(Minkowski, Fenchel, Bouligand, Clarke, Hiriart- Uruty, Rockafellar, Robinson,Zowe, Kurcyusz, Lyusternik, Aubin, Schi- rotzek, Klatte và Kummer, Penot,Borwen và Zhu, ) quan tâm nghiên cứu và sử dụng; xem [4], [5] và các tài liệu dẫntrong đó

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ vànhững ứng dụng của toán giải tích, đặc biệt là giải tích không trơn và ứng dụng, tôi

chọn đề tài “Nón tiếp và nón pháp trong không gian Banach” để nghiên cứu.

Đạt được một sự hiểu biết tốt về khái niệm và tính chất của một số nón tiếp, củamột số nón pháp trong không gian Banach và ứng dụng của chúng trong Giải tíchbiến phân

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN cứu

Nghiên cứu những khái niệm và tính chất cơ bản của những nón tiếp và nón phápcùng ứng dụng của chúng trong Giải tích biến phân

Đối tượng nghiên cứu: Nón tiếp và nón pháp cùng ứng dụng

- Phạm vi nghiên cứu: Nón và tính chất của nón trong không gian Danach

Tìm hiểu tài liệu: Các bài báo đã được đăng và sách đã in liên quan mật thiết đếnnón tiếp và nón pháp cùng ứng dụng Sử dụng các phương pháp của Toán giải tích

6 GIẢ THIẾT KHOA HỌC (Dự KIEN đóng góp MỚI)

Một tổng quan về nón tiếp và nón pháp cùng một số ứng dụng

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng ta sẽ trình bày những khái niệm cơ bản nhất về khônggian Banach và không gian Hilbert cùng những toán tử tuyến tính trên chúng.Những kiến thức trình bày trong chương này được chọn chủ yếu từ các tài liệu [1],[2], [3], [4] và [5]

1.1 Không gian Banach và không gian Hilbert

Cho E là một không gian vectơ trên trường số R

Định nghĩa 1.1 Một chuẩn; kí hiệu II • II, trong E là một ánh xạ đi từ

E vào K thỏa mãn cấc điều kiện:

1) I\x 11 > 0 với mọi X € E ;

2) |Ịa;|Ị = 0 khi và chỉ khi X = 9 (6 là kí hiệu phần tử không);

3) ||Ax|| = |A|||a:|| với mọi số \ e R và mọi X e E;

4) ||x + y\\ < ||x|| + ||y|| với mọi x,y e E.

Số ||;c|| được gọi là chuẩn của vectơ X £ E Một không gian vectơ

E cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy, được gọi là một không gian

định chuẩn

Mệnh đề 1.1 Giả sử E là một không gian định chuẩn Với mọi x : y G E, đặt

p { x , y ) = \\x - y||.

Khỉ đó, p là một metric trên E.

Định nghĩa 1.2 Cho E là một không gian định chuẩn với chuẩn ||.|| Nếu E

với khoảng cách sinh bởi chuẩn của E: p ( x , y ) = I|íc — y\\, là một không gian metrỉc đầy đủ thì E gọi là không gian Banach.

Nếu không có giả thiết gì thêm, trong suốt luận văn này, không gian Banach

được kí hiệu là E Chuẩn trong các không gian Banach luôn được kí hiệu bởi II.

II

Định nghĩa 1.3 Không gian Banach E được gọi là không gian Banach

Fréchet trơn nếu nó có chuẩn tương đương và chuẩn đó H— khả vi trên E\{ 0}.

Định nghĩa 1.4 Cho E là một không gian định chuẩn với chuẩn II II Tìa

gọi mỗi ánh xạ tuyến tính X* : E —> R là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên E.

Nếu X* là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên E và X G E thì giá trị của X* tại X sẽ được kí hiệu là ( x * , x } , nghĩa là ( x * , x } = x * ( x )

Dễ dàng kiểm tra được rằng, tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục

trên E với phép cộng ánh xạ tuyến tính và phép nhân ánh xạ tuyến tính với số thực lập thành một không gian tuyến tính thực Ta gọi không gian này là không

gian liên hợp của E và được kí hiệu là E* Không gian liên hợp của E* gọi là không gian liên hợp thứ hai của E và kí hiệu là E**.

Định lý 1.1 Không gian liên hợp E* của E với chuẩn xác định bởi

lk*|| = sup{ ( x \ y ) : y e E , ||y|| < 1}

là một không gian Banach.

Tôpô Ts sinh bởi metric của không gian định chuẩn E* nêu trong định lý vừa nêu gọi là tôpô mạnh trong E*.

Định nghĩa 1.5 Tôpô Tw trong E* gọi là tôpô yếu và kí hiệu là ơ(E**, E *)

nếu hệ thống các lăn cận của 0 của E* là các tập có dạng

{x* e E* : (x*ị*, X*) < £, 4 = 1,k},

trong đó x*ị* G E** với i = ĩ, ,k và £ > 0.

Định nghĩa 1.6 Tôpô T* trong E* gọi là tôpô yếu* và kí hiệu là ơ ( E * , E ) nếu

hệ thống các lân cận của 0 của E* là các tập có dạng

{x* E E* : (x*, Xi) < £, i = 1 , & } ,

trong đó Xi G E với ỉ = 1,k.

Định nghĩa 1.7 Tập A c E mà là đóng (compact, bị chặn) theo tô pô yếu trong

E gọi là tập đóng (tương ứng, compact, bị chặn) yếu Tập A đóng (compact,

bị chặn) theo tô pô yếu* trong không gian liên hợp E* của E thì gọi là tập đóng yếu* (tương ứng, compact yếu*, bị chặn yếu*) Kí hiệu CỈ*M là bao

đóng của M trong E* theo tô pô ơ ( E * , E )

Giả sử E là một không gian Banach, K là tập số thực.

Định nghĩa 1.8 Tập A c E được gọi là lồi, nếu

VíCi, X 2 ẽ A.-Ị VA G M : 0 < Ằ < 1 \x\ “I“ (1 — A)X 2 G A.

Ví dụ 1.1 Cả không gian E là tập lồi Tập A = 0 là tập lồi.

Mệnh đề 1.2 Giả A a c E (a £ I) là các tập lồi, với I là tập chỉ số bất kì Khi đó

A = n A a cúng lồi.

a€l

Mệnh đề 1.3 Giả sử tập Aị c E lồi, Aj € R (i =1, 2,m) Khi đó

ẰiAị + + Am^4m cũng là tập lồi.

Mệnh đề 1.4 Giả sử Eị là không gian Banach, tập Aị c Eị lồi (i =

1 , 2 , , m ) Khi đó tích Đềcác Ai X X A m là tập lồi trong E l X

X E m

Mệnh đề 1.5 Giả sử El, E 2 là các không gian Danach, T : El —ì E 2 là toán tử tuyến tính Khi đó,

a) A c El lồi thì T(A) lồi;

b) B c E 2 lồi thì nghịch ảnh T~ l (B) của B là tập lồi.

Định nghĩa 1.9 Véc tơ X e E được gọi là tổ hợp lồi của các véctơ

i-Định lý 1.2 Giả sử tập А с E lồi; xi, ,x m E A Khi đó A chứa tất cả các tổ hợp lồi của xi : ,x m

Định nghĩa 1.10 Giả sử А с E Giao của tất cả các tập lồichứa А được gọi là bao lồi (convex hull) của tập Ả, kí hiệu là coA.

Định lý 1.3 co A trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của A.

Hệ quả 1.1 Tập A lồi khi và chỉ khi A chứa tất cả các tổ hợplồi của A.

Định nghĩa 1.11 Giả sử А с E Giao của tất cả các tập lồi đóngchứa

A được gọi là bao lồi đóng của tập A và kí hiệu là cõA.

Mệnh đề 1.6 Giả А С E lồi Khi đó,

ỉ) Phần trong int^ và bao đóng A của A là các tập lồi;

ii) Nếu Xị G int A, x 2 £ A, thì {Aa?! + (1 — Ằ)x 2 : 0 < Xị <

с

ini А.

Định nghĩa 1.12 Tập к с E được gọi là nón có đỉnh 0;nếu

Vz G x,vЛ > 0 => Ằ x e K

К được gọi là nón đỉnh X o nếu к — x ữ là nón có đỉnh 0

Định nghĩa 1.13 Nón к có đỉnh 0 được gọi là nón lồi, nếu к là một tập lồi, vậy

Hệ quả 1.2 Tập К С E là nón lồi khi và chỉ khi к chứa tất cả các tổ hợp tuyến

tính dương của các phần tử của K, tức là nếu xi, ,x m G

К, A l , A m > 0 thì X ị X ị G К

ỉ= 1

Hệ quả 1.3 Giả sử A là tập bất kì trong E, к là tập tất cả các tổ hợp tuyến

tính dương của A Khi đó к là nón lồi nhỏ nhất chứa Ả.

Định nghĩa 1.14 Giao của tất cả các nón lồi (có đỉnh tại 0) chứa tập A và

Định nghĩa 1.15 Cho A là một tập lồi khác rỗng trong E, x ữ G A nón pháp của Ả tại x ữ , kí hiệu là Na{xo ) ; là tập

N A { Xо) = (ж* £ E * : ( x * , x — X Q ) < 0 Vx G A}.

Định lý 1.5 (Định lí Carathéodory)

Giả sử dim E < oo và А с E Khi đó, mỗi điểm của tập co A là tổ hợp lồi không quá 71+ 1 điểm khấc nhau của A.

Định nghĩa 1.16 Tập H trong không gian E được gọi là siêu phẳng nếu tồn tại

phiếm hàm tuyến tính khác không X* từ E vào R và số a G м sao cho H = {x

e E : { x * , x } = o;} Khi đó ta nói H xác định bởi X* và at, và viết là

Định lý 1.6 (Định lý Hahn-Banach, Định lý tách (xem [1], [2]) Cho А và В là

hai tập lồi trong không gian Banach E, có tính chất А п в = 0 và int A Ỷ 0 Khi đó A và В có thể tách được bằng một phiếm hàm tuyến tính khác 0, tức

Эх* G E* \ {0}, Vx e A, \/y e В :( x * , x ) ^ ( x * , y )

1.3 Hàm lồi

1.3.1Định nghĩa

Cho E là không gian Banach, D c E , f : D —> R.

Định nghĩa 1.18 Cho hàm f : D —> M, trong đó D c E, K =

Định nghĩa1.19 Hàm f : D —> M được gọi là lồi nếu trên đồ thị của

nó là một

lồi trong DXR Nếu dom f Ỷ 0 và —00 < f(x) với mọi

X € D ta nói hàm f là chính thường.

Định nghĩa 1.20 Hàm f được gọi là lồi trên D nếu e p i f là tập lồi trong E X R.

Hàm Ị được gọi là lõm trên D (concave on D), nếu —f là hàm lồi trên D.

Định lý 1.7 Giả sử D là tập lồi trong không gian E, hàm /:£)—>■

(—00, +00] Khi đó, f lồi trên D khi và chỉ khi

Hệ quả 1.4 Giả sử f a là hàm lồi trên E, X a G K (Vqí ẽ I), I là tập chỉ số bất kì.

Khi đó, tập A = {x £ E : f a (2;) < Aa, \/a G 1} lồi.

Ví dụ 1.1 (Hàm chỉ) Cho с Ф 0 là một tập lồi trong E.

Định nghĩa 1.21 Hàm f được gọi là đóng, nếu e p i f đóng trong E X R.

Định lý 1.9 Hàm f đóng khi và chỉ khi tất cả các tập có dạng {x : f (ж) < а}

của Ị là đóng.

Định lý 1.10 Giả sử /i,f m là các hàm lồi chính thường trên E Khi đó,

tổng fi + + fm là một hàm lồi.

1.3.2 Tính liên tục của hàm lồi

Định lý 1.11 Giả sử f là hàm lồi chính thường trên E Khi đó các khẳng định

sau là tương đương:

Khỉ đó ta nói f là L—liên tục địa phương xung quanh x; Nếu u = E thì ta nói

f là L— liên tục với hằng số L hay f là hàm Lipschitz với hằng số L.

Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên tập D c E nếu f Lips- chitz địa phương xung quanh mọi X G D.

Ví dụ 1.3 Cho E là không gian Banach, A c E là tập con khác rỗng Hàm (ỈA

'■ E —»■ R xác định bởi

d A ( x ) = inf{||a; - y\\ I y e A } gọi là phiếm hàm khoảng cách.

Dễ thấy, nếu Ả là tập lồi đóng thì d,A là một hàm lồi và d,A luôn là hàm

Lipschitz với hằng số 1: \ ( Ỉ A { X) — ( Ỉ A { y)I ^ IIX — y \ \ với mọi x , y G E

Định lý 1.12 Giả sử E là không gian Danach; f là hàm lồi trên tập mở D c E;

f bị chặn trên một lãn cận của một điểm nào đó thuộc D Khi đó, f Lipschitz địa phương trên D.

Hệ quả 1.5 Giả sử f : D —¥ E là hàm lồi, liên tục tại X thuộc tập lồi mở D.

Khi đó, f Lipschitz địa phương trên D.

Định nghĩa 1.23 i) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới (ỉsc) t ạ i x G E (với f

(x) < oo), nếu với mọi £ > 0, tồn tại lăn cận u của X sao cho

f { x ) - e < f { y ) (Vy G u).

n) Nếu f (X) = 4-00, thì f được gọi là nứa liên tục dưới (Isc) tại X, nếu với

mọi N > 0, tồn tại lăn cận u của X sao cho: f (y) > N (Vy £ u).

iii) Hàm f được gọi là nứa liên tục dưới (ỉsc), nếu f nứa liên tục dưới tại mọi X € E.

Mệnh đề 1.9 / đóng khi và chỉ khi f nửa liên tục dưới.

Hệ quả 1.6 Giả sử E là một không gian Danach, A c E lồi Khi đó, bao đóng

A của A theo tôpô mạnh là đóng theo tôpô yếu của E.

Hệ quả 1.7 Giả sử E là một không gian Banach, Ả c E, x ữ thuộc bao đóng yếu của A Khi đó, tồn tại dãy các tổ hợp lồi các phần tử của A, hội tụ đến x 0

A Khi đó mỗi điểm

G r a p h { § ) = { { x , y ) \ y e $(z)}.

Ánh xạ đ a trị Ф được gọi là không tầm thường nếu Graph(ф) Ф 0, nghĩa là

tồn tại X £ X sao cho ф(ж) Ỷ 0 Nếu ф(ж) Ỷ 0 vói mọi X E X thì ta nói rằng

ánh xạ đa trị Ф là chính thường Miền hữu hiệu của ánh xạ đa trị Ф , kí hiệu Dom(Ф) là tập {x G X, ф(ж) Ф 0ị Ảnh của ánh xạ đa trị Ф được cho bởi 1т(ф)

= и ф(ж) Nếu M là tập con khác rỗng của

X và Ф là ánh xạ đa trị từ X vào Y thì ta dùng kí hiệu ф|м để chỉ ánh xạ đa trị

thu hẹp của Ф lên M và được định nghĩa:

Ánh xạ ngược Ф 1 : Y ^ X của ánh xạ đa trị ф : X =£ Y được xác định bởi công

thức Ф-1 (y) = {x G X : y G ф (ж)}.

Ví dụ 1.4 Xét phương trình đa thức:

X й + a i X n 1 + + a n_ i X + a n = 0

trong đó n G N ỉà các số nguyên dương , dị G R (г = 1, n) là các hệ số

thực Qui tắc cho tương ứng với mỗi véc tơ а = (oi, , an) ẽ R n với tập nghiệm ký hiệu b ở i Ф ( a ) của (1.1) cho ta một ánh xạ đa trị Ф : M" —> 2c từ không gian Euclide R" vào tập số phức с

Với Ф là ánh xạ đa trị trong ví dụ 1.4 ta có:

Graph(Ф) = {(a, x) G M" X с : X й + a i X n ~ l + + an _ i X + a0 = 0} , Dom(Ф) = R”, Im(Ф) = c.

