Chtrng minh rang cdc vectd rr,n2,...,rn dOc ldp tuyOn tfnh.. Tim tdt ca ciic nh6m con cfia nh6m G.. Ghi chri: C6n b0 coi thi khOng giii thfch gi thOm... Cho p ve ',h L hai tu dbng cdu tu
Trang 1e0 ctRo DUc vA DAo rAo
.{
DAI HOC HUE
Hq vd t€n thf sinh
Sd bdo danh
KV rHr ruydN srNH sAU DAr Hoc NAM 2006
Mdn thi: Dai sd (ddnh cho: Cao hgc) Thdi gian ldm bdi: 180 phut
Cflu 1 a Cho n1,r2, ,r, id cr{c vecto khr{c khOng ctia m6t khOng gian vecto, cbn
A le mQt ph6p bidn ddi tuydn tinh cfia khOng gian vectd d6 sao cho
A r t - 1 1 , A n p : t r k * r t - t , k : 2 , 3 , ) n
Chtrng minh rang cdc vectd rr,n2, ,rn dOc ldp tuyOn tfnh.
b Cho B lil ma trAn vuOng cdp n sao cho Bk :0, vdi k le mQt sd tu nhiOn ndo d6 Tim (E^ - B)-t, trong d6 E- ld ma trAn vuOng don vr cdp n.
Chu 2 Cho c le nh6m sinh boi hai phdn tir r vd a vu cdc quan h€:
t r 4 : a 2 : ! , a r - r 3 a
a X6c dinh nhfrng phdn tr? cfra nh6m G.
b Tim tdt ca ciic nh6m con cfia nh6m G.
CAu 3 Cho n le mQt vdnh DFtt" Z(R) - {, e Rlra: an,Vo e R}.
a Chtnrg minh rang Z(R) lh mOt vdnh con giao ho6n cira R.
b Xdc dinh z(Mt(n)), trong d5 twt(n) lh vinh cdc ma trQn vuOng cdp 3 h0
sd thuc.
CAu 4 Chtnrg minh rang ndu da thrlc 13 + arz + br * c c6 3 nghiOm thuc, phAn biet thi da thrlc 13 + ar2 + i@' + b)r + # cflng c6 3 nghigm th1rc, phAn bigt.
Ghi chri: C6n b0 coi thi khOng giii thfch gi thOm
Trang 2DAr HQC HU6
Hg ud, t€,n th{ s'inh:
Sd b6,o danh,:
KV rnr ruyiN srNH sAU o4l Hec NAnn zoor
M6n thi: DAI SO (dd,nh, cho Cao hoc) TlLdi gian ld,m bd,i: 180 phrit Cdu f.
1 Cho nrtfr2t tnn Ib cri,c vecto khdc kh6ng crla m6t kh6ng gian vecto vh, A th, mQt ph6p bi6n ddi tuydn tfnh cria kh6ng gian vectcr d6 sao cho
A n 1 : 1 1 , A n n : f r k * r n - r , k : 2 , 3 r r f l
mQt s6 tu nhi6n ni,o d6 Tim (E^ - B)-1, trong d6 En lir, ma trAn vu6ng dsn vi cd,p n
t l a 1 2 0 0 0 / n
g T f n r ( 0 o 1 \ - - - - - t - : ( 0 1 \ L n x d c d i n h t r 6 n t r b n s F
( _, 0 ) v6i ( _, 0 ) lb, ma trdn xac dinh tran trulng F.
Ciu II.
1 Cho p ve ',h L hai tu dbng cdu tuydn tfnh cria mQt kh6ng gian vectcr hfru han chibu tr6n lrubng s6 phirc C sao cho po{s : tog Chfrng -Ln rXng p ve 4t cd chung mQt vects ri€ng,
2 Cho E lb m6t kh6ng gian vectcr Euclid htru han chibu vh (u1 , ,un) lb, m6t hO trgc chudn trong A.-CA*ng minh rXng n6u vcri ngi u e E tu dbu c6'-'
rur'- iro,,,r'
'i,:L
thi (u1, , or) lb mQt ccr s& a3,a E.
C6.u IU Cho G th mQt nh6m nh6,n hfru hg,o sao cho G c6 mQt tu d8ng c6,u g th6a p(a) # o,Va t' 16 Chfrng minh rB,ng:
1 vcri m.oi a e G tbn tq,i g e G sao cho d': g-Lp(g);
2 ndu g c6 cdp bXng 2,tftcIi, p+i,d,vdp2 - id, thi p(.q) : g-L v6i moi g € G vb,
G te mQt nh6m aben c6 cd,p 14, m6t sd 16.
C6.u IV.
1 Cho E le mQt vh,nh Biao hod,n v6i don vi 1 I 0 vA, / lb mQt id€an crla E Chfrng minhrXng v6i m5i a € R, t6,p con J - {ar* I | * € l?} C RlI lh, m6t id6an cda
Rl I sinh bdi o + f € R/1 Tri d6 suy ra rXng khi f ld, id6an t6i dai crla vA,nh R thi moi phb,n trl kh6c kh6ng c,la RII dEu khd, nglrieh.
