Chứng minh rằng A là toán tử tuyến tính liên tục.
Trang 1ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC 9 – 2011 ðHSP HÀ NỘI 2
Môn: Giải tích
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I (4,0 ñiểm)
1) Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng
1
2010 cos x
dx, ( 0).
x x 1
∞ α
+
∫
2) Chứng minh rằng nếu chuỗi lỹu thừa n n
n 0
a x
∞
=
∑ hội tụ tại một ñiểm x= α ( α ≠ 0) thì nó sẽ hội tụ tuyệt ñối tại mọi ñiểm x0 thoả mãn x0 < α
3) Xác ñịnh cận lấy tích phân khi tính tích phân bội f (x, y, z)dxdydz
Ω
Ω là miền giới hạn bởi các mặt x + 3y + 4z = 12, x = 0, y = 0, z = 0 với thứ tự cho trong hai trường hợp sau: ∫ ∫ ∫dx dy f (x, y, z)dz và ∫ ∫ ∫dz dx f (x, y, z)dy.
Câu II (3,0 ñiểm)
Cho Q là tập các số hữu tỉ Xét sự khả tích Riemann và khả tích Lebesgue của hàm số sau trên ñoạn [0; e] và tính các tích phân tương ứng (nếu có):
+ ∈ = ∩
=
∈ =
Câu III (3,0 ñiểm)
[ ] [ ]
t a;b
x m ax x(t) , x C a; b
∈
[ ]
b
a
Ax(s) = α∫ (s).x(t)dt, x(t) ∈ C a; b , a ≤ ≤ s b.
Chứng minh rằng A là toán tử tuyến tính liên tục Tìm chuẩn của A
Q