BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC QUY NHƠN ðỀ CHÍNH THỨC ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC NĂM 2009 NGÀNH: TOÁN HỌC Môn thi: GIẢI TÍCH Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
TRƯỜNG ðẠI HỌC QUY NHƠN
ðỀ CHÍNH THỨC
ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC NĂM 2009
NGÀNH: TOÁN HỌC
Môn thi: GIẢI TÍCH
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát ñề
Câu 1 a) Tính giới hạn ( )2 2
2 2 0
0
x y
x y
→
→
b) Chứng minh rằng hàm số f xác ñịnh trên 2
ℝ cho dưới ñây liên tục nhưng không khả
vi tại ( )0, 0 :
( ) ( )
2 2 khi , 0, 0 ,
0 khi , 0, 0
xy
x y
x y
f x y
x y
≠
+
=
Câu 2 a) Cho dãy số { }a n và hàm số f : 0,1[ ]→ℝ xác ñịnh bởi
1
khi ( )
0 khi 0
n
f x
x
+ < ≤
=
Chứng minh rằng nếu tồn tại α∈( )0,1 sao cho a n
nα
hội tụ thì f khả tích Lebesgue trên
[ ]0,1 Từ ñó xét tính khả tích Lebesgue của f trên [ ]0,1 trong trường hợp a n =n
b) Xét tính khả tích và tính tích phân Lebesgue (nếu có) của ( ) 1
1
f x
x
=
− trên [0,1)
Câu 3 a) Giả sử { }f n là một dãy các ánh xạ co từ không gian mê-tric ñầy ñủ X vào chính nó
hội tụ ñều về ánh xạ f trên X , và các hệ số co αn của f n thỏa mãn supnαn <1 Chứng
minh rằng f cũng là ánh xạ co
b) Cho f : X →X là một ánh xạ liên tục từ không gian mê-tric compact (X d, )vào chính nó thỏa mãn ñiều kiện
d f x( ( ), ( )f y )<max{d x y( ) (, , d x f x, ( ) , ) (d y f y, ( ) , ) } ∀x y, ∈X x, ≠ y
Chứng minh rằng f có duy nhất ñiểm bất ñộng
Câu 4 Cho không gian vec-tơ 1[ ]
1,1
C − các hàm số có ñạo hàm liên tục trên [ ]−1,1 Xét ánh xạ
[ ]
1
: C −1,1 →ℝ cho bởi
1,1
t
∈ −
a) Chứng minh rằng ( 1[ ] )
1,1 ,
C − là một không gian Banach
b) Xét các ánh xạ 1[ ]
0
, : 1,1
fε f C − →ℝ, với 0< <ε 1, cho bởi
1
2
ε
i) Chứng minh rằng fε, f0 là các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên 1[ ]
1,1
C − và tính 0
,
fε f
ii) Chứng minh fε hội tụ ñơn giản nhưng không hội tụ theo chuẩn về f khi 0 ε →0
- HẾT - Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm