tuyển tập đề thi học sinh giỏi toán 12 quảng bình từ 2003 2013

Dựng mặt phẳng P đi qua AB và đường thẳng là phân giác góc ϕ cắt khối chóp thành 2 phần.. Chứng minh rằng điểm H luôn luôn nằm trên một cung tròn cố định khi M, N di động theo quy luật

Trang 1

ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 1)

Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu I (2,0 điểm)

Giải phương trình: x3+ 3x2+ 4x + 2 = (3x + 2)√3x + 1

Câu II (2,0 điểm)

a) Cho x > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: f (x) =√x3−3x2

2 b) Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

q

a 3

b 3 +

q

b 3

c 3 +

q

c 3

a 3 ≥ a

b +bc+ac Câu III (2,0 điểm)

Cho dãy số (un) xác định như sau:

u1= 1

un+1= u2n+ un

2010, n ∈ N∗ . Tìm lim

n→+∞

X un

un+1. Câu IV (2,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD.Trên đoạn BD lấy M không trùng với B, D Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên các cạnh AB, AD Chứng minh rằng:

a) CM vuông góc với EF

b) Ba đường thẳng CM, BF, CE đồng quy

Câu V (2,0 điểm)

Tìm tất cả các giá trị nguyên dương k để phương trình: x2+ y2+ x + y = kxy có nghiệm nguyên dương

——— Hết ———

—————

http://mathqb.eazy.vn

1

Trang 2

Giải hệ phương trình:







1

√

x +yx = 2

√ x

y + 2

y√x2+ 1 − 1

=√3x2+ 3 .

Tìm f : R → R sao cho:

(

f (1) = 12

f (xy) = f (x)f2010y + f (y)f 2010x

Câu III (2,0 điểm)

Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có:

(1 + cos A)2+ (1 + cos B)2+ (1 + cos C)2 ≥ 125

64 Câu IV (2,0 điểm)

Cho hình chóp tứ diện đều S.ABC, góc giữa mặt bên và mặt đáy là ϕ Dựng mặt phẳng (P )

đi qua AB và đường thẳng là phân giác góc ϕ cắt khối chóp thành 2 phần Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp đó

Trong một hội nghị có các nhà toán học nam và nữ Trong đó cứ hai nhà toán học nữ quen chung 6 nhà toán học nam và một nhà toán học nam quen 10 nhà toán học nữ Biết rằng có 21 nhà toán học nữ, hỏi có bao nhiêu nhà toán học nam

——— Hết ———

—————

1

Trang 3

Giải phương trình: log3(2√x + 5) = log2x

Cho x, y, z là ba số thực thỏa mãn điều kiện x2+ y2+ z2 = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = xy + yz + 2zx

u1= 13

un+1= 12u2n− 1, ∀n ∈ N∗ Tìm lim

n→+∞un

Câu IV (2,5 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2a; BC = a√2 Dựng về phía ngoài hình chữ nhật đó một nửa đường tròn đường kính AB Gọi M là điểm tùy ý trên nửa đường tròn vừa dựng (M không trùng với A và B) Các đường thẳng M D, M C cắt AB tại N, L Chứng minh AL2+ BN2= AB2

——— Hết ———

—————

1

Trang 4

Tính tổng: S =

2003

X

n=1

s

1 + 1

n2 + 1 (n + 1)2. Câu II (2,5 điểm)

Cho p là số nguyên tố và a, b là các số nguyên dương thỏa mãn 1

p =

1

a+

1

b Tìm tất cả các giá trị của p để a hoặc b là những số chính phương ?

Không dùng máy tính và bảng số, chứng minh bất đẳng thức:

1 + sin π

14 > 2 sin

π 14

r

3 cosπ 7 Câu IV (2,5 điểm)

Trong không gian cho hai tia Ax, By vuông góc với nhau và nhận AB = a làm đường vuông góc chung Trên Ax, By lần lượt lấy các điểm M, N di động sao cho AM + BN = M N (điểm M không trùng với điểm A và điểm N không trùng với điểm B) Gọi I là trung điểm của AB và H

là hình chiếu vuông góc của I trên M N Chứng minh rằng điểm H luôn luôn nằm trên một cung tròn cố định khi M, N di động theo quy luật trên

——— Hết ———

—————

1

Trang 5

Tìm m để phương trình cos 2x − (2m + 1) cos x + m + 1 = 0 có nghiệm x ∈ π

2;

3π 2

Trong không gian cho tam diện vuông Sxyz Trên các tia Sx, Sy, Sz lần lượt lấy các điểm

A, B, C không trùng với S Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) và (O; R)

là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng điểm H là trực tâm của tam giác ABC

và ta có hệ thức: OH2+ 2.SH2 = R2

Cho a, b, c là các số thực không nhỏ hơn 2 Chứng minh bất đẳng thức:

logb+ca2+ logc+ab2+ loga+bc2 ≥ 3 Câu IV (2,5 điểm)

Tìm tất cả các cặp số hữu tỷ (x; y) thỏa mãn:p2√3 − 3 =px√3 −py√3

——— Hết ———

—————

1

Trang 6

x + xy + y = 2 + 3√2

x2+ y2= 6 . Câu II (2,0 điểm)

Tìm giới hạn: L = lim

x→0

1 − cos x cos 2x cos 3x

Giải bất phương trình: 26 + 15√3x+ 2 7 + 4√3x− 2 2 −√3x< 1

Cho 2005 số thực không âm u1, u2, , u2005 thỏa mãn các điều kiện:

a) u1 = u2005 = 2005

b) un+1= u2n− u2

n−1+ un−1, ∀n ∈ N, 2 ≤ n ≤ 2004

Hãy xác định u2003

Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn Gọi P là một điểm nằm trên nửa mặt phẳng không chứa A với bờ là đường thẳng BC Chứng minh rằng nếu P B2+ AC2= P C2+ AB2 thì AP ⊥BC

——— Hết ———

—————

1

Trang 7

Giải phương trình: log2005

2x2+ 2 2x6+ x2+ 1

= 2x6− x2− 1

Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn các điều kiện a2+ b2+ c2 = 2 và ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng a, b, c ∈ −4

3 ;

4 3

Tìm giới hạn: L = lim

x→0

√

1 + x2+ x

2005

−√1 + x2− x2005

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác Chứng minh bất đẳng thức:

√

a + b − c +√b + c − a +√c + a − b ≤√a +√b +√c

——— Hết ———

—————

1

Trang 8

Cho x, y là các số thực liên hệ với nhau bởi hệ thức 36x2+ 16y2− 9 = 0 Tìm giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = y − 2x + 5

Giải phương trình:√x2− 2x + 5 +√x2+ 2x + 10 =√29

(

u1 = 1

un+1 = u2n

2005 + un, ∀n ∈ N∗ . Tính giới hạn lim

x→+∞

u 1

u 2 +u2

u 3 + + un

u n+1

Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và C cắt tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B tương ứng ở các điểm M, N

Kẻ đường cao BP của tam giác ABC (điểm P nằm trên AC) Chứng minh rằng đường thẳng BP

là phân giác của góc M P N

——— Hết ———

—————

1

Trang 9

Giải phương trình: x

x + 1− 2

r

x + 1

x = 3.

Cho số tự nhiên n ≥ 3 Lấy n số x1, x2, , x2 sao cho mỗi số xi(i = 1, 2, , n) chỉ nhận một trong hai giá trị là 1 hoặc −1 và thỏa mãn điều kiện x1x2+ x2x3+ + xnx1 = 0 Chứng minh rằng n là bội số của 4

Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức: a

2

b +

b2

c +

c2

a ≥ a + b + c.

u1= u2 = 1

un+1=√un+√un−1, ∀n ∈ N, n ≥ 2 . Tìm lim

n→+∞un

——— Hết ———

—————

1

Trang 10

Cho tam giác ABC Chứng minh rằng nếu tanA2, tanB2, tanC2 theo thứ tự lập thành một cấp

số cộng thì cos A, cos B, cos C theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng

Cho đa thức f (x) = x4+ ax3+ bx2+ cx + d, trong đó a, b, c, d là các hằng số thực Biết rằng

f (1) = 10; f (2) = 20; f (3) = 30 Hãy tính giá trị P = f (12) + f (−8)

10 + 22.

Cho các số thực a, b, c ∈ [−1; 2] và a+b+c = 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2+b2+c2 Câu IV (2,5 điểm)

Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O Gọi P là một điểm bất kỳ nằm trên cung nhỏ BC(cung không chứa điểm A) Chứng minh P A = P B + P C

——— Hết ———

—————

1

Trang 11

Giải phương trình: √3

9 − x +√x + 3 = 4

Cho các số tự nhiên a và b (a 6= 0, b 6= 0) thỏa mãn điều kiện 2a2+ a = 3b2+ b Chứng minh rằng số 2a + 2b + 1 là số chính phương

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện√ab +√bc +√ca = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = a

2

a + b+

b2

b + c +

c2

c + a Câu IV (2,5 điểm)







u1= 2008

un= 1 2

un−1+ 2007

un−1

(n ∈ N, n ≥ 2) . Tìm lim

x→+∞un ?

——— Hết ———

—————

1

Trang 12

Tính tổng: S =

r

1 + 1

12 + 1

22 +

r

1 + 1

22 + 1

33 + +

r

1 + 1

20072 +

1

20082. Câu II (2,5 điểm)

Tìm giá trị của a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:







3x − apy2+ 1 = 1

x + y + 1

y +py2+ 1= a

2

Cho hàm số f : R → R thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

i) f (x + y) ≤ f (x) + f (y) ; ∀x, y ∈ R;

j) lim

x→0

f (x)

x = 1; ∀ ∈ R

Chứng minh rằng hàm số f (x) có đạo hàm trên R và tìm hàm số f (x)

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2a, BC = a√2 Dựng về phía ngoài hình chữ nhật đó một nửa đường tròn đường kính AB Gọi M là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn vừa dựng (M không trùng với A và B) Các đường thẳng M D, M C cắt AB lần lượt tại N, L Chứng minh rằng:

AL2+ BN2 = AB2

——— Hết ———

—————

1

Trang 13

Giải phương trình: 22009

q (x + 1)2+ 32009√1 − x2+ 2009

q (1 − x)2 = 0

Tính giới hạn: L = lim

x→0

cos π2 cos x sin (tan x) . Câu III (2,0 điểm)

a) un> 0; ∀ ∈ N∗;

b) u1 = 1;

c) un+1=

√

1+u 2

n −1

u n ; ∀n ∈ N∗ Chứng minh rằng: u1+ u2+ + un≥ 1 +π

4

"

1 − 1 2

n−1#

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB||CD), SA = 2a và vuông góc với đáy, AB = BC = CD = a Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD a) Chứng minh A, M, N, P đồng phẳng và tứ giác AM N P nội tiếp được trong một đường tròn b) Tính diện tích tứ giác AM N P theo a

——— Hết ———

—————

1

Trang 14

√

x2+ 2x + 22 −√y = y2+ 2y + 1 p

y2+ 2y + 22 −√x = x2+ 2x + 1 . Câu II (2,5 điểm)

Cho 4 số nguyên dương a, b, c, d trong đó tổng của 3 số bất kỳ chia cho số còn lại đều có thương

là số nguyên khác 1 Chứng minh rằng trong 4 số a, b, c, d luôn tồn tại 2 số bằng nhau

Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0; 1], có đạo hàm trên khoảng (0; 1) và f (0) = f (1) = 20092007 Chứng minh rằng tồn tại số c ∈ (0; 1) sao cho 2007f (c) − 2008f0(c) = 2009, (trong đó f0(c) là đạo hàm của hàm số f (x) tại c)

Cho 4 điểm A, B, C, D có các điểm A, B cố định và C, D thay đổi sao cho A, B, C, D nằm trên đường tròn; AC và BD là hai đường thẳng cố định vuông góc với nhau tại một điểm không trùng với các điểm A, B, C, D Chứng minh rằng trung điểm của CD luôn nằm trên một đường cố định

——— Hết ———

—————

1

Trang 15

Giải phương trình: 2008x+ 2010x = 4016x + 2

Cho dãy số (xn) thỏa mãn

0 < xn< 1

xn+1(1 − xn) ≥ 14 , ∀n ∈ N∗ Chứng minh lim

n→∞xn= 1

2. Câu III (3,0 điểm)

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1 Chứng minh rằng:

1 + 1 x

4

+

1 +1 y

4

+

1 +1 z

4

≥ 768

Cho tam giác ABC và D là chân đường cao hạ từ A Gọi d là đường thẳng đi qua D và nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC, E và F là các điểm nằm trên đường thẳng d sao cho AE⊥BE, AF ⊥CF và E, F không trùng D Gọi M, N là các điểm tương ứng của BC và EF Chứng minh AN ⊥N M

——— Hết ———

—————

1

Trang 16







x2009+ 3x − 3 + ln x2− x + 1 = y

y2009+ 3y − 3 + ln y2− y + 1 = z

z2009+ 3z − 3 + ln z2− z + 1 = x

Hàm số f (x) xác định với mọi x thỏa mãn các điều kiện sau:

f (1) = 2010 (a − b) f (a + b) − (a + b) f (a − b) = 4ab a2− b2 Tìm hàm số f (x)

Chứng minh rằng nếu abc (số tự nhiên có 3 chữ số trong hệ thập phân) là một số nguyên tố thì phương trình ax2+ bx + c = 0 không có nghiệm hữu tỷ

Cho 4 đường thẳng d1, d2, d3, d4 đôi một song song và không có ba đường thẳng nào nằm trên cùng một mặt phẳng Một mặt phẳng (P ) cắt chúng theo thứ tự tại A, B, C, D Một mặt phẳng (P0) cắt chúng theo thứ tự tại A0, B0, C0, D0 sao cho D 6≡ D0 Chứng minh rằng hai khối tứ diện

D0ABC và DA0B0C0 có thể tích bằng nhau

——— Hết ———

—————

1

Trang 17

Giải phương trình sau:

a) sin

3x − π

4

= sin 2x sin

x +π 4

b) 3x2 +√9x2+ 3− (x + 1)2 +√x2+ 2x + 4= 0

Cho dãy số (un) xác định như sau

u1 = 1

u n+1

u n = 1 + u2011n , ∀n ∈ N∗ . Tính lim

n→+∞

u2011 1

u2 +

u20112

u3 + +

u2011n

un+1

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức

P = a3+ b3+ 4c3 Câu IV (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC cố định nội tiếp đường tròn (O) Điểm P di động trên cung BC không chứa A (P không trùng B, C) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng

P B, P C

a) Chứng minh rằng đường thẳng M N luôn đi qua một điểm cố định

b) Xác định vị trí của điểm P sao cho AM.P B + AN.P C đạt giá trị lớn nhất

Cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn x

3+ x

xy − 1 là số nguyên dương Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương z sao cho x + y + z = xyz

——— Hết ———

—————

1

Trang 18

Tìm các giới hạn sau:

a) lim

x→0

x2+ 2011√5

1 − 5x − 2011

b) lim

x→0

1 − cos x√cos 2x

x sin x . Câu II (2,0 điểm)

x3+ xy2 = y6+ y4

√ 3x + 1 +py2+ 3 = 4 . Câu III (2,0 điểm)

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a2+ b2+ c2 = 1 Chứng minh rằng:

a2p3 1 + b2− c2+ b2p3 1 + c2− a2+ c2p3 1 + a2− b2 ≤ 1 Câu IV (2,5 điểm)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, các mặt bên tạo với mặt đáy góc có số đo bằng α Mặt phẳng qua AC và vuông góc với mặt phẳng (SAD) cắt đường thẳng SD tại I Gọi V là thể tích của khối chóp S.ABCD và V1 là thể tích của khối chóp D.ACI

a) Chứng minh rằng đường thẳng SD vuông góc với mặt phẳng (ACI)

b) Tính tỷ số V1

V − V1 theo α.

Một số được gọi là số thú vị nếu số này có 8 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ tập {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} và số đó chia hết cho 1111 Hỏi có bao nhiêu số thú vị như thế

——— Hết ———

—————

1

Trang 19

Giải phương trình: x4n+√x2n+ 2012 = 2012, (n ∈ N∗)

Cho dãy số (un) xác định bởi công thức:

(

u1= 3

un+1= 13

2un+u32

n

(n ∈ N∗) Tính lim un ?

Cho các số thực dương x, y, z, chứng minh rằng: 1

x +

1

y +

1

z ≥

36

9 + x2y2+ y2z2+ z2x2 Câu IV (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC, N là chân đường phân giác góc \BAC Đường thẳng vuông góc với N A tại N cắt các đường thẳng AB, AM lần lượt tại P, Q theo thứ tự đó Đường thẳng vuông góc với AB tại P cắt AN tại O Chứng minh OQ vuông góc với BC

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:px + 2√3 =√y +√z

——— Hết ———

—————

1

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	2,3 MB