Luận văn sư phạm Toán tử dương trong không gian Hilbert

Không gian Hilbert... Do đó giao hoán.

L I C M N

hoàn thành khóa lu n này, tr c h t em xin bày t lòng bi t n sâu

s c đ n các th y, cô trong t gi i tích, khoa toán tr ng i h c s ph m Hà

N i 2 đã giúp đ em trong su t quá trình làm khóa lu n

c bi t em xin chân thành c m n th y giáo h ng d n Ti n s Nguy n V n Hùng đã t o đi u ki n t t nh t và ch b o t n tình cho em đ em

có th hoàn thành khóa lu n t t nghi p này

Do th i gian và ki n th c có h n nên nh ng v n đ trình bày trong khóa lu n t t nghi p không tránh kh i thi u sót Vì v y em r t mong nh n

đ c nh ng ý ki n đóng góp c a th y, cô giáo và các b n sinh viên

Em xin chân thành c m n!

Hà N i tháng 5 n m 2010

Sinh viên

Ngô Th Lý

Vì v y em xin kh ng đ nh k t qu c a đ tài “Toán t d ng trong

không gian Hilbert’’ không có s trùng l p v i k t qu c a các đ tài khác

N u sai em xin hoàn toàn ch u trách nhi m

Hà N i tháng 5 n m 2010

Sinh viên

Ngô Th Lý

M đ u

1 Lí do ch n đ tƠi

Lí thuy t hàm và gi i tích hàm là b môn lý thuy t đ c ra đ i và phát tri n t nh ng n m đ u c a th k 20 Nó có t m quan tr ng, có nh ng ng

d ng trong các ngành toán h c Có th nói gi i tích hàm là m t môn h c có

t m quan tr ng đ i v i sinh viên khoa toán Vì v y vi c h c và n m v ng môn h c này là đi u r t c n thi t đ i v i sinh viên khoa toán

N i dung c a gi i tích hàm r t phong phú, đa d ng cùng v i s m i m

và cái khó c a môn h c này đã làm cho vi c ti p thu nh ng ki n th c c a gi i tích hàm tr thành không d dàng đ i v i sinh viên khoa toán Do đó đ n m

v ng các ki n th c c b n c a gi i tích hàm đ ng th i v i quy t tâm b c

đ u nghiên c u khoa h c, em đã ch n đ tài “ Toán t d ng trong không

gian Hilbert” đ làm khóa lu n t t nghi p

Ngoài ph n m đ u, k t lu n, tài li u tham kh o, khóa lu n g m 3

ch ng:

Ch ng 1: Không gian Hilbert

Ch ng 2: Toán t tuy n tính liên t c

Ch ng 3: Toán t xác đ nh d ng

N i dung

Ch ng 1 Không gian Hilbert

Cho X là t p tùy ý khác r ng trên tr ng P v i 2 phép toán “+” và “.”

Gi s có 2 phép toán trong X:

(i) + : X   X X , , x y  X

 x, y  x  y(ii)  : P  X  X ,   P ,  x  X

Khi P  ฀ ta g i không gian Vect X là không gian Vect th c

KhiP  ฀ ta g i không gian Vect X là không gian Vect ph c

' x x x x x

j n

Tiên đ 7 đ c th a mãn

(8)    k 1

j j

j x

x  ( 1 là ph n t đ n v c a฀ )  j  1 , k Suy ra: 1.xx,  ฀ x k

Tiên đ 8 đ c th a mãn

V y ฀ là không gian tuy n tính th c v i 2 phép toán “+” và “.” xác k

đ nh nh trên

1.2 Không gian đ nh chu n

Ta g i không gian đ nh chu n X là không gian tuy n tính trên tr ng P (P là tr ng s th c ho c ph c) cùng v i m t ánh x t X vào t p s th c ฀

.Kí hi u là  và đ c là “chu n” th a mãn các tiên đ sau:

1,  x  X , x  0 , x  0  x  0

2,  x  X ,    P , ta có:  x   x

3,  , x y  X ta có: x  y  x  y

S x đ c g i là chu n c a vect x Ta kí hi u không gian đ nh chu n

là X Các tiên đ 1;2;3 g i là h tiên đ chu n

Ví d : không gian ฀ là không gian đ nh chu n k

Cho không gian tuy n tính X trên tr ng P ( P là tr ng s th c ฀ hay

ph c ฀ ) Ta g i là tích vô h ng trên không gian X là m t ánh x t tích Descarts vào P Kí hi u là ( , ) th a mãn các tiên đ :

T1,  x , y  X  : x , y  y , x

T2,  x , y , z  X : x  y , z     x , z  y , z

T3,  x , y  X ,    P :  x , y  x , y

T4,  x  X  : x , x  0 n u x  

 x , x  0 n u x  

Các ph n t x,y,z… g i là các nhân t c a tích vô h ng, s (x,y) g i

là tích vô h ng c a 2 nhân t x và y Các tiên đ T1,T2,T3,T4 là h tiên đ tích vô h ng

n j n

j y x y

x x x y y

y x



 kj

n j n

j x y x

n j n

j y x x

, , ,

, , , ,

, , ,

,

2 1 2

1 2

1 2

1

2 1 1

1 2

1

n k n n n k n n n

k n n n k n n

n k n n n k n n n

k n n

z z z y y

y z

z z x x

x

z z z y y

y x

x x z

n j n

x z

y x

1 1

.

y y

y x x

x y

                 n  

k n n n k n

n

y y

y x x

x y

n j n

j y x y

x x

x x x x x

x x

฀ là không gian Banach theo chu n sinh ra b i tích vô h ng (1.3)

Ta có chu n sinh ra b i tích vô h ng (1.3)

     2   

1 1

x là dãy c b n     0 ,      :

,  

 n m

  n    m   x

x x x

x x

Suy ra:  n   m    n   m     n    m  

x x x

x x

………

            m     n    m  

k n k m

k n

k n

k

n

x x

x x

khi n   

t        0   0 

2 0 1 0

1

1   ,  n  

k x

Vì    0

k n

x   nên có Nk sao cho:

k k

n

k x

xkn  k0 

Suy ra:

2 2

0 2

0 1 1 0

kk

kx

xx

xx

Suy ra ฀ k là không gian đ y hay không gian Banach

V y không gian vect th c k

Cho 2 không gian tuy n tính X, Y trên cùng tr ng P ( P là tr ng s

th c R hay ph c C) ánh x A t không gian tuy n tính X vào không gian tuy n tính Y ánh x A g i là toán t tuy n tính n u:

1, '   ' '

: , x X A x x Ax Ax

x  n 

1

2 2

n n

1

2 2

x x

Ax Ax

n n n

Suy ra t n t i A: l 2   l 2

+Ch ng minh A tuy n tính

Tính c ng tính

Ax , y  x , By,  x  X ,  y  Y

x Ax

n n 1

2 2

2 2

Ta có A là toán t tuy n tính liên t c nên t n t i toán t liên h p A*

Gi s A* là là toán t liên h p c a toán t A ngh a là:

. 2 2 4 2

a M



 1

M x

a Ax

n n n

n n

1 2

1

2 2

n n

n n k x

, 0 , 1

, 0

,

1

n n k

a x

a

k

k n

1

1

n n

n

n n n

k

a x

Ta có :

Ax , x x12 x1 3 x2 x2 x1 x2

2 2 1 2

1 2 2 , x x x x x

Ax   

+ Tìm m

N u x   thì   2

, x m x

Ax  v i m i s m d ng

N u x   ta có:

2 2 1 2 2 2 1 2

1 2 2 , x x x x x mx mx

0 1

2 1 0

0

'

m

m m a

 1 2 0

5 3

2 2

5 3

2 2 2

1 2 1 2

2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2

2 2 1 2

2 1 2

2 5

10 10

5

2 9

12 4

3 2

x x x x Ax

x x

x x

Ax

x x x x x x x x

Ax

x x x

x Ax

2 2 cos 5

1 2

5 2

3

5

2 sin 2 cos 2

1 2

3

5

2 cos 1 2 sin 2

2 cos 1

cos 5 1

Suy ra:    

2

5 3 5 2

5 2

3 5 2

cos 2

5 2

3 5

sup

1 , 



2

5 3

+ A, B là các toán t xác đ nh d ng nên ta có:

Bx x n x x H

H x x m x Ax

, ,

2 2

x Bx x Ax x Bx Ax x x B

, ,

, ,

2 2

y 

 và yn  y  H thì t n t i  xn  H sao cho

2 , 1 ,  

z 

 thì 0 Az , z m z , z  0

Suy ra:  z , z  0

Suy ra:          

H A

Suy ra: A là toàn ánh

V y A là song ánh nên có toán t ngh ch đ o A-1

+ A-1 là toán t xác đ nh d ng

Gi s Ax , x m x2,  x  H

V i m i x  H ta đ t y  A1x thì x  Ay

Do đó:  1    2

, , x y Ay m y x

m Ay y x x

,

Ta xét toán t A trong không gian Hilbert 2

Bx Bx

x x x x x x x

2 1 2 1 2 1 2

1

,

2 3

, 2 3 3 2 5 1

Ax Ax

x x x

x x x x

2 1 2

1 2 1 2

1

,

2 3 2 , 3

3 2 5 1

5

2 2 1 2

Rõ ràng  x , y Ax , y là m t d ng song tuy n tính đ i x ng d ng trong xác đ nh trong không gian X áp d ng b t đ ng th c Cauchy-Svacso vào d ng  x, y thì đ c:

    x , y 2  x , x y , y

đó là b t đ ng th c (3.1)

H qu 1: N u A là toán t d ng thì:

Ax xA

, x A Ax Ax Ax x A Ax Ax

B t đ ng th c này t ng đ ng v i (3.2)

H qu 2: N u A là m t toán t d ng và (xn)n là m t dãy ph n t trong X

sao cho (Axn,xn)0 th thì Axn 0

1 ,

, sup

, inf

x X x

x Ax M

x Ax m

Th thì:

M A

a , 

 A M  A m

1 ,

, sup

A x Ax M

M t khác, theo (3.2) ta có:

2

,

Ax x A M x A

Do đó:

1 ,

2 2

sup

M A Ax

,

0 ,

inf ,

n n

m x x

Theo h qu c a đ nh lí 3 ta có Amxn  0

Thành th ta tìm đ c 1 dãy  xn  X v i xn  1 và sao choAmxn  0 khi

x : đi u đó ch ng t r ng toán t Am  A  m I không có toán t ng c liên

t c, b i vì n u t n t i toán t ng c liên t c Am 1 thì ta ph i có

C x

Am 2  m   , m  

.

,

2 A x x x x x

       

1 , 1

, 1

,

0 , sup ,

inf ,

X x x

X

x

x Ax M

x Ax M x

Bx

Vì v y, theo k t qu v a m i ch ng minh , ta suy ra r ng:

i, Toán t B không có toán t ng c liên t c vì B  A  MI nên ta suy

nh lí 5:

N u A,B là 2 toán t d ng giao hoán v i nhau thì A B là m t toán t

d ng

Ch ng minh:

Tr c h t ta hãy đ ý đ n 2 đi u nh n xét sau đây:

10, Vì AB=BA nên phép quy n p theo k ch ng t r ng Ak

B=BAk (k

nguyên d ng), t đó suy ra r ng B giao hoán v i m i đa th c c a A, t c là

v i m i toán t có d ng:

m A a A

a A a

1 , 1

x C C C

2 1 1 2

2 0 0 1

n n

A

A A A

A A A

Gi th A là m t toán t d ng trong không gian Hilbert X Khi đó t n

t i m t toán t d ng duy nh t B sao cho B2=A H n n a, n u T là m t toán

t tuy n tính liên t c thì tùy ý giao hoán v i A, thì T c ng giao hoán v i B

Chú ý: Toán t B th ng đ c g i là c n (d ng) b c hai c a toán t

Ax , x Ax x  A x2  x 2  x , x

V y 0  A  I và C=I-A là m t toán t d ng

th y b n ch t qua trình tìm toán t B=A1/2, ta hãy t m gi thi t r ng

B t n t i t S=I-B, thì B=I-S, do đó:

A=B2=(I-S)2=I-2S+S2

V y toán t S là nghi m c a ph ng trình toán t :

2

1 2

1 2

1 2

S C S

A I

.

2

1 2 1 2

1 2 1

2 1

2 1 2

2 0 1

S C S

I S

Phép quy n p theo n ch ng t r ng các Sn là nh ng đa th c c a C=I-A, v y

các Sn là các đa th c c a A c bi t t đây suy ra r ng các Sn là giao hoán

v i nhau

Ta hãy ch ng t r ng:

 6 2 0

2 1

T c là ch ng t r ng Sn  Sn1 n  0 , 1 , 2  là nh ng toán t d ng Qu

v y, khi n=0 ta có:

2 2

1 2

1 2

1 2

n n

n

S S S S

S S S

C S

C S

2 2 1 2

2 1 1

2 1

2

1 2

1 2

1 2

1 2

1

(Vì các Sngiao hoán v i nhau nên ta có đ ng th c cu i cùng)

Nh ng Sn-1-Sn 0 , Sn-1+Sn 0 và các toán t này giao hoán v i nhau, v y theo đ nh lí 3 : Sn  Sn1  0

T dãy b t đ ng th c (6.2), suy ra r ng dãy (Sn) h i t đ n gi n đ n 1 toán t d ng S

L y xX tùy ý Trong đ ng th c: Sn 1x Cx Sn2x

2

1 2

2

1 2

1



 (x  X tùy ý)

V y S là nghi m c a ph ng trình (6.1) và B=I-S là toán t ph i tìm

Ta hãy ki m nghi m r ng toán t B th a mãn t t c các đi u ki n còn

l i c a đ nh lí

Gi th T là m t toán t tuy n tính liên t c, giao hoán v i A

Vì các Snlà nh ng đa th c A, v y T giao hoán v i t t c các Sn

T c là TSnx  S  T xv i m i xX cho n  thì đ c TSx=STx v i

m i xX

V y T giao hoán v i S, và do đó giao hoán v i B=I-S

Bây gi ta gi s B1 là m t toán t d ng nào đó th a mãn đi u ki n

B12=A Th thì B1A=B1.B12=A.B1 V y B1 giao hoán v i A Do đó giao hoán

Gi s H là không gian Hilbert, A L(H) là m t toán t t liên h p Ta

G i L là m t không gian con tuy n tính đóng c a không gian Hilbert H

và P là phép chi u tr c giao không gian H lên không gian con L

Tr c h t ta ch ng minh P là m t toán t t liên h p

Py y Py Px x Px

,

, ,

, ,

Gi s H là m t không gian Hilbert, A L(H) là m t toán t t liên

h p compac khác không Ch ng minh r ng A là m t toán t d ng khi và ch khi m i giá tr riêng khác không c a A đ u là nh ng s d ng

Bài làm:

G i  e n là h th ng tr c chu n đ y đ các ph n t riêng c a toán t A,

  n là dãy các giá tr riêng t ng ng.Khi đó, v i m i x  H , ta có

Gi s H là m t không gian Hilbert và A l(H) là m t toán t t liên

D ch ng minh đ c r ng H \ 0 là m t tâp con liên thông c a H

Vì hàm s th c x Ax , x liên t c trên t p liên thông H \ 0 và

Ax0, x0 0 nên n u Ax1, x1 0 v i m t ph n t x  0 nào đó c a H thì theo

đ nh lý Bolzano-Cauchy t n t i ít nh t m t ph n t y  H \ 0 sao cho

Ay , y 0 i u này mâu thu n v i gi thi t

V y Ax , x 0 v i m i x  0

K t lu n

Qua quá trình tìm hi u, nghiên c u khóa lu n, tôi đã b c đ u làm quen v i cách th c làm vi c khoa h c, hi u qu Qua đó tôi c ng c ng c thêm ki n th c gi i tích hàm, đ ng th i th y đ c s phong phú, lí thú c a toán h c c bi t trong khóa lu n này tôi nghiên c u m t cách khái quát m t

s v n đ c a lí thuy t toán t trong không gian Hilbert Hi v ng tài li u này

s góp m t chút cho các b n sinh viên quan tâm đ n gi i tích hàm nói riêng và toán h c nói chung

M c dù có nhi u c g ng, song do nhi u h n ch v th i gian và ki n

th c nên khóa lu n không tránh kh i nh ng thi u sót Em mong đ c s đóng góp c a các th y, cô giáo và b n đ c

Hà N i, tháng 5 n m 2010

Sinh viên

TƠi li u tham kh o

1. Phan c Chính (1978), Gi i tích hàm (tâp 1), NXB H và THCN

2 Nguy n Minh Ch ng (ch biên), Nguy n V n Kh i, Khu t V n Ninh,

Nguy n V n Tu n, Nguy n T ng (2001), Gi i tích s , NXBGD

3 Nguy n Ph Hy (2006), Gi i tích hàm, NXB khoa h c và k thu t

4 Nguy n Ph Hy, Hoàng Ng c Tu n, Nguy n V n Tuyên, (2007), Bài

t p gi i tích hàm, NXB khoa h c và k thu t

5 Nguy n V n Khuê, Lê M u H i, C s lí thuy t hàm và gi i tích hàm,

NXBGD

6 Nguy n Xuân Liêm (1997), Gi i tích hàm, NXBGD

7 Nguy n Xuân Liêm (1997), Bài tâp gi i tích hàm, NXBGD

8 Phan H ng Tr ng (2001), i s tuy n tính, HSPHN2

9 Hoàng T y, (2003), Hàm th c và gi i tích hàm, NXB HQGHN.