giải tích không trơn dành cho cao học năm 2

Chương 1: Gradient Suy Rộng Trong Không Gian Banach I.. Đạo hàm theo hướng suy rộng và dưới gradient suy rộng: 1... là nửa liên tục trên tại xo, v còn hàm một biến f oxo,... Khi đó, dướ

Chương 1: Gradient Suy Rộng Trong Không Gian Banach

I Kiến Thức liên Quan:

1.Phiếm hàm dưới tuyến tính:

Ánh xạ f : X → ℝ được gọi là một phiếm hàm dưới tuyến tính nếu thỏa mãn hai tính chất

i) ∀x, y ∈ X : f (x + y) ≤ f (x) + f (y) ( dưới cộng tính )

ii) ∀λ > 0, ∀x ∈ X : f (λ.x) = λ f (x) ( thuần nhất dương )

2.Phiếm hàm tuyến tính:

Ánh xạ f : X → ℝ được gọi là một phiếm hàm dưới tuyến tính nếu thỏa mãn hai tính chất

i) ∀x, y ∈ X : f (x + y) = f (x) + f (y) ( cộng tính )

ii) ∀λ > 0, ∀x ∈ X : f (λ.x) = λ f (x) ( thuần nhất dương )

3 Hàm liên tục Lipschitz: ( hàm Lipschitz )

Ánh xạ f : X → ℝ được gọi là liên tục Lipschitz nếu

∃L > 0, ∀x; y ∈ X : | f (x) – f (y)| ≤ L.|| x - y||

Lúc đó, L được gọi lầ hằng số Lipschitz

• Ánh xạ f : X → ℝ được gọi là Lipschitz địa phương nếu

∀xo ∈ X, ∃δ > 0, ∃L > 0, ∀x; y ∈ B(xo, δ) : | f (x) – f (y)| ≤ L.|| x - y||

VD:

a) Nếu f :  → ℝ là một phiếm hàm tuyến tính thì f Lipschitz n

b) f (x) = x2 là một phiếm hàm Lipschitz địa phương nhưng không Lipschitz

II Đạo hàm theo hướng suy rộng và dưới gradient suy rộng:

1 Đạo hàm theo hướng suy rộng :

Cho f : X → ℝ là một hàm Lipschitz trong một lân cận của xo ∈ X với hằng số L ( sau này ta sẽ nói ngắn gọn là Lipschitz gần xo )

∀v ∈ X, ta định nghĩa đạo hàm theo hướng suy rộng của f tại xo theo hướng v là:

f o (x o , v) =

o

x x

t 0

(x + tv) - (x) lim sup

t



 +

• f o (x o , v) luôn tồn tại nếu f : X → ℝ là một hàm Lipschitz trong một lân cận của x o ∈ X

♦ Nhắc lại: Đạo hàm theo hướng (nếu có) của hàm f :  → ℝ là giới hạn n

t 0

(x + tv) - (x) lim sup

t

( Giới hạn có thể không tồn tại lúc đó không có đạo hàm theo hướng )

2

♦ Chú ý:

•

x x 0 x B(x , )

lim sup (x) lim sup (x)





• f o(xo, v) =

o

x x

t 0

(x + tv) - (x) lim sup

t



 +

=

o

0 x B(x , )

t (0, )

(x + tv) - (x) lim sup

t







+

Bài tập 1: Cho f (x) = - |x| hãy tính f ’(0, 1) và f o(0, 1)

• ∀t > 0, đặt g(t) = (0 + t.1) - (0)

t

= -1

⇒ f ’(0, 1) =

t 0

lim g(t)

= -1

• ∀t > 0,∀x ∈ X, đặt

h(t, x) = (x + t.1) - (x)

t

= - x + t + x

t

Ta có, f (x) = - |x| là hàm Lipschitz nên tồn tại giới hạn:

o

x x

t 0

lim sup h(t, x)



Chọn dãy xn = -1

n → 0 khi n → ∞

tn = 1

n → 0+ khi n → ∞

Ta có:

h(tn, xn) = 1 → 1 khi n → ∞

Nên f o(0, 1) =

o

x x

t 0

lim sup



h(t, x) = 1

2.Mệnh đề 1:

Cho f Lipschitz gần xo với hằng số L > 0 Lúc đó:

i) f o(xo, ) hữu hạn, lồi, thuần nhất dương trên X và | f o(xo, v )| ≤ K.||v|| ,∀v ∈ X

ii) Hàm hai biến f o( , ) là nửa liên tục trên tại (xo, v) còn hàm một biến f o(xo, ) Lipschitz với hằng

số L trên X

iii) f o(xo, - v) = - f o(xo, v) ,∀v ∈ X

1

-1

2

2

Bài tập 2:

Tính f o(0, 1) và f o(0, -1) biết f(x) =

1

x x 0 2

-2x x < 0













neáu neáu

Bài làm:

f o(xo, v) =

o

0 x B(x , )

t (0, )

(x + tv) - (x) lim sup

t







+

♦ ∀δ > 0, ∀x ∈ (-δ, δ), ∀t ∈ (0, δ)

Đặt

g(x, t) = (x + t) - (x)

t

=

1

0 x 2

-2 - x - t < 0

1 5.x + - -t x < 0

2 2.t



















neáu neáu neáu

⇒

x (-δ, δ)

t (0, )

sup







g(x, t) = 1

2

⇒ f o(0, 1) =

0

lim

  + x (-δ, δ)

t (0, )

sup







g(x, t) = 1

2

♦ ∀δ > 0, ∀x ∈ (-δ, δ), ∀t ∈ (0, δ)

Đặt

h(x, t) = (x - t) - (x)

t

=

2 - x 0 5.x

2 - 0 x t <

2.t 1

0 t x <

2





















neáu neáu neáu

⇒

x (-δ, δ)

t (0, )

sup







h(x, t) = 2

⇒ f o

(0, -1) =

0

lim

  + x (-δ, δ)

t (0, )

sup







g(x, t) = 2

Bài tập 3:

Cho f và g là hai hàm Lipschitz gần x ∈ X Chứng minh (f + g)o(x, v) = fo(x, v) + go(x, v) ,∀v ∈ X

4

Bài làm:

♦ f, g là hai hàm Lipschitz gần x

⇒ ∃δf ; δg > 0, ∃Lf ; Lg > 0, ∀z1 ; y1 ∈ B(x, δf ), ∀z2 ; y2 ∈ B(x, δg ):

| f(z1) – f(y1) | ≤ Lf.|| z1 – y1 ||

| g(z2) – g(y2) | ≤ Lg.|| z2 – y2||

Đặt

L = Lf + Lg > 0

Δ = min{ δf ; δg} > 0 Khi đó ∀z, y ∈ B(x, δ) ⊂ B(x, δf )∩ B(x, δg ):

| f(z) – f(y) | ≤ Lf.|| z – y ||

| g(z) – g(y) | ≤ Lg.|| z – y||

⇒ |(f + g)(z) – (f + g)(y)| = | f(z) – f(y) + g(z) – g(y)|

≤ | f(z) – f(y)| + |g(z) – g(y)|

≤ Lf.|| z – y || + Lg.|| z – y||

≤ L.|| z – y ||

⇒ f + g là hàm Lipschitz gần x

Nên tồn tại

(f + g)o(x, v) =

y x

t 0

(f + g)(y + tv) - (f + g)(y) lim sup

t



 +

,∀v ∈ X

♦ ∀v ∈ X :

(f + g)o(x, v) =

y x

t 0

f (y + tv) - f (y) g (y + tv) - g (y) lim sup







+

≤

y x

t 0

f (y + tv) - f (y) g (y + tv) - g (y)







+

≤

f (y + tv) - f (y) g (y + tv) - g (y)



≤ fo(x, v) + go(x, v)

3.Dưới Gradient suy rộng: (dưới vi phân theo nghĩa Clake)

Cho f : X → ℝ là một hàm Lipschitz trong một lân cận của x ∈ X với hằng số L Khi đó, dưới vi phân Gradient của f tại xo là

 f (x) = { x* ∈ X*: <x*, v> ≤ f o(x, v) ,∀v ∈ X }

4.Mệnh đề 2:

i) Cf (x) ≠ ∅, lồi, compact yếu * và ||x*|| ≤ L ,∀x* ∈ X*

ii) f o(x, v) = max{<x*, v> : x* ∈ Cf (x)}

5.Mệnh đề 3:

Cho f :  → ℝ là một hàm Lipschitz trong một lân cận của xo ∈n  Nêu Ω ⊂ n  , μ(Ω) = 0 và n

Ω f = {xo ∈  : f không khả vi tại xo } thì n

i lim

 ∇ f (xi) : (xi)i ⊂  \( Ω∪Ω n f ) ,

i lim

 xi = xo }

♦ Chú ý:

• Nếu f và g Lipschitz địa phương gần xo thì max{ f , g}, min{ f , g}, f + g, α f, f g cũng Lipschitz

địa phương gần xo

• Nếu f khả vi liên tục trên một lân cận của x thì f Lipschitz địa phương tại x và

f o(x, v) = < f ’(x), v> , ∀v ∈ X

 f (x) = { f ’(x)} , f ’(x) ≡ ∇f (x) c

Bài tập 5:

Cho f (x, y) = max{ x2 – y, x + y, -3x + 2y + 5}

a) Chứng minh f Lipschitz địa phương trên  2

b) Tính  f(1,1) , c  f(2,1), c  f(0, 0) c

Bài làm:

a)

Đặt

• f1(x, y) = x2 – y ⇒ Df1(x, y) = (2x, -1)

• f2(x, y) = x + y ⇒ Df2(x, y) = ( 1 , 1)

• f3(x, y) = -3x + 2y + 5 ⇒ Df3(x, y) = (-3, 2)

Ta có

Df1(x, y), Df2(x, y), Df3(x, y) là các hàm liên tục

Nên

f1, f2, f3 là các hàm khả vi liên tục nên Lipschitz địa phương trên  2

⇒ f(x, y) = max{f1(x, y), f2(x, y), f3(x, y)} là Lipschitz địa phương trên  2

6

b)

♦ Đặt

• C1 = { (x, y) ∈  : x2 2

– y ≥ x + y và x2 – y ≥ -3x + 2y + 5}

= { (x, y) ∈  : x2 2

– x ≥ 2y và x2 + 3x – 5 ≥ 3y}

• C2 = { (x, y) ∈  : x + y ≥ x2 2

– y và x + y ≥ -3x + 2y + 5}

= { (x, y) ∈  : x2 2

– x ≤ 2y và 4x - 5 ≥ y}

• C3 = { (x, y) ∈  : -3x + 2y + 5 ≥ x2 2

– y và -3x + 2y + 5 ≥ x + y}

= { (x, y) ∈  : x2 2

+ 3x - 5 ≤ 3y và 4x - 5 ≤ y}

Ta có:

1 2 3

2

x - y neáu (x,y) C

(x, y) x + y neáu (x,y) C

-3x + 2y + 5 neáu (x,y) C





f

Và Và C1 ∪ C2 ∪ C3 = ℝ2

♦

+ ∀(x, y) ∈ ℝ2, đặt

• f1(x, y) = x2 – y • f2(x, y) = x + y • f3(x, y) = -3x + 2y + 5

+ Đặt Ω = C1C2 C3 (  C1: biên của tập C1 )

⇒ μ(Ω) = 0 ( độ đo của Ω )

• Ωf ⊂ Ω ⇒ Ωf ∩ Ω = Ω

+

• Nếu (x, y) ∈ C1 thì ∇f(x, y) = ∇f 1(x, y) = (2x, -1)

• Nếu (x, y) ∈ C2 thì ∇f(x, y) = ∇f2(x, y) = (1, 1)

• Nếu (x, y) ∈ C3 thì ∇f(x, y) = ∇f3(x, y) = (-3, 2)

♦ Ta có

+ (1, 1) ∉ C1, (1, 1) ∉ C2 và (1, 1) ∈ C3

⇒  f(1,1) = co{∇f3(1, 1)} = {(-3, 2)} c

+ (2, 1) ∈ C1, (2, 1) ∈ C2 và (2, 1) ∉ C3

⇒  f(2, 1) = co{∇f1(2, 1), ∇f2(2, 1)} = co{(4, -1), (1, 1)} c

+ (0, 0) ∉ C1, (0, 0) ∉ C2 và (0, 0) ∈ C3

⇒  f(0, 0) = co{∇f3(0, 0)} = {(-3, 2)} c

II Nón tiếp xúc – nón pháp tuyến:

1 Hàm khoảng cách:

Cho S là tập con đóng khác roogx trong không gian Banach X Ta định nghĩa hàm khoảng cách từ điểm x ∈ X đến S là

s infS

• Nếu X = n thì

d S (x) =

s infS



(s - x ) + (s - x ) + + (s -x )

2.Nón tiếp xúc – nón pháp tuyến:

♦ Nón tiếp xúc của tập S tại điểm a ∈ S là

♦ Nón pháp tuyến của tập S tại a ∈ S là

N S (a) = { x * ∈ X * : < x * , v > ≤ 0 ,∀v ∈ T S (a)}

♦ Mệnh đề 4:

Nếu S là tập lồi và a ∈ S thì

i) TS(a) = { (S - a):  0 }

ii) NS(a) = { x* ∈ X*

: < x*, a’ - a > ≤ 0 ,∀a’ ∈ S } -

Quá Trình Tìm Dưới Gradient Suy Rộng Và Đạo Hàm Theo Hướng Suy Rộng

Đối Với Hàm Hai Biến Tại (xo, yo) (chúng ta chỉ sử dụng khi f là hàm lipschitz trên lân cận của (x o ,y o ) ∈ C 1 ∩ C 2 ∩ C 3 )

Bước 1: xác định tường minh hàm f về dạng

((x, y)) , (x,y) C ((x, y)) ((x, y)) , (x,y) C

((x, y)) , (x,y) C

f

f







 Trong đó C1 ∪ C2 ∪ C3 = ℝ2

Bước 2:

• Đặt Ω = C1C2 C3 (  C1: biên của tập C1 )

⇒ μ(Ω) = 0 ( độ đo của Ω )

8

• Ωf ⊂ Ω ⇒ Ωf ∩ Ω = Ω

Bước 3: tìm dưới gradien

• Nếu (x, y) ∈ C1 thì ∇f(x, y) = ∇f 1(x, y) = ?

• Nếu (x, y) ∈ C2 thì ∇f(x, y) = ∇f2(x, y) = ?

• Nếu (x, y) ∈ C3 thì ∇f(x, y) = ∇f3(x, y) = ?

Nên

D = { lim∇f(xj , yj) | lim(xj , yj) = (xo, yo) và (xj , yj) ∉ Ω, ∀j ∈ ℕ }

= { ∇f1(xo , yo), ∇f2(xo , yo), ∇f3(xo , yo)}

⇒ Cf(x , y ) = coDo o

Bước 4: Tìm đạo hàm suy rộng

o

C

((x ,y ),(u,v)) max{x.u + y.v : (x,y) (x , y )}

Bài tập 1.15 :

Tính Cf(0,0) với f (x, y) = max{min{x, - y}, y - x}

Bài làm :

* ∀(x, y) ∈ ℝ2

, đặt

f1(x,y) = x f2(x, y) = -y f3(x, y) = y – x

• f (x, y) = f1(x,y) ⇔ y - x ≤ x ≤ - y

⇔ (x , y) ∈ C1 = { (x,y) : y ≤ - x và y ≤ 2x }

• f (x, y) = f2(x,y) ⇔ y - x ≤ - y ≤ x

⇔ (x , y) ∈ C2 = { (x,y) : y ≥ - x và y ≤ x / 2}

• f (x, y) = f3(x,y) ⇔ y - x ≥ x hoặc y - x ≥ - y

⇔ (x , y) ∈ C3 = { (x,y) : y ≥ 2x hoặc y ≥ x/2 }

Do đó, f

















1 2 3

x neáu (x, y) C (x,y) = - y neáu (x, y) C

y - x neáu (x, y) C

Và C1 ∪ C2 ∪ C 3 = ℝ 2 , (0,0) ∈ C1∩C2∩C3

* Đặt Ω = C1C2 C3 (  C1: biên của tập C1 )

⇒ μ(Ω) = 0 ( độ đo của Ω )

• Ωf ⊂ Ω ⇒ Ωf ∩ Ω = Ω

*

• Nếu (x, y) ∈ C1 thì ∇f(x, y) = ∇f1(x, y) = (1, 0)

• Nếu (x, y) ∈ C2 thì ∇f(x, y) = ∇f 2(x, y) = (0, -1)

• Nếu (x, y) ∈ C3 thì ∇f(x, y) = ∇f3(x, y) = (-1, 1)

Nên

D = { lim∇f(xj , yj) | lim(xj , yj) = (0, 0) và (xj , yj) ∉ Ω, ∀j ∈ ℕ }

= { ∇f1(0, 0), ∇f2(0 , 0), ∇f3(0 , 0)}

⇒ Cf(x , y ) = coDo o = co{ (1, 0), (0, -1), (-1, 1) }

Bài 1.18 :

Cho hàm f (x,y) = x - y - x - 2y + 12 Xác định cf(0,0), cf (1,1)và

o

((1 , 1),(-1, 2))

f

Bài làm :

2 2 2 2

0 0 0 0

2 2 2 2

x - x + y - 1 nếu x và x - 2y + 1 0

x + x - 3y + 1 nếu x và x - 2y + 1 0

(x, y)

-x - x + 3y - 1 nếu x và x - 2y + 1 0

-x + x - y + 1 nếu x và x - 2y + 1 0



 







y y f

y y

♦ Đặt

C1 = { (x,y) : x2y0 và x - 2y + 1 0 }

C2 = { (x,y) : x2y0 và x - 2y + 1 0 }

C3 = { (x,y) : x2y0 và x - 2y + 1 0 }

C4 = { (x,y) : x2y0 và x - 2y + 1 0 }

⇒ C1 ∪ C 2 ∪ C 3 ∪ C 4 = ℝ 2

♦ Đặt Ω = C1C2C3C4 (  C1: biên của tập C1 )

⇒ μ(Ω) = 0 ( độ đo của Ω )

• Ωf ⊂ Ω ⇒ Ωf ∩ Ω = Ω

♦

• Nếu (x, y) ∈ C1 thì ∇f(x, y) = ∇f1(x, y) = (2x - 1, 1)

• Nếu (x, y) ∈ C2 thì ∇f(x, y) = ∇f 2(x, y) = (2x + 1, -3)

• Nếu (x, y) ∈ C3 thì ∇f(x, y) = ∇f3(x, y) = (-2x - 1, 3)

• Nếu (x, y) ∈ C4 thì ∇f(x, y) = ∇f4(x, y) = (-2x + 1, -1)

♦ Ta cĩ :

10

-x + 2y = 0

y

x

1

3

-3 -1

-1 -3

3

0 1

C 6

C 5

C 4

C 3

C 2

C 1

y

• f (0, 0) = f1(0, 0) = f3(0, 0) = -1 ≠ f2(0, 0) = f4(0, 0) = 1

Nên với D1 = { lim∇f(xj , yj) | lim(xj , yj) = (0, 0) và (xj , yj) ∉ Ω, ∀j ∈ ℕ }

= { ∇f1(0, 0), ∇f 3(0 , 0)}= { (-1, 1), (-1, 3)}

⇒  fc (0, 0) = co{ (-1, 1), (-1, 3)}

• f (1, 1) = f1(1, 1) = f2(1, 1) = f3(1, 1) = f4(1, 1) = 0

Nên với D2 = { lim∇f(xj , yj) | lim(xj , yj) = (1, 1) và (xj , yj) ∉ Ω, ∀j ∈ ℕ }

= { ∇f1(1,1), ∇f2(1,1), ∇f3(1,1), ∇f4(1,1)}= {(1,1), (3,-3),(-3,3),(-1,-1)}

⇒  fc (1,1) = co{(1,1), (3,-3),(-3,3),(-1,-1)}

⇒ of ((1,1),(-1,2))max{ (x, y), (-1, 2) : (x,y) cf(1,1)}

Mà

• (1, 1), (-1, 2) = 1 • (-3, 3), (-1, 2) = 9

• (3, -3), (-1, 2) = -9 • (-1, -1), (-1, 2) = -1

Nên :

o

((1, 1),(-1,2 ))9

f

Bài tập 6:

Cho S = {(x,y)∈ ℝ : ( + ≤ 1) à ( ≤ 0 ℎ ặ ≤ 0)}

Dùng định nghĩa xác định (0,0), (0,1)

Bài làm:

♦ Ta có

dS(x, y) =

1 2 3

4

5

0 (x, y) C

x (x, y) C

y (x, y) C

(x - 1) + y (x, y) C

x + (y - 1) (x, y) C

x + y - 1

neáu neáu neáu neáu neáu neáu











6

(x, y) C

























Trong đó:

• C1 = {(x, y) ∈ ℝ : x2

+ y2 ≤ 1 và (x ≤ 0 hoặc y ≤ 0) }

• C2 = {(x, y) ∈ ℝ : 0 ≤ x ≤ y ≤ 1}

• C3 = {(x, y) ∈ ℝ : 0 ≤ y ≤ x ≤ 1}

• C4 = {(x, y) ∈ ℝ : 0 ≤ y ≤ x và x ≥ 1}

• C5 = {(x, y) ∈ ℝ : 0 ≤ x ≤ y và y ≥ 1}

• C6 = {(x, y) ∈ ℝ : x2 + y2 ≥ 1 và (x ≤ 0 hoặc y ≤ 0) }

⇒ C1∪C2∪C3∪C4∪C5∪C6 =  2

♦

• Đặt Ω = ∂C1∪∂C2∪∂C3∪∂C4∪∂C5∪∂C6

⇒ μ(Ω) = 0

•

S

Ωd ⊂ Ω ⇒

S

Ωd ∪ Ω = Ω

♦ ∀(x, y) ∈  , đặt : 2

• g1(x, y) = 0 ⇒ ∇g1(x, y) = (0, 0)

• g2(x, y) = x ⇒ ∇g2(x, y) = (1, 0)

• g3(x, y) = y ⇒ ∇g3(x, y) = (0, 1)

• g4(x, y) = (x - 1) + y 2 2 ⇒ ∇g4(x, y) =

(x - 1) + y (x - 1) + y

,

, (x, y) ≠ (1, 0)

• g5(x, y) = x + (y - 1) 2 2 ⇒ ∇g5(x, y) =

x + (y - 1) x + (y - 1)

,

, (x, y) ≠ (0, 1)

• g6(x, y) = x + y - 1 2 2 ⇒ ∇g6(x, y) =

x + y x + y

,

, (x, y) ≠ (0, 0)

♦ Ta có:

+ (0, 0) ∈ C1∩C2∩C3 và (0, 0) ∉ C4∪C5∪C6

Nên cd ((0,0))S = co{∇ g1(0, 0), ∇ g 2(0, 0), ∇ g 3(0, 0)} = co{(0, 0), (1, 0), (0, 1)}

⇒ d ((0,0), (u, v))So =

c S

d ((0,0))

, (u, v) max



⇒ TS(0, 0) = {(u, v) ∈  : 2 o 

S

d (0, 0), (u, v) = 0 } = {(u, v) ∈  : u ≤ 0 và v ≤ 0} 2 + (0, 1) ∈ C1∩C3∩C5∩C6 và (0, 0) ∉ C2∪C4

Nên cd ((0, 1))S = co{∇ g1(0, 1), ∇g3(0, 1), ∇g6(0, 1)} (do ∄ ∇g5(0, 1) ) = co{(0, 0), (0, 1), (0, 1)}

⇒ d ((0,1), (u, v))So =

c S

d ((0,1))

, (u, v) max







⇒ TS(0, 1) = {(u, v) ∈  : 2 dSo(0, 1), (u, v) = 0 } = {(u, v) ∈   : u ≤ 0 và v ≤ 0} 2

12

I Pháp tuyến xấp xỉ:

1.Điểm chiếu:

Cho X là không gian Hilbert thực, < . , > là tích vô hướng ∅ ≠ S ⊂ X Điểm s ∈ S được gọi là hình chiếu của x ∈ X lên nếu

||x - s|| = dS(x) = inf{ ||x – s’|| : s’ ∈ S }

♦ Tập tất cả các điểm chiếu của x lên S được kí hiệu là projS(x)

♦ Nếu projS(x) chỉ có 1 phần tử thì ta nói projS(x) là đơn tử

2.Mệnh đề 2.1:

Cho S ⊂ X, x ∈ X và s ∈ S Các điều kiện sau tương đương:

i) s ∈ projS(x)

ii) < x - s , s’ - s > ≤ 1

2||s’ - s||

2 , ∀s’ ∈ S

iii) s ∈ projS(s + t(x - s)) ,∀t ∈ [0, 1]

iv) dS(s + t(x - s)) = t.||x - s|| ,∀t ∈ [0, 1]

3.Pháp tuyến xấp xỉ:

♦ Cho x ∈ X và s ∈ proj

S (x), vectơ pháp tuyến xấp xỉ của S tại s là vectơ có dạng:

ξ = t(x - s) ,t ≥ 0

♦ Nón pháp tuyến xấp xỉ của S tại s ∈ X là tập hợp:

p

N (s)

S = { ξ = t(x - s) | (x ∈ X sao cho s ∈ proj

S (x)) và t ≥ 0}

= { ξ ∈ X | ∃λ > 0: d S ( s + λξ ) = λ||ξ|| }

• Nếu s ∈ S không phải là điểm chiếu của bất kì một điểm x nào nằm ngoài S thì N (s)p

S = {0}

• Quy ước N (s)p

S = ∅ ,∀s ∉ S

4.Mệnh đề 2.2:

Cho S ⊂ X, s ∈ S Khi đó:

i) ξ ∈ N (s)p

S ⇔ ∃σ > 0, ∀s’ ∈ S: ξ, s' - s σ s' - s

ii) ξ ∈ N (s)p

S ⇔ ∃δ > 0, ∃σ > 0, ∀s’ ∈ S∩(s, δ): ξ, s' - s σ s' - s

S

y

5.Mệnh đề 2.3:

Cho S là tập lồi trong X Khi đó:

i) ∀s ∈ S: ξ ∈ N (s)p

S ⇔ ξ, s' - s  ,∀s’ ∈ S 0

ii) Nếu X hữu hạn chiều thì N (s)p

S ≠ 0 ,∀s ∈ ∂S

♦ Chú ý:

Nếu S1 và S2 là hai tập chứa trong X thỏa s ∈ S1∩S2 và ∃δ > 0 sao cho

S1∩B(s, δ) = S2∩B(s, δ) thì p

1

N (s)

S =

p 2

N (s) S

• Diễn tả bằng lời nghĩa là S 1 = S 2 trong một lân cận nào đó của điểm s

6.Đa tạp khả vi:

Tập S ⊂ X được gọi là đa tạp khả vi nếu n

S = { x ∈  | hi(x) = 0 ,i = 1, k } n

Với hi :  → ℝ là các hàm khả vi thuộc lớp Cn 1

( C 1 tập các hàm khả vi liên tục)

5.Mệnh đề 2.4:

Cho S là đa tạp khả vi, s ∈ S và hệ {∇hi(s) = 0 ,i = 1, k } độc lập tuyên tính Khi đó:

i) N (s)p

S ⊂ span{∇hi(s) = 0 ,i = 1, k } (không gian con sinh bởi { ∇ h i (s) = 0 ,i = 1, k } ) ii) Dấu “ = ” xảy ra ⇔ h i ∈ C 2 , ∀ i = 1, k (C 2 : tập các hàm khả vi liên tục cấp 2)

♦ Chú ý:

Để tìm được

p

N (s)

S ta sử dụng chủ yếu là mệnh đề 2.3 và chú ý ở mệnh đề đó cùng với hai quy

ước ở định nghĩa

Bài tập 2.4:

a) S = {(x, y) ∈  | x2+ 2

+ y2 ≤ 2 }

S là tập lồi nên theo mệnh đề 2.3:

• Với s1 = (0, 0) ∈ S:

ξ = (u, v)∈ N ((0, 0))p

S

⇔ ξ, s' - s1  ,∀s’ = (x, y) ∈ S 0