a Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục.. Giả sử {e n } là cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert H và X là không gian Banach.. Chứng minh A là toán tử compact.. Ghi chú: Cán bộ
Trang 1Bộ Giáo dục và đào tạo Họ và tên thí sinh:
Đại Học Huế Số báo danh:
Tr-ờng Đại học S- phạm
kỳ thi tuyển sinh sau đại học Đợt II - năm 2005
Môn thi: Giải tích
(Dành cho Cao học)
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 Xét chuỗi hàm
∞ X
n=1
u n với u n (x) = x
2n
1 − x2 n+1 , |x| < 1.
a) Với mỗi a : 0 < a < 1, chứng minh |u n (x)| ≤ a
n
1 − a ∀x ∈ [−a, a] Từ đó suy ra
∞ X
n=1
u n hội tụ
đều trên [−a, a].
b) Tính tổng S của chuỗi hàm
∞ X
n=1
u n trên (−1, 1).
Câu 2 Cho hàm hai biến:
f (x, y) =
−1 nếu y < x2
0 nếu y = x2
1 nếu y > x2 Chứng minh rằng hàm f (x, y) khả tích Riemann trên hình chữ nhật D = [−1, 2] ì [0, 5] và tính
ZZ
D
f (x, y)dxdy.
Câu 3 Cho (X, d) là không gian mêtric, A là tập con khác trống của X, x0 ∈ X và x0 ∈ A Đặt / d(x0, A) = inf
a∈A d(x0, a).
a) Giả sử A đóng, chứng minh d(x0, A) > 0.
b) Giả sử A compact, chứng minh tồn tại y0 ∈ A sao cho d(x0, A) = d(x0, y0).
c) Giả sử X = R n với mêtric Euclide thông th-ờng và A ⊂ R n là tập đóng Chứng minh tồn tại
y0 ∈ A sao cho d(x0, A) = d(x0, y0).
Câu 4 Trong không gian C[0, 1] với chuẩn "max" cho dãy (x n ) ⊂ C[0, 1] với x n (t) = 2nt
n4+ t2 ,
t ∈ [0, 1] và toán tử A : C[0, 1] → C[0, 1] cho bởi:
Ax(t) =
t
Z 0
x(s)ds, với x ∈ C[0, 1], t ∈ [0, 1].
a) Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục.
b) Chứng minh (Ax n ) hội tụ về 0 trong C[0, 1].
Câu 5 Giả sử {e n } là cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert H và X là không gian Banach Giả
sử A ∈ L(H, X) sao cho chuỗi
∞ X
n=1
kAe nk2 hội tụ Chứng minh A là toán tử compact.
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2BO GIAO
DAI
VA DAO TAO HUE
Ho vd, ten thi sinh:
56 b6o danh:
DVC
H Q C
KV THI TUYEN SrNH SAU DAr HOC NAM 2AO7S v
M6n thi: Giai tich (dd,nh cho Cao hpr) Thdi gi,an ld,m bd,i,; 180 phirt CAu I
1 C h o h d m h a i b i 6 n f (r,a)
KliAo s6t tinh liOn tuc cria hilm /
1 x ' , A 2 f
lr6n hsp
d;N(O,0) khong tbn
n 6 u ( * , y ) + ( 0 , 0 ) ,
n 6 u ( * , a ) - ( 0 , 0 )
Chirng minh rHng dao hA"m riOng
c i a R hoi tu vb 0
, 2 + a''
0 ,
t a i d i d m ( 0 , 0 ) tai (huu hat)
2 F_{i 1I I
P ' ^
t z ' J ' ) 4 ) s ) "
Cdu III Kj' liiOu X : co
fl':L
, ) A : lp,+-), p ) 0i i i ) B - ( 0 , + o o )
Cdu II Trong khong gian metric IR v6i khoAng c6ch thong thulng, chitng minh rXng,
! u - L ^ ' - , 2 , 3 ) 4 ) 1 n ' ) * ^ ^ ^ Y " " 7
, 1, ) U.Ong phai th, mot t6,p con compact)
th, khong gian dinh chudn gbm c6c day s6 thuc
l l r l l - s u p l r n l , , Y r - ( r ) n e c o
chudn Euclide rL
l l s l l - WiZ, v a - ( a r , ., u n ) e Y
V6i m6i s6 tu nhien k ta x6t 5nh x? An : X * Y x6"c dinh bdi
A n r - ( " n + r , f r 1 x a 2 t ' ' ) r k + n ) , Y r : ( r t ) z e N € X
1 Chirng minh Ap lit" c6,c 6nh xa tuy6n tinh lien tuc tri X vh,o Y.
2 Chirng td rXng
J* Ann - 0 € R.' v6i moi z e X.
CAu IV Tren khong gian Hilbert phitc 12 vsi tich vo hu6ng
/ \ S
@ , i l : 2 * ^ y , , * o n g d 6 , : ( r , - ) n e { 2 , U : ( U n ) - e 1 2
' " _ :
Cho o - (a), ie mQt duy c5,c s6 phric bi ch5,n vA, ,4 : 12 - t2 Ib" mot to5,n trl ducvc x6c dinh bdi Ar - (onrn)n, Yr e !2.
1 Chirng minh rXng ,4 th mQt to6n trl tuy6n tinh lien tuc vd, tinh chudn c:d:a A.
2 Tim to6n trl liOn hiep A* cia A Khi nb,o thi A ld mQt to6n tr] tu lien hiep?
v6i chudn
v b , Y - l R ' v 6 i
Ghi chri z Cd,n bo coi, thi, khong gi,d,i, thi,ch gi, th€m
Trang 3no cteo DIJC vA DAO T4O Ho ud, t€n thi, sinh: ,
MOn thi: Giei tich (ddn,h cho Cao hqc) Thdi gian ld"m bdz: 180 phrlt CAu 1 (a dicm)
a) Kh6o sat cuc tri dia phuong cria ham hai bi€n: z - (r + a)t - rn - yn
b) Kh6o s6t su hOi tU d€u cria chu6i hdrn
@
\- -L (r" +r-")
? r v f r * 4 /
t r O n r n i € n D - { " e R | 1 < lrl < 3}
CAu 2 (2 dicm) Xet tOp hop 11 c6c day so thuc kh6 tdng tu_v*€t d6i:
V6i m6i cflp r : (rn),, A (An),, € /r ta dinh nghia
d r ( r , a ) : - [ f r, - y,]; dr(r.a) : : (p (r, - r,)')+
a ) C h r l n g m i n h dr, dz.ld c6c metric tr€n 11.
b ) B d n g c 6 c h k h S o s 6 t d a y ( € o ) o C l i , v 6 i € o : ( 1 , + , , f , 0 , 0 , , 0 , ) , c h r r n g minh khOng gian (lr,dr) khOng day dri.
CAu 3 (2 di€m) Cho ll llr "u ll .llz la hai chudn tr€n cung mOt khOng gian X sao cho (X, li 'lir) 'd (X, ll llz) dcu la khong gian Banach Chfing minh rang, hai chudn nd-l,tuong drrong khi la chi khi diOu kiOn sau thoA m5n:
V ( " , , ) " , C X , llt,llr " ,Q a ll""ll, " ,0
CAu 4 (2 diem) GiA sri {e,,},,ex ia rnQt irO tnlc chudn trong khong gian Hilbert 11 Chr'rng rninh rhng
a) Da}' (#",),,ex hoi tu ycu nhung khong hoi tu ma'h trong 11.
b) Day (ne,,),,e x khOng hoi tu you tron g H
Ghi chfi: Can b0 coi thi klt,Ang gzdi thfclL gi tlt€m.
1
Trang 4BQ crAO DVC vA DAO T4O
2
DAI HOC }IUE
! '
M6n thi: crAr rfCll
(dd,nh cho Cao hqr)
-1 + i r - a l
Ch'3ng minh rXng
1 d lb mgt m6tric tr6n t6,p 10, 1],
2 (10, 1], d) Ie mQt kh6ng gian m6tric dhy dri
Ch,1ns minh rXng n6u X ld khong gian dinh chudn vo han chibu thi moi tAp con cd-a X co phhn trong khd,c r5ng dbu khong phai lb tAp compact
1 G i e s , 3 M - { * t , n z , , , r n } l a m 6 t h 0 c 6 c v e c t o tr u c g i a o k h d , c v e c t o
0 cri.a mQt khong gian Hilbert I/ Chung minh rXng vcvi m5 t vecto r e H
t b n t a i d u y n h d t c i l c s d e 1 , e 2 , , , e n € K ( t r u l n g c o s & c r i a k h o n g g i a n
H i l b e r t I / ) s a o c h o v 6 i b d t k j ' c 6 c s 6 h , 0 2 i , 0 n € K t a c 6
ii" - L"*rll= ll" - Lt"-ll
2 Cho {r,in e N} le mQt hO truc chuAln trong khong gian Hilbert,H Chirng minh rXng d*y (q")Pr hQi tu y6u vE 0 trong.I/
Ho vd t6n thf sinh:
56 b5o danh:.
C6-rr f
C5.u II
Thdi gian ld,m bd,i: 180 phrit
oo
Cho chu6i hA,m D@'" - *2n+2)
n : 1
a ) Tim miEn h6i tu cria chu5i fram d5, cho
b/ Khdo s5,t su hoi tu dEu cria chu6i hbm dd cho tr6n doan l-1,1]
t r l r f
Tinn tfch phAn | | | {r' * y2 * z2 drdydz,,
J d J
o n g d 6 V - { ( * , a , 2 ) e R t l " ' + y 2 * z 2 < r } 6t 5,nh xa d: [0, 1] x [0, 1] + R x6c dinh boi
1
2.
t r
X
al
C,5'" III
CAU trV
Ghi chri: C6n b6 coi thi kh6ng giAi thich gi thOm.