Luận văn điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian banach

Trong chương 2 của luận văn chúng tôi sẽ trình bày các ứng dụng khác thường đó của định lý ánh xạ co Banach.. Trong chương này, luận văn sẽ chứng minh cả định lý điểm bất động của Carist

BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của TS Trần Quốc Bình Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Thủy

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS Trần Quốc Bình khóa luận được hoàn thành không trùng với bất kỳ công trình khoa học nào khác

Trong khi thực hiện khóa luận tác giả đã sử dụng và tham khảo các thành tựu của các nhà khoa học khác với lòng biết ơn trân trọng

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Thủy

M ở đầu 1

1.1 Ký hiệu 31.2 Định n g h ĩ a 41.3 Tính chất 5

2.1 Nguyên lý ánh xạ co B a n a c h 72.2 Định lý C a r i s t i 132.3 Một số ví dụ và ứng d ụ n g 15

3 Đ iểm bất đ ộng của ánh x ạ khôn g giãn tro n g khôn g gian

3.1 Cấu trúc chuẩn t ắ c 253.2 Mô đun lồi và đặc trưng l ồ i 313.3 Định lý cơ bản về điểm bất động của ánh xạ không giãn 383.4 Mối quan hệ giữa môđun lồi và cấu trúc chuẩn t ắ c 41

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Định lí ánh xạ co Banach có rất nhiều ứng dụng, được gặp trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học Một số ứng dụng chẳng hạn như trong chứng minh sự tồn tại và nghiệm duy nhất của bài toán Côsi đã trở thành kinh điển, được giảng dạy ở các trường đại học Tuy nhiên, định lý ánh

xạ co đó còn có những ứng dụng khác nữa, ít được biết đến hơn nhưng cũng rất thú vị Chẳng hạn ký hiệu N là họ các compact trên M, N được trang bị Hausdorff mêtric (khoảng cách Hausdorff) và đối với tập compact

I c R xét ánh xạ:

Khi đó T ( x ) là ánh xạ co ( trong Hausdorff mêtric) và nếu chọn x 0 = [0; 1]

thì X n = T n( x ữ) sẽ hội tụ đến tập Cantor nổi tiếng

Trong chương 2 của luận văn chúng tôi sẽ trình bày các ứng dụng khác thường đó của định lý ánh xạ co Banach Trong chương này, luận văn sẽ chứng minh cả định lý điểm bất động của Caristi

Khi các hệ số co của định lý Banach bằng 1 ta sẽ được ánh xạ không

giãn (IIT x — T y II < |Ịrr — y II Vx, y £ D ) Nói chung ánh xạ không giãn

không nhất thiết có điểm bất động Để ánh xạ không giãn có điểm bất động ta phải áp đặt các điều kiện lên miền xác định và cấu trúc hình học của không gian Những phần đó chúng tôi sẽ đề cập trong chương 3 Trong chương này, ngoài việc chứng minh định lý cơ bản về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn chúng tôi còn đề cập đến các vấn đề khác nữa, liên quan đến cấu trúc hình học của không gian Banach

1

2 M ục đích nghiên cứu

Đề tài này nghiên cứu các ứng dụng của định lý ánh xạ co Banach và

sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn

3 N h iệm vụ nghiên cứu

Đọc hiểu thấu đáo các chương tương ứng trong quyển sách của W.A.Kirk [2] và một số bài báo liên quan tới đề tài nghiên cứu

4 Đ ối tư ợng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: các kiến thức, khái niệm cơ bản và mở rộng liên quan đến cấu trúc hình học của không gian Banach, phục vụ việc nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ không giãn cũng như các ứng dụng của định lý ánh xạ co Banach

5 P hư ơng pháp n ghiên cứu

Thu thập tài liệu và các bài báo về ánh xạ không giãn và lý thuyết điểm bất động

Đọc hiểu, tổng hợp và trình bày một cách hệ thống các kết quả nhận được

6 N h ữ ng đ óng góp m ới của đề tà i

Luận văn sẽ là một tài liệu hữu ích về ánh xạ co Banach và ánh xạ không giãn

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số ký hiệu, định nghĩa về: bao lồi, bao lồi đóng, không gian liên hợp thứ nhất, thứ hai, tôpô yếu, tôpô yếu* Và các tính chất có liên quan Đặc biệt các tính chất này còn là các công cụ hỗ trợ trong quá trình chứng minh các định lý, bổ đề ở Chương 2

Ả ký hiệu là bao đóng của Ả trong M

X = (X, ||.||) là ký hiệu cho một không gian Banach thực tùy ý với chuẩn

3

Đ ị n h n g h ĩ a 1.2.3 Giả sử X , Y là các không gian Banach Ký hiệu

£ ( x , Y ) là không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Chuẩn trên £ ( x , Y ) được hiểu là chuẩn của ánh xạ tuyến tính liên tục.

Đ ị n h n g h ĩ a 1.2.4 Giả sử X , Y là không gian Banach Ký hiệu:

X * = {phiếm hàm tuyến tính liên tục trê n X } .

Ta gọi X * = L ( x , M) là không gian liên hợp hay không gian liên hợp (thứ nhất) của X Ký hiệu cặp đối ngẫu các phần tử của X với các phần tử của X * là

x*(x) = { x , x * ) , X e X , X* e X *.

{x,x*) là một hàm tuyến tính liên tục trên X * với mỗi X £ X cố định.

Không gian X** = L ( x *, M) được gọi là không gian liên hợp thứ hai của X Nếu X £ X là cố định, ánh xạ: X —> X* được gọi là phép nhúng chính tắc của X trong X **, phép nhúng này luôn là một phép đẳng cự tuyến tính Nếu nó cũng là toàn ánh thì X được gọi là phản xạ và chúng

ta ký hiệu X = X **

Đ ị n h n g h ĩ a 1.2.5 Tô pô yếu trên X là tô pô được tạo ra từ một tập hợp

những nửa chuẩn { / v } , X* £ X * với

T í n h c h ấ t 1.3.1 Tập lồi K của X là đóng khi và chỉ khi nó đóng yếu.

T í n h c h ấ t 1.3.2 Nếu K là một tập compact yếu của X thì c õ K cũng là

một tập compact yếu

T í n h c h ấ t 1.3.3 ( Đ ị n h lý M a z u r ) Nếu à là compact thì cõA cũng

như vậy

T í n h c h ấ t 1.3.4 ( Đ ị n h lý A la o g lu ) Hình cầu đơn vị 5 ( 0 ; 1) trong

không gian liên hợp X * luôn compact trong tô pô yếu*.

T í n h c h ấ t 1.3.5 Nếu X phản xạ thì mỗi hình cầu trong X compact

trong tô pô yếu

T ín h chất 1.3.6 (Đ ịn h lý E b er lein -S m u lia n ) Với bất kỳ tập bù Ả

của X các khẳng định dưới đây là tương đương:

a) Mỗi dãy {a;n} trong Ả có một dãy con hội tụ yếu.

b) Mỗi dãy {a;n} trong Ả đều chứa một điểm tụ yếu trong X

c) Bao đóng yếu Ả của Ả là compact yếu*.

T í n h c h ấ t 1.3.7 ( Đ ị n h lý K r e i n - S m u l i a n ) Tập con K của không gian liên hợp X * là đóng yếu* khi và chỉ khi với mỗi r > 0 tập {æ* g K : ||x* II ^ r}

cũng đóng yếu*

T í n h c h ấ t 1.3.8 Nếu X là không gian tách được và nếu K là một tập con lồi của X * thì K là đóng yếu* nếu và chỉ nếu đóng yếu* theo dãy.

T í n h c h ấ t 1.3.9 Một không gian Banach phản xạ khi và chỉ khi thỏa mãn một trong những điều kiện (tương đương) dưới đây:

a) X* phản xạ.

b) 5 ( 0 ; 1) compact yếu trong X *

c) Bất kì dãy bị chặn nào trong X đều có một dãy con hội tụ yếu.

d) (James (1964)) Với bất kỳ tập con lồi, đóng và bị chặn K nào của X

và không gian khác nhau, đã được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực Trong chương này chúng tôi sẽ chứng minh nguyên lý ánh xạ co Banach bằng nhiều cách, ứ n g với mỗi cách chứng minh chúng tôi đưa ra những nhận xét rất hữu ích giúp khai thác sâu hơn nội dung của định lý Ngoài

ra trong chương này chúng tôi còn chứng minh định lý Caristi và đưa ra một số ví dụ đa dạng về ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co Banach: Giải bài toán Côsi của phương trình vi phân ( được chứng minh bằng ba cách khác nhau), thiết lập tự đồng dạng, căn bậc hai trong đại số Banach

Đ ịn h n g h ĩa 2.1.1 Cho M là một không gian mêtric với mêtric p Một

ánh xạ T : M —>■ M được gọi là "Lipschitz" nếu 3 k ^ 0, \/x, y £ M

thỏa mãn

p ( T x , T y ) < k p ( x , y ) (2.1)

Số k nhỏ nhất của (2.1) được gọi là hằng số Lipschitz

Hằng số Lipschitz của ánh xạ T là k( T) , của ánh xạ s là k( S)

k p( T): ký hiệu hằng số Lipschitz của T đối với mêtric p.

N h ậ n x é t 2.1.1 Với hai ánh xạ S , T : M —>■ M , ta có:

k ( T S ) < k ( T ) k ( S )

7

Đ ị n h n g h ĩ a 2.1.2 Một ánh xạ T : M —> M được gọi là ánh xạ co nếu

k ( T ) < 1, cụ thể hơn T là một ánh xạ k — co đối với p nếu kp(T) < k < 1.

Đ ịn h lý 2.1.1 ( N g u y ê n lý á n h x ạ co B a n a c h ) Nếu (M , p ) ỉà một

không gian metric đầy đủ và T : M —> M là một ảnh xạ co thì T có một điểm bất động duy nhất và với mỗi X q £ M dẫy lặp { T nx o} hội tụ tới điểm bất động này.

Ta sẽ đưa ra 3 cách chứng minh cho định lý

Để chứng minh X là một điểm bất động duy nhất của T ta thấy rằng

X = lim x n = lim X n + 1 = lim T x n = TX

n— ỳ 00 n—» 00 n—» 00

Ngoài ra, X = T x v ầ y = T y , suy ra

p(a;,2/) = p ( T x , T y ) < fcp(a;,2/)

hay p{ x , y ) = 0.

Như vậy, trong cách chứng minh thứ hai cho p —> 00 trong (2.4) cho ta kết quả

N h ậ n x é t 2.1.2 Trong cách chứng minh thứ hai chỉ ra rằng bất kỳ ánh

xạ tùy ý (p : M —> R + liên tục và thỏa mãn (2.2) đều phải có một điểm bất động Thực tế, có thể được chỉ ra bằng cách khác là nếu (p là một nửa liên tục dưới thì một ánh xạ tùy ý T : M —> M thỏa mãn (2.2) phải có

một điểm bất động Lập luận này được biết đến như là định lý Caristi được trình bày cụ thể ở phần sau Nó tương đương với nguyên lý cực tiểu hóa Ekeland ( Ekeland, 1974 )(giả thiết có tiên đề chọn) và có rất nhiều ứng dụng trong giải tích Điểm bất động trong cả hai trường hợp không

nhất thiết duy nhất và trong ví dụ thứ hai dãy { T nx o} không cần hội tụ

tới một điểm bất động của T.

N h ậ n x é t 2.1.3 Trong cách chứng minh thứ ba cho thấy giả định k ( T ) <

1 rất cần thiết, nó thỏa mãn giả định k ( T n) < 1 đối với một n cố định nào

lệ Vì vậy, ta sẽ tập trung xét những trường hợp điển hình hơn

N h ậ n x é t 2.1.4 Ta sẽ phát triển rộng hơn trên ý tưởng của nhận xét

Cho T : M M ỉầ một ánh xạ Lipschitz, cố định Xq £ M và cho

Ta thường dùng k ( T n) là nhóm nhân Từ k { T n+m) < k ( T n) k ( T m), dễ dàng thấy nó tồn tại số kocựr) thỏa mãn

M T ) = lim JM T ”)]1/” = i n f ị [ k ( T n)]1ìn : n = 1 , 2 , ( 2 7 )

n —ìỡc

Vì (2.6) xảy ra khi và chỉ khi kooựr) < 1 Vì vậy giả định k ( T ) < 1 trong định lý (2.1.1) có thể thay thế bằng kocựr) < 1.

Hiển nhiên câu hỏi đặt ra rằng liệu giả định yếu hơn kocựr) < 1 có thực

sự cho ta kết quả chính xác hơn của định lý (2.1.1) Để đáp ứng điều này chúng ta đưa ra ký hiệu của sự tương đương giữa hai metric:

Hai metric p và r trên cùng tập M cho trước được cho là tương đương nếu tồn tại hai hằng số dương a và ò và \/x, y £ M ta có:

hội tụ và cho ra kết quả một metric T\ tương đương với p:

00

p(x, y) < r x (x, y ) < kp(T n ) xr

- n= 0 00

với một metric tương đương đã được cho sẵn phù hợp Theo quy tắc, giả

định kocựr) < 1 không cho ra một kết quả tốt hơn của định lý (2.1.1).

Tuy nhiên như chúng ta thấy sự lựa chọn một metric phù hợp đôi khi rấthữu ích trong các ứng dụng bởi vì nó cung cấp những ước tính đúng theo tốc độ hội tụ của các lần lặp

Có lẽ câu hỏi hiển nhiên thường được xuất hiện khi nghiên cứu về ánh

xạ co là : điều gì xảy ra khi k ( T) = 1

Ví dụ cơ bản T x = X + 1 với X £ M chỉ ra rằng điều ngược lại của

nguyên lý ánh xạ co Banach không đúng.

Tuy nhiên trong nội dung của một lớp không gian các tập con lồi, đóng

và bị chặn của không gian Banach một giả thiết điểm bất động cho các ánh xạ vẫn tồn tại Chúng tôi sẽ trình bày điều này trong chương sau

Một ánh xạ T : M —>■ M được gọi là ánh xạ co (hoặc co ngặt) nếu

p { T x , T y ) < p ( x , y ), x , y e M , x ^ y (2.9)Hiển nhiên một ánh xạ loại này chỉ có thể có nhiều nhất một điểm bất

động Ánh xạ T : R —>■ M định nghĩa bằng T x = 1 + ỉn{ 1 + ex) là

một ví dụ đơn giản của ánh xạ co mà không có điểm bất động (thực tế

\x — T x \ > 1 'ix G M) Tuy nhiên những ánh xạ co này luôn có những

điểm bất động trong không gian compact

Đ ị n h lý 2.1.2 Cho (M , p ) ỉà một không gian metric compact và cho ánh

xạ T : M —> M là co Khi đó T có một điểm bất động duy nhất và với

y Xo £ M phép lặp { T nx o} hội tụ tới điểm bất động này.

Chứng minh Hàm ự> : M —>■ R + được định nghĩa bởi ự>(y) = p ( y , T y )

liên tục trên M và do giả thiết M compact nên (p đạt được minimum, ta nói rằng X £ M Nếu X T x thì ( f ( T x ) = p ( T x , T 2x ) < p ( x ,T x ) (mâu

thuẫn) Vậy, X = T x Bây giờ cho X(j G M và đặt an = p ( T nX(j,x) Bởi vì

an+1 = p ( T n+1x 0ìx ) = p ( T n+1x 0ìT x ) < p ( T nx 0ìx ) = an.

{an} là một dãy không âm và có một giới hạn gọi là a Do M compact

{ T nx o} có một dãy con hội tụ { T nkx o} và lim T nkx0 = z Hiển nhiên,

Vì vậy bất kỳ dãy con hội tụ nào của { T nx o} đều phải hội tụ tới X lại do

n— » 00

V í d ụ 2.1.1 Cho C[0; 1] là không gian các hàm giá trị thực liên tục trên

[0; 1] với chuẩn s u p thông thường Nghĩa là với X G C [0; 1]:

||a;|| = su p { |x (í)| : t e [0; 1]} Cho M = { X G C[0; 1] : 0 = x(0) < x { t ) < x ( l ) = 1} M là tập đóng (cũng bị chặn và lồi) và bởi vì C[0; 1] là đầy đủ trong metric cảm sinh bởi ||.|| nên M cũng vậy Ánh xạ T : M —>■ M được định nghĩa bằng:

( Tx ) ( t ) = t x(t ) , X £ M , t G [0; 1] là ánh xạ co và có điểm bất động tự

do

Đ ị n h n g h ĩ a 2.2.1 Cho X là một tập hợp được sắp thứ tự với X £

X ; S ( x ) = { y £ X , y ^ x } Một dãy { x n} trong X được gọi là tăng

nếu x n < Xn+ 1 , Vn.

Đ ị n h lý 2.2.1 Cho ĩỊ) : X —> M ỉà một hàm thoả mãn:

a) X ^ y và X ^ y thì ĩỊ){x) < ĩỊ){y).

b) Với mỗi dãy tăng {xn} trong X sao cho iỊ)(xn) < c < 00, Vn, 3y £ X

sao cho x n < 2/,Vn

c) Với mỗi X £ X , il)(S(x)) bị chặn trên.

Khỉ đó với mỗi X £ X , 3x' £ S ( x ) sao cho x' là cực đại:

{ * ' } = s ự )

Chứng minh Cho a £ X và p(a) = sup{i¡)(b) : ò £ ‘S'(û)}-

Giả sử kết quả của định lý là sai với một số X £ X và dãy { x n} xác định

bằng quy nạp với X\ = X và X n + 1 £ S ( xn) thỏa mãn p ( x n) < ĩị){xn+ì) +

- , Vn G N Bởi ĩp(xn+1) < p(x) < 00 Theo giả thiết (ò)của định lý

3 y £ X sao cho x n < y 'in Cũng như vậy giả sử y không phải là cực đại trong S( x ) Khi đó 3u £ X sao cho y < u và îp(y) < îp(u) Từ x n <

u, ĩỊ){ù) < p{xn) Vn Cũng như vậy, x n+1 < y, do đó, ĩỊ)(xn+1) < ĩỊ)(y)

Vì thế, ĩp(u) < p ( x n) < ĩp{xn+ĩ) + ị < Ip{y) + £ Vn Vậy ^ ( u ) <

Đ ị n h lý 2.2.2 ( Đ ị n h lý C a r i s t i ) Cho (M , p ) là một không gian metric

đầy đủ và cho (p : M —>■ M là hàm nứa liên tục dưới và bị chặn dưới Giả định T : M —>■ M là một ảnh xạ tùy ý thỏa mẫn:

p ( u , T ( u ) ) < (fi(u) — (fi(T(u)),u £ M.

Khi đó T có điểm bất động trong M

Chứng minh Đặt ự) = —ĩị) và với x , y £ M , ta nói X ^ y nếu p ( x , y ) ^ ip(x) — ự>{y), lưu ý ta luôn giả định u < T u , \/u £ M Ta đi kiểm tra các

điều kiện a, b, c của định lý (2.2.1)

+ Điều kiện a là hiển nhiên

+ Kiểm tra điều kiện b

Ta thấy nếu {Zn} là một dãy tăng thì {(¿>(:rn)} dãy giảm và bị chặn dưới

Vì vậy, {(¿>(:rn)} hội tụ tới r ẽ l Điều này dẫn tới kết quả { x n} là một dãy Côsi Do đó, { x n} hội tụ tới một điểm y £ M và bởi (p là nửa liên

tục dưới nên

p ( x n ì y) < ip(xn) - r < (f(xn) - (f(x)

Vì vậy x n ^ y Vn E N.

+ Kiểm tra điều kiện c.

Vì (p là bị chặn dưới nên ta kết luận rằng với mỗi X £ M 3x' ^ X và

Kết quả cổ điển chỉ ra rằng nếu / là Lipschitz theo X, ví dụ nếu tồn tại

L > 0 sao cho với mọi x , y £ M.,

ị f ( t , x ) - f ( t , y ) ị < L \x - y\ í e [ 0 , T ] Thì khi đó, nghiệm của (2.10) tồn tại và duy nhất Ta có thể chứng minhbằng nhiều cách Sau đây chúng ta sẽ trình bày ba cách chứng minh để

diễn giải ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co Banach.

Xét không gian C[0]T] những hàm thực liên tục với chuẩn sup (Ví dụ

(2.1.1)) tích phân cả hai vế (2.10) ta thu được

0

Khi đó, F : C[0; 1] —>■ C[0; 1] và nghiệm của (2.10) tương ứng với một

điểm bất động X của F.

C h ứ n g m i n h 1: (Đây là phương pháp được trình bày nhiều nhất trong

các SGK về phương trình vi phân) Với bất kỳ x , y £ C[0, ;T]

hay IIF x — F y II < L T ||x — y II Nghĩa là k ( F ) < L T

Nếu L T < 1 thì kết quả sẽ suy ra ngay từ nguyên lý ánh xạ co Banach Tuy nhiên, nếu L T ^ 1 ta lấy h > 0 thỏa mãn L h < 1 và xét trong không gian (7[0; h].

Bằng việc thay thế T bởi h trong lý luận trên chúng ta thu được một

"nghiệm địa phương" của (2.10) gọi là X q £ c [ 0 ] h ] Bây giờ xét bài toán

Côsi trên [/i; 2h]:

Bằng cách chứng minh tương tự như trên ta cũng có một nghiệm duy nhất

X\ của (2.11) và bởi vì X\ (ti) = Xo (ti), X\ thác triển Xo từ [0; h] đến [0; 2 h]

Thác triển này là khả vi tại h bởi vì bài toán Côsi có một nghiệm duy

nhất tại lân cận của h. Rõ ràng quy trình trên có thể được lặp lại trong

khoảng [2/i; 3h] và sau một số hữu hạn bước có thể thu được một nghiệm

của (2.10) có giá trị trên khoảng [0;T]

Ch ứ n g m i n h 2: (Đánh giá thẳng) Lặp lại tính toán ban đầu và thu

Do đó, với VẢ: > 0 tồn tại một metric tương đương với một metric sinh

bởi chuẩn trên C[0; T] với F là một ánh xạ k — co (những metric này đầu tiên được giới thiệu bởi A Bielecki (1956) và sau đó được sử dụng rộng

rãi bởi những người khác để nghiên cứu một loạt phương trình) Để có sự giải thích cụ thể, định nghĩa với mỗi X ^ 0 ta xác định một chuẩn mới

trên C[0]T] như sau:

||a;||x = m a x { [e x p (—X-Lí)] ịx(t)ị : t £ [0;T]}

Khi đó, ||.||0 là chuẩn ban đầu và bởi vì

[ e x p ( - x L T ) ] ||x ||0 < ||a;||x < \\x\\0 (2.12)Mọi ỵ — chuẩn là tương đương Ngoài ra

n _ M11^0 - FiColl •

n - L T

V í dụ 2.3.2 (T h iế t lập t ự đ ồ n g d ạ n g ) Cho (M, p) là một không gian

metric đầy đủ, ký hiệu là họ những tập con đóng khác rỗng và bị chặn

của M và cho N là họ con các tập con compact của pL Với X , Y € pL đặt

D(X, Y) = sup{ải&t( y , x ) : y e Y }

D ( Y , X ) = sup {disí(x, y ) : X £ X }

và cho: D ( X , Y ) = m ax { d ( X ì Y ) ì d ( Y ì X ) } .

D là một metric trong (vì vậy có N) thường được gọi là Hausdorff metric

có thể kiểm tra được bằng từ tính đầy đủ của M suy ra tính đầy đủ của

D) lẫn (N, D) (xem Blumenthal, 1953).

Bây giờ giả sử Tí, T2, ,T n là một họ hữu hạn các ánh xạ p — co trên

M Những ánh xạ này sẽ tạo ra một ánh xạ ỵ : N —> N bằng việc lấy

3 W = u T i Ị I ự e H

i= 1

và không khó để nhận ra rằng ỵ là một phép co trên N đối với D với

k( $) < max{Ả;(Tj), ¿ = 1,2, .n} vì vậy chúng ta có định lý sau:

Đ ị n h lý 2.3.1 Cho M là một không gian metric đầy đủ và cho Tị : M —>

M ỉ = 1,2, n là họ các ánh xạ co Khỉ đó, có một tập compact khác rỗng duy nhất X của M

Ánh xạ ỵ là biểu thức được xác định bởi liên kết với một tập compact

X c R đặt

Do # là một phép co đối với Hausdorff metric D —chúng ta có thể nhận

được điểm bất động bằng các phép lặp Lấy x ồ= [0,1] sau đó

r 1] '2 '

Dãy {X n} hội tụ trong D tới tập c nổi tiếng của Cantor

V í dụ 2.3.3 (C ăn bậc hai tr o n g đại số B a n a c h ) Đại số Banach X

là một không gian Banach (X, ||.||) cùng với một toán tử tích thỏa mãn

x { y z ) = (:xy) z

x ( y + z) = x y + x z (y + z ) x = y x + z x ( a x ) y = a ( x y ) = x ( a y )

Thêm vào bất đẳng thức chuẩn

\\xy\\ < M I M I

-với mỗi z £ X cho x ( z ) là tập đạị số con được tạo bởi 2: (đại số con đóng

nhỏ nhất của X bao gồm z) Đại số x ( z ) luôn giao hoán x y = y x với