Định nghĩa 1.26 Cho X,Y là hai không gian tô pô và ф : X =3 Y ỉà ánh xạ đa

trị

i) Nếu Graph(Ф) là tập đóng trong không gian tô pô tích X X Y thì Ф

được gọi là ánh xạ đóng.

ii) Nếu X, Y là các không gian định chuẩn thì nếu Graph(Ф) ỉà tập lồi

trong không gian tích X X Y thì Ф được gọi là ánh xạ đa trị lồi.

iii) Nếu ф (ж) là tập đóng với mọi X G X thì ф (X) được gọi là ánh xạ có

giá trị đóng.

iv) Nếu Y là không gian định chuẩn và nếu ф(ж) ỉà tập lồi thì ф (ж)

được gọi là ánh xạ có giá trị lồi

(1.1

)

1.5 Đạo hàm theo hướng

Giả định rằng E và F là các không gian định chuẩn, D c E là mở và khác rỗng, X

e D và / : D —> F Ta sẽ nhắc lại một số khái niệm cổđiển Để bắt đầu, ta xem xét đạo hàm theo hướng y. Taviết:

A/ ( x ^ y ) := f ( x + y ) - f ( x ) , V y £ D - X

Chúng ta sử dụng các chữ viết tắt sau đây:

• G — đạo hàm : đạo hàm Gateaux,

• H — đạo hàm : đạo hàm Hadamard,

• F — đạo hàm : đạo hàm Eréchet.

Định nghĩa 1.27 Giả sử y e E Ta gọi:

Ĩg Oẽ) y) = lim _A/ (x, ry) là G-đạo hàm theo hướng rịo r

ỈQ (x, y) = lim -A/ (x, ry) là G-đạo hàm theo hướng chặt

Bổ đề 1.1 (a) Nếu fiỊ {x, y) tồn tại, khi đó fc { x , y ) cũng tồn tại và cả hai đạo

hàm theo hướng trùng nhau.

(b) Nếu f là L—liên tục địa phương xung quanh X, khi đó f H (X, y) tồn tại khi

và chỉ khi fc (X, y) tồn tại.

1.6 Dưới vi phân Eréchet

Định nghĩa 1.28 Giả sử rằng E là một không gian Danach, f : E R là chính

thường và Isc, X £ domf

(a) Phiếm hàm f được gọi là dưới khả vi Frechet (F— dưới khả vi) tại

X nếu tồn tại X* G E* (gọi là F — d ư ớ i đ ạ o h à m c ủ a f t ạ i x )

sao cho :

(b) Phiếm hàm f được gọi là dưới khả vi nhớt tại X nếu tồn tại X* G

E* (gọi là dưới đạo hàm nhớt của f t ạ i x ) và c 1 — hàm g : E —»• R sao cho g' (ĨẼ) = X * và f — g đạt được giá trị cực tiểu địa phương tại

X

Nếu t r o n g trường hợp đ ặ c b i ệ t : g (a:) = ( x * , X — x) — ơ \\x — x \ \ 2 v ớ i h ằ n g số dương ơ thì X* được gọi là gradỉen dưới gần kề của f tại X.

Tập hợp:

dpf (x) = tập của tất cả các F-dưới đạo hàm của ĩ tại X.

9vf ỘẼ) = tập của tất cả các dưới đạo hàm nhớt c ủ a f tại X d p f

0*0 = tập của tất cả các gradỉen gần kề c ủ a f t ạ i X

được gọi là dưới vi phân của Frechet (F— dưới vi phân ), dưới vi phân nhớt, dưới

vi phân gần kề của / tại X theo thứ tự tương ứng

1.7 Dưới vi phân Clarke, dưới vi phân Michel—Penot

được gọi là đạo hàm theo hướng Clarke của f tại X theo hướng y và

(x, y) := sup lim sup - (/ (x + ry + rz) — f (x + rz))

Z £E r^o r được gọi là đạo hàm theo hướng Michel - Penot của f tại X theo hướng V -

Định lý 1.14 Giả sử f là L— liên tục địa phương xung quanh X với hằng số X

> 0 Khi đó :

(a) /° (X,.) và /0 (X,.) là tuyến tính dưới và L—liên tục với hằng số X trên E

thỏa mãn :

ỈH ( x , y ) < f ộ ( x , y ) < /° ( x , y ) < X |Ịi/|Ị, Vỉ/ G E Trong trường hợp đặc biệt, /° (X,.) và(X,.) là xấp xỉ lồi hữu hạn

trên của f tại X.

(b) Vy e E ta có: /° (x, -y) = (-/) (x, y) , f ộ (x, -y) = (-/) (z, y).

Ví dụ 1.5 Giả sử E := R, / (X) := |a;| — |sinx| và X := 7T Khi đó ta có:

Ta thấy rằng trong các đạo hàm theo hướng trên , phiếm hàm f H (7T,.) là xấp xỉđịa phương tốt nhất của / tại 7T nhưng nó không là lồi Vì nếu f là lồi thì df (X) = {x* I { x * , y } < f c ( x , y), Vy G E } Trong trường hợp không lồi ta có:

Định nghĩa 1.30 Nếu f là L—liên tục địa phương xung quanh X thì:

d j ( x ) : = { x * e E * I ( x * , y ) < /° ( x , y ) , V y e E }

gọi là dưới vi phân Clarke hoặc gradỉen suy rộng Clarke của f tại X và

d ộ f { x ) : = {z* e E * \ (x * , y ) < f ộ { x , y ) , V y G E } gọi là dưới vi phẫn Michel- Penot của f tại X

Mệnh đề 1.10 Nếu f là L — liên tục địa phương xung quanh X , khi đó với mọi

ta có:

□

Kết luận

Trong chương này chúng ta đã trình bày định nghĩa, một số tính chất cơ bản củatập lồi, hàm lồi, hàm Lipschitz, ánh xạ đa trị và số khái niệm đạo hàm cổ điển.Những nội dung này sẽ dùng như là những kiến thức chuẩn bị cho chương sau

Ta định nghĩa những nón tiếp khác nhau xem như những xấpxỉ của

A gần X Kí hiệu X —>A X nghĩa là X e A, X —> X.

Định nghĩa 2.1 ([5]) Ta gọi

i) T r (A,x) := {y e E I 3rỵ ị OVA; : X + rỵy G A} là nón các tia của A

tại X

ii) T (A, X) := {y e E I 3rỵ ị 0 3yk —>• y \/k : X + rkVk £ A} ỉà nón mật

tiếp của A tại X (hoặc nón tiếp tuyến Bouligand của A tại x).

iii) T c ( A , x ) := { y G E \ \/x k ìA x,\/r k ị 03y k -»■ ỳik : Xỵ + r k y k G A }

là nón tiếp Clarke của A tại X.

iv) I r (^4, x) := {y G E I 3e > OVr G (0, e) : X + ry G A}, nón các tia hướng

vào trong hoặc nón các phương chấp nhận được của A tại X.

v) I (A, x) := {y £ E \ 3e > OVr G (0, e ) V z G B (y , e ) : X +r z £ A},

nón các phương trong của A tại X.

vi) H (Ả, x) := {y e E I Mx k ìA xir k ị 0My k yVk : x k + r k y k

(I) Ta chứng tỏ rằng T { A , x ) là đóng Giả sử ( z n ) là một dãy trong T (j4,x),

hội tụ đến y e E,Vn e N Khi đó tồn tại dãy (r£) trong (0, +oo) và { y l ) trong E thỏa mãn: (r£) ị 0, { y l ) — * ■ z n khi A: — > o o v ầ x + (r£)

Đặt r n := r^ n yy n := y^ n) và r„ ị 0, chúng ta thu được rn ị 0 và yn —> y khi n

—>• oo như X + r n y n G A, Vn Cho nên: y e T (^4, ãf)

(”) ,2/* ^

(II) Bây giờ ta kiểm tra Tc (A,x) là lồi Giả sử 2/1,2/2 ẽ ĩc { A , x ) Vì T c (^4, X )

là một nón, ta chỉ cần chứng tỏ rằng 2/1 + y 2 € Tc (^4, x )