2 Chirng minh rXng t$p hqp c6c s6 hfru tj dang ? usimAu sd Ih, mQt s6 nguyOn 16
n tao thb,nh m6t mibn nguy6n chfnh.
Ghi chri: Cd,n b6 coi, th,i, kh,6ng gi,di, th{ch gi, th€,m.
Trang 3e0 crAo DUc vA DAo TAo
Sd bd,o danh:
DAI HOC HUE
Kv THr ruyiN srNH sAU D4r Hgc NAvr 2008
M6n thi: DAI 56 (ddnh cho Cao hq") Thdi g'ian ld"m bd,i: 180 phrit
CAu I
o, Ky hieu M"(F) lA, khong gian vecto cd,c ma trAn vu6ng cdp n c6 he tri trong trudng F Ma trAn A - (o"i) e Mn(F) gqi lb d6i xfrng ndu aai : aji, v6i moi
lb mot khong gian con crla M,(F) Tim mQt ccy sd vi tfnh sd chibu cria khong gian con cl6
b Cho V vd14/ Id, hai khong gian vecto tr6n trudng /( vd W co sd chibu huu han Cho f , V -+ W lb mot toi,n cdu tuy6n tinh Chirng minh rHng tbn tai m6t dnh
W Anh xq g c6 duy nhdt khong?
CAu II
a Cht'rng minh rXng d6i vdi c6,c vect a r,, y, z bdt ky trong mqt khong gian vectcy Euclid, d8ng tht'rc sau 1u6n xAy ra:
3 ( l " l ' + lal2 + l r l " ) - lr * a * rl, + lr - al, + ly - rl, + l, - rlt.
b C6 tbn tai hay khong hai ma tr5,n vu6ng A,B cdp n c6 he tri trong trulng tr voi A khA nghich sao cho AB - BA: A?
Cdu III Ki hieu R le trudng cd,c s6 thuc Cho:
G - { ( : 1 , ) l o , b € R , o > o } v i t H - { ( t b \ , ' , l
a Chirng minh ring G le mOt nh6m vdi ph6p nhan ma trAn vd lI li mot nh6m con chudn t6c cria G Chi ra rXng nh6m thucrng G I H d8ng cdu vdi
"f.O- lO"u
c5c s6 thuc IR
CAU IV
a' MOt mibn nguy6n ggi ld mibn nguyen chinh ndu moi idean crja n6 dbu 1A idean chinh Chirng t6 ring vA,nh cdc s6 nguy6n 2,, Ib, mibn nguy6n chfnh nhung vdnh
da thfrc V,ft] khong ph.Ai li mibn nguy6n chfnh
mQt s6 nguy6n td Chirng minh rXng cla thirc
A r ( r ) - 1 * r t * r P - T
bdt khd quy trone Qlrl.
Ghi chri: crin b6 coi, thi khong gid"i thtch gi th€m
Typeset by AlaS-Tlf,
Trang 4a0 crao DUC vA DAo rAo
2
DAI }IOC HUE
M6n thi: O,A.f Sd (danh cho Cao hqr)
CAU I
Cho U vh, W Ii,, hai kh6ng gian con crl.a lf-kh6ng gian vecto 7 hfru han chi6u {-'hr'rns rnin',r r;\'rg c6c di6u kien sau 1}, tucrng dUcrng:- - - f ) - * - - - t f '
(f ) Cir,.r{/ * Cirn)Z - dinnr/ ;
/ i ; \ r h t a i r n g l tu tlbng c{"u f ciav sao cho U - I-/,W : Ker/
\ , / , - * t " 7 ^
Ci"u II
ring c5 thd khai trrdn V' thi,nh tdng truc tidp c6c kh6ng gian con:
V n : V o @ V + @ V
-trcng d5 1/3 - K"rO, Ol x6c dinh d.ucrng, Ql x6c dinh Am.
-FIc*n nfra, CimT-r- : sr dimV- - t, vdi s vh, t tucrng frng Id, chi s6 duong vd chi s6 6rn qu6n tfnh cda O
Q ( r , a , z ) : 2 r 2 * 4 r g - 2 r z + 5 a 2 * 6 9 z - 2 2 2
vi xdc dinh co sd tucrng rlng
C6.u III
Coi Gtr(t, R) i), nh6m cdc ma tr5,n vu6ng thuc c6"p n khong suy bi6n v6i ph6p tod,n lir rrb6p nir6,n czic rna tr6.n, X C GL(n,R) It t6.p c6c rna tr6n c6 dinh thirc bing +1 vi Y C GL(rt.,lR) 1A tAp c6c ma trAn c6 dinh thirc ducrng Chirng minh rXng:
3 r:irdm tirucrng GI-,,(n,R)/y di,ng cdu v6i mQt nh6m cyclic cdp hai
CAtr IV
Cho 1i i; mQt vl,nh
1 Giti, su B kh6ng c6 udc cda kh6ng, c6 rngt phb,n tri rs l0 co cdp v6 han d6i vdi ph6o cQng vd, rnoi nh6m con crLa (ft, +) trong vdnh dEu 1), id6an trd.i cria vdnh E
2 Khi R : Zga, hdy chfrng minh di,ng cdu vb,nh sau:
Rl$Z,196Z) = Za.
Hg ua t€n tht s'inh:
Sd bd,o danh: