Phát biểu và CM định lý về tính khả vi của tổng chuỗi hàm trong một đoạn thẳng.
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2009
MÔN THI CƠ SỞ: GIẢI TÍCH Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I:
1 Phát biểu và CM định lý về tính khả vi của tổng chuỗi hàm trong một đoạn thẳng
2 Cho chuỗi hàm: ( )
1 n
n
u x
∞
=
∑ trong đó un (x) là các hàm đơn điệu và xác định trên đoạn
[a;b] Giả sử chuỗi ( )
1 n
n
u x
∞
=
∑ hội tụ tuyệt đối tại hai đầu mút x = a và x = b CMR chuỗi
hàm ( )
1 n
n
u x
∞
=
∑ hội tụ đều trên [a,b]
Câu II:
1 Tính: 1 x
0
x e dxα β
+∞
−
∫ với α β , là các tham số thực
2 Giả sử A là tập mở trong Rn và hàm số f: A → R liên tục trên A
Đặt B = {x A∈ / α < f x( ) < β}trong đó α < β CMR B là tập mở trong Rn
Câu III:
1 Phát biểu và CM định lý Fecmat về điều kiện cần của cực trị địa phương Từ đó phát
biểu điều kiện cần cho cực trị địa phương của hàm f: A → R, trong đó A là một tập trong Rn
2 Giả sử hàm số f liên tục và dương trong [0, +∞) Đặt ( ) ( )
( )
0
0
x x
tf t dt
f t dt
∫
Tính ϕ’(x) với x > 0 và Chứng minh ϕ là hàm đơn điệu tăng trong (0; +∞)
Câu IV:
Cho hàm véc tơ f: R → R2
t a (acost, asint) (a > 0)
và g: R2 → R là hàm khả vi trên R2 Đặt h = gof là hàm hợp của f và g
CMR tồn tại hai điểm t1, t2 trong R sao cho h(t1) = h(t1 + π) và h’(t2) = 0
(Hết)