Về một số mở rộng định lý điểm bất động caristi cho ánh xạ đa trị

Mục LụcTrang Chương 1: Một số mở rộng định lý điểm bất động Caristi cho ánh 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị.. 101.3 Mở rộng định lý điểm bất động Caristi cho các không gian giátrị véctơ..

Mục Lục

Trang

Chương 1: Một số mở rộng định lý điểm bất động Caristi cho ánh

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 41.2 Bài toán Kirk và mở rộng định lý điểm bất động Caristi 101.3 Mở rộng định lý điểm bất động Caristi cho các không gian giátrị véctơ 16Chương 2: Một số ứng dụng của các mở rộng định lý điểm bất động

lời nói đầu

Lý thuyết điểm bất động là một trong những hướng nghiên cứu quantrọng, bởi nó có nhiều ứng dụng trong các ngành toán học khác nhau,với rất nhiều kết quả nổi tiếng như: Nguyên lý điểm bất động Brouwer(1912), nguyên lý ánh xạ co Banach (1922), nguyên lý điểm bất độngSchauder (1930) và các định lý điểm bất động của Caristi (1976), Kirk(1977), Mở rộng lý thuyết điểm bất động cho các ánh xạ đa trị, cho

đến nay các nhà toán học đã thu được rất nhiều kết quả có giá trị Tuynhiên đây vẫn là hướng nghiên cứu đang được các nhà toán học quantâm nghiên cứu và hứa hẹn đạt được những kết quả thú vị về lý thuyếtcũng như ứng dụng Trên cơ sở các bài báo Remarks on Caristi's fixedpoint theorem của M A Khamsi (2009), Extension of Caristi's fixedpoint theorem to vector valued metric spaces của R P Agarwal, M A.Khamsi (2011), Applications of Caristi's fixed point results của A Latif,

N Hussain, M A Kutbi (2012), cùng các tài liệu tham khảo khác, dưới

sự hướng dẫn của NGƯT PGS TS Trần Văn Ân, chúng tôi đã tiếp cậnhướng nghiên cứu này và thực hiện đề tài: Về một số mở rộng định lý

điểm bất động Caristi cho ánh xạ đa trị

Mục tiêu của luận văn là giới thiệu một số kết quả về mở rộng định

lý điểm bất động Caristi cho ánh xạ đa trị Cụ thể qua luận văn nàychúng tôi mô tả đặc trưng của các yếu tố cực tiểu, trình bày bài toánKirk về mở rộng định lý Caristi, mở rộng định lý điểm bất động Caristicho các không gian giá trị véctơ, một số mở rộng định lý điểm bất độngCaristi cho ánh xạ đa trị, điểm bất động của các ánh xạ đa trị, một sốứng dụng của các mở rộng định lý Caristi Với mục đích trên luận văn

được trình bày thành hai chương

Chương 1 với nhan đề Một số mở rộng của định lý điểm bất độngCaristi cho ánh xạ đa trị Trong chương này, mục 1 tác giả giới thiệumột số kiến thức làm cơ sở trình bày của luận văn Mục 2 trình bày bàitoán Kirk và mở rộng định lý điểm bất động Caristi Mục 3 trình bày

mở rộng định lý Caristi cho các không gian giá trị véctơ

Chương 2 với tiêu đềMột số ứng dụng của các mở rộng định lý điểmbất động Caristi Trong chương này, mục 1 dành cho trình bày điểm bất

động của các ánh xạ đa trị Mục 2 trình bày một số ứng dụng của các

định lý Caristi mở rộng

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn tận tình của thầy giáo PGS TS Trần Văn Ân Tác giả xin bày tỏlòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy, nhân dịp này tác giả xin chân thànhcảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Phòng đào tạo Sau đại học, quí thầy,cô trong tổ Giải tích Khoa Toán trường Đại học Vinh đã giúp đỡ trongsuốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn Tác giả cũng xin cảm

ơn các bạn học viên cao học khóa 19 Toán - Giải tích tại trường Đại họcVinh đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ trongsuốt quá trình học tập

Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những saixót Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quí thầy, cô vàbạn đọc để luận văn được hoàn thiện

Nghệ An, ngày 28 tháng 08 năm 2013

Tác giả

Hồ Minh Hùng

được gọi là các điểm của không gian, mỗi phần tử củaτ gọi là một tập

mở trong không gianX Phần bù của tập mở là tập đóng

1.1.2 Định nghĩa ([1]) Không gian tôpô X được gọi là T2-không gian(hay là không gian Hausdorff) nếu hai điểm bất kỳ khác nhaux, y ∈ X

tồn tại một lân cậnU của xvà lân cận V của y sao cho U ∩ V = φ

1.1.3 Định nghĩa ([1]) Cho tập hợp X Một mêtric trên X là một hàm

d : X ì X → R thỏa mãn các điều kiện

1) d(x, y) ≥ 0với mọix, y ∈ X và d (x, y) = 0khi và chỉ khix = y;2) d (x, y) = d (y, x)với mọi x, y ∈ X;

3) d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z)với mọi x, y, z ∈ X

Tập hợp X cùng với một mêtric d trên nó được gọi là một khônggian mêtric và ký hiệu là(X, d) hay đơn giản là X Mỗi phần tử củaX

được gọi là điểm của không gianX, số d(x, y)được gọi là khoảng cáchgiữa hai điểm xvà y

1.1.4 Mệnh đề ([1]) Giả sử(X, d)là một không gian mêtric,xi ∈ (X, d),

Nhận xét 1) Trong không gian mêtric (X, d), một dãy hội tụ chỉ hội tụ

về một điểm duy nhất

2) Nếu xn → x, yn → y thì d (xn, yn) → d (x, y)

1.1.6 Định nghĩa ([1]) ChoX là một không gian mêtric Dãy{xn}trong

X gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0 tồn tại số n0 ∈ N sao cho vớimọin, m ≥ n0 ta cód (xn, xm) < ε

Không gian mêtric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy CauchytrongX đều hội tụ

Nhận xét 1) Nếu dãy{xn}hội tụ thì nó là dãy Cauchy

2) Nếu dãy {xn} là dãy Cauchy trong không gian mêtric X và códãy con {xnk} hội tụ về điểmx ∈ X thì dãy {xn}cũng hội tụ về x

1.1.7 Định nghĩa ([2]) Cho X là một không gian véctơ trên trường K

(thực hoặc phức)

Ta nói rằng tôpôτ trênX là tương thích với với cấu trúc đại số trên

X (hay là tôpô véctơ trênX) nếu các phép toán đại số trongX đều liêntục theo tôpô đó, nghĩa là

1) Với mọi x1, x2 ∈ X và với mọi lân cận V của điểmx1 + x2, tồntại các lân cậnV1 của x1, V2 của x2 sao cho V1 + V2 ⊂ V

2) Với mọix ∈ X, với mọiα ∈ Kvà với mọi lân cậnV củaαx, tồntại sốr > 0 và lân cậnW của điểm xsao cho βW ⊂ V, với mọi

β ∈ Kthoả mãn |β − α| < r

Không gian véctơX trên trườngKđược gọi là không gian véctơ tôpônếu trên nó đã cho một tôpô τ tương thích với cấu trúc đại số trênX.

1.1.8 Định nghĩa ([2]) Giả sử X là không gian véctơ tôpô trên trường

K(thực hoặc phức)

1) X được gọi là không gian lồi địa phương nếu nó có một cơ sởlân cậnB của điểm0 ∈ X sao cho mọi phần tử của B là các tậplồi

2) X được gọi là không gian bị chặn địa phương nếu nó có mộtlân cậnU của 0là tập bị chặn

1.1.9 Định nghĩa ([2]) Cho X là một không gian véctơ trên trường K

(thực hoặc phức) Hàmk.k : X → Rđược gọi là một chuẩn trên X nếu

nó thỏa mãn các điều kiện sau

1) kxk ≥ 0với mọix ∈ X và kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0;

2) kλxk = |λ|.kxkvới mọix ∈ X và λ ∈ K;

3) kx + yk ≤ kxk + kykvới mọi x, y ∈ X

Tập hợp X cùng với một chuẩn k.k trên nó được gọi là một khônggian định chuẩn và ký hiệu là (X, k.k)hay đơn giản là X

Nhận xét Giả sửX là một không gian định chuẩn, với bất kỳx, y ∈ X ta

đặtd(x, y) = kx − yk Khi đód là một mêtric trên X Ta gọi dlà mêtricsinh bởi chuẩn trên X

Vì không gian định chuẩn là trường hợp đặc biệt của không gianmêtric nên tất cả các kết quả về không gian mêtric cũng đúng cho khônggian định chuẩn

1.1.10 Định nghĩa ([2]) Không gian định chuẩn X được gọi là khônggian Banach nếu không gian mêtric(X, d)với mêtric sinh bởi chuẩn làkhông gian đầy đủ

1.1.11 Định nghĩa ([12]) Cho X là không gian mêtric, φ 6= A ⊂ X và

f : A → R

Hàm f được gọi là bị chặn dưới (bị chặn trên) trên A nếu tồn tại

h ∈ Rsao cho f (x) ≥ h(tương ứng, f (x) ≤ h) với mọi x ∈ A

1.1.12 Định nghĩa ([12]) Cho X là không gian mêtric, φ 6= A ⊂ X,

f : A → Rvà x0 ∈ A Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ A

nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho f (x0) − f (x) < ε với mọi

x ∈ B(x0, δ), tức là lim inf

x→x 0

f (x) ≥ f (x0).Nếu f nửa liên tục dưới tại mọi điểm x ∈ A thì f được gọi là nửaliên tục dưới trênA

Hàm f được gọi là nửa liên tục trên trênA nếu hàm −f là nửa liêntục dưới trênA

1.1.13 Định nghĩa ([12]) TậpX cùng với quan hệ<thỏa mãn các điềukiện

1) x < xvới mọi x ∈ X (tính phản xạ)

2) x < y, y < xkéo theox = y (tính phản đối xứng).3) x < y, y < z kéo theo x < z (tính bắc cầu)

được gọi là tập sắp thứ tự bộ phận với quan hệ thứ tự "<"

1.1.14 Định nghĩa ([12]) Giả sử X là một tập sắp thứ tự với quan hệthứ tự<vàAlà một tập con khác rỗng củaX Tập con A ⊂ X được gọi

là tập sắp thứ tự tuyến tính (hay xích) nếu vớix, y ∈ Abất kỳ thì hoặc

x < yhoặc y < x

1.1.15 Định nghĩa ([12]) Giả sử X là tập sắp thứ tự bộ phận Phần tử

a ∈ X gọi là phần tử cực đại của X nếu với mọix ∈ X quan hệ a < x

kéo theo x = a Phần tử a ∈ X gọi là phần tử cực tiểu của X nếu vớimọix ∈ X quan hệ a > xkéo theo x = a

1.1.16 Định nghĩa ([12]) Giả sử V là một không gian véctơ được sắpthứ tự bộ phận V được gọi là một dàn nếu với hai phần tử bất kỳ

a, b ∈ V bao giờ cũng tồn cận trên bé nhất và cận dưới lớn nhất của tập

{a, b}

1.1.17 Định nghĩa ([12]) Dàn V được gọi là liên tục nếu với hai phần

tử bất kỳ a, b ∈ V bao giờ cũng tồn cận trên bé nhất và cận dưới lớnnhất của tập{a, b}

1.1.18 Định nghĩa ([12]) Tập được sắp thứ tự bộ phận V được gọi làdàn Banach nếu nó là một dàn và là không gian Banach

1.1.19 Bổ đề (Zorn) Giả sửX 6= φlà một tập sắp thứ tự bộ phận Nếumọi xích củaX đều có cận trên thìX có phần tử cực đại

1.1.20 Định nghĩa ([12]) Cho C là tập con của không gian Bannach E

và ánh xạT : C → E thỏa mãn kT x − T yk ≤ rkx − ykvới mọi x, y ∈ C

Nếu 0 ≤ r < 1 thì ánh xạT : C → E được gọi là ánh xạ co

Nếu r = 1thì ánh xạ T : C → E được gọi là ánh xạ không giãn

1.1.21 Định nghĩa Cho (X, d)là một không gian mêtric và ánh xạ f :

X → X.Điểma ∈ X được gọi là điểm bất động củaf nếuf a = a

1.1.22 Định nghĩa ([1]) ChoD 6= ∅ Quan hệ≥trênD được gọi là một

sự định hướng trênD nếu thỏa mãn các điều kiện

1) Nếu m, n, p là các phần tử thuộc D sao cho m ≥ n, n ≥ p thì

m ≥ p

2) m ≥ mvới mọim ∈ D

3) Nếum, n ∈ D thì tồn tạip ∈ D sao cho p ≥ mvà p ≥ n

Tập hợp D cùng với một sự định hướng ≥ trên D được gọi là mộttập có hướng và ký hiệu là(D, ≥)

1.1.23 Định nghĩa ([1]) Giả sử (D, ≥)là một tập có hướng Ta gọi mộthàmS : D → X là một lưới trong X ( hay đơn giản là lưới hoặc là dãysuy rộng) và ký hiệu là{Sn, n ∈ D, ≥} (hay {Sn}n∈D).

1.1.24 Định nghĩa ([10]) ChoX, Y là hai tập bất kỳ, ta ký hiệu2Y là họtất cả các tập con củaY Một ánh xạ F : X → 2Y được gọi là một ánhxạ đa trị từX vàoY

Điểm x∗ được gọi là điểm bất động của ánh xạ đa trị F : X → 2Y

nếux∗ ∈ F (x∗)

1.2 Bài toán Kirk và mở rộng định lý điểm bất động

Caristi

1.2.1 Định lý ([12])(Caristi) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ

vàϕ : X → Rlà hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới Cho F : X →

X là hàm (không nhất thiết liên tục) thỏa mãnd(x, F x) ≤ ϕ(x)−ϕ(F x)

với mọi x ∈ X Khi đó F có một điểm bất động

1.2.2 Định lý ([12]) Giả sử (A, <) là một tập hợp được sắp thứ tự bộphận Khi đó các phát biểu sau là tương đương

(1) A chứa một phần tử cực tiểu

(2) Một ánh xạ đa trị bất kỳ T xác định trên A sao cho với bất

kỳ x ∈ A, tồn tại y ∈ T x với y < x, có điểm bất động, nghĩa

là tồn tại a ∈ A sao cho a ∈ T (a)

Chứng minh (1) ⇒ (2) Dễ thấy rằng một phần tử cực tiểu bất kỳ

là điểm bất động của T Để hoàn thành chứng minh ta sẽ chứng minhrằng(2) ⇒ (1) Giả sử ngược lại rằng Akhông có phần tử cực tiểu Khi

đó ta xác định ánh xạ đa trị T trên A cho bởi T (x) = {y ∈ A : y <

xvớiy 6= x}, với bất kỳ x ∈ A Từ giả thiết dễ dàng thấy rằngT (x) 6= φ

với mọix ∈ A Khi đó nhờ (2) ta suy raT có một điểm bất động a ∈ A

Điều này mâu thuẫn với cách xây dựng ánh xạT 

1.2.3 Nhận xét ([12]) 1) Nhắc lại rằng năm 1986 Taskovic đã chứngminh rằng: bổ đề Zorn là tương đương với điều kiện sau:

(TT) Giả sử F là một họ các tự ánh xạ xác định trên một tập hợp

được sắp thứ tự bộ phận A sao cho x ≤ f (x) (tương ứng,

f (x) ≤ x) với mọi x ∈ A và với mọi f ∈ F Nếu mỗi xíctrong A có cận trên (tương ứng, cận dưới), thì họ F có một

điểm bất động chung

Do đó, Định lý 1.2.2 là khác với các kết quả đã có vì trong phát biểutrên chúng ta xét sự tồn tại của các phần tử cực tiểu, mà nói chung nó

không suy ra được là một tập hợp con được sắp thứ tự tuyến tính bất

kỳ có một cận dưới

2) Bây giờ giả sử (M, d)là một không gian mêtric vàφ : M → [0, ∞)

là một ánh xạ Ta xác định quan hệ thứ tự<φ trênM cho bởi

x <φ y nếu và chỉ nếud(x, y) ≤ φ(y) − φ(x), với bất kỳ x, y ∈ M

Dễ dàng thử thấy rằng(M, <φ)là một tập hợp được sắp thứ tự bộ phận.Tuy nhiên, ta vẫn chưa biết được là với giả thiết nào trênM và φthì M

có phần tử cực tiểu Trong trường hợp đặc biệt, nếuM là đầy đủ và Φ

là nửa dưới liên tục, thì một xíc giảm bất kỳ trong (M, <φ) có một cậndưới

Thật vậy, giả sử(xα)α∈Γ là một xíc giảm Khi đó (φ(xα))α∈Γ là một lướigiảm các số dương Giả sử (αn) là một dãy không tăng các phần tửthuộc Γ sao cho lim

n→∞φ(xαn) = inf{φ(xα); α ∈ Γ} Bằng cách sử dụng

định nghĩa của <φ có thể dễ dàng chỉ ra rằng (xαn) là dãy Cauchy vàvì M đầy đủ nên nó hội tụ về một phần x ∈ M Cuối cùng, dễ dàngkiểm tra trực tiếp để thấy rằngx <φ xαn với mọi n ≥ 1 Điều này chứng

tỏ x là một cận dưới đối với tập (xαn)n≥1 Để chứng tỏ rằng x cũng làmột cận dưới (xα)α∈Γ, ta giả sử β ∈ Γ mà xβ <φ xαn với mọi n ≥ 1.Khi đó chúng ta có φ(xβ) ≤ φ(xαn) với mọi n ≥ 1 Điều này kéo theo

φ(xβ) = inf{φ(xα); α ∈ Γ} Vìd(xβ, xαn) ≤ φ(xαn) − φ(xβ), ta nhận được

lim

k→∞xαn = xβ Suy ra xβ = x Vì thế với bất kỳ α ∈ Γ, tồn tại n ≥ 1 saocho xαn <φ xα, điều này kéo theo x <φ xα, nghĩa là x là một cận dướicủa (xα)α∈Γ

Bởi vậy nhờ Bổ đề Zorn suy ra rằng (M, <φ) có phần tử cực tiểu.Nhờ đó ta có hệ quả sau

1.2.4 Hệ quả Cho(M, d)là một không gian mêtric vàφ : M → [0, ∞)

là một ánh xạ Xét tập hợp được sắp thứ tự bộ phận (M, <φ) Giả

sử rằng a ∈ M là một phần tử cực tiểu Khi đó một ánh xạ bất kỳ

T : M → M sao cho với mọi x ∈ M ta có d(x, T x) ≤ φ(x) − φ(T x),

(nghĩa làT x <φ x) sẽ nhậna làm điểm bất động, nghĩa là T a = a.

1.2.5 Nhận xét ([12]) 1) Hệ quả này có thể được xem như là một sự

mở rộng kết quả của Caristi, bởi vì các giả thiết được đặt ra trong định

lý Caristi sẽ kéo theo một tập hợp con được sắp thứ tự tuyến tính bất kỳ(đối với<φ) có một cận dưới, nó còn mạnh hơn giả thiết là có một phần

tử cực tiểu

2) Thực tế, Hệ quả 1.2.4 ngầm chứa một kết luận về sự tồn tại củamột điểm bất động chung của các ánh xạ

1.2.6 Bài toán đặt ra bởi W A Kirk Trong nỗ lực tổng quát hóa định

lý điểm bất động của Caristi, W A Kirk đã đặt ra bài toán là liệu một ánhxạT : M → M sao cho với mọix ∈ M ta cóη(d(x, T x)) ≤ φ(x) − φ(T x),với một hàm số dươngη nào đó, có một điểm bất động Thực tế, câu hỏiban đầu của Kirk đã được phát biểu cho ánh xạη(t) = tp, với p > 1

Trước hết ta đưa ra một ví dụ để trả lời bài toán Kirk đặt ra là khônghoàn toàn đúng

Ví dụ.([12]) Giả sử M = {xn : n ≥ 1} ⊂ [0, ∞)} trong đó các xn

được cho bởi xn = 1 + 12 + 13 + + n1, với mọi n ≥ 1 Khi đó M là mộttập hợp con đóng của [0, ∞) và vì thế nó đầy đủ Ta xác định ánh xạ

T : M → M cho bởiT xn = xn + 1với mọin ≥ 1 Khi đó ta có

d(x, T x)p = 1

(n + 1)p = φ(x) − φ(T x),

trong đó φ(xn) =

∞Pi=n+1

1

i p, với mọi n ≥ 1 Dễ dàng thấy rằng φ là hàmnửa liên tục dưới Hơn nữa ta cũng có thể chứng tỏ rằng T là ánh xạkhông nở, nghĩa làd(T x, T y) ≤ d(x, y), với mọix, y ∈ M Và rõ ràngT

không có điểm bất động

1.2.7 Nhận xét ([12]) Mặc dù ví dụ trên cho ta một câu trả lời phủ định

đối với bài toán của Kirk, một số câu trả lời bộ phận cho bài toán này

cũng đã được tìm thấy Lưu ý rằng cách tiếp cận đến kết quả truyềnthống của Caristi là không còn có thể Thật vậy, nếu chúng ta xác địnhtrên không gian mêtric M một quan hệ x < y khi η(d(x, y)) ≤ Φ(y) −Φ(x), khi đó quan hệ < có tính chất phản xạ và phản xứng, nhưng nóichung nó không thỏa mãn tính chất bắc cầu Dĩ nhiên, nếuη có tính chấtcộng tính dưới, nghĩa làη(a + b) ≤ η(a) + η(b), với a, b ∈ [0, ∞) thì quan

hệ<là bắc cầu Người ta tin rằng tính chất cộng tính dưới củaη là ràngbuộc Vì vậy có thể tự hỏi làm thế nào để tiếp cận trường hợp tổng quátnày khi quan hệ< là không bắc cầu và do đó(M, <)không phải là mộttập sắp thứ tự bộ phận Đây không phải là lần đầu tiên các nhà nghiêncứu phải đối phó với kiểu hạn chế này Thực sự các nhà toán học đã đềcập đến một cấu trúc kiểu mêtric không thỏa mãn bất đẳng thức tamgiác

Trong phần sau chúng ta giả sử rằngη : [0, ∞) → [0, ∞)là một hàmliên tục, không giảm sao cho tồn tại các số c > 0 và δ0 > 0 mà với mọi

t ∈ [0, δ0] chúng ta có η(t) ≥ ct Vì η liên tục, khi đó tồn tại ε0 > 0 saochoη−1([0, ε0]) ⊂ [0, ε0]

Với các giả thiết này, chúng ta có kết quả sau

1.2.8 Định lý ([12]) Giả sử M là một không gian mêtric đầy đủ Taxác định một quan hệ<trênM cho bởix < ykhi và chỉ khiη(d(x, y)) ≤φ(y) − φ(x), trong đó η và φthỏa mãn tất cả các giả thiết trên Khi đó,

(M, <) có một phần tử cực tiểu x∗, nghĩa là nếu x < x∗ thì chúng taphải cóx = x∗

Chứng minh Đặt φ0 = inf{φ(x) : x ∈ M} Với bất kỳ ε > 0, ta

đặt Mε = {x ∈ M : φ(x) ≤ φ0 + ε} Vì φ là là hàm nửa liên tục dưới,nên Mε là một tập hợp con đóng khác rỗng của M Cũng lưu ý rằngnếux, y ∈ M và x < y, thì η(d(x, y)) ≤ φ(y) − φ(x), điều này kéo theo

φ0 ≤ φ(x) ≤ φ(y) ≤ φ0 + ε

Vì thếη(d(x, y) ≤ ε Sử dụngε, ε0 vàδ0liên kết vớiη(như định nghĩa

đây, ta có η(d(x, y) ≤ ε0, điều này kéo theo cd(x, x∗) ≤ η(d(x, x∗)) ≤φ(x∗) − φ(x) với x <∗ x∗ Vì x∗ là cực tiểu trong (Mε0, <∗) nên ta nhận

được x = x∗ Định lý được chứng minh

Kết quả tiếp theo là một câu trả lời khẳng định bộ phận cho bài toáncủa Kirk

1.2.9 Định lý ([12]) Giả sử M là một không gian mêtric đầy đủ và

T : M → M là một ánh xạ sao cho với mọi x ∈ M có η(d(x, T x)) ≤φ(x) − φ(T x), trong đó các hàm η và φ thỏa mãn tất cả các giả thiếtnêu trên Khi đóT có một điểm bất động

Chứng minh Xác định mối quan hệ<như trong Định lý 1.2.8 Hiểnnhiên, ta có T (x) < x với mọi x ∈ M Đặc biệt, nếu x∗ là một phần tửcực tiểu, thì ta có T (x∗) = x∗ 

Đây là một kết quả thú vị bởi vì quan hệ< không là quan hệ thứ tự

bộ phận Do đó phần tử cực tiểu là điểm bất động qua một ánh xạ bất

kỳT, do đó nó không phụ thuộc vào ánh xạ

1.2.10 Nhận xét ([12]) Lưu ý rằng nếu η là cộng tính dưới thì

limh→0

η(h)

h = sup{

η(x)

x ; x > 0}. (SA)

Để hoàn chỉnh chúng ta đưa ra chứng minh công thức (SA) Vìη là cộngtính dưới, ta có η(nx) ≤ n.η(x), với mọix ≥ 0 và n ≥ 1 Giả sử h và x

sao cho 0 < h < x Khi đó tồn tại duy nhất n(h) ≥ 1 sao cho n(h)h <

1.2.11 Định lý ([12]) Giả sử M là một không gian mêtric đầy đủ và

T : M → P(M)là một ánh xạ đa trị sao cho T (x) 6= φ với mọi x ∈ M,tồn tại y ∈ T (x) để η(d(x, y)) ≤ φ(x) − φ(y), trong đó các hàm η và φ

thỏa mãn tất cả các giả thiết trên Khi đó T có một điểm bất động,nghĩa là tồn tạix ∈ M sao cho x ∈ T (x)

Chứng minh Bằng cách xác định quan hệ<như trong Định lý 1.2.8

Rõ ràng ta có với mọix ∈ M, tồn tại y ∈ T (x) sao cho y < x Đặc biệt,

nếu x∗ là phần tử cực tiểu của tập (M, <) thì ta sẽ có x∗ = y, với mọi

y ∈ T (x∗)sao cho y = x∗ Do đó ta có x∗ ∈ T (x∗) 

1.3 Mở rộng định lý điểm bất động Caristi cho các

không gian giá trị véctơ

Cho (V, ≤) là một không gian Banach được sắp thứ tự Nón V+ = {v ∈

V : v ≥ θ}, trong đó θ là véctơ không củaV, t hỏa mãn các tính chất(1) V+∩ (−V+) = {θ},

(i) d(x, y) = 0khi và chỉ khi x = y,

(ii) d(x, y) = d(y, x) với mọix, y ∈ M,

(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)với mọi x, y, z ∈ M

Cặp(M, d) được gọi là không gian mêtric véctơ (viết tắt là vvms)

1.3.2 Định lý ([3]) Giả sử (M, d) là một không gian mêtric véctơ,trong đó V = RN với N = {n ∈ N : n ≥ 1} Cho ánh xạ T : M → M

Giả thiết tồn tại một toán tử dương A : RN → RN, nghĩa là A(RN+) ⊂

RN+ thỏa mãn ρ(A) < 1, trong đó ρ(A) là bán kính phổ của A mà

d(T (x), T (y)) ≤ Ad(x, y), với mọi x, y ∈ M Khi đó

(1) Tồn tại ω ∈ M sao cho với mọi x0 ∈ M, quỹ đạo {T (x0)} hội

tụ đến ω, và hơn nữa ta có

d(Tn(x0), ω) ≤ An(I−A)−1d(x0, T (x0)) =

∞Xk=n

Ak

!d(x0, T (x0)),

với mọi n ≥ 1

(2) Điểm ω là điểm bất động của T trong M

Như Caristi đã làm đối với trường hợp nguyên lý ánh xạ co Banach

cổ điển, chúng tôi đã bàn luận về ý tưởng của mình cho không gianmêtric véctơ Với các giả thiết của Định lý 1.3.2, trong đóV không còn làkhông gian hữu hạn chiềuRN, chúng ta có:d(T (x), T2(x)) ≤ d(x, T (x))

với mọix ∈ M, nó kéo theo

F (x) = d(x, T (x)),thì ta códA(x, T (x)) ≤ F (x) − F (T (x))

Như Caristi đã làm, người ta có thể tự hỏi với những giả thiết gì trênkhông gian mêtric véctơ bất kỳ(M, d), ánh xạF : M → V+và ánh xạ bất

kỳT : M → M thỏa mãn d(x, T (x)) ≤ F (x) − F (T (x)) với mọix ∈ M,

có một điểm bất động Chúng tôi sẽ tiếp cận câu hỏi này thông qua thứ

tự Bronsted

1.3.3 Định lý ([4]) Giả sử (M, d) là một không gian mêtric véctơ đầy

đủ trên một thứ tự đầy đủ và V là một dàn Banach liên tục đầy đủ.Cho F : M → V+ là một ánh xạ nửa liên tục dưới Khi đó một ánh xạbất kỳT : M → M sao chod(x, T (x)) ≤ F (x) − F (T (x))với mọi x ∈ M

có một điểm bất động

Chứng minh Nhờ ánh xạ F ta xác định một thứ tự trên M như sau

x ≤ y ⇔ d(x, y) ≤ F (y) − F (x) với mọix, y ∈ M

Sử dụng thứ tự này, một ánh xạ bất kỳT : M → Mthỏa mãnd(x, T (x)) ≤

F (x) − F (T (x)) với mọi x ∈ M, sẽ cố định một điểm cực tiểu nào đó.Vì thế, bài toán điểm bất động chuyển sang bài toán về sự tồn tại điểmcực tiểu của thứ tự ≤ trong M Giả sử {xα; α ∈ Γ} là một xíc trong

M Khi đó {F (xα); α ∈ Γ} là một xíc trong V+ Vì V là một dàn nach đầy đủ và liên tục, khi đóv = inf{F (xα); α ∈ Γ} tồn tại trong V+.Giả sử tồn tại α0 ∈ Γ sao cho F (xα0) = v Khi đó dễ dàng thấy rằng

Ba-α ≤ Ba-α0 với mọi α ∈ Γ Giả sử khi đó F (xα) 6= v với mọi α ∈ Γ Vì

V liên tục, nên khi đó ta có infα∈ΓkF (xα) − vk = 0 Với mọi n ≥ 1,tồn tại αn ∈ Γ sao cho kF (xαn) − vk < n1 Vì {xα; α ∈ Γ} là một xíctrongM, tồn tạiβn sao choxβn = min{xαi, i = 1, 2, , n}với mọi n ≥ 1

Rõ ràng {F (xβn)} là một dãy giảm mà nó hội tụ theo chuẩn đến v Vì

d(xβn+1, xβn) ≤ F (xβn+1) − F (xβn), n = 1, 2, ,khi đó ta có

d(xβn+h, xβn) ≤

h−1Xk=1d(xβn+k, xβn+k+1) ≤

h−1Xk=1

chặn Vì V liên tục, khi đó chuỗi

h−1Xk=1

d(xβn+1, xβn) hội tụ theo chuẩn

Điều này kéo theo dãy {xβn} là dãy Cauchy Bởi vậy, nếu ta giả thiết

(M, V ) là đầy đủ, thì dãy {xβn} hội tụ đến một điểm nào đó x ∈ M

Tiếp theo ta chứng tỏ rằngx là cận dưới của {xα : α ∈ Γ} Vì F là một

ánh xạ nửa liên tục dưới và dãy{xβn}hội tụ đến điểm x ∈ M, nên ta có

F (x) ≤ lim inf

n→∞ F (xβn) và đặc biệt ta có x ≤ xβn với mọin ≥ 1.Tiếp theo

ta cố định một α ∈ Γ Nếu tồn tại n0 ≥ 1 sao cho xn0 ≤ x, thì ta sẽ có

x ≤ xα Giả sử ngược lại rằng với bất kỳ n ≥ 1ta có xα ≤ xβn, điều nàykéo theoF (xα) ≤ F (xβn) với bất kỳ n ≥ 1 Nhờ cách xác định v, ta dễdàng suy ra rằngF (xα) = v Điều này mâu thuẫn với lập luận ở trên.Vì thế xíc {xα; α ∈ Γ}có cận dưới Do đó áp dụng Bổ đề Zorn ta suy ratồn tại phần tử cực tiểu đối với thứ tự ≤ trên M Định lý được chứngminh

Lưu ý rằng nếu (M, d) là một không gian mêtric véctơ đầy đủ, thìkhoảng cách giá trị véctơ dA(x, y) = (I − A)d(x, y), trong đó I − A làmột toán tử 1-1 dương, cũng là đầy đủ Từ đó ta có hệ quả sau

1.3.4 Hệ quả ([4]) Giả sử (M, d) là một không gian mêtric véctơ đầy

đủ trên một dàn Banach thứ tự đầy đủ và liên tụcV ChoT : M → M

là một ánh xạ liên tục sao cho d(T (x), T2(x)) ≤ Ad(x, T (x)) với mọi

x ∈ M, trong đó I − A là một toán tử 1-1 dương, thì T có một điểmbất động