Giả sử rằng T ỵ ị 0 và X ỵ —)• A X khi к —» oo Khi đó tồn tại trong

Chứng minh Xem Chương 11 của [5]. □Bây giờ ta thiết lập một biểu diễn của nón tiếp Clarke theo thuật ngữ của đạo hàm theo hướng Clarke Dễ dàng thấy rằng

Do đó, vế phải của (2.4) là không lớn hơn 0 Giả sử Z k Ễ A sao cho:

Như vậy, vế phải của (2.4) lớn nhất bằng 0 □

Hệ quả 2.1 Nếu A là lồi thì Tc (A , x ) = T (A , x ) = c/(R+ ( A — x)).

Chứng minh Theo Mệnh đề 2.1 ( d ) , ta có đẳng thức thứ 2 đúng Bây giờ ta sẽ

chứng tỏ rằng Tc (A, X) = cl(R + (A — x ) ) Vì A lồi, phiếm hàm d , A là lồi và

L-liên tục Do đó, (ỈA là chính quy và vì thế d ữ

A (X ,.) = ( Ì a g Oẽ) •)• Theo mệnh đề 2.4,

u G T c (A , X ) là tương đương với dẨ4G ( x , ù ) = 0 và vì

vậy limr-1^ ( x + r u ) = 0 Quan hệ vừa nêu đúng khi và chỉ khi E N

rịo

tồn tại T k G (o, ị ) và X k G A sao cho

1

u k = — ( x + r k u - x k ) 0 T k

khi k 00 Lưu ý rằng u — — ( X k — x ) + U k , ta có điều phải chứng minh.□

Những "đặc trưng hình cầu" của nón tiếp Clarke và nón siêu tiếp sẽ hữu ích trong phần tiếp theo

b Ta có: y G н (Л, X) khi và chỉ khi tồn tại £ > 0 sao cho и + rv e A khi

Như vậy điều còn lại là kiểm tra ( 2.7) Giả sử H i G H (A , x ) và У2 €

Тс (A, X) đã cho Ta phải chứng tỏ rằng với £ > 0 nào đó,

được gọi là epî-Lipschîtz

tại X nếu H (A,x) khác rỗng Nếu H (A,x) khác rỗng với mọi X G A thì A được gọi là epi- Lipschitz.

Mệnh đề 2.6 Nếu A ỉà tập

ỉồỉ và A Ỷ 0 thì A là Lipschitz.

EZ + z < £ + 4- < £i- z

□

(2.12

)

tương giao của Rock-

aíellar mạnh hơn kết quả

giờ ta nêu định nghĩa một

vài nón pháp của A tại X

của Ả tại X theo nghĩa

của giải tích lồi.

Định nghĩa 2.4 N ó n N c

{ A , x ) = T c { A , x ) ữ

được gọi là nón pháp Clarke của A tại X.

Nhắc lại rằng, cl*M là

bao đóng của M trong E* theo tô pô ơ ( E * , E ) Mệnh đề 2.9 T a c ó N c

(^4,^) = c l * (R+ỡoc/a

( X ) )

điều phải chứng minh.

Trong mối liên hệ trên,

nhắc lại rằng dưới vi phân

tại X.

Mỗi и G N f (A, X) được

gọi là một pháp Fréchet của

Ả tại X Tương tự, ta cũng gọi pháp nhót và pháp

gần kề Ta trình bày ra

một đặc tính đơn giản đầutiên nhưng hữu ích của nónpháp Fréchet

Mệnh đề 2.10 Cho A là

một tập con khác rỗng của E v à x Ç z A Khi đó,

Vx* G E*, những khẳng

định sau là tương đương: (а) X* G N f ( А , X) Съ) Với mọi Е > о tồn tại Ỏ > о sao cho:

Điều này có được một cách

trong đó || r^i|| —> 0 khi X

■ ( z

—

x

\ x

— x )

< ( z

—

x

\ z

— x ) , V x

€ A

Giản ước tích vô hướngtrong sự bất đẳng thức cuối

ta đi đến